?第三講 圓周運動
? 知識梳理
1．描述圓周運動的物理量

定義、意義
公式、單位
線速度(v)
①描述圓周運動的物體運動快慢的物理量
②是矢量，方向和半徑垂直，和圓周相切
①v＝(定義式)
②單位：m/s
角速度(ω)
①描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動快慢的物理量
②是矢量，但不研究其方向
①ω＝(定義式)
②單位：rad/s
③ω與v的關(guān)系：v＝ωr
周期(T)
轉(zhuǎn)速(n)
頻率(f)
①周期是做勻速圓周運動的物體沿圓周運動一周所用的時間，周期的倒數(shù)為頻率
②轉(zhuǎn)速是單位時間內(nèi)物體轉(zhuǎn)過的圈數(shù)
①T＝＝(與頻率的關(guān)系)
②T的單位：s
n的單位：r/s、r/min
f的單位：Hz
向心加速度(an)
①描述線速度方向變化快慢的物理量
②方向指向圓心
①an＝＝ω2r＝r＝ωv
②單位：m/s2
2．勻速圓周運動
(1)定義：如果物體沿著圓周運動，并且線速度的大小處處相等，這種運動叫作勻速圓周運動。
(2)特點：速度大小不變，方向時刻變化，是變速運動。
3．向心力
(1)定義：做勻速圓周運動的物體所受的合力總指向圓心，這個指向圓心的力就叫作向心力。
(2)作用效果：向心力產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大小。
(3)大小：
(4)方向：始終沿半徑方向指向圓心，時刻在改變，即向心力是一個變力。
(5)來源：向心力可以由一個力提供，也可以由幾個力的合力提供，還可以由一個力的分力提供。
4．離心運動和近心運動
(1)離心運動：做圓周運動的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運動所需向心力的情況下，就做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運動。
(2)受力特點(如圖)

①當(dāng)F＝0時，物體沿切線方向飛出，做勻速直線運動。
②當(dāng)0r乙時，a甲r乙時，a甲>a乙，故B正確；由a＝ωv知，當(dāng)ω相同情況下，v甲>v乙時，a甲>a乙，故C正確；由a＝ωv知，當(dāng)v相同情況下，ω甲>ω乙時，a甲>a乙，故D正確。
考點二、水平面內(nèi)的勻速圓周運動
1．運動模型
運動模型
向心力的來源示意圖
運動模型
向心力的來源示意圖
飛機(jī)水平轉(zhuǎn)彎

火車轉(zhuǎn)彎

圓錐擺

飛車走壁

汽車在水平路面轉(zhuǎn)彎

水平轉(zhuǎn)臺
(光滑)

2．解題方法


例1、(多選)天花板下懸掛的輕質(zhì)光滑小圓環(huán)P可繞過懸掛點的豎直軸無摩擦地旋轉(zhuǎn)。一根輕繩穿過P，兩端分別連接質(zhì)量為m1和m2的小球A、B(m1≠m2)。設(shè)兩球同時做如圖所示的圓錐擺運動，且在任意時刻兩球均在同一水平面內(nèi)，則(　　)

A．兩球運動的周期相等
B．兩球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距離之比等于m2∶m1
D．球A、B到P的距離之比等于m1∶m2
【答案】AC
【解析】對其中一個小球受力分析，其受到重力和繩的拉力FT，繩中拉力在豎直方向的分力與重力平衡，設(shè)輕繩與豎直方向的夾角為θ，則有FTcos θ＝mg，拉力在水平方向上的分力提供向心力，設(shè)該小球到P的距離為l，則有FTsin θ＝mgtan θ＝mlsin θ，解得周期為T＝2π ＝2π，因為任意時刻兩球均在同一水平面內(nèi)，故兩球運動的周期相等，選項A正確；連接兩球的繩的張力FT相等，由于向心力為Fn＝FTsin θ＝mω2lsin θ，故m與l成反比，由m1≠m2，可得l1≠l2，又小球的向心加速度an＝ω2lsin θ＝lsin θ，故向心加速度大小不相等，選項C正確，B、D錯誤。
例2、(多選)如圖，在水平轉(zhuǎn)臺上放一個質(zhì)量M＝2 kg的木塊，它與轉(zhuǎn)臺間的最大靜摩擦力fmax＝6.0 N，繩的一端系在木塊上，通過轉(zhuǎn)臺的中心孔O(孔光滑)，另一端懸掛一個質(zhì)量m＝1.0 kg的物體，當(dāng)轉(zhuǎn)臺以角速度ω＝5 rad/s勻速轉(zhuǎn)動時，木塊相對轉(zhuǎn)臺靜止，則木塊到O點的距離可以是(g取10 m/s2，木塊、物體可看成質(zhì)點)(　　)

A．0.04 m B．0.08 m
C．0.16 m D．0.32 m
【答案】BCD
【解析】木塊做勻速圓周運動，轉(zhuǎn)臺對木塊的靜摩擦力和繩子的拉力的合力提供向心力，物體處于平衡狀態(tài)，則繩子的拉力等于物體的重力，根據(jù)向心力公式得：Fn＝mg＋f＝Mω2r，解得：r＝。當(dāng)f＝fmax＝6.0 N時，r最大，rmax＝ m＝0.32 m，當(dāng)f＝－6.0 N時，r最小，rmin＝ m＝0.08 m，故木塊到O點的距離介于0.08～0.32 m之間，A錯誤，B、C、D正確。
例3、一豎直倒立的圓錐筒，筒側(cè)壁的傾斜角度α不變。一小球在內(nèi)壁做勻速圓周運動，球與筒內(nèi)壁間的摩擦可忽略，小球距離地面的高度為H，則下列說法中正確的是(　　)

A．H越小，小球?qū)?cè)壁的壓力越大
B．H越大，小球做圓周運動的線速度越大
C．H越小，小球做圓周運動的向心力越小
D．H越大，小球做圓周運動的周期越小
【答案】B
【解析】小球做勻速圓周運動，由重力mg和支持力F的合力提供圓周運動的向心力，作出受力圖如圖，則向心力Fn＝mgtanα，m、α不變，向心力大小不變，根據(jù)牛頓第二定律得Fn＝m，H越大，r越大，則v越大，故B正確，C錯誤；做圓周運動時，側(cè)壁對小球的支持力大小F＝不變，則小球?qū)?cè)壁的壓力大小不變，故A錯誤；根據(jù)mgtanα＝m，解得T＝ ，則知H越大，r越大，T越大，故D錯誤。

例4、（2013年全國2）公路急轉(zhuǎn)彎處通常是交通事故多發(fā)地帶。如圖，某公路急轉(zhuǎn)彎處是一圓弧，當(dāng)汽車行駛的速率為vc 時，汽車恰好沒有向公路內(nèi)外兩側(cè)滑動的趨勢，則在該彎道處，（ ）
A．路面外側(cè)高內(nèi)側(cè)低
B．車速只要低于vc，車輛便會向內(nèi)側(cè)滑動
C．車速雖然高于vc，但只要不超出某一高度限度，車輛便不會向外側(cè)滑動
D．當(dāng)路面結(jié)冰時，與未結(jié)冰時相比，vc 的值變小
【答案】AC
【解析】根據(jù)題意可知，汽車在拐彎處恰好不受摩擦力作用，受力情況如圖所示，

重力和支持力的合力剛好可以提供向心力，即，路面外側(cè)高于內(nèi)側(cè)，選項A正確；當(dāng)車速低于vc時，汽車有向內(nèi)側(cè)滑動的趨勢，此時汽車可以受到向外的摩擦力，只有摩擦力等于滑動摩擦力時，汽車才會向內(nèi)側(cè)滑動，選項B錯誤；當(dāng)車速高于vc時，汽車有向外側(cè)滑動的趨勢，此時汽車受到向里的摩擦力，只有摩擦力等于滑動摩擦力時，汽車才會向外側(cè)滑動，選項C正確；由可知，當(dāng)路面結(jié)冰時，vc的值不變，選項D錯誤．
l 課堂隨練
訓(xùn)練1、(多選)(2020·江蘇如東縣第一次檢測)在修筑鐵路時，彎道處的外軌會略高于內(nèi)軌。如圖所示，當(dāng)火車以規(guī)定的行駛速度轉(zhuǎn)彎時，內(nèi)、外軌均不會受到輪緣的擠壓，設(shè)此時的速度大小為v，重力加速度為g，兩軌所在面的傾角為θ，則(　　)

A．該彎道的半徑r＝
B．當(dāng)火車質(zhì)量改變時，規(guī)定的行駛速度大小不變
C．當(dāng)火車速率大于v時，內(nèi)軌將受到輪緣的擠壓
D．當(dāng)火車速率小于v時，外軌將受到輪緣的擠壓
【答案】AB
【解析】火車拐彎不側(cè)向擠壓車輪輪緣時，重力和支持力的合力剛好提供向心力，有mgtan θ＝m，解得r＝，故選項A正確；由mgtan θ＝m，解得v＝，可知火車規(guī)定的行駛速度與質(zhì)量無關(guān)，故選項B正確；當(dāng)火車速率大于v時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，此時外軌對火車有側(cè)壓力，輪緣擠壓外軌，故選項C錯誤；當(dāng)火車速率小于v時，重力和支持力的合力大于所需的向心力，此時內(nèi)軌對火車有側(cè)壓力，輪緣擠壓內(nèi)軌，故選項D錯誤。
訓(xùn)練2、(圓錐擺模型的圖象分析)如圖所示，用一根質(zhì)量不計、不可伸長的細(xì)繩，一端系一可視為質(zhì)點的小球，另一端固定在O點。當(dāng)小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動的角速度為ω時，懸點O到軌跡圓心高度為h，細(xì)繩拉力大小為F，小球的向心加速度大小為a，線速度大小為v，下列描述各物理量與角速度平方ω2的關(guān)系圖象正確的是(　　)


【答案】A
【解析】設(shè)細(xì)繩長度為l，小球質(zhì)量為m，小球做勻速圓周運動時細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ，有F sin θ＝mω2l sin θ，得F＝mω2l，A正確；由mg tan θ＝mω2l sin θ，h＝l cos θ，得h＝，B錯誤；由mg tan θ＝mω2l sin θ，可得cos θ＝，小球的向心加速度大小a＝ω2l sin θ＝，C錯誤；由cos θ＝，得小球的線速度大小v＝ωl sin θ＝，D錯誤。
訓(xùn)練3、(2022·遼寧六校聯(lián)考)四個完全相同的小球A、B、C、D均在水平面內(nèi)做圓錐擺運動．如圖甲所示，其中小球A、B在同一水平面內(nèi)做圓錐擺運動(連接B球的繩較長)；如圖乙所示，小球C、D在不同水平面內(nèi)做圓錐擺運動，但是連接C、D的繩與豎直方向之間的夾角相同(連接D球的繩較長)，則下列說法錯誤的是(　　)

A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B線速度大小相同
C．小球C、D向心加速度大小相同
D．小球D受到繩的拉力與小球C受到繩的拉力大小相等
【答案】B
【解析】對題圖甲A、B分析：設(shè)繩與豎直方向的夾角為θ，小球的質(zhì)量為m，小球A、B到懸點O的豎直距離為h，則mgtan θ＝mω2lsin θ，解得ω＝＝，所以小球A、B的角速度相等，線速度大小不相同，故A正確，B錯誤；對題圖乙C、D分析：設(shè)繩與豎直方向的夾角為θ，小球的質(zhì)量為m，繩長為L，繩上拉力為FT，則有mgtan θ＝ma，F(xiàn)Tcos θ＝mg得a＝gtan θ，F(xiàn)T＝，所以小球C、D向心加速度大小相同，小球C、D受到繩的拉力大小也相同，故C、D正確．
訓(xùn)練4、(多選)如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上，沿直徑方向放著用輕繩相連的物體A和B，A和B質(zhì)量都為m。它們分居圓心兩側(cè)，與圓心的距離分別為RA＝r，RB＝2r，A、B與盤間的動摩擦因數(shù)相同且均為μ。若最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動時，下列說法正確的是(　　)

A．繩子的張力為FT＝3μmg
B．圓盤的角速度為ω＝
C．A所受摩擦力方向沿繩指向圓外
D．燒斷繩子，物體A、B仍將隨盤一塊轉(zhuǎn)動
【答案】ABC
【解析】兩物體A和B隨著圓盤轉(zhuǎn)動時，合力提供向心力，有F合＝mω2R，B的軌道半徑比A的軌道半徑大，所以B所需向心力大，繩子拉力相等，所以當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動時，B所受的最大靜摩擦力方向沿繩指向圓心，A所受的最大靜摩擦力方向沿繩指向圓外。以B為研究對象，有FT＋μmg＝2mrω2，以A為研究對象，有FT－μmg＝mrω2，聯(lián)立解得FT＝3μmg，ω＝ ，故選項A、B、C正確；燒斷繩子，對A分析，若A恰好未發(fā)生相對滑動，有μmg＝mrωA2，解得ωA＝ ω0，故上式不成立，假設(shè)錯誤，即P球會一直做離心運動直到A點，C錯誤；若P與D的距離為R，根據(jù)幾何關(guān)系，小球P做圓周運動的半徑r＝R sin 45°＝R，則圓環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度ω＝＝2，假設(shè)此時細(xì)繩有彈力，對于小球Q，豎直方向根據(jù)平衡條件有N″sin 30°＝mg＋T cos 60°，水平方向根據(jù)牛頓第二定律有N″cos 30°＋T sin 60°＝mω2r″，根據(jù)幾何關(guān)系，其軌跡半徑r″＝R sin 60°，聯(lián)立解得T＝mg，T>0，假設(shè)正確，D正確。
11、(2021·吉林省長春市高三4月質(zhì)量監(jiān)測三)如圖甲所示，兩個完全相同的物塊A和B(均可視為質(zhì)點)放在水平圓盤上，它們分居圓心兩側(cè)，用不可伸長的輕繩相連。兩物塊質(zhì)量均為1 kg，與圓心距離分別為RA和RB，其中RA＜RB且RA＝1 m。當(dāng)圓盤以不同角速度ω繞軸OO′勻速轉(zhuǎn)動時，繩中彈力FT與ω2的變化關(guān)系如圖乙所示，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2。下列說法正確的是(　　)

A．物塊與圓盤間的動摩擦因數(shù)μ＝0.1
B．物塊B與圓心距離RB＝2 m
C．當(dāng)ω＝1 rad/s時，圓盤對A的靜摩擦力的方向指向圓心
D．當(dāng)ω＝ rad/s時，A恰好要相對圓盤發(fā)生滑動
【答案】ABD
【解析】角速度較小時，物塊各自受到的靜摩擦力f充當(dāng)向心力，繩中無拉力，根據(jù)牛頓第二定律：f＝mω2R，因為RA

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