重慶市開州中學(xué)高2024級高二下期第一次月考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且，則（    ）A.  B. 1 C. 2 D. 4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念與瞬時變化率對所求式子化簡，即可結(jié)合已知得出答案.【詳解】，故選：A.2. 在二項式的展開式中，含項的二項式系數(shù)為（    ）A. 5 B.  C. 10 D. 【答案】A【解析】【分析】由二項式定理可得展開式通項為，即可求含項的二項式系數(shù).【詳解】解：由題設(shè)，，∴當(dāng)時，.∴含項的二項式系數(shù).故選：A.3. 學(xué)校組織社團(tuán)活動，要求每名同學(xué)必須且只能參加一個社團(tuán)，現(xiàn)僅剩的3個社團(tuán)供4名同學(xué)選擇，則不同的選擇方法有（    ）A. 種 B. 種 C. 種 D. 種【答案】D【解析】【分析】由分步計數(shù)乘法原理即可求解【詳解】由題意可得，每名同學(xué)共有3種選擇，故不同的選擇方法有種故選：D4. 在直三棱柱中，，，M是的中點，則直線CM與夾角的余弦值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量求解作答.【詳解】在直三棱柱中，，以點C為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，則，線段的中點，于是，，所以直線CM與夾角的余弦值為.故選：C5. 若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由題知過點作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時，點到直線距離的最小，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】解：過點作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時，點到直線距離的最小.設(shè)切點為，，所以，切線斜率為，由題知得或（舍），所以，，此時點到直線距離.故選：C6. 某社區(qū)為了做好疫情防控工作，安排6名志愿者進(jìn)行核酸檢測，需要完成隊伍組織?信息錄入?采集核酸三項任務(wù)，每項任務(wù)至少安排一人但至多三人，則不同安排方法有（    ）A. 450種 B. 72種 C. 90種 D. 360種【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，分兩種情況考慮：第一種：人數(shù)為的三組，第二種：人數(shù)為的三組求解.【詳解】6名志愿者分成三組，每組至少一人至多三人，可分兩種情況考慮：第一種：人數(shù)為的三組，共有種；第二種：人數(shù)為的三組，共有種.所以不同的安排方法共有種，故選：.7. 設(shè)，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】將變形，可得，，由此可構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，進(jìn)而確定，，由此可得大小關(guān)系.【詳解】，，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，，即，；，，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，，即，，即；綜上所述：.故選：D.8. 已知函數(shù)，直線，若有且僅有一個整數(shù)，使得點在直線l上方，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由定義域得為正整數(shù)，由導(dǎo)數(shù)法研究的圖象，直線l過定點，由數(shù)形結(jié)合可判斷的值，進(jìn)而列不等式組確定參數(shù)范圍.【詳解】點在直線l上方，即，因為，所以有且僅有一個正整數(shù)解.設(shè)，則單調(diào)遞增；單調(diào)遞減，所以.又，故可得圖象如下圖，直線過定點，當(dāng)，有無數(shù)個正整數(shù)解，不合題意，故，又有且僅有一個正整數(shù)解，故2是唯一的正整數(shù)解，即.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：直線l過定點，則原命題可轉(zhuǎn)化為直線l繞定點旋轉(zhuǎn)，從而滿足條件，可由導(dǎo)數(shù)法研究的圖象，由數(shù)形結(jié)合列式求解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯得0分，部分選對的得2分.9. 如圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列說法錯誤的是（       ）A. 為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間B. 為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間C. 函數(shù)在處取得極大值D. 函數(shù)在處取得極小值【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及函數(shù)極值點的定義，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】由圖可知，當(dāng)時，，故單調(diào)遞減；當(dāng)，，故單調(diào)遞增；當(dāng)，，故單調(diào)遞減；當(dāng)，，故單調(diào)遞增，且，，，則該函數(shù)在和處取得極小值；在處取得極大值.故選：BC10. 已知函數(shù)，則（    ）A. 有兩個極值點 B. 有三個零點C. 點是曲線的對稱中心 D. 直線是曲線的切線【答案】AC【解析】【分析】利用極值點的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點，當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點為時，切線方程為，當(dāng)切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC. 11. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，下列說法正確的是（    ）A. 若丙在甲、乙的中間（可不相鄰）排隊，則不同的排法有20種B. 若五位同學(xué)排隊甲不在最左端，乙不在最右端，則不同的排法共有78種C. 若五位同學(xué)排隊要求甲、乙必須相鄰且甲、丙不能相鄰，則不同的排法有36種D. 若甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每位同學(xué)只去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少一位同學(xué)，則不同的分配方案有150種【答案】BCD【解析】【分析】對于A：討論甲、乙之間有幾位同學(xué)，分析運算即可；對于B：討論甲、乙所在位置，分析運算即可；對于C：先求甲、乙相鄰的安排方法，再排除甲、乙相鄰且甲、丙相鄰的安排方法；對于D：先將學(xué)生安排出去，再排除有小區(qū)沒有人去的可能.【詳解】對于選項A：可知有三種可能：甲、乙之間只有一位同學(xué)，則不同的排法有種；甲、乙之間有兩位同學(xué)，則不同的排法有種；甲、乙之間有三位同學(xué)，則不同的排法有種；不同排法共有種，故A錯誤；對于選項B：可知有四種可能：甲在最右端，乙在最左端，則不同的排法有種；甲在最右端，乙不在最左端，則不同的排法有種；甲不在最右端，乙在最左端，則不同的排法有種；甲不在最右端，乙不在最左端，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故B正確；對于選項C：若甲、乙相鄰，則不同的排法有種；若甲、乙必須相鄰且甲、丙相鄰，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故C正確；對于選項D：若每位同學(xué)只去一個社區(qū)，則不同的排法有種；若有小區(qū)沒有人去，則有兩種可能：所有人去了一個小區(qū)，則不同的排法有種；所有人去了兩個小區(qū)，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故D正確；故選：BCD.12. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 當(dāng)m＞0時，函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為B. 當(dāng)m＝l時，函數(shù)在上單調(diào)遞減C. 當(dāng)m＝l時，函數(shù)的最小值為1D. 若對恒成立，則【答案】ABD【解析】【分析】A. 由m＞0直接求導(dǎo)求解判斷；B. 由m＝l，利用導(dǎo)數(shù)法求解判斷；C. 由m＝l，利用導(dǎo)數(shù)法求解判斷；D. 將對恒成立，轉(zhuǎn)化為對恒成立，利用的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為對恒成立求解判斷.【詳解】解：，當(dāng)時，，則，故A正確；當(dāng)m＝l時，，令，則，所以在上遞增，又，即在上成立，所以在上遞減，故B正確；當(dāng)m＝l時，，令，則，所以在上遞增，又，，所以存在，有，即，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故C錯誤；若對恒成立，則對恒成立，設(shè)，則，所以在上遞增，則對恒成立，即對恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，則，解得，故D正確.故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 計算______.【答案】35【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：故答案為：【點睛】本題考查組合數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.14. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】分析可知在上恒成立，利用參變量分離法可得出在上恒成立，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因，則，因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，，即實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．15. 的展開式中的系數(shù)為________________（用數(shù)字作答）．【答案】-28【解析】【分析】可化為，結(jié)合二項式展開式的通項公式求解.【詳解】因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數(shù)為-28故答案為：-28 16. 已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點和點，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個變量后，運算即可得解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17. 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知條件求出等比數(shù)列的公比，再求通項即可；（2）先由等差數(shù)列通項公式的求法求出數(shù)列的通項，然后由分組求和法及公式法求數(shù)列的前n項和即可.【詳解】解：（1）因為是正數(shù)等比數(shù)列，且所以，即分解得，又因為，所以，所以數(shù)列的通項公式為；（2）因為是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以，所以.【點睛】本題考查了等比數(shù)列及等差數(shù)列的通項公式的求法，重點考查了利用分組求和法及公式法求數(shù)列的前n項和，屬中檔題.18. 已知：在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點M為中點，．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角大?。?/span>【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）先證明平面，則有，在證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因為點M為中點，，所以，又平面，所以平面，因為平面，所以平面平面；【小問2詳解】以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，因為平面，所以即為平面PCD的一條法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，所以，即直線與平面所成角的大小為.19. 已知二項式的展開式中，第7項為常數(shù)項．（1）求n的值；（2）求展開式中所有有理項．【答案】（1）8    （2）有理項為，，【解析】【分析】（1）寫出二項式展開式的通項公式，根據(jù)第7項為常數(shù)項，令x的指數(shù)為0，求得答案.（2）根據(jù)二項式展開式的通項公式，令x的指數(shù)取整數(shù)，可求得答案.【小問1詳解】,∴，∵第7項為常數(shù)項，∴n－8＝0，∴n＝8．【小問2詳解】由（1）知,要使為有理項，只需為整數(shù)，且 ,∴當(dāng)k＝0，3，6時，為有理項,，，,∴有理項為，，．20. 已知函數(shù)，其中為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間上的最大值為，求的值.【答案】（1）函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為    （2）【解析】【分析】（1）確定函數(shù)定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，結(jié)合題意，求得a的值.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為 當(dāng)時，，， 令得，；令得，或，結(jié)合定義域得，∴函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為；【小問2詳解】 ①當(dāng)時，，∴，∴函數(shù)在上是增函數(shù)，∴，∴，∴符合題意； ②當(dāng)且時，令得，+0-增函數(shù)極大值減函數(shù)∴，∴，∴不符合題意，舍去；③若，即時，在上，∴在上是增函數(shù)，故在上的最大值為，∴不符合題意，舍去，綜合以上可得.21. 已知橢圓過點，且離心率為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與曲線C交于M，N兩點，O為原點，求面積的最大值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)把點坐標(biāo)代入和離心率公式代入即可求；(2)根據(jù)弦長公式和點線距離公式求出面積，再根據(jù)基本不等式可求得最大值.【小問1詳解】由已知，且，∴，，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】設(shè)，，將代入曲線C中，整理得，其中，即，∴，，∴，點O到直線MN的距離，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．∴△OMN面積的最大值為．22. 已知函數(shù)．（1）討論在上的單調(diào)性；（2）若時，方程有兩個不等實根，，求證：．【答案】（1）答案見解析    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，分類討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；（2）令，原不等式即證，通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)通過單調(diào)性證明.【小問1詳解】由題意得．因為，所以．當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，令，則．①若，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；②若，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】證明：方程，即，因為，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為方程有兩個實根，，令，，則關(guān)于t的方程也有兩個實根，，且，要證，即證，即證，即證，由已知，所以，整理可得，不妨設(shè)，即證，即證，令，即證，其中，構(gòu)造函數(shù)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故原不等式成立．【點睛】方法點睛：1. 導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效. 
 

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