開州中學(xué)高2021級高二下期中期模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本愿共8小愿，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．如圖，函數(shù)的圖像在點(diǎn)P處的切線方程是，則（       ）A．－2        B．2        C．3         D．無法確定【答案】B由題圖，，且，所以.故選：B2．從6名男生和2名女生中選出3名，其中至少有1名女生的選法共有（    ）種．A．36     B．66     C．30       D．56【答案】A解析　法一：（直接法）分兩類：第1類是有1名女生，共有C·C＝2×15＝30種；第2類是有2名女生，共有C·C＝1×6＝6種．由分類加法計(jì)數(shù)原理，得共有30＋6＝36種．解析　法二：（間接法）3．若函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為（       ）A．    B．     C．     D．【答案】D解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故選：D. 4．已知過原點(diǎn)作曲線的切線方程為（    ）A． B．     C．    D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求該切點(diǎn)上的切線方程，再由切線過代入求參數(shù)m，即可得切線方程.【詳解】由題設(shè)，若切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，又切線過，則，可得，所以切線為.故選：C5．甲、乙等5人去北京天安門游玩，在天安門廣場排成一排拍照留念，則甲和乙相鄰且都不站在兩端的排法有（    ）A．12種 B．24種 C．48種 D．120種【答案】B【解析】將甲、乙捆綁在一起看成一個元素，有種排法，其中甲、乙相鄰且在兩端的有種，故甲、乙相鄰且都不站在兩端的排法有（種）．故選:B．  6．若函數(shù)在處有極值10，則（       ）A． B．6 C．或15 D．6或【答案】A【解析】 ， 又 時(shí) 有極值10 ，解得 或 當(dāng) 時(shí)， 此時(shí) 在 處無極值，不符合題意經(jīng)檢驗(yàn)， 時(shí)滿足題意 故選：A7．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，則，∵當(dāng)時(shí)，有恒成立，∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，∵是定義在上的偶函數(shù)，∴，即是定義在上的奇函數(shù)，∴在上也單調(diào)遞增.又，∴，∴.不等式的解可等價(jià)于即的解，∴或，∴不等式的解集為.故選：B. 8. 已知正數(shù)滿足，則的最小值為（    ）A.       B.    C.      D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，把變形為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)在上單調(diào)遞增，得到，即；令，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，即，所以，所以.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以令.則.令，解得：；令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.即的最小值為.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的0分.9．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）為滿足人們對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系為，用的大小評價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論中正確的有（       ）A．在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)B．在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)C．在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)D．甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合甲乙企業(yè)污水排放量與時(shí)間關(guān)系圖象，利用曲線在區(qū)間的變化率判斷企業(yè)的治污能力，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)的正誤即可．【詳解】由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在時(shí)刻高于乙企業(yè)，而在時(shí)刻甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相同，故在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故A正確；由題圖知在時(shí)刻，甲企業(yè)在該點(diǎn)的切線斜率的絕對值大于乙企業(yè)的，故B正確；在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都低于污水達(dá)標(biāo)排放量，故都已達(dá)標(biāo)，故C正確；由題意可知，甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在時(shí)的污水治理能力明顯低于時(shí)的，故D錯誤．故選：ABC．10. 已知，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】利用賦值法可判斷ABC，在展開式兩邊對求導(dǎo)，然后利用賦值法可判斷D.【詳解】在中，令，得，故A正確；在中，令，得，在中，令，得，所以，故B正確；在中，令，得，又，所以，故C不正確；在中，兩邊對求導(dǎo)，得，令，得，故D正確.故選：ABD.11．現(xiàn)有4個小球和4個小盒子，下面的結(jié)論正確的是（    ）A. 若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，則共有24種放法B. 若4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有兩個空盒的放法共有18種C. 若4個不同小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有一個空盒的放法共有144種D. 若編號為1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，沒有一個空盒但小球的編號和盒子的編號全不相同的放法共有9種【答案】BCD【解析】對于A，若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，共有種放法，故A錯誤；對于B，若4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有兩個空盒，則一個盒子放3個小球，另一個盒子放1個小球或兩個盒子均放2個小球，共有種放法，故B正確；對于C，若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有一個空盒，則兩個盒子中各放1個小球，另一個盒子中放2個小球，共有種放法，故C正確；對于D，若編號為1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，沒有一個空盒但小球的編號和盒子的編號全不相同，若代表編號為1，2，3，4的盒子放入的小球編號分別為2，1，4，3，列出所有符合要求的情況：，，，，，，，，，共9種放法，故D正確.   故選：BCD.12. 已知，，若，，都有，則取值可能為（     ）A.     B.        C.        D. 【答案】ACD【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)，的最大值，將問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用二次求導(dǎo)確定該函數(shù)的單調(diào)性和最值問題.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；在恒成立，即在恒成立，令，則，令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，，，故存在，使得，，，，即，解得，所以，所以，即.故答案為：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為       ．【答案】.【解析】因則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則14．從0、4中任選一個數(shù)字，1、3、5、7中任選兩個不同的數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)為        ．A．36種 B．40種 C．48種 D．72種【答案】36種【解析】分兩類，分別先排0，4，再排所選的奇數(shù)，然后再將每一種情況的個數(shù)加起來即可.若從0，4中選0，則0只能放在十位上，從1，3，5，7中任選的兩個數(shù)可以任意放在百位與個位上，此時(shí)共有個三位奇數(shù)；若從0，4中選4，則4放在十位或百位上，從1，3，5，7中任選的兩個數(shù)可以任意放在另兩個數(shù)位上，此時(shí)共有個三位奇數(shù).故共有個三位奇數(shù).故答案為：36 15．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為      解析　6的通項(xiàng)為C2rx，所以(x3－1)·6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為x3C24x＋(－1)·C22x，即C24－C22＝240－60＝180，所以(x3－1)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為180.16. 函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為        【答案】3【解析】【分析】令可得，令，，則問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個數(shù)，首先判斷函數(shù)的奇偶性，根據(jù)對稱性只需研究兩函數(shù)在上的交點(diǎn)個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究在上的單調(diào)性，即可求出其極大值，再比較兩函數(shù)值的大小關(guān)系即可判斷函數(shù)的交點(diǎn)公式，最后結(jié)合函數(shù)圖象分析可得；【詳解】解：令，即，令，，則問題轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個數(shù)；因?yàn)?/span>，，即與均是偶函數(shù)，且，，即，根據(jù)對稱性只需研究函數(shù)在上的交點(diǎn)個數(shù)，由，且．則，當(dāng)時(shí)，，，時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，與在上有一個交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，但是恒成立，所以恒成立，即函數(shù)在上不存在交點(diǎn)；在同一坐標(biāo)系中作出與的圖象， 可得與有個交點(diǎn)，即有個零點(diǎn)；故選：A四、解答題：本題共6小題，共70分.解客應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．(本小題滿分10分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足．?dāng)?shù)列滿足.(Ⅰ)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．【解析】(1)因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，由，得所以，化簡得，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則因為，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，則(2)由(1)知，則，所以，兩式相減得，即，故. 18．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且.(Ⅰ)證明：平面PAB⊥平面PAD；(Ⅱ)若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】(Ⅰ)由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD ，故AB⊥PD ，從而AB⊥平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(Ⅱ)在平面內(nèi)作，垂足為，由（1）可知，平面，故，可得平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.則，所以二面角的余弦值為.法二：定義法19．(本小題滿分12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(Ⅱ)設(shè)函數(shù)，若在上存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為.          (2)【解析】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其定義域?yàn)?/span> ，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.故有極小值，無極大值且的極小值為。(2)【解法一】：由，可得，設(shè)，則，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，且，顯然，若在上存在極值，則滿足或，解得，綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上存在極值，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【解法二】：參變分離 20．(本小題滿分12分)在下面兩個條件中任選一個條件，補(bǔ)充在后面問題中的橫線上，并完成解答．條件①：“展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和的比為64”；條件②：“展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22”．問題：已知二項(xiàng)式，若________（填寫條件前的序號），(Ⅰ)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(Ⅱ)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。【解析】若選填條件①，即展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和的比為64，則，即．若選填條件②，即展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22，則，即．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，展開式共7項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為；（Ⅱ）因?yàn)?/span>，展開式共7項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為；因的展開式通項(xiàng)為，設(shè)展開式的第項(xiàng)系數(shù)最大,即最大，則由，所以。故的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)，即21．(本小題滿分12分)已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，且(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)若不過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.【答案】（1）    （2）直線過定點(diǎn)，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，可求得的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線的方程，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由求出直線的方程中參數(shù)的等量關(guān)系，化簡直線的方程，可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】解：由題意可得，解得，，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，由題意可知，，，同理，所以，，整理可得，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過點(diǎn)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)， 直線的方程為，直線過定點(diǎn)，合乎題意；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，設(shè)點(diǎn)，則，，，其中，，即，因?yàn)?/span>，解得，此時(shí)直線的方程為，直線過定點(diǎn).綜上所述，直線過定點(diǎn).22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)．(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)的最小值；(Ⅱ)當(dāng)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為y=1時(shí)，求a的值，并證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)0(2)a=1，證明見解析【分析】（1）當(dāng)a=0時(shí)，．利用導(dǎo)數(shù)，可得在時(shí)，有最小值，其中.據(jù)此可得答案；（2）由切線斜率為0，可得a；利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，可得，從而可得.后利用當(dāng)時(shí)，，可證得結(jié)論.【解析】（1）法一：（隱零點(diǎn)）當(dāng)a=0時(shí)，．定義域?yàn)?/span>，令，則，故在上單調(diào)遞增.因，，則在上有唯一零點(diǎn)，即.則在上，，即，在單調(diào)遞減.在上，，即，在上單調(diào)遞增.故，又，則.即函數(shù)的最小值為0；法二：（同構(gòu)+切線放縮）當(dāng)且僅當(dāng)（2）法一：由題知，，，則a=1；即，則故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞遞減，則.則當(dāng)時(shí)，，即.取，其中 ，則.則.又注意到.故.法二：（切線放縮）當(dāng)時(shí)，恒有成立，則       要證當(dāng)時(shí)，．只需證即可即證因，顯然成立。故當(dāng)時(shí)，成立．

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