?湖北省黃石市黃石港區(qū)教研協(xié)作體2023-2024學年九年級上學期質(zhì)檢數(shù)學試卷（10月份）（解析版）
一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1．（3分）下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（　?。?br /> A．y＝5x2 B．y＝22﹣2x
C．y＝2x2﹣3x3+1 D．
2．（3分）如圖是杭州2022年亞運會會徽．在選項的四個圖中，能由如圖經(jīng)過平移得到的是（　?。?br />
A． B．
C． D．
3．（3分）電影《長津湖》一上映，第一天票房2.05億元，若每天票房的平均增長率相同，平均增長率記作x，方程可以列為（　?。?br /> A．2.05（1+2x）＝10.53
B．2.05（1+x）2＝10.53
C．2.05+2.05（1+x）2＝10.53
D．2.05+2.05（1+x）+2.05（1+x）2＝10.53
4．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，且AB'＝CB'，則∠C'的度數(shù)為（　?。?br />
A．18° B．20° C．24° D．28°
5．（3分）一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情況是（　?。?br /> A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根
6．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，將點P（2，3），則P'的坐標為（　?。?br />
A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
7．（3分）為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示），對應的兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，AB＝4cm，最低點C在x軸上，BD＝2cm，則右輪廓DFE所在拋物線的解析式為（　?。?br />
A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣3）2
C．y＝﹣（x+3）2 D．y＝﹣（x﹣3）2
8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D為BC邊上一點，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE，連接BE，將AC平移得到DF（點A、C的對應點分別為點D、F），若AB＝3，BD＝2則AF的長為（　?。?br />
A． B．6 C． D．
9．（3分）我國古代數(shù)學家研究過一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14為例說明（x+x+5）2同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×14+52，因此x＝2．小明用此方法解關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0時，構(gòu)造出同樣的圖形，已知大正方形的面積為14，則（　?。?br />
A．m＝2，n＝3 B．，n＝2 C．，n＝2 D．m＝2，
10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，﹣1）（﹣4，0）與（﹣3，0）之間（不包含這兩點），拋物線的頂點為D對稱軸是直線x=-2．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（　　）
①abc＜0；
②；
③；
④若三點（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）均在函數(shù)圖象上，則y3＞y2＞y1；
⑤若a＝﹣1，則△ABD是等邊三角形．

A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）
11．（3分）在平面直角坐標系中，點（﹣3，2）關(guān)于原點對稱的點的坐標是　 ?。?br /> 12．（3分）1275年，我國南宋數(shù)學家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，問寬和長各幾步．若設(shè)長為x步，則可列方程為　 ?。?br /> 13．（3分）如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）2，則小球從飛出到落地所用的時間為　 　s．

14．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG，AE交CD于點H，則AH的長為 　 ?。?br />
15．（3分）實數(shù)a、b滿足a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，則＝　 ?。?br /> 16．（3分）如圖，平面內(nèi)三點A、B、C，AB＝4，以BC為對角線作正方形BDCE，連接AD則AD的最大值是　 ?。?br />
三、解答題（本大題共8小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．（8分）解方程
（1）x2﹣2x﹣3＝0
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0
18．（8分）如圖所示，點O是等邊△ABC內(nèi)的任一點，連接OA，OC，∠AOB＝150°，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC．
（1）求∠DAO的度數(shù)；
（2）用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系

19．（8分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系
（1）將△ABC向右平移6個單位長度得到△A1B1C1請畫出△A1B1C1；
（2）畫出△A1B1C1關(guān)于點O的中心對稱圖形△A2B2C2；
（3）若將△ABC繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2，旋轉(zhuǎn)中心的坐標為 　 ?。?br />
20．（8分）已知關(guān)于x的方程kx2﹣3x+1＝0有實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若該方程有兩個實數(shù)根，分別為x1和x2，當x1+x2+x1x2＝4時，求k的值．
21．（8分）我們將與稱為一對“對偶式”．可以應用“對偶式”求解根式方程．比如小明在解方程時，采用了如下方法：
由于＝＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，
又因為①，所以②，由①+②可得，
將兩邊平方解得x＝﹣1，代入原方程檢驗可得x＝﹣1是原方程的解．
請根據(jù)上述材料回答下面的問題：
（1）若的對偶式為n，則m×n＝　 ?。唬ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）
（2）方程的解是 　 ?。唬ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）
（3）解方程：．
22．（10分）某藥廠銷售部門根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果，對該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的銷售進行預測，并建立如下模型：設(shè)第t個月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸），其圖象是函數(shù)P＝（0＜t≤8）的圖象與線段AB的組合（單位：萬元），Q與t之間滿足如下關(guān)系：Q＝
（1）當8＜t≤24時，求P關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)第t個月銷售該原料藥的月毛利潤為w（單位：萬元）
①求w關(guān)于t的函數(shù)解析式；
②該藥廠銷售部門分析認為，336≤w≤513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月毛利潤范圍，求此范圍所對應的月銷售量P的最小值和最大值．

23．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB邊上一點，連結(jié)CD

（1）如圖1，若∠BCE＝2∠DBE，BE＝4；
（2）如圖2，延長EB到點F使EF＝CE，分別連結(jié)CF，AF交EC于點G．求證：BF＝2EG；
（3）如圖3，若AC＝AD，點M是直線AC上的一個動點，將線段MD繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段M'D，點P是AC邊上一點，Q是線段CD上的一個動點，連結(jié)PQ，請直接寫出∠PQM'的度數(shù)．

24．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a＞0）與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為直線BC下方拋物線上的一動點，PM⊥BC于點M，PN∥y軸交BC于點N．求線段PM的最大值和此時點P的坐標；
（3）點E為x軸上一動點，點Q為拋物線上一動點，是否存在以CQ為斜邊的等腰直角三角形CEQ？若存在；若不存在，請說明理由．


參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1．（3分）下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（　?。?br /> A．y＝5x2 B．y＝22﹣2x
C．y＝2x2﹣3x3+1 D．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0），判斷即可．
【解答】解：A、y＝5x2，是二次函數(shù)，故A符合題意；
B、y＝22﹣2x，是一次函數(shù)；
C、y＝6x2﹣3x6+1，不是二次函數(shù)；
D、y＝，故D不符合題意；
故選：A．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
2．（3分）如圖是杭州2022年亞運會會徽．在選項的四個圖中，能由如圖經(jīng)過平移得到的是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小解答．
【解答】解：觀察各選項圖形可知，B選項的圖案可以通過平移得到．
故選：B．
【點評】本題考查了利用平移設(shè)計圖案，圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，學生易混淆圖形的平移與旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)．
3．（3分）電影《長津湖》一上映，第一天票房2.05億元，若每天票房的平均增長率相同，平均增長率記作x，方程可以列為（　?。?br /> A．2.05（1+2x）＝10.53
B．2.05（1+x）2＝10.53
C．2.05+2.05（1+x）2＝10.53
D．2.05+2.05（1+x）+2.05（1+x）2＝10.53
【分析】根據(jù)第一天的票房及增長率，即可得出第二天票房約2.05（1+x）億元、第三天票房約2.05（1+x）2億元，根據(jù)三天后累計票房收入達10.53億元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：∵第一天票房約2.05億元，且以后每天票房的增長率為x，
∴第二天票房約2.05（2+x）億元，第三天票房約2.05（1+x）8億元．
依題意得：2.05+2.05（7+x）+2.05（1+x）7＝10.53．
故選：D．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，且AB'＝CB'，則∠C'的度數(shù)為（　?。?br />
A．18° B．20° C．24° D．28°
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠C＝∠C'，AB＝AB'，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠C＝∠CAB'，∠B＝∠AB'B，由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解．
【解答】解：∵AB'＝CB'，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，
∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，
∴3∠C＝180°﹣108°，
∴∠C＝24°，
∴∠C'＝∠C＝24°，
故選：C．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用這些的性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．
5．（3分）一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情況是（　?。?br /> A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根
【分析】先計算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．
【解答】解：∵Δ＝12﹣5×（﹣3）＝13＞0，
∴方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根．
故選：A．
【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．
6．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，將點P（2，3），則P'的坐標為（　　）

A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
【分析】作PQ⊥y軸于Q，如圖，把點P（2，3）繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P'看作把△OPQ繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OP'Q′，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，從而可確定P′點的坐標．
【解答】解：作PQ⊥y軸于Q，如圖，
∵P（2，3），
∴PQ＝2，OQ＝3，

∵點P（2，8）繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P'相當于把△OPQ繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OP'Q′，
∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，OQ′＝OQ＝3，
∴點P′的坐標為（3，﹣7）．
故選：D．
【點評】本題考查了坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
7．（3分）為了美觀，在加工太陽鏡時將下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖所示），對應的兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，AB＝4cm，最低點C在x軸上，BD＝2cm，則右輪廓DFE所在拋物線的解析式為（　?。?br />
A．y＝（x+3）2 B．y＝（x﹣3）2
C．y＝﹣（x+3）2 D．y＝﹣（x﹣3）2
【分析】利用B、D關(guān)于y軸對稱，CH＝1cm，BD＝2cm可得到D點坐標為（1，1），由AB＝4cm，最低點C在x軸上，則AB關(guān)于直線CH對稱，可得到左邊拋物線的頂點C的坐標為（﹣3，0），于是得到右邊拋物線的頂點C的坐標為（3，0），然后設(shè)頂點式利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式．
【解答】解：∵高CH＝1cm，BD＝2cm、D關(guān)于y軸對稱，
∴D點坐標為（3，1），
∵AB∥x軸，AB＝4cm，
∴AB關(guān)于直線CH對稱，
∴左邊拋物線的頂點C的坐標為（﹣5，0），
∴右邊拋物線的頂點F的坐標為（3，4），
設(shè)右邊拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2，
把D（2，1）代入得1＝a×（3﹣3）2，解得a＝，
∴右邊拋物線的解析式為y＝（x﹣3）2，
故選：B．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用：利用實際問題中的數(shù)量關(guān)系與直角坐標系中線段對應起來，再確定某些點的坐標，然后利用待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，再利用拋物線的性質(zhì)解決問題．
8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D為BC邊上一點，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE，連接BE，將AC平移得到DF（點A、C的對應點分別為點D、F），若AB＝3，BD＝2則AF的長為（　?。?br />
A． B．6 C． D．
【分析】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD＝CE＝2，∠ACE＝∠ABD＝45°，由勾股定理得到BE，由“SAS”可證△ABE≌△DFA，可得BE＝AF，于是得到結(jié)論．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝，
∵將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE，
∴BD＝CE＝2，∠ACE＝∠ABD＝45°，∠DAE＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∴BE＝＝＝3；
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠BAE+∠DAC＝180°，
∵AC平移得到DF，
∴AC＝DF＝AB，AC∥DF，
∴∠ADF+∠DAC＝180°，
∴∠ADF＝∠BAE，
在△ABE和△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（SAS），
∴BE＝AF＝2，
故選：A．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用性質(zhì)性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵
9．（3分）我國古代數(shù)學家研究過一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14為例說明（x+x+5）2同時它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×14+52，因此x＝2．小明用此方法解關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0時，構(gòu)造出同樣的圖形，已知大正方形的面積為14，則（　?。?br />
A．m＝2，n＝3 B．，n＝2 C．，n＝2 D．m＝2，
【分析】畫出方程x2+mx﹣n＝0的拼圖過程，由面積之間的關(guān)系得m2＝4，4n+4＝14，即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，

由題意得：m2＝4，2n+4＝14，
∴m＝＝6，
故選：D．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，理解一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，﹣1）（﹣4，0）與（﹣3，0）之間（不包含這兩點），拋物線的頂點為D對稱軸是直線x=-2．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（　?。?br /> ①abc＜0；
②；
③；
④若三點（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）均在函數(shù)圖象上，則y3＞y2＞y1；
⑤若a＝﹣1，則△ABD是等邊三角形．

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系判斷①；根據(jù)圖象與x軸的解得即可判斷②；與對稱軸得出b＝4a，進而得出y＝ax2+bx+c＝ax2+4ax﹣1＝a（x+2）2﹣4a﹣1，令y＝0，解方程求得較小的一個根為﹣﹣2＜﹣3，解不等式即可判斷③；由各點到對稱軸的距離即可判斷④；當a＝﹣1時，拋物線的解析式為y＝﹣（x+2）2+3，求得D（﹣2，3），再求得與x軸的交點，即可判斷⑤．
【解答】解：∵圖象的開口向下，
∴a＜0，
∵圖象與y軸的交點為（0，﹣3），
∴c＝﹣1，
∵拋物線的對稱軸為﹣2，
∴﹣＝﹣2，
∴b＝4a＜6，
∴abc＜0，
∴①符合題意，
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴b2﹣8ac＞0，
∵a＜0，
∴3c＞，
∴②不符合題意，
由題意得：y＝ax2+bx+c＝ax3+4ax﹣1＝a（x+7）2﹣4a﹣8，
∵當y＝0時，較小的一個根為﹣，
∴﹣﹣2＜﹣3，
解得a＜﹣，
∴③不合題意，
∵點（﹣3，y1），（﹣3，y2），（1，y2）中，到對稱軸直線x＝﹣2距離最大的是（1，y2），到（﹣2，y2）在對稱軸上，
∴y4＞y1＞y3；
∴④不合題意，
當a＝﹣3時，拋物線的解析式為y＝﹣（x+2）2+6，
∴D（﹣2，3），
取y＝4，得﹣（x+2）2+8＝0，
解得x1＝﹣﹣2，x2＝﹣2，
∴A（﹣﹣8，B（，0），
∴AD＝BD＝AB＝5，
∴△ABD是等邊三角形，
∴⑤符合題意，
∴符合題意的有①⑤，
故選：A．
【點評】本題主要二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，關(guān)鍵是要牢記二次函數(shù)解析中的系數(shù)對圖象的影響，二次項系數(shù)影響圖象的開口方向，a、b影響圖象的對稱軸，c影響圖象與y軸的交點．
二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）
11．（3分）在平面直角坐標系中，點（﹣3，2）關(guān)于原點對稱的點的坐標是?。?，﹣2）　．
【分析】根據(jù)平面直角坐標系內(nèi)兩點關(guān)于原點對稱橫縱坐標互為相反數(shù)，即可得出答案．
【解答】解：根據(jù)平面直角坐標系內(nèi)兩點關(guān)于原點對稱橫縱坐標互為相反數(shù)，
∴點（﹣3，2）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（6，
故答案為（3，﹣2）．
【點評】本題主要考查了平面直角坐標系內(nèi)兩點關(guān)于原點對稱橫縱坐標互為相反數(shù)，難度較小．
12．（3分）1275年，我國南宋數(shù)學家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，問寬和長各幾步．若設(shè)長為x步，則可列方程為　x（x﹣12）＝864?。?br /> 【分析】由長和寬之間的關(guān)系可得出寬為（x﹣12）步，根據(jù)矩形的面積為864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：∵長為x步，寬比長少12步，
∴寬為（x﹣12）步．
依題意，得：x（x﹣12）＝864．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學常識，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）2，則小球從飛出到落地所用的時間為　4　s．

【分析】根據(jù)關(guān)系式，令h＝0即可求得t的值為飛行的時間
【解答】解：
依題意，令h＝0得
0＝20t﹣2t2
得t（20﹣5t）＝3
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球從飛出到落地所用的時間為5s
故答案為4．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應用．此題為數(shù)學建模題，關(guān)鍵在于讀懂小球從飛出到落地即飛行的高度為0時的情形，借助二次函數(shù)解決實際問題．此題較為簡單
14．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG，AE交CD于點H，則AH的長為 　6.25?。?br />
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE＝AB＝8，設(shè)AH＝CH＝x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG，
∴AE＝AB＝8，
∵DH＝EH，
∴AH＝CH，
設(shè)AH＝CH＝x，
∴DH＝8﹣x，
∵∠D＝90°，
∴AD7+DH2＝AH2，
即22+（8﹣x）6＝x2，
解得：x＝6.25，
即AH的長為3.25，
故答案為：6.25．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）實數(shù)a、b滿足a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，則＝　2或?。?br /> 【分析】分類討論：當a＝b，易得原式＝2；當a≠b，可把a、b看作方程x2﹣7x+2＝0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b＝7，ab＝2，然后利用整體代入的方法可計算出原式＝．
【解答】解：當a＝b，原式＝2；
當a≠b，則a2﹣7x+2＝0的兩根，
所以a+b＝6，ab＝2，
所以原式＝＝，
即的值為2或．
故答案為5或．
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝，x1x2＝．
16．（3分）如圖，平面內(nèi)三點A、B、C，AB＝4，以BC為對角線作正方形BDCE，連接AD則AD的最大值是　?。?br />
【分析】將△ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDM．由旋轉(zhuǎn)不變性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出AD＝AM，推出當AM的值最大時，AD的值最大，利用三角形的三邊關(guān)系求出AM的最大值即可解決問題．
【解答】解：將△ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°，得△MCD

由旋轉(zhuǎn)不變性可得：CM＝AB＝4，AD＝MD，
且∠ADM＝90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD＝AM，
AD最大，只需AM最大，AM＜AC+CM，
∴當且僅當A、C、M在一條直線上，AM最大，
此時AD＝AM＝，
故答案為：．
【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，動點問題，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
三、解答題（本大題共8小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．（8分）解方程
（1）x2﹣2x﹣3＝0
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣6＝0，
∴（x﹣3）（x+8）＝0，
則x﹣3＝5或x+1＝0，
解得x6＝3，x2＝﹣7；

（2）∵x（x﹣2）+x﹣2＝7，
∴（x+1）（x﹣2）＝2，
∴x+1＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2．
【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
18．（8分）如圖所示，點O是等邊△ABC內(nèi)的任一點，連接OA，OC，∠AOB＝150°，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC．
（1）求∠DAO的度數(shù)；
（2）用等式表示線段OA，OB，OC之間的數(shù)量關(guān)系

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和為360°計算即可；
（2）連接OD，證明△OCD是等邊三角形，得出OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，根據(jù)勾股定理可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝90°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠OCD＝60°，
∴∠DAO＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°；
（2）線段OA，OB2+OB2＝OC5．
如圖，連接OD．

∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴△ADC≌△BOC，∠OCD＝60°．
∴CD＝OC，∠ADC＝∠BOC＝120°，
∴△OCD是等邊三角形，
∴OC＝OD＝CD，∠COD＝∠CDO＝60°，
∵∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOD＝30°，∠ADO＝60°．
∴∠DAO＝90°．
在Rt△ADO中，∠DAO＝90°，
∴OA2+AD2＝OD4．
∴OA2+OB2＝OC6．
【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
19．（8分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系
（1）將△ABC向右平移6個單位長度得到△A1B1C1請畫出△A1B1C1；
（2）畫出△A1B1C1關(guān)于點O的中心對稱圖形△A2B2C2；
（3）若將△ABC繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2，旋轉(zhuǎn)中心的坐標為 ?。ī?，0）　．

【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可；
（2）利用中心對稱變換的性質(zhì)分別作出A1，B1，C1的對應點A2，B2，C2即可；
（3）對應點連線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C3即為所求；

（2）如圖，△A2B2C6即為所求；

（3）旋轉(zhuǎn)中心Q的坐標為（﹣3，0），
故答案為：（﹣8，0）．
【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，中心對稱變換等知識，掌握旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，中心對稱變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）已知關(guān)于x的方程kx2﹣3x+1＝0有實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若該方程有兩個實數(shù)根，分別為x1和x2，當x1+x2+x1x2＝4時，求k的值．
【分析】（1）分k＝0及k≠0兩種情況考慮：當k＝0時，原方程為一元一次方程，通過解方程可求出方程的解，進而可得出k＝0符合題意；當k≠0時，由根的判別式△≥0可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．綜上，此問得解；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2＝，x1x2＝，結(jié)合x1+x2+x1x2＝4可得出關(guān)于k的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）當k＝0時，原方程為﹣3x+7＝0，
解得：x＝，
∴k＝0符合題意；
當k≠0時，原方程為一元二次方程，
∵該一元二次方程有實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣7）2﹣4×k×6≥0，
解得：k≤．
綜上所述，k的取值范圍為k≤．
（2）∵x4和x2是方程kx2﹣8x+1＝0的兩個根，
∴x8+x2＝，x7x2＝．
∵x5+x2+x1x6＝4，
∴+＝4，
解得：k＝1，
經(jīng)檢驗，k＝2是分式方程的解．
∴k的值為1．
【點評】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的定義、解一元一次方程以及解分式方程，解題的關(guān)鍵是：（1）分k＝0及k≠0兩種情況，找出k的取值范圍；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合x1+x2+x1x2＝4，找出關(guān)于k的分式方程．
21．（8分）我們將與稱為一對“對偶式”．可以應用“對偶式”求解根式方程．比如小明在解方程時，采用了如下方法：
由于＝＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，
又因為①，所以②，由①+②可得，
將兩邊平方解得x＝﹣1，代入原方程檢驗可得x＝﹣1是原方程的解．
請根據(jù)上述材料回答下面的問題：
（1）若的對偶式為n，則m×n＝　1　；（直接寫出結(jié)果）
（2）方程的解是 　39?。唬ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）
（3）解方程：．
【分析】（1）由定義直接可得答案；
（2）求出，根據(jù)已知得到，兩式相加可得，再求解即可；
（3）同（2）的方法求解即可．
【解答】解：（1）的對偶式為，
∴；
故答案為：1；
（2），
∴，
∴﹣＝2②，
∴x＝39；
故答案為：39．
（3），
∴，
∴﹣＝2②，
①+②得：，
∴4x4+6x﹣5＝6x2+1+3x，
∴x＝3．
【點評】本題考查二次根式，平方差公式，涉及新定義，無理方程等知識，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式運算的相關(guān)法則．
22．（10分）某藥廠銷售部門根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果，對該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的銷售進行預測，并建立如下模型：設(shè)第t個月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸），其圖象是函數(shù)P＝（0＜t≤8）的圖象與線段AB的組合（單位：萬元），Q與t之間滿足如下關(guān)系：Q＝
（1）當8＜t≤24時，求P關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)第t個月銷售該原料藥的月毛利潤為w（單位：萬元）
①求w關(guān)于t的函數(shù)解析式；
②該藥廠銷售部門分析認為，336≤w≤513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月毛利潤范圍，求此范圍所對應的月銷售量P的最小值和最大值．

【分析】（1）設(shè)8＜t≤24時，P＝kt+b，將A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P＝t+2；
（2）①分0＜t≤8、8＜t≤12和12＜t≤24三種情況，根據(jù)月毛利潤＝月銷量×每噸的毛利潤可得函數(shù)解析式；
②求出8＜t≤12和12＜t≤24時，月毛利潤w在滿足336≤w≤513條件下t的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得P的最大值與最小值，二者綜合可得答案．
【解答】解：（1）設(shè)8＜t≤24時，P＝kt+b，
將A（8，10），26）代入
，
解得：，
∴P＝t+2；

（2）①當0＜t≤8時，w＝（7t+8）×；
當7＜t≤12時，w＝（2t+8）（t+2）＝2t2+12t+16；
當12＜t≤24時，w＝（﹣t+44）（t+8）＝﹣t2+42t+88；
②當8＜t≤12時，w＝4t2+12t+16＝2（t+3）2﹣2，
∴3＜t≤12時，w隨t的增大而增大，
當2（t+3）7﹣2＝336時，解得t＝10或t＝﹣16（舍），
當t＝12時，w取得最大值，
此時月銷量P＝t+2在t＝10時取得最小值12，在t＝12時取得最大值14；
當12＜t≤24時，w＝﹣t6+42t+88＝﹣（t﹣21）2+529，
當t＝12時，w取得最小值448，
由﹣（t﹣21）2+529＝513得t＝17或t＝25，
∴當12＜t≤17時，448＜w≤513，
此時P＝t+7的最小值為14，最大值為19；
綜上，此范圍所對應的月銷售量P的最小值為12噸．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根據(jù)相等關(guān)系列出分段函數(shù)的解析式是解題的前提，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得336≤w≤513所對應的t的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB邊上一點，連結(jié)CD

（1）如圖1，若∠BCE＝2∠DBE，BE＝4；
（2）如圖2，延長EB到點F使EF＝CE，分別連結(jié)CF，AF交EC于點G．求證：BF＝2EG；
（3）如圖3，若AC＝AD，點M是直線AC上的一個動點，將線段MD繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段M'D，點P是AC邊上一點，Q是線段CD上的一個動點，連結(jié)PQ，請直接寫出∠PQM'的度數(shù)．

【分析】（1）設(shè)∠DBE＝x，則∠BCE＝2x，利用三角形的內(nèi)角和定理列出方程求出x值，再利用直角三角形的性質(zhì)求得BC值，依據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)論；
（2）延長FE到H，使EH＝EF，連接AH，CH，利用線段垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到AH＝BF，∠AHC＝∠BFC＝45°，進而得出∠AHF＝∠AHC+∠CHF＝45°+45°＝90°，再利用三角形的中位線定理解答即可得出結(jié)論；
（3）過點D作DE⊥AD，交AC的延長線于點E，作點P關(guān)于CD的對稱點P′，連接P′C，P′Q，P′M′，AM′，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到EA⊥AM′，得到點M′在過點A且垂直于AC的直線上運動；由三角形的三邊關(guān)系定理得到QP′+QM′≥P′M′，從而得到當P′，Q，M′在一條直線上時，QP′+QM′＝P′M′，此時PQ+QM'的值最??；由題意畫出圖形后，通過說明四邊形PCP′Q是菱形，再利用菱形的對角相等得出∠PQP′＝∠PCP′＝135°，則結(jié)論可求．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°．
設(shè)∠DBE＝x，則∠BCE＝2x，
∴∠ACE＝90°﹣∠BCE＝90°﹣2x，
∵BE⊥CD，
∴∠BDE＝90°﹣∠DBE＝90°﹣x，
∠ADC＝180°﹣ACD﹣∠A＝7x+45°．
∵∠BDE＝∠ADC，
∴90°﹣x＝45°+2x，
∴x＝15°，
∴∠BCE＝30°，
∵BE⊥CD，
∴BC＝2BE＝2，
∴AC＝BC＝8，
∴△ABC的面積＝AC?AC＝32；
（2）證明：延長FE到H，使EH＝EF，CH，

∵EF＝CE，BE⊥CD，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°．
∵BE⊥CD，EH＝EF，
∴CE垂直平分FH，
∴CH＝CF，
∴∠∠CHF＝∠CFH＝45°，
∴∠HCF＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠HCF，
∴∠ACH＝∠BCF．
在△ACH和△BCF中，
，
∴△ACH≌△BCF（SAS），
∴AH＝BF，∠AHC＝∠BFC＝45°．
∴∠AHF＝∠AHC+∠CHF＝45°+45°＝90°，
∴AH⊥HF，
∵CD⊥EF，
∴CE∥AH，
∵EH＝EF，
∴GE為△FAH的中位線，
∴AH＝2GE，
∴BF＝2EG；
（3）解：∠PQM'的度數(shù)為45°．理由：
過點D作DE⊥AD，交AC的延長線于點E，連接P′C，P′M′，如圖，

∵∠BAC＝45°，DE⊥AD，
∴∠E＝∠BAC＝45°，
∴AD＝DE．
∵將線段MD繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段M'D，
∴DM′＝DM，∠MDM′＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠MDM′，
∴∠ADM′＝∠MDE．
在△ADM′和△EDM中，
，
∴△ADM′≌△EDM（SAS），
∴∠DAM′＝∠DEM＝45°，
∴∠EAM＝∠EAB+∠DAM′＝90°，
∴EA⊥AM′．
∴點M′在過點A且垂直于AC的直線上運動．
∵點P關(guān)于CD的對稱點P′，
∴CP＝CP′，QP＝QP′．
∴PQ+QM′＝QP′+QM′．
∵QP′+QM′≥P′M′，
∴當P′，Q，M′在一條直線上時，此時PQ+QM'的值最?。?br /> 如圖，P′，Q，

∵∠M′AC＝90°，∠ACB＝90°，
∴AM′∥BC．
∴P′M′⊥BC．
∵∠CAB＝45°，AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝＝67.5°，
∵CA，CP′關(guān)于CD對稱，
∴∠DCP′＝∠DCA＝67.5°，
∴∠ACP′＝135°，
∴∠ECP′＝45°．
∴∠P′＝∠ECP′＝45°，
∴∠P′QC＝180°﹣∠QCP′﹣∠P′＝67.5°＝∠QCP′，
∴CP′＝QP′，
∴PC＝P′C＝P′Q＝QP，
∴四邊形PCP′Q是菱形，
∴∠PQP′＝∠PCP′＝135°，
∴∠PQM′＝180°﹣∠PQP′＝45°．
【點評】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形的內(nèi)角和定理，菱形的判定與性質(zhì)，充分利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．
24．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a＞0）與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為直線BC下方拋物線上的一動點，PM⊥BC于點M，PN∥y軸交BC于點N．求線段PM的最大值和此時點P的坐標；
（3）點E為x軸上一動點，點Q為拋物線上一動點，是否存在以CQ為斜邊的等腰直角三角形CEQ？若存在；若不存在，請說明理由．

【分析】①將A，B點坐標代入拋物線解析式求出系數(shù)a，b的值，即可得解析式，
②數(shù)形結(jié)合思想找到PN和PM的數(shù)量關(guān)系，求PM最大值轉(zhuǎn)化為求PN最大值問題，利用配方法求最值，
③分類討論，應用一線三直角模型構(gòu)造全等三角形，找到線段關(guān)系，從而出點坐標．
【解答】解：（1）將A（﹣1，0），3）代入函數(shù)y＝ax2+bx﹣3（a＞6）中，
得，
解得，
∴解析式為y＝x5﹣2x﹣3，
故拋物線解析式為y＝x7﹣2x﹣3；
（2）當x＝3時，y＝3，
∴C（0，﹣7），
∵B（3，0），
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PN∥y軸，
∴∠MNP＝45°，
∵PM⊥BC，
∴PM＝PN，PM也最大，
設(shè)BC的解析式為y＝mx+n，
∴，
解得，
∴BC解析式為y＝x﹣6，
設(shè)P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，
∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣4x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，
當x＝時，PN最大PN＝×＝，
∴P（，），
故PM最大值為，P點坐標為（，）；
（3）存在，點E的坐標為（﹣2，（，8），0），（．
∵CEQ是以CQ為斜邊的等腰直角三角形，
∴設(shè)Q（x，x2﹣2x﹣3），
①如圖，過點E作x軸的垂線l，分別交于點M和點N，

∵∠CEQ＝90°，
∴∠QEM+∠CEN＝90°，
∵∠QEM+∠MQE＝90°，
∴∠EQM＝∠CEN，
∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，
∴△EMQ≌△CNE（AAS），
∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，
∴|xQ|+MQ＝CN，﹣x+3＝x4﹣2x﹣3，
解得x＝﹣3，x＝3（舍去），
∴OE＝CM＝2+6＝5，E（﹣5，
②如圖，過點E作x軸的垂線l，分別交于點M和點N，

同理：△EMC≌△QNE（AAS），
CM＝EN＝x5﹣2x﹣3，NQ＝EM＝2，
∴﹣x+x2﹣2x﹣2＝3，
解得x＝，x＝，
∴OE＝CM＝，E（，
③如圖，點E和點O重合，此時E（0，

④如圖，過點E作x軸的垂線l，分別交于點M和點N，

同理：△EMC≌△QNE（AAS），
CM＝EN＝x2﹣8x﹣3，NQ＝EM＝3，
∴x+2＝x2﹣2x﹣6，
解得x＝，x＝，
∴OE＝CM＝，E（，
綜上所述，點E的坐標為（﹣4，（，8），0），（．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)應用，求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)以及一線三直角模型的應用，最后一問綜合應用對于一般學生比較有難度，比較難答全．

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