?南外集團(tuán)華僑城中學(xué)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期九年級10月月考數(shù)學(xué)試卷

一．選擇題（每題3分，共30分）
1．下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
2．如圖，質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤被平均分成了6份，分別涂上紅、黃、綠、藍(lán)四種顏色，轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤（指針恰好指在分界線時重轉(zhuǎn)），指針恰好落在紅色區(qū)域的概率為（　?。?br />
A． B． C． D．
3．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情況是（　?。?br /> A．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根
4．矩形、菱形、正方形的對角線都具有的性質(zhì)是（　?。?br /> A．對角線互相平分 B．對角線相等
C．對角線互相垂直 D．對角線互相垂直平分
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，則配方正確的是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7
6．若，則的值為（　　）
A． B． C． D．
7．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，DH⊥BC于點(diǎn)H．若AC＝8，BD＝6，則DH的長度為（　　）

A． B． C． D．4
8．如圖，在長為54米、寬為38米的矩形草地上修同樣寬的路，余下部分種植草坪．要使草坪的面積為1800平方米，設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為（　?。?br />
A．（54﹣x）（38﹣x）＝1800 B．（54﹣x）（38﹣x）+x2＝1800
C．54×38﹣54x﹣38x＝1800 D．54x+38x＝1800
9．如圖，在矩形COED中，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，3），則CE的長是（　?。?br />
A．3 B． C． D．4
10．如圖，正方形ABCD的邊長為1，AC，BD是對角線．將△DCB繞著點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△DGH，HG交AB于點(diǎn)E，連接DE交AC于點(diǎn)F，連接FG．則下列結(jié)論：①四邊形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④BC+FG＝1.5，其中正確的結(jié)論是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②
二．填空題（每題3分，共15分）
11．分解因式：2ab2﹣8a＝　 ?。?br /> 12．一個暗箱里放有a個白球和3個紅球，它們除顏色外完全相同．若每次將球攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回暗箱．通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%附近，那么可以推算出a的值大約是 　 　．
13．設(shè)m是方程x2﹣x+2023＝0的一個根，則m2﹣m+1的值為 　 ?。?br /> 14．在一次足球邀請賽中，參賽的每兩個隊(duì)之間都要比賽一場，共比賽28場，設(shè)共有x個隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為 　 ?。?br /> 15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，M是BC的中點(diǎn)，N是A'B'的中點(diǎn)，連接MN，若BC＝2，∠ABC＝60°，則線段MN的最大值為　 ?。?br />
三．解答題（共55分）
16．（8分）解方程：
（1）2x2+3x﹣5＝0； （2）x2﹣4x﹣12＝0．
17．（6分）先化簡，再求值（﹣）÷．其中x是﹣2、﹣1、0、2中的一個．
18．（6分）為響應(yīng)國家全面推進(jìn)中小學(xué)校“社會主義核心價值觀”教育活動，某校對全校學(xué)生進(jìn)行了中期檢測評價，檢測結(jié)果分為A（優(yōu)秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四個等級，并隨機(jī)抽取若干名學(xué)生的檢測結(jié)果作為樣本進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，制作了如圖所示不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖．

（1）參加這次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為 　 　人；類別C所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為 　 　°；
（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）類別D的4名學(xué)生中有3名男生和1名女生，班主任想從這4名學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生進(jìn)行約談，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求所選取的2名學(xué)生恰好都是男生的概率．
19．（8分）如圖，在?ABCD中，AB＝5，BC＝4，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，若將△DCF沿DF折疊，點(diǎn)C恰好與AB上的點(diǎn)E重合，過點(diǎn)E作EG∥BC交DF于點(diǎn)G，連接CG．
（1）求證：四邊形EFCG是菱形；
（2）當(dāng)∠A＝∠B時，求點(diǎn)B到直線EF的距離．

20．（8分）隨著疫情形勢穩(wěn)定向好，“復(fù)工復(fù)產(chǎn)”成為主旋律．某生產(chǎn)無人機(jī)公司統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，公司今年2月份生產(chǎn)A型無人機(jī)2000架，4月份生產(chǎn)A型無人機(jī)達(dá)到12500架．
（1）求該公司生產(chǎn)A型無人機(jī)每月產(chǎn)量的平均增長率；
（2）該公司還生產(chǎn)B型無人機(jī)，已知生產(chǎn)1架A型無人機(jī)的成本是200元，生產(chǎn)1架B型無人機(jī)的成本是300元，現(xiàn)要生產(chǎn)A、B兩種型號的無人機(jī)共100架，其中A型無人機(jī)的數(shù)量不超過B型無人機(jī)數(shù)量的3倍，公司生產(chǎn)A、B兩種型號的無人機(jī)各多少架時才可能使生產(chǎn)成本最少？

21．（9分）閱讀材料：x4﹣6x2+5＝0是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的通常解法是：設(shè)x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是方程變?yōu)閥2﹣6y+5＝0①，解這個方程，得y1＝1，y2＝5，當(dāng)y1＝1時，x2＝1，x＝±1，當(dāng)y＝5時，x2＝5，x＝±，所以原方程有四個根x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝
（1）用換元法解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．
（2）Rt△ABC的三邊是a，b，c，其中斜邊c＝4，兩直角邊a，b滿足（a+b）2﹣7（a+b）+10＝0，求Rt△ABC的周長和面積．

22．（10分）定義：對于一個四邊形，我們把依次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做“中方四邊形”．
概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是 　 　．
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論：
　 ??；
　 　．
問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連結(jié)BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；
拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，
（1）試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．



參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．?
C． D．?
【解答】解：A．該圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；
B．該圖既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故不符合題意；
C．該圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；
D．該圖既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故符合題意．
故選：D．
2．如圖，質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤被平均分成了6份，分別涂上紅、黃、綠、藍(lán)四種顏色，轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤（指針恰好指在分界線時重轉(zhuǎn)），指針恰好落在紅色區(qū)域的概率為（　?。?br />
A． B． C． D．
【解答】解：∵質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤被平均分成了6份，即轉(zhuǎn)盤被分成6個相同的扇形，分別涂上紅、黃、綠、藍(lán)四種顏色，其中紅色的有2個扇形，
∴轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤（指針恰好指在分界線時重轉(zhuǎn)），指針恰好落在紅色區(qū)域的概率為＝．
故選：C．
3．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情況是（　　）
A．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，
∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：B．
4．矩形、菱形、正方形的對角線都具有的性質(zhì)是（　　）
A．對角線互相平分 B．對角線相等
C．對角線互相垂直 D．對角線互相垂直平分
【解答】解：因?yàn)榫匦蔚膶蔷€互相平分且相等，
菱形的對角線互相平分且垂直且平分每一組對角，
正方形的對角線具有矩形和菱形所有的性質(zhì)，
所有矩形、菱形和正方形的對角線都具有的性質(zhì)是對角線互相平分．
故選：A．
5．用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，則配方正確的是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7
【解答】解：∵x2﹣4x﹣3＝0，
∴x2﹣4x＝3，
∴x2﹣4x+4＝3+4，
∴（x﹣2）2＝7．
故選：C．
6．若，則的值為（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴設(shè)a＝2k，b＝9k（k≠0），
∴，
故選：A．
7．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，DH⊥BC于點(diǎn)H．若AC＝8，BD＝6，則DH的長度為（　　）
?

A． B． C． D．4
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC＝＝＝5，
∵DH⊥BC，
∴S菱形ABCD＝BC?DH＝AC?BD，
即5DH＝×8×6，
解得：DH＝，
故選：C．
8．如圖，在長為54米、寬為38米的矩形草地上修同樣寬的路，余下部分種植草坪．要使草坪的面積為1800平方米，設(shè)道路的寬為x米，則可列方程為（　?。?br />
A．（54﹣x）（38﹣x）＝1800 B．（54﹣x）（38﹣x）+x2＝1800
C．54×38﹣54x﹣38x＝1800 D．54x+38x＝1800
【解答】解：設(shè)道路的寬為x米，則種植草坪的部分可合成長（54﹣x）米，寬為（38﹣x）米的矩形，
依題意得：（54﹣x）（38﹣x）＝1800．
故選：A．
9．如圖，在矩形COED中，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，3），則CE的長是（　?。?br />
A．3 B． C． D．4
【解答】解：∵四邊形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，3），
∴OD＝＝，
∴CE＝，
故選：C．
10．如圖，正方形ABCD的邊長為1，AC，BD是對角線．將△DCB繞著點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△DGH，HG交AB于點(diǎn)E，連接DE交AC于點(diǎn)F，連接FG．則下列結(jié)論：
①四邊形AEGF是菱形 ②△AED≌△GED ③∠DFG＝112.5°
④BC+FG＝1.5，其中正確的結(jié)論是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②
【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝BC＝AB，∠DAB＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠BDC＝∠CAD＝∠CAB＝45°，
∵△DHG是由△DBC旋轉(zhuǎn)得到，
∴DG＝DC＝AD，∠DGE＝∠DCB＝∠DAE＝90°，
在RT△ADE和RT△GDE中，
，
∴RT△AED≌RT△GED（HL），故②正確；
∴∠ADE＝∠EDG＝22.5°，AE＝EG，
∴∠AED＝∠AFE＝67.5°，
∴AE＝AF＝EG，
又∵∠H＝∠DBC＝∠DAC＝45°，
∴GH∥AC，
∴四邊形AEGF是菱形，故①正確；
∵∠DFG＝∠GFC+∠DFC＝∠BAC+∠DAC+∠ADF＝112.5°，故③正確；
∵AE＝FG＝EG＝BG，BE＝HE，
∴BE＞AE，
∴AE＜，
∴CB+FG＜1.5，故④錯誤．
故選：B．

二．填空題（共5小題）
11．分解因式：2ab2﹣8a＝　2a（b+2）（b﹣2）?。?br /> 【解答】解：2ab2﹣8a，
＝2a（b2﹣4），
＝2a（b+2）（b﹣2）．
故答案為：2a（b+2）（b﹣2）．
12．一個暗箱里放有a個白球和3個紅球，它們除顏色外完全相同．若每次將球攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回暗箱．通過大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%附近，那么可以推算出a的值大約是 　12?。?br /> 【解答】解：根據(jù)題意知×100%＝20%，
解得a＝12，
經(jīng)檢驗(yàn)：a＝12是原分式方程的解，
所以推算出a的值大約是12，
故答案為：12．
13．設(shè)m是方程x2﹣x+2023＝0的一個根，則m2﹣m+1的值為 　﹣2022　．
【解答】解：由題意知，m2﹣m+2023＝0，
∴m2﹣m＝﹣2023，
∴m2﹣m+1＝﹣2022，
故答案為：﹣2022．
14．在一次足球邀請賽中，參賽的每兩個隊(duì)之間都要比賽一場，共比賽28場，設(shè)共有x個隊(duì)參賽，根據(jù)題意，可列方程為 　x（x﹣1）＝28　．
【解答】解：依題意得：x（x﹣1）＝28，
故答案為：x（x﹣1）＝28．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，M是BC的中點(diǎn)，N是A'B'的中點(diǎn)，連接MN，若BC＝2，∠ABC＝60°，則線段MN的最大值為　3?。?br />
【解答】解：連接CN．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝4，
∵NB′＝NA′，
∴CN＝A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，
∴MN≤CN+CM＝3，
∴MN的最大值為3，
故答案為3．
三．解答題（共8小題）
16．解方程：
（1）2x2+3x﹣4＝2；
（2）x2﹣4x+8＝0．
【解答】解：（1）方程整理得：2x2+3x﹣6＝0，
這里a＝2，b＝3，c＝﹣6，
∵Δ＝b2﹣4ac＝9+48＝57＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）方程整理得：x2﹣4x＝﹣8，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣4，即（x﹣2）2＝﹣4＜0，
∴此方程無解．
17．先化簡，再求值（﹣）÷．其中x是﹣2、﹣1、0、2中的一個．
【解答】解：（﹣）÷
＝[﹣]×，
＝2x+8，
由分式有意義可得x≠﹣2、0或2，
當(dāng)x＝﹣1時，原式＝2×（﹣1）+8＝6．
18．為響應(yīng)國家全面推進(jìn)中小學(xué)?！吧鐣髁x核心價值觀”教育活動，某校對全校學(xué)生進(jìn)行了中期檢測評價，檢測結(jié)果分為A（優(yōu)秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四個等級，并隨機(jī)抽取若干名學(xué)生的檢測結(jié)果作為樣本進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，制作了如圖所示不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖．

（1）參加這次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為 　40　人；類別C所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為 　54　°；
（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）類別D的4名學(xué)生中有3名男生和1名女生，班主任想從這4名學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生進(jìn)行約談，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求所選取的2名學(xué)生恰好都是男生的概率．
【解答】解：（1）參加這次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為20÷50%＝40（人）．
類別C的人數(shù)為40﹣20﹣10﹣4＝6（人），
類別C所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為360°×＝54°．
故答案為：40；54．
（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．

（3）畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中所選取的2名學(xué)生恰好都是男生的結(jié)果有6種，
∴所選取的2名學(xué)生恰好都是男生的概率為＝．
19．如圖，在?ABCD中，AB＝5，BC＝4，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，若將△DCF沿DF折疊，點(diǎn)C恰好與AB上的點(diǎn)E重合，過點(diǎn)E作EG∥BC交DF于點(diǎn)G，連接CG．
（1）求證：四邊形EFCG是菱形；
（2）當(dāng)∠A＝∠B時，求點(diǎn)B到直線EF的距離．

【解答】（1）證明：∵將△DCF沿DF折疊，點(diǎn)C恰好與AB上的點(diǎn)E重合，
∴∠CFD＝∠EFD，CF＝EF，CG＝EG，
∵EG∥BC，
∴∠EGF＝∠CFD，
∴∠EGF＝∠EFD，
∴EG＝EF，
∴EG＝EF＝CF＝CG，
∴四邊形EFCG是菱形；
（2）解：∵∠A＝∠B，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AB＝5，BC＝4，
∴AE＝3，
∴BE＝2，
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴22+BF2＝（4﹣BF）2，
解得BF＝，
∴EF＝，
設(shè)點(diǎn)B到直線EF的距離為h，
∴＝，
解得h＝，
∴點(diǎn)B到直線EF的距離為．
20．隨著疫情形勢穩(wěn)定向好，“復(fù)工復(fù)產(chǎn)”成為主旋律．某生產(chǎn)無人機(jī)公司統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，公司今年2月份生產(chǎn)A型無人機(jī)2000架，4月份生產(chǎn)A型無人機(jī)達(dá)到12500架．
（1）求該公司生產(chǎn)A型無人機(jī)每月產(chǎn)量的平均增長率；
（2）該公司還生產(chǎn)B型無人機(jī)，已知生產(chǎn)1架A型無人機(jī)的成本是200元，生產(chǎn)1架B型無人機(jī)的成本是300元，現(xiàn)要生產(chǎn)A、B兩種型號的無人機(jī)共100架，其中A型無人機(jī)的數(shù)量不超過B型無人機(jī)數(shù)量的3倍，公司生產(chǎn)A、B兩種型號的無人機(jī)各多少架時才可能使生產(chǎn)成本最少？
【解答】解：（1）設(shè)該公司生產(chǎn)A型無人機(jī)每月產(chǎn)量的平均增長率為x，根據(jù)題意可得：
2000（1+x）2＝12500，
解得：x1＝1.5＝150%，x2＝﹣3.5（不合題意舍去），
答：該公司生產(chǎn)A型無人機(jī)每月產(chǎn)量的平均增長率為150%；

（2）設(shè)生產(chǎn)A型號無人機(jī)a架，則生產(chǎn)B型號無人機(jī)（100﹣a）架，需要成本為w元，依據(jù)題意可得：
a≤3（100﹣a），
解得：a≤75，
w＝200a+300（100﹣a）＝﹣100a+30000，
∵﹣100＜0，
∴當(dāng)a的值增大時，w的值減小，
∵a為整數(shù)，
∴當(dāng)a＝75時，w取最小值，此時100﹣75＝25，
w＝﹣100×75+30000＝22500，
∴公司生產(chǎn)A型號無人機(jī)75架，生產(chǎn)B型號無人機(jī)25架成本最小．
21．（9分）閱讀材料：x4﹣6x2+5＝0是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的通常解法是：設(shè)x2＝y(tǒng)，那么x4＝y(tǒng)2，于是方程變?yōu)閥2﹣6y+5＝0①，解這個方程，得y1＝1，y2＝5，當(dāng)y1＝1時，x2＝1，x＝±1，當(dāng)y＝5時，x2＝5，x＝±，所以原方程有四個根x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝
（1）用換元法解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．
（2）Rt△ABC的三邊是a，b，c，其中斜邊c＝4，兩直角邊a，b滿足（a+b）2﹣7（a+b）+10＝0，求Rt△ABC的周長和面積．
【解答】解：（1）解：設(shè)x2﹣x＝a，原方程可化為a2﹣4a﹣12＝0，
解得a＝﹣2或6，
當(dāng)a＝﹣2時，x2﹣x+2＝0
Δ＝（﹣1）2﹣8＝﹣7＜0，此方程無實(shí)數(shù)根，
當(dāng)a＝6時，即x2﹣x﹣6＝0，
（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣2
∴原方程有兩個根x1＝3，x2＝﹣2．
（2）設(shè)x＝a+b，則原方程為x2﹣7x+10＝0，
解得：x＝2或x＝5，
即a+b＝2，a+b＝5，由斜邊c＝4，舍去a+b＝2，
Rt△ABC的周長為4+5＝9；
由勾股定理得a2+b2＝42，
則（a+b）2﹣2ab＝16
解得：ab＝，
因此Rt△ABC的面積＝ab＝．
22．定義：對于一個四邊形，我們把依次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”．如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做“中方四邊形”．
概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是 　D　．
A．平行四邊形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論：
?、貯C＝BD?。?br /> ?、贏C⊥BD?。?br /> 問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連結(jié)BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；
拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，
（1）試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．


【解答】解：概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四邊形”，理由如下：
因?yàn)檎叫蔚膶蔷€相等且互相垂直，
故選：D；
性質(zhì)探究：①AC＝BD，②AC⊥BD；
理由如下：如圖1，
∵四邊形ABCD是“中方四邊形”，
∴EFGH是正方形且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，
∴∠FEH＝90°，EF＝EH，EH∥BD，EH＝BD，EF∥AC，EF＝AC，
∴AC⊥BD，AC＝BD，
故答案為：AC⊥BD，AC＝BD；
問題解決：如圖2，取四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為P、Q、R、L并順次連接成四邊形MNRL，連接CE交AB于P，連接BG交CE于K，
∵四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為M、N、R、L，
∴MN、NR、RL、LM分別是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位線，
∴MN∥BG，MN＝BG，RL∥BG，RL＝BG，RN∥CE，RN＝CE，ML∥CE，ML＝CE，
∴MN∥RL，MN＝RL，RN∥ML∥CE，RN＝ML，
∴四邊形MNRL是平行四邊形，
∵四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，
∴AE＝AB，AG＝AC，∠EAB＝∠GAC＝90°，
又∵∠BAC＝∠BAC，
∴∠EAB+∠BAC＝∠GAC+∠BAC，
即∠EAC＝∠BAG，
在△EAC和△BAG中，
，
∴△EAC≌△BAG（SAS），
∴CE＝BG，∠AEC＝∠ABG，
又∵RL＝BG，RN＝CE，
∴RL＝RN，
∴?MNRL是菱形，
∵∠EAB＝90°，
∴∠AEP+∠APE＝90°．
又∵∠AEC＝∠ABG，∠APE＝∠BPK，
∴∠ABG+∠BPK＝90°，
∴∠BKP＝90°，
又∵M(jìn)N∥BG，ML∥CE，
∴∠LMN＝90°，
∴菱形MNRL是正方形，即原四邊形BCGE是“中方四邊形”；
拓展應(yīng)用：（1）MN＝AC，理由如下：
如圖3，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，
∵四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，
∴四邊形ENFM是正方形，
∴FM＝FN，∠MFN＝90°，
∴MN＝＝＝FM，
∵M(jìn)，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴FM＝AC，
∴MN＝AC；
（2）如圖4，分別作AD、BC的中點(diǎn)E、F并順次連接EN、NF、FM、ME，
連接BD交AC于O，連接OM、ON，
當(dāng)點(diǎn)O在MN上（即M、O、N共線）時，OM+ON最小，最小值為MN的長，
∴2（OM+ON）最小＝2MN，
由性質(zhì)探究②知：AC⊥BD，
又∵M(jìn)，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，
∴AB＝2OM，CD＝2ON，
∴2（OM+ON）＝AB+CD，
∴（AB+CD）最小＝2MN，
由拓展應(yīng)用（1）知：MN＝AC；
又∵AC＝2，
∴MN＝，
∴（AB+CD）最?。?．

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