1.如圖所示，該幾何體的主視圖是( )
A. B. C. D.
2.已知關(guān)于的方程的一個根為，則實數(shù)的值為( )
A. B. C. D.
3.下列平行四邊形中，根據(jù)圖中所標(biāo)出的數(shù)據(jù)，不能判定是菱形的是( )
A. B.
C. D.
4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，兩個“”字是位似圖形，位似中心點，號“”與號“”的位似比為：點在號“”上，則點在號“”上的對應(yīng)點的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
5.近幾年，二維碼逐漸進入了人們的生活，成為廣大民眾生活中不可或缺的一部分小剛將二維碼打印在面積為的正方形紙片上，如圖，為了估計黑色陰影部分的面積，他在紙內(nèi)隨機擲點，經(jīng)過大量重復(fù)實驗，發(fā)現(xiàn)點落在黑色陰影的頻率穩(wěn)定在左右，則據(jù)此估計此二維碼中黑色陰影的面積為( )
A. B. C. D.
6.如圖，嘉嘉在時測得一棵高的樹的影長為，若時和時兩次日照的光線互相垂直，則時的影長為( )
A. B. C. D.
7.下面說法正確的是( )
A. 兩條直線被一組平行線所截，所得的線段成比例
B. 對于反比例函數(shù)，隨的增大而減小
C. 關(guān)于的方程是一元二次方程
D. 順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所組成的圖形是菱形
8.近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經(jīng)銷商紛紛開展降價促銷活動某款燃油汽車今年月份售價為萬元，月份售價為萬元設(shè)該款汽車這兩月售價的月均下降率是，則所列方程正確的是( )
A. B. C. D.
9.如圖，在矩形中，以為圓心，長為半徑畫圓弧，交于點，以為圓心長為半徑畫圓弧與的延長線交于點，連接分別與、交于點、，連接，下列結(jié)論中下列結(jié)論中錯誤的是( )
A. 四邊形為菱形B.
C. ∽D. ≌
10.某學(xué)習(xí)小組用繪圖軟件繪制出了函數(shù)如圖所示的圖象，根據(jù)你學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，下列對，大小的判斷，正確的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
11.若，則 ______ ．
12.大自然是美的設(shè)計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”的美如圖，點為的黃金分割點如果的長度為，那么的長度為______ ．
13.如圖，在中，，，直尺的一邊與重合，另一邊分別交，于點，點，，，處的讀數(shù)分別為，，，，則直尺寬的長為______．
14.如圖，在矩形中，，，是上的一個動點不與，重合，過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點，若時，則 ______ ．
15.如圖，為直角三角形，，，，是邊上的中點，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點落在線段上的點處，點的對應(yīng)點為，邊與邊交于點，則的長是______ ．
三、解答題：本題共7小題，共55分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題分
解下列方程：
；
．
17.本小題分
已知：?的兩鄰邊，的長是關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根．
當(dāng)為何值時，?是菱形？
若的長為，求?的周長．
18.本小題分
某校在九年級隨機抽取了名學(xué)生分成甲、乙兩組，每組各人，進行“網(wǎng)絡(luò)安全”知識競賽把甲、乙兩組的成績進行整理分析滿分分，競賽得分用表示：為網(wǎng)絡(luò)安全意識非常強，為網(wǎng)絡(luò)安全意識比較強，為網(wǎng)絡(luò)安全意識一般收集整理的數(shù)據(jù)制成了如下統(tǒng)計圖表：

根據(jù)以上信息回答下列問題：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
已知該校九年級有人，估計九年級網(wǎng)絡(luò)安全意識非常強的人數(shù)一共是多少？
現(xiàn)在準(zhǔn)備從甲乙兩組滿分人數(shù)中抽取兩名同學(xué)參加全區(qū)比賽，用樹狀圖或者列表法求抽取的兩名同學(xué)恰好一人來自甲組，另一人來自乙組的概率．
19.本小題分
如圖，在正方形中，點，分別在，上，，垂足為．
求證：；
若正方形的邊長是，，點是的中點，求的長．
20.本小題分
園林部門計劃在公園建一個如圖甲所示的長方形花圃，花圃的一面靠墻墻足夠長，另外三邊用木欄圍成，，建成后所用木欄總長米，在圖甲總面積不變的情況下，在花圃內(nèi)部設(shè)計了一個如圖乙所示的正方形網(wǎng)紅打卡點和兩條寬度相等的小路，其中，小路的寬度是正方形網(wǎng)紅打卡點邊長的，其余部分種植花卉，花卉種植的面積為平方米．

求長方形花圃的長和寬；
求出網(wǎng)紅打卡點的面積．
21.本小題分
【綜合與實踐】：北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第頁第題：“怎樣把一塊三角形的木板加工成一個面積最大的正方形桌面？”某小組同學(xué)對此展開了思考．
【特例感知】：若木板的形狀是如圖甲所示的直角三角形，，，根據(jù)“相似三角形對應(yīng)的高的比等于相似比”可以求得此時正方形的邊長是______ ．
【問題解決】：若木板是面積仍然為的銳角三角形，按照如圖乙所示的方式加工，記所得的正方形的面積為，如何求的最大值呢？某學(xué)習(xí)小組做了如下思考：
設(shè)，，邊上的高，則，，由∽得：，從而可以求得，若要內(nèi)接正方形面積最大，即就是求的最大值因為為定值，因此只需要分母最小即可．
小組同學(xué)借鑒研究函數(shù)的經(jīng)驗，令探索函數(shù)的圖象和性質(zhì)：
下表列出了與的幾組對應(yīng)值，其中 ______ ；
在如圖丙所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的大致圖象；
結(jié)合表格觀察函數(shù)圖象，以下說法正確的是______ ．
A.當(dāng)時，隨的增大而增大．
B.該函數(shù)的圖象可能與坐標(biāo)軸相交．
C.該函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱．
D.當(dāng)該函數(shù)取最小值時，所對應(yīng)的自變量的取值范圍在之間．
22.本小題分
某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)完四邊形后進行了如下探究，已知四邊形為矩形，請你幫助他們解決下列問題：
【初步嘗試】：他們將矩形的頂點、分別在如圖所示的?的邊、上，頂點、恰好落在?的對角線上，求證：；
【深入探究】：如圖，若?為菱形，，若，求的值；
【拓展延伸】：如圖，若?為矩形，，且，請直接寫出此時的值是______ 用含有，的代數(shù)式表示．
答案和解析
1.【答案】
解：從正面看，是一個正方形，正方形的內(nèi)部右上角是一個小正方形，
故選：．
根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．
本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖．
2.【答案】
解：關(guān)于的方程的一個根為，
所以
解得．
故選：．
根據(jù)方程根的定義，將代入方程，解出的值即可．
本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握由方程的根求待定系數(shù)的方法是將根代入方程求解．
3.【答案】
解：根據(jù)等腰三角形的判定定理可得，平行四邊形的一組鄰邊相等，即可判定該平行四邊形是菱形，
故A不符合題意；
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，平行四邊形的對角線互相垂直，即可判定該平行四邊形是菱形，
故B不符合題意；
一組鄰角互補，不能判定該平行四邊形是菱形，
故C符合題意；
根據(jù)平行四邊形的鄰角互補，對角線平分一個的角，可得平行四邊形的一組鄰邊相等，即可判定該平行四邊形是菱形，
故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及菱形的判定定理求解即可．
此題考查了菱形的判定及平行四邊形的性質(zhì)，熟記菱形的判定定理及平行四邊形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
4.【答案】
【解析】【分析】
本題考查的是位似變換中的坐標(biāo)變化，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于或．
根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，得到答案．
【解答】
解：號“”與號“”是位似圖形，位似比為：，點，
點在號“”上的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，即，
故選：．
5.【答案】
解：經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在左右，
據(jù)此可以估計黑色部分的面積為．
故選：．
用總面積乘以落入黑色部分的頻率穩(wěn)定值即可．
本題考查了利用頻率估計概率，解決本題的關(guān)鍵是掌握概率公式．
6.【答案】
解：根據(jù)題意得，，；
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
代入數(shù)據(jù)可得，
解得：；
即時的影長為．
故選：．
根據(jù)題意，畫出示意圖，易得：∽，進而可得，即，代入數(shù)據(jù)可得答案．
本題考查相似三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是正確證明三角形相似，運用相似三角形的性質(zhì)進行計算．
7.【答案】
解：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，所以選項不符合題意；
B.對于反比例函數(shù)，在每個象限內(nèi)，隨的增大而減小，所以選項不符合題意；
C.關(guān)于的方程，當(dāng)時是一元二次方程，所以選項不符合題意；
D.順次連接對角線相等的四邊形各邊中點所組成的圖形是菱形，所以選項符合題意．
故選：．
分別根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的定義和菱形的判定判定即可．
本題考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的定義和菱形的判定，熟練掌握這些知識點是關(guān)鍵．
8.【答案】
解：月份售價為萬元，月均下降率是，月份售價為萬元，
．
故選：．
首先根據(jù)月份售價為萬元，月均下降率是可得出月份的售價為萬元，月份的售價為萬元，據(jù)此根據(jù)月份售價為萬元可列出方程，進而可得出答案．
此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)月均下降率是表示出月份的售價是解答此題的關(guān)鍵．
9.【答案】
解：由題意知：，
四邊形是矩形，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形，
故A不符合題意；
若，
四邊形是菱形，
，
，
，
≌，
，
但和不一定相等，
因此和不一定全等，
和不一定相等，
故B符合題意；
，
∽，
故C不符合題意；
四邊形是矩形，
，，
，
，
四邊形是菱形，
，
，
≌，
故D不符合題意．
故選：．
由矩形的性質(zhì)推出，，，由作圖得到，由菱形的判定，推出四邊形是菱形，由和不一定全等，得到和不一定相等，由，推出∽，由判定≌．
本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．
10.【答案】
解：由圖象可知，當(dāng)時，，
；
當(dāng)時，函數(shù)值不存在，
，
；
故選：．
由圖象可知，當(dāng)時，，可知；時，函數(shù)值不存在，則．
本題考查函數(shù)的圖象；能夠通過已學(xué)的反比例函數(shù)圖象確定的取值是解題的關(guān)鍵．
11.【答案】
解：，
．
故答案為：．
根據(jù)比例的性質(zhì)即可得出答案．
本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是關(guān)鍵．
12.【答案】
解：點為的黃金分割點，，
，
，
故答案為：．
根據(jù)黃金分割的定義進行計算，即可解答．
本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．
13.【答案】
解：由題意得，，，
在中，，
則，
，
∽，
，即，
解得：，
故答案為：．
根據(jù)正切的定義求出，證明∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計算即可．
本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
14.【答案】
解：連接，
由題意得：，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案為：．
連接，利用同底面積比等于高之比，得到點坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)的關(guān)系式的求法計算即可．
本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，三角形面積的同底問題的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
15.【答案】
解：如圖，過點作于，過點作于，
，，，
，
是邊上的中線，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，
，，
，，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故答案為：．
先證，由銳角三角函數(shù)可求，的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，通過證明∽，可得，可求的長，通過證明∽，由相似三角形的性質(zhì)可求解．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
16.【答案】解：；
，
，
或，
所以，；
，
，
或，
所以，．
【解析】先移項，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解兩個一次方程即可；
利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解兩個一次方程即可．
本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17.【答案】解：當(dāng)時，，?是菱形，
即，的長是關(guān)于的方程的兩個相等的實數(shù)根，
，
解得，，
，，
的值為；
，
，，
，
解得，
?的周長．
【解析】根據(jù)菱形的判定得到，再利用根的判別式的意義得到，解得，，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，從而確定的值；
利用根與的關(guān)系得到，，解方程組得到，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，也考查了平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)．
18.【答案】
解：．
將乙組學(xué)生競賽成績按從小到大的順序排列，排在第和第位的成績分別為分和分，
．
由圖可知，乙組的眾數(shù)為，
．
故答案為：；；．
人．
估計九年級網(wǎng)絡(luò)安全意識非常強的人數(shù)一共約為人．
由圖和圖可知，甲組滿分人數(shù)為人，記為，乙組滿分人數(shù)為人，分別記為，，
畫樹狀圖如下：
共有種等可能的結(jié)果，其中抽取的兩名同學(xué)恰好一人來自甲組，另一人來自乙組的結(jié)果有：，，，，共種，
抽取的兩名同學(xué)恰好一人來自甲組，另一人來自乙組的概率為．
根據(jù)平均數(shù)的定義可求出；根據(jù)中位數(shù)的定義可求出；根據(jù)眾數(shù)的定義可求出．
根據(jù)用樣本估計總體，用乘以甲乙兩組滿分的人數(shù)所占的百分比，即可得出答案．
畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及抽取的兩名同學(xué)恰好一人來自甲組，另一人來自乙組的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
本題考查列表法與樹狀圖法、用樣本估計總體、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識點是解答本題的關(guān)鍵．
19.【答案】證明：四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
；
解：，
，
，
，
，
，
是中點，，
．
【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，結(jié)合可得即可得證；
由題意知即可求出，則，根據(jù)勾股定理即可求出，由是中點可得即可解答．
本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題關(guān)鍵．
20.【答案】解：設(shè)米，
米，
根據(jù)題意，得，
解得，
米，米，
答：長方形花圃的長為米，寬為米；
設(shè)網(wǎng)紅打卡點的邊長為米，
根據(jù)題意，得，
解得，舍去，
網(wǎng)紅打卡點的面積為平方米，
答：網(wǎng)紅打卡點的面積為平方米．
【解析】設(shè)米，根據(jù)三邊所用木欄總長米，列方程求解即可；
設(shè)網(wǎng)紅打卡點的邊長為米，根據(jù)空白的面積長方形花圃的面積花卉種植面積，列一元二次方程，求解即可．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
21.【答案】
解：過點作于點，交于點，如圖，
設(shè)，則．
，，
，
．
．
，
．
，
，
∽，
．
，
．
故答案為：；
當(dāng)時，
．
故答案為：；
在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的大致圖象：
由圖象知：當(dāng)時，隨的增大而增大，
選項的結(jié)論不正確；
由圖象知：該函數(shù)的圖象不可能與坐標(biāo)軸相交，
選項的結(jié)論不正確；
由圖象知：該函數(shù)的圖象不是軸對稱圖形，
選項的結(jié)論不正確；
由圖象知：當(dāng)該函數(shù)取最小值時，所對應(yīng)的自變量的取值范圍在之間，
選項的結(jié)論正確．
故答案為：．
過點作于點，交于點，利用正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；
將值代入運算即可；
畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象回答即可．
本題主要考查了動點問題的函數(shù)的圖象，描點法化出函數(shù)的圖象，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22.【答案】
【解析】證明：四邊形是矩形，
，，
，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：如圖，連接交于點，過點作于，連接，
設(shè)，
四邊形是菱形，，
，，
，
，，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，，
，，，
，，
；
解：連接交于點，過點作于，
同理可得：，，
，，
，
，
，
，
，，
，
故答案為：．
由“”可證≌，可得；
由矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)分別求出，，，的長，即可求解；
用，表示，，的長，即可求解．
本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，利用參數(shù)表示線段的長是解題的關(guān)鍵．平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
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2021-2022學(xué)年廣東省深圳市南山區(qū)三校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 解析版

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