2023-2024學年河南省南陽市第九完全學校九年級（上）月考數(shù)學試卷（9月份）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列二次根式中是最簡二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 2.下列運算，正確的是(    )A.  B.  C.  D. 3.要使式子有意義，的取值范圍是(    )A.  B. 且 C. 且 D. 且4.若，則下列等式成立的是(    )A.  B.  C.  D. 5.若方程是關(guān)于的一元二次方程，則的值為(    )A.  B.  C. 或 D. 6.一元二次方程的根的情況是(    )A. 無實數(shù)根 B. 只有一個實數(shù)根
C. 有兩個相等的實數(shù)根 D. 有兩個不相等的實數(shù)根7.如圖，直線，直線和被，，所截，如果，，，那么的長是(    )A.
B.
C.
D. 8.某廠四月份生產(chǎn)零件萬個，第二季度共生產(chǎn)零件萬個設該廠五、六月份平均每月的增長率為，那么滿足的方程是(    )A.
B.
C.
D. 9.如圖，已知，另外兩條直線交于點，并與這兩條平行線分別交于點、和、，若，，，則的值為(    )A.
B.
C.
D. 10.如圖，已知，則下列結(jié)論正確的是(    )A.
B.
C.
D.
 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.如果是整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是          ．12.已知方程，則的值為______ ．13.在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“”和“”，其規(guī)則為：，，則方程的解為______．14.矩形的兩邊長分別為和，把它按如圖方式分割成三個全等的小矩形，每一個小矩形與原矩形相似，則______．
 15.在世紀年代，我國著名數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所作將矩形窗框分為上下兩部分，其中為邊的黃金分割點，即已知為米，則線段的長為______米．
 三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.本小題分
計算：
；
．17.本小題分
解下列方程：
；
．18.本小題分
已知，關(guān)于的一元二次方程，請完成下面的問題．
若此方程有一個根是，請求出另一個根及的值．
求證：此方程一定有兩個不相等的實數(shù)根．19.本小題分

如圖，已知直線、、分別截直線于點、、，截直線于點、、，且．
如果，，，求的長；
如果：：，，求的長．
20.本小題分

如圖，用長為的籬笆，一面利用墻墻的最大可用長度為，圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．
如果要圍成面積為的花圃，那么的長是多少米？
能圍成面積比更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由．
21.本小題分

如圖，直線交、于、，交的延長線于，且：：，，求：的值．
22.本小題分
年月，“一盔一帶”安全守護行動在全國各地積極開展某品牌頭盔的銷量逐月攀升，已知月份銷售個，月份銷售個，且從月份到月份銷售量的月增長率相同．
求該品牌頭盔銷售量的月平均增長率；
若此頭盔的進價為元個，經(jīng)測算當售價為元個時，月銷售量為個；售價每上漲元，則月銷售量減少個，為使月銷售利潤達到元，并盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的售價應定為多少元個？23.本小題分

如圖，在中，，，，點從點開始沿射線向點以的速度移動，與此同時，點從點開始沿邊向點以的速度移動．如果、分別從、同時出發(fā)，運動的時間為，當點運動到點時，兩點停止運動．
當點在線段上運動時，、兩點之間的距離______用含的代數(shù)式表示
在運動的過程中，是否存在某一時刻，使得的面積是面積的若存在，求的值；若不存在，說明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，，
故選：．
根據(jù)最簡二次根式的意義求解．
本題考查了最簡二次根式，理解最簡二次根式的解題的關(guān)鍵．2.【答案】 【解析】解：、，故A符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、，故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)二次根式的乘法，減法法則，完全平方公式，二次根式的性質(zhì)進行計算，逐一判斷即可解答．
本題考查了二次根式的混合運算，完全平方公式，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．3.【答案】 【解析】解：由題意得：
，
解得且．
故選：．
根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，分母不為零，可得，由此求出的取值范圍即可．
本題考查二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件，分母不為零是解題的關(guān)鍵．4.【答案】 【解析】【分析】
此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確掌握比例的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．直接利用比例的性質(zhì)得出，之間關(guān)系進而得出答案．
【解答】
解：由得，故此項等式不成立；
B.由得，故此項等式不成立；
C.由得，故此項等式不成立；
D.由得，故此項等式成立，
故選D．5.【答案】 【解析】解：方程是關(guān)于的一元二次方程，
且，
解得．
故選：．
根據(jù)一元二次方程的定義得出且，再求出即可．
本題考查了一元二次方程的定義，能根據(jù)一元二次方程的定義得出且是解此題的關(guān)鍵．6.【答案】 【解析】解：，
方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：．
先計算根的判別式的值，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況即可．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．7.【答案】 【解析】解：直線，
，
，，，
，
．
故選：．
根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．8.【答案】 【解析】解：該廠四月份生產(chǎn)零件萬個，且該廠五、六月份平均每月的增長率為，
該廠五月份生產(chǎn)零件萬個，六月份生產(chǎn)零件萬個，
又該廠第二季度共生產(chǎn)零件萬個，
．
故選：．
根據(jù)該廠四月份的產(chǎn)量及五、六月份平均每月的增長率，即可得出該廠五月份生產(chǎn)零件萬個，六月份生產(chǎn)零件萬個，再結(jié)合該廠第二季度共生產(chǎn)零件萬個，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9.【答案】 【解析】解：，，，，
，
，
解得：，
，
故選：．
根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
此題考查了平行線分線段成比例定理的運用，熟練利用平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．10.【答案】 【解析】解：，
，故A錯誤，
，故B錯誤；
，即，故C正確；
，即，故D錯誤．
故選：．
根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．
本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11.【答案】 【解析】【分析】
先將二次根式化簡，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答即可．
本題考查了二次根式的性質(zhì)．
【解答】
解：因為是整數(shù)，可得：正整數(shù)的最小值是，
故答案為：．12.【答案】 【解析】解：設，則原方程化為：，
解得：，舍去，
所以的值為．
故答案為：．
設，則原方程化為，利用直接開平方法求出即可．
本題考查換元法解一元二次方程，能正確進行換元是解此題的關(guān)鍵．13.【答案】 【解析】解：根據(jù)題中的新定義得：，，
所求方程化為：，即，
解得：．
故答案為：
根據(jù)題中的新定義將方程化為普通方程，利用完全平方公式將方程左邊的多項式分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為，兩因式中至少有一個為轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．
此題考查了解一元二次方程配方法及因式分解法，利用因式分解法解方程時，首先將方程右邊化為，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為，兩因式中至少有一個為轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．14.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，注意分清對應邊是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】
解：原矩形的長為，寬為，
小矩形的長為，寬為，
小矩形與原矩形相似，


故答案為．15.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了黃金分割，熟練掌握線段之間的關(guān)系列出方程是解決本題的關(guān)鍵．
根據(jù)，建立方程求解即可．
【解答】
解：，
設，則，
，
，
即，
解得：，舍去，
線段的長為米．
故答案為16.【答案】解：

；


． 【解析】先計算乘方、分母有理化，最后加減；
先計算除法，化簡二次根式，再合并同類二次根式．
本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的運算法則是解決本題的關(guān)鍵．17.【答案】解：，
，，，
，
，
，；
整理成一般式，得：，
，，，
，
則，
，． 【解析】利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于的一元一次方程，再進一步求解即可；
整理成一般式，再利用公式法求解即可．
本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．18.【答案】解：設此方程的另一個根是，由根與系數(shù)關(guān)系得：，
，
由，
．
另一個根為，，的值為；
證明：，
，
，
原方程有兩個不相等的實數(shù)根． 【解析】設此方程的另一個根是，由根與系數(shù)關(guān)系得：，，解得即可；
要證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，即證明即可．
此題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：方程有兩個不相等的實數(shù)根；方程有兩個相等的實數(shù)根；方程沒有實數(shù)根．同時考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．19.【答案】解：．
，
；
．
，
，
． 【解析】由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出的長；
由平行線分線段成比例定理得出比例式，求出的長，即可得出的長．
本題考查了平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行線分線段成比例定理，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．20.【答案】解：設的長是米，則的長為米，
根據(jù)題意得：，
解得或，
經(jīng)檢驗，或都滿足題意，
答：的長是米或米；
能圍成面積比更大的花圃，理由如下：
設圍成長方形花圃面積是平方米，
根據(jù)題意得：，
墻的最大可用長度為，
，
，
，
當時，最大值是，
能圍成的花圃最大面積是，
能圍成面積比更大的花圃，最大面積是． 【解析】設的長是米，則的長為米，根據(jù)題意得：，即可解得答案；
設圍成長方形花圃面積是平方米，根據(jù)題意得：，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
本題考查一元二次方程及二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出一元二次方程組和函數(shù)關(guān)系式．21.【答案】解：過點作交于點，
，
，，
：：，
：：：，
，
：，
：：：． 【解析】可過點作，進而由平行線的性質(zhì)得出與的值，進而通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．
本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)問題，能夠通過作輔助線再通過線段之間的轉(zhuǎn)化，從而熟練求解．22.【答案】解：設該品牌頭盔銷售量的月平均增長率為，
根據(jù)題意得：，
解得：，不符合題意，舍去．
答：該品牌頭盔銷售量的月平均增長率為；
設該品牌頭盔的售價定為元個，則每個頭盔的銷售利潤為元，月銷售量為個，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，，
又要盡可能讓顧客得到實惠，
．
答：該品牌頭盔的售價應定為元個． 【解析】設該品牌頭盔銷售量的月平均增長率為，利用月份的銷售量月份的銷售量該品牌頭盔銷售量的月平均增長率，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；
設該品牌頭盔的售價定為元個，則每個頭盔的銷售利潤為元，月銷售量為個，利用月銷售利潤每個頭盔的銷售利潤月銷售量，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之可得出值，再結(jié)合要盡可能讓顧客得到實惠，即可確定結(jié)論．
本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．23.【答案】解：
的面積為，
當時，，，
，
，
即，
，
該一元二次方程無實數(shù)根，
該范圍下不存在；
當時，，，
，
，
即，
解得或舍去，
綜上所述，存在，當時，的面積是面積的． 【解析】【分析】
本題考查了一元二次方程解實際問題的運用，一元二次方程的解法的運用，根的判別式的運用，解答時利用三角形的面積公式建立一元二次方程是關(guān)鍵．
依據(jù)，，即可得到：當點在線段上運動時，、兩點之間的距離；
分兩種情況：當時，當時，分別依據(jù)的面積是面積的，列方程求解即可．
【解答】
解：中，，，，
中，，
又點從點開始沿射線向點以的速度移動，
，
當點在線段上運動時，、兩點之間的距離；
故答案為：；

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