2023-2024學(xué)年河南省南陽(yáng)市鎮(zhèn)平縣九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.在函數(shù)中，自變量的取值范圍是(    )A.  B. 且 C. 且 D. 且2.下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 3.下列運(yùn)算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 4.下列表示的是四位同學(xué)的運(yùn)算過(guò)程，其中正確的是(    )A.
B.
C.
D. 5.方程根的情況是(    )A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根6.一元二次方程配方后可化為(    )A.  B.  C.  D. 7.一元二次方程的兩根分別為和，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 8.若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為(    )A. 且 B. 且 C.  D. 9.等腰三角形一條邊的邊長(zhǎng)為，它的另兩條邊的邊長(zhǎng)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則的值是
(    )A.  B.  C. 或 D. 10.為執(zhí)行國(guó)家藥品降價(jià)政策，給人民群眾帶來(lái)實(shí)惠，某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每盒零售價(jià)由元降為元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是，則根據(jù)題意，下列方程正確的是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.與最簡(jiǎn)二次根式是同類(lèi)二次根式，則          ．12.一元二次方程的一般形式是______ ．13.下列是小明同學(xué)用配方法解方程：的過(guò)程：解：，第步
，第步
，第步
，第步
．最開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是第______步．14.若是一元二次方程的一個(gè)根，則取值為______ ．15.如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園圍墻最長(zhǎng)可利用，現(xiàn)在已備足可以砌長(zhǎng)的墻的材料，若設(shè)為，要使矩形花園的面積為可列方程______ ．
三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.本小題分
解方程：
；
；
；
．17.本小題分
計(jì)算：
；
．18.本小題分
先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．19.本小題分
已知代數(shù)式
用配方法說(shuō)明無(wú)論取何值，代數(shù)式的值總是負(fù)數(shù)．
當(dāng)為何值時(shí)，代數(shù)式有最大值，最大值是多少？20.本小題分
已知關(guān)于的方程．
求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
若此方程的一個(gè)根是，求另一個(gè)根及的值．21.本小題分
已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．
求的取值范圍；
如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且，求的取值范圍．22.本小題分
如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長(zhǎng)米、寬米的長(zhǎng)方形．為便于管理，要在中間開(kāi)辟一橫兩縱共三條等寬的小道，小道以外的區(qū)域用于種植有關(guān)植物，要使種植總面積為平方米，則小道的寬為多少米？
23.本小題分
年月日，第七個(gè)“中國(guó)航天日”，主題是“航天點(diǎn)亮夢(mèng)想”某網(wǎng)店為了弘揚(yáng)航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十三號(hào)”模型．已知該模型平均每天可售出個(gè)，每個(gè)盈利元．為了擴(kuò)大銷(xiāo)售、增加盈利，該網(wǎng)店準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間測(cè)算，發(fā)現(xiàn)每個(gè)模型每降低元，平均每天可多售出個(gè)．
若每個(gè)模型降價(jià)元時(shí)，平均每天可售出多少個(gè)模型？此時(shí)每天銷(xiāo)售獲利多少元？
在每個(gè)盈利不少于元的前提下，要使該模型每天銷(xiāo)售獲利為元，同每個(gè)模型應(yīng)降價(jià)多少元？
該模型每天的銷(xiāo)售獲利能達(dá)到元嗎？如果能，請(qǐng)寫(xiě)出降價(jià)方案，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由題意得：且，
解得：且，
故選：．
根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為列出不等式，解不等式得到答案．
本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為是解題的關(guān)鍵．2.【答案】 【解析】解：．，不是最簡(jiǎn)二次根式；
B.，不是最簡(jiǎn)二次根式；
C.，不是最簡(jiǎn)二次根式；
D.，是最簡(jiǎn)二次根式．
故選：．
直接根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式判斷即可．
此題考查的是最簡(jiǎn)二次根式，掌握其概念是解決此題關(guān)鍵．3.【答案】 【解析】解：．，故本選項(xiàng)不符合題意；
B.

，故本選項(xiàng)不符合題意；
C.


，故本選項(xiàng)符合題意；
D.


，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
根據(jù)二次根式混合運(yùn)算的法則計(jì)算各式，然后判斷即可．
本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．4.【答案】 【解析】解：，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；
，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；
，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；
，故選項(xiàng)D正確，符合題意；
故選：．
根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的式子，可以計(jì)算出正確的結(jié)果，然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．
本題考查二次根式的混合運(yùn)算、分母有理化，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．5.【答案】 【解析】解：，，，
，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選A．
判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式的值的符號(hào)就可以了．
本題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．6.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
故選：．
根據(jù)配方法即可求出答案．
本題考查一元二次方程的配方法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用配方法，本題屬于基礎(chǔ)題型．7.【答案】 【解析】解：一元二次方程的兩根分別為和，
．
故選：．
，是一元二次方程的兩根時(shí)，，由此即可求解．
本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了一元二次方程根的判別式及一元二次方程的定義掌握一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為是解題的關(guān)鍵根據(jù)題意得，，解之即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】
解：原方程為一元二次方程，且有實(shí)數(shù)根，

實(shí)數(shù)的取值范圍為且．
故選A．9.【答案】 【解析】【分析】
由于等腰三角形的一邊長(zhǎng)為底或腰不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)為腰時(shí)，其他兩條邊中必有一個(gè)為，把代入原方程可求出的值，進(jìn)而求出方程的另一根，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷是否符合題意即可；當(dāng)為底時(shí)，則其他兩條邊相等，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，由可求出的值，再求出方程的兩個(gè)根進(jìn)行判斷即可．
【解答】
解：分兩種情況：
當(dāng)其他兩條邊中有一個(gè)為時(shí)，將代入原方程，
得，
解得．
將代入原方程，
得，
解得或．
，，不能夠組成三角形，不符合題意舍去；
當(dāng)為底時(shí)，則其他兩條邊相等，即，
此時(shí)，
解得．
將代入原方程，
得，
解得．
，，能夠組成三角形，符合題意．
故的值為．
故選B．10.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得：，
故選：．
設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是，根據(jù)降價(jià)后的價(jià)格降價(jià)前的價(jià)格降價(jià)的百分率，則第一次降價(jià)后的價(jià)格是，第二次后的價(jià)格是，據(jù)此即可列方程求解．
此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到已知量和未知量之間的等量關(guān)系，列出方程即可．11.【答案】 【解析】【分析】
先將化成最簡(jiǎn)二次根式，然后根據(jù)同類(lèi)二次根式得到被開(kāi)方數(shù)相同可得出關(guān)于的方程，解出即可．
本題考查了同類(lèi)二次根式的定義：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類(lèi)二次根式．
【解答】
解：與最簡(jiǎn)二次根式是同類(lèi)二次根式，且，
，解得：．
故答案為．12.【答案】 【解析】解：一元二次方程的一般形式是，
故答案為：．
一元二次方程的一般形式是．
考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常數(shù)且特別要注意的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中叫二次項(xiàng)，叫一次項(xiàng)，是常數(shù)項(xiàng)．其中，，分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．13.【答案】 【解析】解：，第步，
，第步，
，第步，
，第步，
，．
所以原解答過(guò)程從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，
故答案為：．
將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把二次項(xiàng)系數(shù)化為，繼而兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開(kāi)方即可得．
本題考查解一元二次方程配方法，解題的關(guān)鍵是掌握配方法解一元二次方程．14.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得：，
解得，
當(dāng)時(shí)不符合題意，應(yīng)舍去，
則；
故答案為：．
把代入已知方程后，列出關(guān)于的新方程，通過(guò)解新方程即可求得的值．
本題考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個(gè)數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．15.【答案】 【解析】解：由題意得：，
整理得：，
故答案為：．
根據(jù)“花園的面積為”列方程求解．
本題考查了有實(shí)際抽象出一元二次方程，找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16.【答案】解：，
，，，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，；
，
，
，
或，
所以，；
，
，，，
，
，
所以，． 【解析】先計(jì)算根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解一次方程即可；
先把方程變形為，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解一次方程即可；
先計(jì)算根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．17.【答案】解：原式

；
原式

． 【解析】直接利用二次根式的混合運(yùn)算法則分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案；
直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的除法運(yùn)算法則分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案．
此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算、實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．18.【答案】解：原式

．
當(dāng)時(shí)，原式． 【解析】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡(jiǎn)求值的方法．
把分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把的值代入即可求出結(jié)果．19.【答案】解：


，
，
，
無(wú)論取何值，代數(shù)式的值總是負(fù)數(shù)；
，
當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最大值，最大值是． 【解析】此題考查了配方法的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是配方法的步驟，關(guān)鍵是對(duì)要求的式子進(jìn)行配方，注意在變形的過(guò)程中不要改變式子的值．
根據(jù)配方法的步驟把代數(shù)式進(jìn)行配方，即可得出答案；
根據(jù)的結(jié)果即可直接得出代數(shù)式的最大值．20.【答案】證明：
，
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，無(wú)論取何值，，即，
關(guān)于的方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
解：把代入方程得，
解得．
方程化為，
設(shè)方程的另一個(gè)根為，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，
解得，
即另一個(gè)根為，的值為． 【解析】先計(jì)算根的判別式的值，再證明即可；
先把代入一元二次方程可求得的值，則方程化為，設(shè)方程的另一個(gè)根為，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，然后解一次方程即可．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．21.【答案】解：根據(jù)題意得，
解得；
根據(jù)題意得，，
而，
所以，解得，
而，
所以的范圍為． 【解析】根據(jù)判別式的意義得到，然后解不等式即可；
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，再利用得到，然后解不等式和利用中的結(jié)論可確定滿(mǎn)足條件的的取值范圍．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，也考查了根的判別式．22.【答案】解：設(shè)小道的寬為米，則陰影部分可合成長(zhǎng)為米，寬為米的矩形，
由題意，得：，
整理，得：，
解得：，不合題意，
答：小道的寬為米． 【解析】設(shè)小道的寬為米，則陰影部分可合成長(zhǎng)為米，寬為米的矩形，利用矩形的面積公式，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解方程即可．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．23.【答案】解：件，
元．
答：均每天可售出件模型，此時(shí)每天銷(xiāo)售獲利元．
設(shè)每件模型應(yīng)降價(jià)元，則每件盈利元，每天可售出件，
依題意得：，
整理得：，
解得：，．
又每件盈利不少于元，
．
答：每件模型應(yīng)降價(jià)元．
該模型每天的銷(xiāo)售獲利不能達(dá)到元，理由如下：
設(shè)每件模型應(yīng)降價(jià)元，則每件盈利元，每天可售出件，
依題意得：，
整理得：．
，
該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
即該模型每天的銷(xiāo)售獲利不能達(dá)到元． 【解析】利用日銷(xiāo)售量每件模型降低的價(jià)格，可求出日銷(xiāo)售量，再利用每天銷(xiāo)售該種模型獲得的利潤(rùn)每件盈利日銷(xiāo)售量，即可求出每天銷(xiāo)售該種模型獲得的利潤(rùn)；
設(shè)每件模型應(yīng)降價(jià)元，則每件盈利元，每天可售出件，利用每天銷(xiāo)售該種模型獲得的利潤(rùn)每件盈利日銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論；
該模型每天的銷(xiāo)售獲利不能達(dá)到元，設(shè)每件模型應(yīng)降價(jià)元，則每件盈利元，每天可售出件，利用每天銷(xiāo)售該種模型獲得的利潤(rùn)每件盈利日銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，由根的判別式，可得出該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即該模型每天的銷(xiāo)售獲利不能達(dá)到元．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、有理數(shù)的混用運(yùn)算以及根的判別式，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

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