?專題9 利用函數(shù)思想求圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
一、考情分析
與圓錐曲線有關(guān)的范圍、最值問(wèn)題,在高考中常以解答題形式考查,且難度較大,它能綜合應(yīng)用函數(shù)、三角、不等式等有關(guān)知識(shí),因而備受命題者青睞.解題時(shí)要緊緊抓住圓錐曲線的定義與性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用,其中把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值與值域是最常用的方法之一．
二、解題秘籍
(一) 利用函數(shù)思想最值與范圍問(wèn)題求解方法與策略
1.解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題應(yīng)考慮的五個(gè)方面
(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍；
(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；
(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍；
(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍；
(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍．
2.利用函數(shù)思想求圓錐曲線中的最值或范圍,首先要把待求量用某個(gè)（些）量來(lái)表示,然后把待求量看作關(guān)于這個(gè)量的函數(shù),再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求最值與范圍,其中利用二次函數(shù)配方求最值是最常用的方法,有時(shí)也可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求最值.
【例1】（2023屆四川省成都市高三上學(xué)期10月月考）已知點(diǎn)是拋物線與橢圓的公共焦點(diǎn),橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為3.
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作的兩條切線,記切點(diǎn)分別為,求面積的最大值.
【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為,即,
橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為,所以,,
所以橢圓方程為.
（2）拋物線的方程為,即,
對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得,
設(shè)點(diǎn),,,
直線的方程為,
即,即,
同理可知,直線的方程為,
由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn),則,
所以點(diǎn),的坐標(biāo)滿足方程,
所以直線的方程為,
聯(lián)立,可得,
由韋達(dá)定理可得,,
所以,
點(diǎn)到直線的距離為,
所以,
因?yàn)?
由已知可得,
所以當(dāng)時(shí),面積的最大值為.
【例2】（2023屆新高考高中畢業(yè)班“啟航”適應(yīng)性練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線M：．P,Q,R為M上相異的三點(diǎn),且,與負(fù)半軸交于點(diǎn)A,RQ,PQ分別與正半軸交于點(diǎn)B,C,記點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)若B為M的焦點(diǎn),當(dāng)最大時(shí),求的值．
【解析】（1）證明：因?yàn)?所以直線OP和OQ斜率之積為－1,
設(shè)PQ：,且,,
聯(lián)立,得,且恒成立,
所以,,
記直線OP、OQ的斜率分別為,,
所以,即,所以,
設(shè)：,且,
聯(lián)立,得,且恒成立,
得,
同理設(shè)：,得,
所以,
即；
（2）因?yàn)锽為M的焦點(diǎn),所以,且,,
,
又,不妨設(shè),,
則,
記,,則,
,
令,則,且在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
且在上單調(diào)遞增,所以當(dāng),
即時(shí),最大,最大．
(二) 利用距離公式把距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值
與距離或線段長(zhǎng)度有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題通常是把相關(guān)距離或線段長(zhǎng)度利用距離公式表示成一個(gè)變量的函數(shù),若被開(kāi)放式為二次函數(shù)類型,可通過(guò)配方求最值與范圍.
【例3】（2023屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為,求的最大值.
【解析】（1）橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),其離心率為．
,,,,
故橢圓的方程為：；
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí),M與O重合,不合題意,
當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè),,,
則有,,直線的斜率為,
,兩點(diǎn)在橢圓上,有,,
兩式相減,,即,
得,化簡(jiǎn)得,
,∴當(dāng)時(shí),
的最大值為
(三)把面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題
該類問(wèn)題求解的基本思路通常是把面積用另一個(gè)量（如點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo),直線的斜率等）,把求面積最值與范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值或值域,若函數(shù)式可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)類型,可利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值.
【例4】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),其右焦點(diǎn)為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)若點(diǎn)在橢圓上,右頂點(diǎn)為,且滿足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.
【解析】（1）依題可得,,解得,
所以橢圓的方程為.
所以離心率.
（2）易知直線與的斜率同號(hào),所以直線不垂直于軸,
故可設(shè),
由可得,,
所以,
,而,即,
化簡(jiǎn)可得,
,

化簡(jiǎn)得,
所以或,
所以直線或,
因?yàn)橹本€不經(jīng)過(guò)點(diǎn),
所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
設(shè)定點(diǎn)


,
因?yàn)?所以,
設(shè),
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),即面積的最大值為.
(四) 與斜率有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題
與斜率有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題的思路一是設(shè)出動(dòng)點(diǎn).是利用斜率定義表示出斜率,然后利用函數(shù)知識(shí)求解,二是設(shè)出直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程,利用根與系數(shù)之間的關(guān)系或題中條件整理關(guān)于斜率的等式,再利用函數(shù)思想求解.
【例5】已知橢圓,過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線,且兩切線垂直.
(1)求；
(2)已知點(diǎn),若存在過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于,且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)（不與重合）,求直線斜率的取值范圍.
【解析】（1）由題可知,切線斜率存在,則設(shè)切線,
聯(lián)立得,即,
相切得：,即,所以
由兩切線垂直得：

（2）由（1）得,橢圓方程為
由題可知,直線的斜率存在,設(shè),聯(lián)立得
設(shè),由韋達(dá)定理得：
由題意為直徑的圓過(guò)點(diǎn),①
又

代入①式得：
或（舍去）,所以過(guò)定點(diǎn),
,隨的增大而增大,
,
即直線斜率范圍
(五)通過(guò)換元把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題
該類問(wèn)題通常是所得結(jié)果比較復(fù)雜,通過(guò)換元把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.
【例6】已知橢圓C：的離心率為,,分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),過(guò)且與x軸垂直的直線與橢圓C交于點(diǎn)A,B,且的面積為．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l與橢圓C交于不同于右頂點(diǎn)P的M,N兩點(diǎn),且,求的最大值．
【解析】（1）因?yàn)闄E圓C的離心率為,所以①．
將代入,得,
所以,
則,即②．
由①②及,得,,
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由題意知,直線l的斜率不為0,則不妨設(shè)直線l的方程為．
聯(lián)立得消去x得,
,化簡(jiǎn)整理,得．
設(shè),,則,．
因?yàn)?所以．
因?yàn)?所以,,
得,
將,代入上式,得,
得,
解得或（舍去）,
所以直線l的方程為,則直線l恒過(guò)點(diǎn),
所以．
設(shè),則,,
易知在上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí),取得最大值,為．
又,
所以．
(六) 把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題后再借助導(dǎo)數(shù)求最值或范圍
該類問(wèn)題通常是所得函數(shù)為分式函數(shù)或高次函數(shù),又不具備使用均值不等式的條件,只能借助導(dǎo)數(shù)求最值或范圍.
【例7】（2023屆云南省昆明市第一中學(xué)高三上學(xué)期第二次檢測(cè)）已知橢圓四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形為菱形,它的邊長(zhǎng)為,面積為,過(guò)橢圓左焦點(diǎn)與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)（M,N兩點(diǎn)不在x軸上）,直線l的方程為：,過(guò)點(diǎn)M作垂直于直線l交于點(diǎn)E．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求面積的最大值．
【解析】（1）由題意可得：,解得
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）由（1）可得：,即
由題意可設(shè)直線,則
聯(lián)立方程,消去x可得：
∴,則
∴直線的斜率,則直線的方程為
令,則可得
即直線過(guò)定點(diǎn)
∴面積為
令,則
令,則當(dāng)時(shí)恒成立
∴在單調(diào)遞減,則,即
∴面積的最大值為
(七) 利用橢圓的參數(shù)方程把把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值與范圍
此類問(wèn)題通常是把橢圓上的動(dòng)點(diǎn)設(shè)為,再利用輔助角公式及弦函數(shù)的有界性或單調(diào)性求最值與范圍.
【例8】已知橢圓過(guò)點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)在橢圓C的第四象限的圖象上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,連接動(dòng)點(diǎn)M與橢圓C的左頂點(diǎn)A與y的負(fù)半軸交于點(diǎn)E,連接動(dòng)點(diǎn)M與橢圓的上頂點(diǎn)B,與x的正半軸交于點(diǎn)F,記四邊形的面積為,的面積為,,求的取值范圍．
【解析】（1）依題意,得,
故C的方程為．
（2）依題意,,設(shè),則,
所以直線,令,
則．
直線,令．
則,
又易知,所以四邊形的面積

．
由題意可知的直線方程為,
再設(shè)橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù),
則動(dòng)點(diǎn)M到直線的距離,,
化簡(jiǎn)得．
∵,
∴,
的面積,∴．
∵,∴,
即．
三、跟蹤檢測(cè)
1.（2023屆重慶市第八中學(xué)校高三上學(xué)期月考）已知雙曲線E：（,）一個(gè)頂點(diǎn)為,直線l過(guò)點(diǎn)交雙曲線右支于M,N兩點(diǎn),記,,的面積分別為S,,.當(dāng)l與x軸垂直時(shí),的值為.
(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若l交y軸于點(diǎn)P,,,求證：為定值；
(3)在（2）的條件下,若,當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】（1）由題意得,,
則當(dāng)l與x軸垂直時(shí),不妨設(shè),
由,得,
將代入方程,得,解得,
所以雙曲線E的方程為．
（2）設(shè),,,
由與,得,
即,,將代入E的方程得：,
整理得：①,
同理由可得②．
由①②知,,是方程的兩個(gè)不等實(shí)根．
由韋達(dá)定理知,所以為定值．
（3）又,即,
整理得：,
又,不妨設(shè),則,
整理得,又,故,
而由（2）知,,故,
代入,
令,得,
由雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增,得,
所以m的取值范圍為．
.
2．（2023屆陜西省咸陽(yáng)市武功縣高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、,是橢圓上一動(dòng)點(diǎn),的最大面積為,.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn),、為橢圓上兩點(diǎn),且,求的最大值.
【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為,,,
的最大面積為,,
,
,
橢圓的方程為；
（2）由題知,設(shè)直線的方程為,,,
聯(lián)立,消去并整理得：,
∴,得,
,,
∴,
設(shè),,
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：
在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,
∴當(dāng)時(shí),,
故.
3．已知橢圓的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),求的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求面積最大時(shí)直線的方程．
【解析】（1）由題意得：,且,
解得：,
所以,
所以橢圓方程為；
（2）聯(lián)立與橢圓方程可得：
,
由,解得：；
設(shè),
則,,
由弦長(zhǎng)公式可得：,
點(diǎn)到直線的距離為,
則的面積為,
其中,
令,,
則,
由于,所以,,
令得：,
令得：,
即在上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減,
所以在處取得極大值,也是最大值,
,
所以當(dāng)時(shí),面積取得最大值,此時(shí)直線的方程為．
4．如圖所示,、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),離心率為.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,與橢圓交于,兩點(diǎn),求面積的最大值.
【解析】（1）由已知可得：,解得：,,
∴橢圓的方程為：.
（2）∵,
設(shè)的直線方程為：,,,
聯(lián)立方程：,
整理得：,
∴,,
∵,,
,
即,
,
,
,
整理得,解得或（舍去）,
∴,
,
∴,
令,
則,
由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知,,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)等號(hào)成立,
此時(shí)最大值為.
5．已知橢圓的離心率為,橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與左?右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為,直線交橢圓于兩點(diǎn),記直線的斜率為,直線的斜率為,已知.
①求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；
②設(shè)和的面積分別為,求的最大值.
【解析】（1）由題意,解得,所以橢圓C的方程為．
（2）①依題意,設(shè),
若直線的斜率為0則P,Q關(guān)于y軸對(duì)稱,必有,不合題意．
所以直線斜率必不為0,設(shè)其方程為,
與橢圓C聯(lián)立,整理得：,
所以,且
因?yàn)槭菣E圓上一點(diǎn),即,
所以,則,即
因?yàn)?br /> ,
所以,此時(shí),
故直線恒過(guò)x軸上一定點(diǎn)．
②由①得：,
所以
,
而,當(dāng)時(shí)的最大值為．
6．（2023屆北京市第四中學(xué)高三上學(xué)期測(cè)試）已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn),離心率為,點(diǎn)為其右頂點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),直線、與直線分別交于點(diǎn)、.
(1)求橢圓的方程；
(2)求的取值范圍.
【解析】（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）,
由題意,得,解得,,
即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）得,
設(shè),,,
聯(lián)立,得,
即,則,,
直線,的方程分別為,,
令,則,,
則,
,
所以



因?yàn)?所以,,
即的取值范圍為.
7．（2022屆上海市行知中學(xué)高三上學(xué)期考試）已知曲線上一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn),的距離之和為,過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于點(diǎn),．
(1)求曲線的方程；
(2)動(dòng)弦滿足：,求點(diǎn)的軌跡方程；
(3)求的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn),的距離之和為,
所以曲線是以,為焦點(diǎn)的橢圓,,,
所以,,所以曲線的方程為；
（2）因?yàn)?所以為中點(diǎn),設(shè),
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇也粸?時(shí),將,代入橢圓方程中得：兩式相減得,故故得,
所以,所以,整理得；
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖诨驗(yàn)?時(shí),或,出滿足；
所以點(diǎn)的軌跡方程是；
（3）,
其中,,分別為點(diǎn)到直線：的距離,
因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡方程為,設(shè),,
則可設(shè),
所以
,其中,
所以．
8．（2023屆河南省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期9月聯(lián)考）已知橢圓的離心率為,左?右焦點(diǎn)分別為是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),.
(1)求橢圓C的方程；
(2)橢圓左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,直線且交橢圓于P,Q,求的面積最大時(shí),l的方程.
【解析】（1）由題意得,
化簡(jiǎn)得,則.
根據(jù)對(duì)稱性得,故,即,
所以,
故橢圓C的方程為.
（2）由（1）得,設(shè),l的方程為,代入橢圓方程,
整理得,則,
,解得且.
故,
點(diǎn)到直線l的距離為,
則.
令,則.
當(dāng)t變化時(shí),的變化情況如下表：
t





+
-
+
-






比較與知,當(dāng)時(shí),面積取最大,
此時(shí),l的方程為.
9．已知一條動(dòng)直線,直線l過(guò)動(dòng)直線的定點(diǎn)P,且直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)是否存在直線l滿足下列條件：①△AOB的周長(zhǎng)為12；②△AOB的面積為6．若存在,求出直線l的方程；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．
(2)當(dāng)取得最小值時(shí),求直線l的方程．
【解析】（1）,即,
由,解得,故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)．
設(shè)直線l的方程為,
將代入得．①
由A（a,0）,B（0,b）,△AOB的周長(zhǎng)為12,面積為6,得,
令a＋b＝t,則,所以,即,化簡(jiǎn)得24t＝168,解得t＝7,
所以有,解得或．
其中不滿足①,滿足①．
所以存在直線l的方程為,即3x＋4y－12＝0滿足條件．
（2）由（1）可知直線l過(guò)定點(diǎn),直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),所以直線l的傾斜角,
所以,,
所以,②
令,
因?yàn)?所以,所以,
所以．
則,
因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù),所以在上為增函數(shù),
故當(dāng),即時(shí),取得最小值．
此時(shí)直線l的方程為,即3x＋3y－10＝0．
10．如圖,已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)C在拋物線上,使得的重心G在x軸上,直線交x軸于點(diǎn)Q,且Q在點(diǎn)F的右側(cè),記,的面積分別為,．

(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；
(2)設(shè)A點(diǎn)縱坐標(biāo)為,求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
(3)求的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),
所以,即,準(zhǔn)線方程.
（2）設(shè),
設(shè)直線AB的方程為,與拋物線方程聯(lián)立可得：
,故：,
,
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為,由重心坐標(biāo)公式可得：
,,
令可得：,則.即,
由斜率公式可得：,
直線AC的方程為：,
令可得：,
故,
且,
由于,代入上式可得：,
由可得,則,
則,
令 ,得.
即關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為.
（3）設(shè),則,
當(dāng)且僅當(dāng),即,,時(shí)等號(hào)成立,
即的最小值為,
此時(shí),,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為.
11.（2022屆河南省中原頂級(jí)名校高三上學(xué)期1月聯(lián)考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn).當(dāng)直線的斜率為1時(shí),點(diǎn)是線段的中點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖,若過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且,求四邊形的面積的最大值.
【解析】（1）設(shè),.
由題意可得
∴,即,
∴.
∵,∴,,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）根據(jù)對(duì)稱性知,,
∴四邊形是平行四邊形,又,
∴問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求的最大值.
設(shè)直線的方程為,代入,得.
則,,
∴.
令,則,且,
∴.
記,易知在上單調(diào)遞增.
∴.
∴.
∴四邊形的面積的最大值是6.
12.（2022屆浙江省紹興市高三上學(xué)期12月月考）已知拋物線的焦點(diǎn)是,如圖,過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別是和,線段的中點(diǎn)為．

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：直線軸；
（3）以線段為直徑作圓,交直線于,求 的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)拋物線的方程為,
由題意可得,所以,所以拋物線方程.
（2）由（1）,因?yàn)?設(shè),
直線的方程為,直線的方程為,
聯(lián)立上述兩直線方程,得點(diǎn)坐標(biāo),
又因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn),所以點(diǎn)坐標(biāo),
因?yàn)?所以直線軸：
（3）因?yàn)辄c(diǎn),所以,則,圓心,
直線的斜率為,直線方程為,
,得,,,
圓心到直線的距離為,半徑,
,令,
在時(shí)單調(diào)遞減,．
13．（2022屆廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期綜合測(cè)試）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓相交于兩點(diǎn),求的最大值.
【解析】（1）由已知得解得,
因此橢圓C的方程為；
（2）由整理得,
設(shè),則,
因?yàn)?br /> ,
所以MA⊥MB,三角形MAB為直角三角形,
設(shè)d為點(diǎn)M到直線的距離,故,
又因?yàn)?

,
所以,
設(shè),則,由于,
所以,當(dāng),即k=0時(shí),等號(hào)成立.
因此,的最大值為32.
14．（2022屆貴州省遵義市高三上學(xué)期聯(lián)考）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為和,且,,,四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn),直線和與直線分別交于G和H兩點(diǎn),設(shè)直線和的斜率分別為和,若線段GH的長(zhǎng)度小于,求的最大值.
【解析】（1）由于,兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò),兩點(diǎn).
又由,知C不經(jīng)過(guò),所以點(diǎn)在C上.
所以解得
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè),如圖,過(guò)點(diǎn)P作直線軸,
分別交x軸和直線于M,N兩點(diǎn).
易知,則,即,
由,得,所以,

由,得,從而
所以當(dāng)時(shí),,即的最大值為.


相關(guān)試卷

專題30 圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題：

這是一份專題30 圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題，共140頁(yè)。

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線培優(yōu)專題8 利用均值不等式求圓錐曲線中的最值（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)圓錐曲線培優(yōu)專題8 利用均值不等式求圓錐曲線中的最值（含解析），共25頁(yè)。試卷主要包含了考情分析，解題秘籍，跟蹤檢測(cè)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)分層練習(xí)專題23 圓錐曲線的綜合問(wèn)題（定值 最值 范圍 ）（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)分層練習(xí)專題23 圓錐曲線的綜合問(wèn)題（定值 最值 范圍 ）（含解析），共40頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)講義23 圓錐曲線的綜合問(wèn)題（定值 最值 范圍 ）（含解析）

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)講義23 圓錐曲線的綜合問(wèn)題（定值 最值 范圍 ）（含解析）
高中數(shù)學(xué)高考10 第9講 第1課時(shí)　圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題　新題培優(yōu)練

高中數(shù)學(xué)高考10 第9講 第1課時(shí)　圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題　新題培優(yōu)練
專題23 圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題 微點(diǎn)3 圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題綜合訓(xùn)練試題及答案

專題23 圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題 微點(diǎn)3 圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題綜合訓(xùn)練試題及答案
高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A選修2-1第二章 圓錐曲線與方程綜合與測(cè)試課時(shí)作業(yè)

高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A選修2-1第二章 圓錐曲線與方程綜合與測(cè)試課時(shí)作業(yè)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部