【期中單元知識點歸納】蘇教版2019 2023-2024學年高二數學選修1 第二章圓與方程（知識歸納題型突破）（試卷）-試卷下載-教習網

第二章圓與方程（知識歸納+題型突破） 1．回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程．2．能根據給定的直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系．3．能根據給定的圓的方程，判斷圓與圓的位置關系．4．能用圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題． 1．圓的概念及標準方程圓的定義平面內到定點的距離等于定長的點的集合是圓．定點就是圓心，定長就是半徑基本要素確定一個圓的基本要素是圓心和半徑圓的標準方程圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的標準方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)(1)圓的標準方程的右端r2>0，當方程右端小于或等于0時，對應方程不是圓的標準方程．(2)圓的標準方程可用來解決：①已知圓心和半徑求圓的方程的問題；②已知圓心及圓上一點求圓的方程的問題(圓心與圓上一點間的距離即半徑)．2．點與圓的位置關系點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系及判斷方法位置關系利用距離判斷利用方程判斷點M在圓上CM＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點M在圓外CM>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2點M在圓內CM<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r23．圓的一般方程的定義方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)叫作圓的一般方程．4．圓的一般方程在形式上的特點(1)x2和y2的系數相等且不為0；(2)不含xy項．5．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形條件方程表示的圖形D2＋E2－4F＜0不表示任何圖形D2＋E2－4F＝0表示一個點D2＋E2－4F＞0表示以為圓心，為半徑的圓6．由圓的一般方程判斷點與圓的位置關系已知點M(x0，y0)和圓的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，則其關系如表所示：位置關系代數關系點M在圓外x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0點M在圓上x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0點M在圓內x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＜07．直線與圓的三種位置關系及判定位置關系相離相切相交圖形幾何法d與r的大小d＞rd＝rd＜r代數法依據方程組解的情況Δ＜0方程組無解Δ＝0方程組只有一解Δ＞0方程組有兩個不同解8．圓的切線方程常用結論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2．(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2．9．圓與圓位置關系的判定方法(1)幾何法若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關系的判斷方法如下：位置關系外離內含外切內切相交圖示d與r1，r2的關系d＞r1＋r2d＜|r1－r2|d＝r1＋r2d＝|r1－r2||r1－r2|＜d＜r1＋r2(2)代數法通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數進行判斷．消元，一元二次方程題型一　求圓的標準方程【例1】　求圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點A(2，－3)，B(－2，－5)的圓的標準方程．思維升華圓的標準方程的兩種求法(1)幾何法：利用圖形的平面幾何性質，如“弦的中垂線必過圓心”，“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”，以及中點坐標公式、兩點間距離公式等，直接求出圓心坐標和半徑，進而得到圓的標準方程．(2)待定系數法：由三個獨立條件得到三個方程，解方程組可得到圓的標準方程中三個參數，從而確定圓的標準方程．它是求圓的方程最常用的方法，一般步驟是：①設——設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2；②列——由已知條件，建立關于a，b，r的方程組；③解——解方程組，求出a，b，r；④代——將a，b，r代入所設方程，得所求圓的方程．　　　鞏固訓練1．若一圓的圓心坐標為(2，－3)，一條直徑的端點分別在x軸和y軸上，則此圓的標準方程是(　 )A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 2．(多選)以直線2x＋y－4＝0與兩坐標軸的一個交點為圓心，過另一個交點的圓的方程可能為(　 )A．x2＋(y－4)2＝20 B．(x－4)2＋y2＝20C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20 題型二　判斷點與圓的位置關系【例2】已知點A(1,2)和圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，試分別求滿足下列條件的實數a的取值范圍： (1)點A在圓的內部；(2)點A在圓上；(3)點A在圓的外部．思維升華　點與圓的位置關系的判斷方法(1)幾何法：利用圓心到該點的距離d與圓的半徑r比較．(2)代數法：直接利用下面的不等式判定：①(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，點在圓外；②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，點在圓上；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2，點在圓內．　鞏固訓練1．已知點P(a,10)，圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝12，則點P(　 )A．在圓內 B．在圓上C．在圓外 D．與a的取值有關 2．已知點M(1,1)，圓C的標準方程：(x－a)2＋(y＋a)2＝4，若點M在圓C上，則a的值為________；若點M在圓C的內部，則a的取值范圍為________．題型三　與圓有關的最值問題【例3】已知x，y滿足x2＋(y＋4)2＝4，求的最大值與最小值．思維升華　與圓有關的最值問題的求解策略(1)本例將最值轉化為線段長度問題，從而使問題得以順利解決．充分體現了數形結合思想在解題中的強大作用．(2)涉及與圓有關的最值，可借助圖形性質，利用數形結合求解．一般地：①k＝的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉化為兩點間的距離的平方的最值問題等．　鞏固訓練1．已知x，y滿足x2＋(y＋4)2＝4，求的取值范圍． 2．已知x，y滿足x2＋(y＋4)2＝4，求圓上一點到直線x＋y＝4的最大值與最小值．題型四　求圓的一般方程【例4】已知圓過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，求圓的一般方程．思維升華　求圓的方程的兩種方法幾何法根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程待定系數法①根據題意，選擇標準方程或一般方程；②根據條件列出關于a，b，r或D，E，F的方程組；③解出a，b，r或D，E，F，代入標準方程或一般方程　　鞏固訓練1．已知圓過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點，且在x軸上截得的線段長為4，求圓的一般方程． 2．已知△ABC頂點的坐標為A(4,3)，B(5,2)，C(1,0)，求其外接圓的一般方程．題型五　直線與圓的位置關系的判斷【例5】已知圓x2＋y2＝1與直線y＝kx－3k，當k分別為何值時，直線與圓的位置關系滿足下列條件：①相交；②相切；③相離．思維升華　直線與圓的位置關系的判斷方法若給出圖形，可根據公共點的個數判斷；若給出直線與圓的方程，可選擇用幾何法或代數法，幾何法計算量小，代數法可一同求出交點．解題時可根據條件作出恰當的選擇．　　鞏固訓練1．(多選)若直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b的值是　　 (　 ) A．－2 B．－12 C．2 D．12 2．直線l：x＋y＋3＝0與圓C：x2＋y2－2x－4＝0的位置關系是________．題型六　直線與圓相切的問題【例6】已知直線l過點P(4,5)，且與圓(x－2)2＋y2＝4相切，求直線l的方程．思維升華　求過某一點的圓的切線方程(1)點(x0，y0)在圓上．①先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關系得切線的斜率為－，由點斜式可得切線方程．②如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y0或x＝x0．(2)點(x0，y0)在圓外．①設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．②當用此法只求出一個方程時，另一個方程應為x＝x0，因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況．③過圓外一點的切線有兩條．一般不用聯立方程組的方法求解．　　　鞏固訓練1．經過點M(2，)，且與圓x2＋y2＝10相切的直線的方程為____________． 2．過點A(4，－3)作圓 C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線．求此切線的方程．題型七　直線與圓的相交問題【例7】求直線l：3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長．思維升華　直線與圓相交時的弦長求法幾何法利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，弦長l之間的關系r2＝d2＋2解題，如圖①代數法若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間距離公式計算弦長，如圖②弦長公式法設直線l：y＝kx＋b與圓的兩交點為(x1，y1)，(x2，y2)，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數的關系得弦長l＝ ·|x1－x2|＝　　鞏固訓練1．過圓x2＋y2＝8內的點P(－1,2)作直線l交圓于A，B兩點．若直線l的傾斜角為135°，則弦AB的長為______． 2．如果一條直線經過點M且被圓x2＋y2＝25所截得的弦長為8，求這條直線的方程．題型八　圓與圓位置關系的判定【例8】(1)圓O1：x2＋y2－2x＝0與圓O2: x2＋y2－4y＝0的位置關系是(　 )A．外離 B．相交 C．外切 D．內切(2)圓A：x2＋y2＝1與圓B：x2－4x＋y2＋3＝0的公共點個數為 (　 ) A．0 B．3 C．2 D．1(3)圓C1: x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置關系為(　 )A．外切 B．相交 C．內切 D．內含思維升華　判斷圓與圓的位置關系的兩種方法(1)代數法：將兩圓的方程組成二元二次方程組，消元化成一元二次方程，通過方程根的判別式，應用此法時要注意當Δ＝0或Δ＜0時，兩圓相切或相離，均又包含兩種情況，因此，應用此法比較繁瑣．　　?2?幾何法：應用此法判斷圓與圓的位置關系的步驟：①將兩圓的方程化為標準方程；②求兩圓的圓心坐標和半徑r1，r2；③求兩圓的圓心距d；④比較d與|r1－r2|，r1＋r2的大小關系，從而判斷兩圓的位置關系．鞏固訓練1．已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0．問：m為何值時，(1)圓C1和圓C2外切？(2)圓C1與圓C2內含？題型九　兩圓相交問題【例9】已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0．(1)判斷兩圓的位置關系；(2)求公共弦所在的直線方程；(3)求公共弦的長度．思維升華　(1)求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法：將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程，但必須注意只有當兩圓方程中二次項系數相同時，才能如此求解，否則應先調整系數．(2)求兩圓公共弦長的方法：一是聯立兩圓方程求出交點坐標，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構成的直角三角形求解．(3)已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點的圓的方程可設為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．　鞏固訓練1．已知圓x2＋y2－2x＋F＝0和圓 x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直線方程是x－y＋1＝0，則(　 )A．E＝－4，F＝8 B．E＝4，F＝－8C．E＝－4，F＝－8 D．E＝4，F＝8 2．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的長為2，則a＝______．題型十　兩圓相切問題【例10】求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線 x＋y＝0相切于點M(3，－)的圓的方程．思維升華　解決兩圓相切問題的兩個步驟定性即必須準確把握是內切還是外切，若只是告訴相切，則必須考慮分兩圓內切還是外切兩種情況討論轉化思想即將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內切時)或兩圓半徑之和(外切時)　鞏固訓練1．(多選)若圓C1：(x－1)2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，則m等于(　 ) A．16 B．7C．－4 D．－4或7 2．若兩圓x2＋y2＝a與x2＋y2＋6x－8y－11＝0內切，則a的值為______．

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