?第二章 常用邏輯用語（知識歸納+題型突破）

1．能結(jié)合實(shí)例，判斷所給語句是不是命題．能找出命題的條件與結(jié)論，并判斷命題的真假．
2．理解充分條件與必要條件的意義．
3．理解充要條件的意義．
4．理解性質(zhì)定理、判定定理與充要條件的關(guān)系．
5．理解全稱量詞與存在量詞的意義．
6．會判斷命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會判斷它的真假．
7．能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進(jìn)行否定．
8．能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進(jìn)行否定．

1．命題
(1)將可判斷真假的陳述句叫作命題．?dāng)?shù)學(xué)中，許多命題可表示為“如果p，那么q”或“若p，則q”的形式，其中p叫作命題的條件，q叫作命題的結(jié)論．
(2)命題的理解：要判斷一個語句是不是命題，先看給出的語句是不是陳述句，再看能否判斷其真假，也就是判斷其是否成立．一般地，疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題．
2．定理、定義
(1)有些已經(jīng)被證明為真的命題可以作為推理的依據(jù)而直接使用，一般稱之為定理．
(2)定義是對某些對象標(biāo)明符號、指明稱謂，或者揭示所研究問題中對象的內(nèi)涵．
3．充分條件、必要條件
如果p?q，那么稱p是q的充分條件，也稱q是p的必要條件．
如果qp，那么p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．
4．充要條件
(1)如果p?q，且q?p，那么稱p是q的充分且必要條件，簡稱為p是q的充要條件，也稱q的充要條件是p．
(2)如果p?q，q?s，則p?s．
如果p?q，q?s，則p?s．
5．全稱量詞和全稱量詞命題
(1)“所有”“任意”“每一個”等表示全體的詞在邏輯學(xué)中稱為全稱量詞，通常用符號“?x”表示“對任意x”．
(2)含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題，它的一般形式可表示為：?x∈M，p(x)．
6．存在量詞和存在量詞命題
(1)“存在”“有的”“有一個”等表示部分或個體的詞在邏輯學(xué)中稱為存在量詞，通常用符號“?x”表示“存在x”．
(2)含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題，它的一般形式可表示為：?x∈M，p(x)．
7．命題的否定
p(x)是對語句p(x)的否定，對一個命題進(jìn)行否定，就得到了一個新的命題，這兩個命題的關(guān)系是“一真一假”或“此假彼真”．
8．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
(1)全稱量詞命題的否定
一般地，全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”的否定是存在量詞命題“?x∈M，p(x)”．
(2)存在量詞命題的否定
一般地，存在量詞命題“?x∈M，p(x)”的否定是全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”．

題型一　命題與真假命題的判斷
【例1】判斷下列語句是否是命題，若是，判斷其真假，并說明理由．
(1)奇數(shù)的平方仍是奇數(shù)； (2)兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形；
(3)所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)； (4)5x>4x；
(5)若x∈R，則x2＋4x＋7>0；(6)未來是多么美好啊！
(7)你是高二的學(xué)生嗎？ (8)若x＋y是有理數(shù)，則x，y都是有理數(shù)．
【解析】(1)是命題，而且是真命題．
(2)是命題，且是假命題．如圖所示，四邊形ABCD中，當(dāng)AB＝AD，BC＝CD且AB≠BC時(shí)，對角線AC也垂直于BD，但四邊形ABCD不是菱形．
(3)是命題，且是假命題．因?yàn)?是質(zhì)數(shù)，但不是奇數(shù)．
(4)不是命題．因?yàn)閤是未知數(shù)，不能判斷真假．
(5)是命題，而且是真命題．因?yàn)閷τ趚∈R，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，不等式恒成立．
(6)是感嘆句，不涉及真假，不是命題．
(7)是疑問句，不涉及真假，不是命題．
(8)是命題，且是假命題．如x＝，y＝－，x＋y＝0是有理數(shù)，而x，y都是無理數(shù)．
思維升華
并不是所有的語句都是命題，只有能判斷真假的陳述句才是命題．命題首先是“陳述句”，其他語句如疑問句、祈使句、感嘆句等一般都不是命題；其次是“能判斷真假”，不能判斷真假的陳述句不是命題，如“x≥2”、“小高的個子很高”等都不能判斷真假，故都不是命題．因此，判斷一個語句是否為命題，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：①是否為陳述句；②能否判斷真假．

鞏固訓(xùn)練：
1．下列語句是否是命題？若是，判斷其真假，并說明理由．
(1)x≥16． (2)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根．
(3)空集是任何非空集合的真子集． (4)指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？
【解析】(1)不是命題．因?yàn)闆]有給定變量x的值，無法確定其真假．
(2)是真命題．代入驗(yàn)證即可．
(3)是真命題．由空集的定義和性質(zhì)不難得出．
(4)不是命題．因?yàn)槭且蓡柧錈o法判斷真假．
2．下列命題：
①若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)；②平面內(nèi)，四條邊相等的四邊形是正方形；
③平行四邊形是梯形； ④若ac2>bc2，則a>b．
其中是真命題的序號是________．
【答案】①④
【解析】①④是真命題；②平面內(nèi)，四條邊相等的四邊形是菱形，但不一定是正方形；③平行四邊形不是梯形．

題型二　命題的條件與結(jié)論
【例2】將下列命題改寫成“若p，則q”的形式．
(1)在△ABC中，大角對大邊． (2)矩形的對角線互相垂直．
(3)相等的兩個角的正弦值相等． (4)等底等高的兩個三角形是全等三角形．
【解析】(1)在△ABC中，若∠A>∠B，則BC>AC．
(2)若一個四邊形是矩形，則這個四邊形的對角線互相垂直．
(3)若∠A＝∠B，則sin A＝sin B．
(4)若兩個三角形等底等高，則這兩個三角形全等．
思維升華　
命題“若p，則q”形式是由條件p和結(jié)論q組成的，在寫命題時(shí)為了使句子更通順，可以適當(dāng)?shù)靥砑右恍┰~語，但不能改變條件和結(jié)論．
鞏固訓(xùn)練
1．指出下列命題中的條件p和結(jié)論q．
(1)若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)．
(2)如果x∈A，則x∈A∩B．
(3)當(dāng)x＝2時(shí)，x2＋x－6＝0．
【解析】(1)p：x＋y＝0，q：x，y互為相反數(shù)．
(2)p：x∈A，q：x∈A∩B．
(3)p：x＝2，q：x2＋x－6＝0．
2．(多選題)下列說法不正確的是(　　)
A．命題“直角相等”的條件和結(jié)論分別是“直角”和“相等”
B．語句“當(dāng)a>4時(shí)，方程x2－4x＋a＝0有實(shí)根”不是命題
C．命題“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”是真命題
D．“x＝2時(shí)，x2－3x＋2＝0”是真命題
【答案】AB
【解析】命題“直角相等”寫成“若p，則q”的形式為：若兩個角都是直角，則這兩個角相等，所以選項(xiàng)A錯誤；語句“當(dāng)a>4時(shí)，方程x2－4x＋a＝0有實(shí)根”是陳述句，而且可以判斷真假，故該語句是命題，所以選項(xiàng)B錯誤；選項(xiàng)C，D正確．

題型三　命題真假的判斷
【例3】判斷下列命題的真假：
(1)若k>0，則方程x2＋2x－k＝0有實(shí)數(shù)根． (2)若A?B，則A∩B＝A．
(3)如果兩個三角形相似，則兩個三角形全等． (4)若x＋y>5，則x>2且y>3．
【解析】(1)當(dāng)k>0時(shí)，Δ＝4＋4k>0恒成立，則方程x2＋2x－k＝0一定有實(shí)數(shù)根，故是真命題．
(2)當(dāng)A?B時(shí)，任意x∈A，則x∈B，∴A∩B＝A成立，故是真命題．
(3)若兩個三角形相似，則三個內(nèi)角對應(yīng)相等，邊長對應(yīng)成比例，不一定相等，故兩個三角形不一定全等，是假命題．
(4)若x＋y>5，可以x＝1，y＝6，不滿足x>2且y>3，是假命題．
思維升華　
命題真假的判定方法
(1)真命題的判定方法：
真命題的判定過程實(shí)際上就是利用命題的條件，結(jié)合正確的邏輯推理方法進(jìn)行正確邏輯推理的一個過程．判斷命題為真的關(guān)鍵是弄清命題的條件，選擇正確的邏輯推理方法．
(2)假命題的判定方法：
通過構(gòu)造一個反例否定命題的正確性，這是判斷一個命題為假命題的常用方法．
鞏固訓(xùn)練
1．判斷下列命題的真假：
(1)若mny，則x2>y2．
(3)若x>2，則x>1．
【解析】(1)當(dāng)mn0恒成立，∴方程mx2－x＋n＝0有實(shí)根，是真命題．
(2)當(dāng)x＝1，y＝－2時(shí)滿足x>y，但x2x2成立；
(3)若m>1，則方程x2－2x＋m＝0無實(shí)數(shù)根；
(4)存在一個三角形沒有外接圓．
【解析】(1)假命題．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2．
(2)假命題．反例：當(dāng)x＝0時(shí)，x3>x2不成立．
(3)真命題．∵m>1?Δ＝4－4m∠C，q：AC>AB．
(2)對于實(shí)數(shù)x，y，p：x＋y≠15，q：x≠5或y≠10．
(3)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0．
【解析】(1)在△ABC中，由大角對大邊知，∠B>∠C?AC>AB，所以p是q的充分條件．
(2)對于實(shí)數(shù)x，y，因?yàn)閤＝5且y＝10?x＋y＝15，所以由x＋y≠15?x≠5或y≠10，
故p是q的充分條件．
(3)由x＝1?(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分條件．
故(1)(2)(3)題中p是q的充分條件．
思維升華　
要判斷p是不是q的充分條件，就是看p能否推出q，即判斷“若p，則q”這一命題是否為真命題．
鞏固訓(xùn)練
1．下列各題中，p是q的充分條件的是________(填序號)．
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
(2)p：兩個三角形面積相等，q：兩個三角形全等；
(3)p：mb，q：>
【答案】A
【解析】根據(jù)充分條件的概念逐一判斷．

題型五　必要條件的判斷
【例5】判斷下列各組p，q中，p是否為q的必要條件？
(1)p：ac＝bc，q：a＝b．
(2)p：x＝y(tǒng)，q：x2＝y(tǒng)2．
(3)p：a＋5是無理數(shù)，q：a是無理數(shù)．
【解析】(1)因?yàn)閍＝b?ac＝bc，所以p是q的必要條件．
(2)由x2＝y(tǒng)2 x＝y(tǒng)，所以p不是q的必要條件．
(3)由a是無理數(shù)?a＋5是無理數(shù)，所以p是q的必要條件．
思維升華　利用描述法表示集合應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)
(1)寫清楚該集合代表元素的符號．例如，集合{x|xbc．
【解析】(1)∵兩個三角形全等?兩個三角形相似，即q?p．∴p是q的必要條件．
(2)四邊形的對角線相等，這個四邊形不一定是矩形，即qp．∴p不是q的必要條件．
(3)∵A∩B＝A?A?B，即q?p，∴p是q的必要條件．
(4)∵c的正負(fù)不確定，∴不能由ac＞bc推出a>b，即qp，∴p不是q的必要條件．
2．“x>2”是“x>3”的________條件(填“充分”或“必要”)．
【答案】必要

題型六　充分條件、必要條件的應(yīng)用
【例6】已知p：實(shí)數(shù)x滿足3a

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