1.知道簡諧運動是機械振動的一種形式,知道簡諧運動的概念。(物理觀念)2.理解彈簧振子的位移—時間圖像的物理意義。(物理觀念)3.知道振幅、周期和頻率的概念,了解初相位和相位差的概念,理解相位的物理意義。(物理觀念)4.掌握簡諧運動的表達式中各量的物理意義,能依據(jù)簡諧運動的表達式解決相關問題。(科學思維)
基礎落實·必備知識全過關
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一、機械振動物體(或物體的某一部分)在某一位置　　　　所做的往復運動,叫作機械振動,通常簡稱為振動,這個位置稱為平衡位置。 不振動時受力平衡的位置二、簡諧運動1.彈簧振子 理想化模型將彈簧上端固定,下端連接一個小球,小球可在豎直方向上運動。彈簧的質(zhì)量忽略不計,若不計空氣阻力,這樣的系統(tǒng)稱為　　　　　　　　,其中小球稱為振子。??
2.振動圖像建立坐標系,橫軸代表　　　　　　,縱軸代表小球　　　　　　　　　的位移x,它就是小球在平衡位置附近往復運動時的位移—時間圖像,稱為彈簧振子的振動圖像。起點為平衡位置 圖像上某點切線斜率代表質(zhì)點速度3.簡諧運動如果質(zhì)點的位移與時間的關系嚴格遵從　　　　　　　　的規(guī)律,即它的振動圖像是一條　　　　　　,這樣的運動叫作簡諧運動。做簡諧運動的振子稱為　　　　　　。?
三、描述簡諧運動的物理量1.振幅(1)定義:振子離開平衡位置的　　　　　　　　,用A表示,單位為米(m)等。(2)物理意義:振幅是表示振動強弱的物理量。
3.相位表示振動步調(diào)的物理量。相位是描述做周期性運動的物體在各個時刻所處狀態(tài)的物理量。
四、簡諧運動的表達式 位移和時間的函數(shù)關系簡諧運動的表達式為x=Asin (ωt+φ0)=Asin =Asin (2πft+φ0)。A表示振動的　　　,T和f分別表示物體振動的周期和頻率。2πft+φ0是簡諧運動的相位,φ0表示t=0時的相位,叫作初相位,簡稱　　　　。相位差即相位之差。
情境鏈接預習了教材后,有的同學知道彈簧振子的振動圖像是一條正弦曲線,于是認為振子的運動軌跡也應是正弦曲線。結合彈簧振子想一下,這種說法對嗎?為什么?
提示 不對,因為振動圖像不是運動軌跡。例如,水平方向的彈簧振子振動時,振子的運動軌跡是一段線段。
教材拓展閱讀教材P42“發(fā)展空間”的內(nèi)容,回答描繪簡諧運動的圖像都有哪些方法?
提示 方法1——頻閃照相描跡法;方法2——用沙擺演示法;方法3——用傳感器和計算機描繪簡諧運動的圖像。
易錯辨析(1)簡諧運動就是彈簧振子的運動。(　　)(2)簡諧運動的圖像描述的是振動質(zhì)點的軌跡。(　　)(3)簡諧運動的表達式x=Asin (ωt+φ0)中的x一定是相對初始位置的位移。(　　)(4)簡諧運動的表達式x=Asin (ωt+φ0)中的(ωt+φ0),每增加π,即完成了一次全振動。(　　)
探究點一　對彈簧振子與簡諧運動位移的理解
導學探究如圖所示,把一個有孔的小球裝在彈簧的一端,彈簧的另一端固定在天花板上,小球和彈簧組成的系統(tǒng)稱作彈簧振子。將振子從B點由靜止釋放,仔細觀察它們的運動特點。彈簧振子的位移起點是哪個點?如何表示其位移?
提示 位移的起點在平衡位置O;振動物體的位移x用從平衡位置指向物體所在位置的有向線段表示。
知識歸納1.簡諧運動的位移(1)振動位移與運動物體在某一時間內(nèi)的位移的區(qū)別:振動位移可用從平衡位置指向振子所在位置的有向線段表示,方向為從平衡位置指向振子所在位置,大小為平衡位置到該位置的距離;而運動物體在某一時間內(nèi)的位移是相對于這段時間內(nèi)初始位置的位移,其方向由初始位置指向末位置,其大小等于初、末位置間的距離。(2)位移的表示方法:以平衡位置為坐標原點,以振動所在的直線為坐標軸,規(guī)定正方向,則某時刻振子偏離平衡位置的位移可用該時刻振子所在位置的坐標來表示。
2.簡諧運動的運動特點(1)與一般的機械運動相比,機械振動的突出特點在于機械振動是一種往復運動,且具有一定的周期性。(2)與一般的機械振動相比,簡諧運動的突出特點在于簡諧運動的振動位移隨時間按正弦規(guī)律變化,即簡諧運動的振動圖像(x-t圖像)是一條正弦曲線。
特別提示　(1)彈簧振子有多種表現(xiàn)形式,對于不同的彈簧振子,在平衡位置處,彈簧不一定處于原長(如豎直放置的彈簧振子),但運動方向上的合外力一定為零,速度也一定最大。(2)彈簧振子位于關于平衡位置對稱的兩點時,振子的位移大小相等,方向相反;振子的速度大小相等,方向可能相同,也可能相反。(3)振子的位移是指相對平衡位置的位移,即由平衡位置指向振子所在的位置。振子向平衡位置運動,速度逐漸增大;振子遠離平衡位置運動,速度逐漸減小。
應用體驗【例1】 如圖所示,彈簧上端固定在O點,下端連接一小球,組成一個振動系統(tǒng)。用手向下拉一小段距離后釋放小球,小球便上下振動起來。關于小球的平衡位置和小球的位移,下列說法正確的是(　　)A.小球的平衡位置在小球運動的最低點B.小球的平衡位置在彈簧處于原長時的位置C.釋放小球時,小球位移為零D.小球的平衡位置在小球原來靜止時的位置
解析 平衡位置是振動系統(tǒng)不振動時,小球(振子)處于平衡狀態(tài)時所處的位置,可知此時小球所受的重力大小與彈簧的彈力大小相等,即小球原來靜止的位置,A、B錯誤,D正確;當小球處于平衡位置時,位移為零,釋放小球時,小球位移最大,C錯誤。
方法技巧　不管從哪個地方開始振動,振子位移為零的位置都是平衡位置。
對點演練1(多選)輕質(zhì)彈簧的下端懸掛一個鋼球,上端固定,它們組成了一個振動系統(tǒng),稱為豎直彈簧振子,如圖甲所示。用手把鋼球向上托起一段距離,然后釋放,鋼球便上下振動。圖乙所示的照片是通過頻閃照相得到的,頻閃儀每隔0.05 s閃光一次,閃光的瞬間振子被照亮,從而得到閃光時小球的位置,相鄰兩個位置之間的時間相隔為0.05 s。拍攝時底片從左往右勻速運動,因此在底片上留下了小球的一系列的像,下列說法正確的是(　　)A.鋼球原來靜止時的位置就是振子的平衡位置B.釋放鋼球的初始位置就是振子的平衡位置C.忽略空氣阻力,以地面為參考系可以將鋼球的運動看作簡諧運動D.在釋放鋼球的初始位置,振子的位移為零
解析 鋼球的平衡位置是彈力和重力相平衡的位置,也就是鋼球靜止時所處的位置,選項A正確,B錯誤;忽略空氣阻力,以地面為參考系,可以將鋼球在豎直方向上的運動看作是簡諧運動,選項C正確;振子的位移是指相對平衡位置的位移,在釋放鋼球的初始位置,振子的位移最大,選項D錯誤。
探究點二　對簡諧運動圖像的理解
導學探究如圖是應用頻閃照相法拍攝得到的小球的一系列的像。如何證明彈簧振子運動的x-t圖像是正弦曲線?
提示 假定是正弦曲線,可用刻度尺測量它的振幅和周期,寫出對應的表達式,然后在曲線中選小球的若干個位置,用刻度尺在圖中測量它們的橫坐標和縱坐標,代入所寫出的正弦函數(shù)表達式中進行檢驗,看一看這條曲線是否真的是一條正弦曲線。
知識歸納1.對簡諧運動圖像(x-t圖像)的認識(1)圖像形狀:正(余)弦曲線。(2)物理意義:表示振動質(zhì)點在不同時刻偏離平衡位置的位移,是位移隨時間的變化規(guī)律。
2.獲取信息(1)任意時刻質(zhì)點的位移的大小和方向。如圖甲所示,質(zhì)點在t1、t2時刻的位移分別為x1和-x2。(2)任意時刻質(zhì)點的振動方向?？聪乱粫r刻質(zhì)點的位置,如圖乙中質(zhì)點在a位置時,下一時刻離平衡位置更遠,故此刻質(zhì)點向x軸正方向振動。
(3)簡諧運動中速度和位移的變化?？聪乱粫r刻質(zhì)點的位置,判斷是遠離還是靠近平衡位置。若遠離平衡位置,則速度越來越小,位移越來越大;若靠近平衡位置,則速度越來越大,位移越來越小。如圖乙中質(zhì)點在b位置時,從正向位移處向著平衡位置運動,則速度為負且增大,位移正在減小;質(zhì)點在c位置時,從負向位移處遠離平衡位置運動,則速度為負且減小,位移正在增大。
應用體驗【例2】 (多選)質(zhì)點做簡諧運動的圖像如圖所示,則下列說法正確的是(　 　)A.4 s時速度為0B.10 s時振子的位移為-5 cmC.前10 s內(nèi)振子通過的路程為50 cmD.5 s時振子的速度方向為x軸正方向
解析 4 s時振子距離平衡位置最遠,速度為0,選項A正確;10 s時振子的位移為-5 cm,選項B正確;簡諧運動的周期為4 s,前10 s內(nèi)振子通過的路程為s=2.5×4A=50 cm,選項C正確;5 s時振子從平衡位置向x軸負方向振動,即振子的速度方向為x軸負方向,選項D錯誤。
對點演練2(多選)用頻閃照相的方法獲得的彈簧振子的位移—時間圖像如圖所示,下列有關該圖像的說法正確的是( 　　)A.該圖像的坐標原點建在彈簧振子的平衡位置B.從圖像可以看出小球在振動過程中是沿t軸方向移動的C.為了顯示小球在不同時刻偏離平衡位置的位移,讓底片沿垂直x軸方向勻速運動D.圖像中小球的疏密顯示出相同時間內(nèi)小球位置變化快慢不同
解析 從圖像中能看出坐標原點在平衡位置,A正確;橫軸是由底片勻速運動得到的位移,已經(jīng)轉(zhuǎn)化為時間軸,小球只沿x軸振動,B錯誤,C正確;因圖像中相鄰小球之間時間相同,故小球的疏密顯示出相同時間內(nèi)小球的位置變化快慢不同,D正確。
探究點三　描述簡諧運動的物理量
導學探究如圖所示為彈簧振子,O為它的平衡位置,將振子拉到A點由靜止釋放,觀察振子的振動;然后將振子拉到B點由靜止釋放,再觀察振子的振動。(1)兩次振動有什么差別?用什么物理量來描述這種差別?(2)用秒表分別記錄完成50次往復運動所用的時間,兩種情況下所用的時間是否相等?每完成一次往復運動所用時間是否相等?這個時間有什么物理意義?
提示 (1)第二次振動的幅度比第一次振動的幅度大。用振幅來描述振動幅度的大小。(2)兩種情況下所用的時間是相等的。每完成一次往復運動所用的時間是相等的。這個時間表示振動的快慢。
知識歸納1.對全振動的理解(1)全振動的定義:振動物體以相同的速度相繼通過同一位置所經(jīng)歷的過程,叫作一次全振動。(2)全振動的四個特征:①物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同時與初始狀態(tài)相同。②時間特征:歷時一個周期。③路程特征:振幅的4倍。④相位特征:增加2π。
2.簡諧運動中振幅和幾個物理量的關系(1)振幅與位移:振動中的位移是矢量,振幅是標量。在數(shù)值上,振幅與振動物體的最大位移相等,但在同一簡諧運動中振幅是確定的,而位移隨時間做周期性的變化。(2)振幅與路程:振動中的路程是標量,是隨時間不斷增大的。(3)振幅與周期:在簡諧運動中,一個確定的振動系統(tǒng)的周期(或頻率)是固定的,與振幅無關。特別提示　(1)先確定最大位移處(v=0)和平衡位置,才能確定振幅大小。(2)求某段時間Δt內(nèi)的路程時,須先確定這段時間是周期的多少倍,若Δt=kT(k為整數(shù)),則s=4kA。
應用體驗【例3】 圖甲為一彈簧振子的振動圖像。彈簧振子以E為平衡位置,在F、G兩點之間做簡諧運動,如圖乙所示。規(guī)定向右的方向為正方向,試根據(jù)圖像分析以下問題:
(1)該彈簧振子振動的周期是　　　　　;如圖乙所示,振子振動的起始位置是　　　　,從起始位置開始,振子向　　　　(選填“右”或“左”)運動。?(2)在圖乙中,找出圖甲中的A、B、C、D各對應振動過程中的位置,即A對應　　　　,B對應　　　　,C對應　　　　,D對應　　　　。(填寫圖乙中的字母)?(3)在t=2 s時,振子的速度的方向與t=0時速度的方向　　　　(選填“相同”或“相反”)。?(4)振子在前4 s內(nèi)的位移等于　　　　,前4 s內(nèi)的路程等于　　　　。?
答案 (1)4 s　E　右　(2)G　E　F　E　(3)相反 (4)0　12 cm解析 (1)由題圖甲可知該彈簧振子振動的周期是4 s。在t=0時,振子在平衡位置,故起始位置為E;從t=0時刻開始,振子向正的最大位移處運動,即向右運動。(2)由x-t圖像知,B點、D點對應平衡位置,即E點;A點對應正的最大位移,即G點;C點對應負的最大位移,即F點。(3)t=2 s時,x-t圖線切線斜率為負,即速度方向為負方向;t=0時,振子向右運動,即速度方向為正方向,故兩時刻速度方向相反。(4)4 s末振子回到平衡位置,故振子在前4 s內(nèi)的位移為0,在前4 s內(nèi)的路程為4×3 cm=12 cm。
對點演練3(多選)某彈簧振子在水平方向上做簡諧運動,其位移x隨時間變化的圖像如圖所示,則(　　 )A.彈簧在第1 s末與第5 s末的長度相同B.簡諧運動的頻率為 HzC.第4 s末,彈簧振子的位移大小為0D.第3 s末至第5 s末,彈簧振子的速度方向不變
解析 彈簧振子在水平方向上做簡諧運動,其位移x的正、負分別表示彈簧被拉伸或壓縮,所以彈簧在第1 s末與第5 s末時雖然位移大小相同,但方向不同,彈簧長度不同,故A錯誤;由圖像可知,簡諧運動的周期為8 s,則頻率為 Hz,故B正確;第4 s末,彈簧振子的位移大小為0,故C正確;第3 s末至第5 s末,彈簧振子向同一方向運動,速度方向不變,故D正確。
探究點四　簡諧運動表達式的理解及應用
提示 它們的振幅分別為3a和9a,比值為1∶3;頻率分別為2b和4b。
知識歸納1.簡諧運動的表達式:x=Asin (ωt+φ0)式中x表示振動質(zhì)點相對平衡位置的位移,t表示振動的時間,A表示振動質(zhì)點偏離平衡位置的最大距離,即振幅。2.簡諧運動的兩種描述方法(1)簡諧運動圖像即x-t圖像是直觀表示質(zhì)點振動情況的一種手段,表示質(zhì)點的位移x隨時間t變化的規(guī)律。(2)x=Asin (ωt+φ0)是用函數(shù)表達式的形式反映質(zhì)點的振動情況。(3)兩者對同一個簡諧運動的描述是一致的。我們要能夠做到兩個方面:一是根據(jù)振動方程作出振動圖像;二是根據(jù)振動圖像讀出振幅、周期、初相,進而寫出位移的函數(shù)表達式。
方法技巧　用簡諧運動的表達式解答振動問題的方法(1)明確表達式中各物理量的意義,可直接讀出振幅、圓頻率和初相。
(3)解題時畫出其振動圖像,會使解答過程簡捷、明了。
1.(描述振動的物理量)(多選)如圖所示,一彈簧振子沿x軸做簡諧運動,振子零時刻向右經(jīng)過A點,2 s后第一次到達B點。已知振子經(jīng)過A、B兩點時的速度大小相等,2 s內(nèi)經(jīng)過的路程為0.4 m,則該彈簧振子(　　)A.周期為2 sB.周期為4 sC.振幅為0.2 mD.振幅為0.4 m
解析 根據(jù)簡諧運動的對稱性可知,振子經(jīng)過A、B兩點時的速度大小相等,則A、B兩點關于平衡位置對稱,故振子第一次到達B點時,振動經(jīng)過了半個周期,則該彈簧振子的周期為T=2t=4 s;從A到B經(jīng)過了半個周期的路程,則一個完整的周期路程為0.8 m,等于4個振幅,有4A=0.8 m,解得振幅為A=0.2 m。
2.(振動方程的理解)(2023廣西欽州高二期末)某質(zhì)點做簡諧運動,其位移隨時間變化的關系式為x=Asin t,則質(zhì)點(　　)A.第1 s末與第5 s末的位移相同B.第1 s末與第3 s末的位移相同C.第3 s內(nèi)質(zhì)點的加速度一直增大D.1~3 s內(nèi)質(zhì)點的路程等于A

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1 簡諧運動及其圖像

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