?專題11 數(shù)列求和方法之分組并項求和法
一、單選題
1．已知數(shù)列滿足，，，且是等比數(shù)列，則（ ）
A．376 B．382 C．749 D．766
【答案】C
【分析】
利用累加法求出通項，然后利用等比數(shù)列的求和公式，求解即可
【詳解】
由已知得，，，而是等比數(shù)列，故，
，
，化簡得，

故選：C
【點睛】
關(guān)鍵點睛：解題關(guān)鍵在于利用累加法求出通項，難度屬于中檔題
2．若在邊長為的正三角形的邊上有（，）等分點，沿向量的方向依次為，記，若給出四個數(shù)值：①；②；③；④；則的值可能的共有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】A
【分析】
由題意，存在實數(shù)，使得，則，計算數(shù)量積，得到，推出，結(jié)合題中條件，由賦值法，分別判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】
由題意，存在實數(shù)，使得，則，
所以
，
所以



，
令，解得；
令，解得；
令，解得；
令，解得；
所以的值不可能取所給的四個數(shù)值.
故選：A.
【點睛】
思路點睛：
向量數(shù)量積的問題，在求解時，可根據(jù)向量向量積的運算法則，由轉(zhuǎn)化法求出數(shù)量積；也可利用建系的方法，建立平面直角坐標系，得出所需向量的坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示求解.
3．若數(shù)列的通項公式是，則（ ）
A．45 B．65 C．69 D．
【答案】B
【分析】
由題意可得，從而可得，進而可得答案
【詳解】
因為，
所以，
則 ，
故選：B．
【點睛】
此題考查由數(shù)列的通項公式求一些項的和，利用了并項求和法，屬于基礎(chǔ)題
二、解答題
4．設(shè)為等差數(shù)列，是正項等比數(shù)列，且，.在①，②，這兩個條件中任選一個，回答下列問題：
（1）寫出你選擇的條件并求數(shù)列和的通項公式；
（2）在（1）的條件下，若，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）條件選擇見解析，，；（2）.
【分析】
（1）設(shè)的公差為，的公比為，根據(jù)所選的條件結(jié)合已知條件得出和的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列和的通項公式；
（2）求得，利用分組求和法可求得.
【詳解】
（1）選擇①：設(shè)的公差為，的公比為.
則根據(jù)題意有，解得，
所以，；
選擇②：設(shè)的公差為，的公比為.
則根據(jù)題意有，解得，
所以，；
（2）由（1）可知，
所以
.
【點睛】
方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；
（2）對于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；
（3）對于型數(shù)列，利用分組求和法；
（4）對于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項相消法.
5．已知數(shù)列{an}中，已知a1＝1，a2＝a，an＋1＝k(an＋an＋2)對任意n∈N*都成立，數(shù)列{an}的前n項和為Sn.
（1）若{an}是等差數(shù)列，求k的值；
（2）若a＝1，k＝－，求Sn.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)等差中項可得，從而求出.
（2）根據(jù)題意可得，討論n是偶數(shù)或n是奇數(shù)，利用分組求和即可求解.
【詳解】
（1）若是等差數(shù)列，則對任意，，
即，
所以，
故
（2）當時，，即.
所以，
故，
所以，當n是偶數(shù)時，

，
當n是奇數(shù)時，，


綜上，.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題考查了分組求和，解題的關(guān)鍵是求出，考查了計算求解能力.
6．在數(shù)列中，，，.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求的前項和.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1），，變形為，，進而證明結(jié)論；
（2）由（1）可得：，再利用分組求和即可得出.
【詳解】
（1）證明：，，
.
又因為，
數(shù)列是首項為1，公比為5的等比數(shù)列，
（2）由（1）可得：，
，
的前項和

【點睛】
方法點睛：數(shù)列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一個數(shù)列的前項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可以用倒序相加法
（2）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項和即可以用錯位相減法來求；
（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些像可相互抵消，從而求得其和；
（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列:或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；
（5）并項求和法：一個數(shù)列的前項和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.
7．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且滿足是和的等差中項，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）直接利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的公比，進一步求出數(shù)列的通項公式.
（2）利用（1）的結(jié)論，進一步利用分組法求出數(shù)列的和.
【詳解】
（1）正項等比數(shù)列的前項和為，且滿足是和的等差中項，
設(shè)公比為，則，整理得：，
由于，即，即，因為，所以解得，
所以.
（2）由于，
所以



.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：第二問分組后利用等差、等比數(shù)列的前項和公式求和是解題關(guān)鍵.
8．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.
已知是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，其前n項和為，________，且，，成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用，，成等比數(shù)列，可得，
若選①：由得：，即可解出和的值，即可求出的通項公式；
若選②：由可得，即可解出和的值，即可求出的通項公式；
若選③：由，可表示出，，結(jié)合，，成等比數(shù)列，即可解出和的值，即可求出的通項公式；
（2）由（1）可得，分為奇數(shù)和偶數(shù)，利用并項求和即可求解.
【詳解】
是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列.
所以，即，
整理可得，
若選①：，則，即，
由可得代入可得：
，解得或（舍）
所以，
所以，
若選②：，即，代入得：
，即
解得：或不符合題意；
若選③：，則，，
代入可得
解得：或不符合題意；
綜上所述：，
，
（2），


當為偶數(shù)時，，
當為奇數(shù)時，，
所以.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題得關(guān)鍵點是分別由條件①②③結(jié)合，，成等比數(shù)列計算出和的值，由是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以，，第二問中正負交錯的數(shù)列求和，需要用奇偶并項求和，注意分為奇數(shù)和偶數(shù)討論.
9．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和，且．
（1）求數(shù)列的通項公式;
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由等差數(shù)列前n項和公式，結(jié)合已知即可求公差，進而寫出通項公式即可.
（2）由（1）結(jié)論，有，首先分組，再結(jié)合等差等比前n項和公式求．
【詳解】
（1）∵數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和，，
∴，解得，
∴．
（2）∵，
∴．
10．已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且滿足，，，成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由和，，成等比數(shù)列，求得，即可求得數(shù)列的通項公式.
（2）由（1）和，可得，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，即可求解.
【詳解】
（1）由題意，數(shù)列中，因為，可得，
又由，，成等比數(shù)列，可得，即，可得，
聯(lián)立方程組，解得，，
所以數(shù)列的通項公式.
（2）由（1）和，可得，
則
，
即.
11．已知是等比數(shù)列，，．數(shù)列滿足，，且是等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；；（2）.
【分析】
（1）首項求出，然后求出，然后可得；
（2）分別算出數(shù)列、的前項和即可.
【詳解】
（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得， 解得 ．
所以 ．
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得
．
所以 ．
從而 ．
（2）由（1）知．
數(shù)列的前項和為；
數(shù)列的前項和為．
所以，數(shù)列的前項和為 ．
12．設(shè)數(shù)列的前項和為，且.
（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）證明見解析；；（2）.
【分析】
（1）當時，由，可得，兩式相減，可化為，結(jié)合等比數(shù)列的定義,即可得到結(jié)論；
（2）由題知數(shù)列是等差數(shù)列，則，再利用分組求和法求數(shù)列的前項和.
【詳解】
（1）證明：當時，，
當時， ①
②
由①－②得：， ，即，
故數(shù)列是以2為公比，首項為的等比數(shù)列，
，得.
（2）由題得：，
故是以2為公差，2為首項的等差數(shù)列，.

.
【點睛】
方法點睛：本題考查數(shù)列求通項公式與求和問題，求數(shù)列和常用的方法：
（1）等差等比數(shù)列：分組求和法；（2）倒序相加法；
（3）（數(shù)列為等差數(shù)列）：裂項相消法；
（4）等差等比數(shù)列：錯位相減法.
13．已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根據(jù)等比中項的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項求出公差，即可得出數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）得出數(shù)列的通項公式，再由分組求和法，結(jié)合等差、等比的求和公式求解即可.
【詳解】
解：（1）由題設(shè)知公差，由，，，成等比數(shù)列得
解得或（舍去）
故的通項公式為．
（2）由（1）知，，由分組求和法得
．
14．已知數(shù)列滿足奇數(shù)項成等比數(shù)列，而偶數(shù)項成等差數(shù)列，且，，，，數(shù)列的前n項和為．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）當時，若，試求的最大值．
【答案】（Ⅰ），或，； （Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，代入已知條件求出，得通項公式；
（Ⅱ）用分組求和法求出，得，然后用作差法確定數(shù)列的單調(diào)性，得最大值．
【詳解】
（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，則，，
因為，，所以，解得，．
若，則，，
若，則，，
所以，．
（Ⅱ）因為，所以，．
．
由，，，
所以當時，，，
當時，，，
所以的最大項為．
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查分組求和法，數(shù)列的增減性．
求通項公式的方法是等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量法，即求出公比和公差后直接寫出通項公式，只是注意兩解，要寫成統(tǒng)一形式．
數(shù)列求和用的分組求和法，數(shù)列求和還有其他一些特殊方法：錯位相減法，裂項相消法，倒序求和法等．他們都是對應(yīng)的著特殊數(shù)列的求和．
數(shù)列的單調(diào)性一般用作差法確定，即確定的正負，得數(shù)列的增減性，從而得最大項或最小項．對于以冪的形式給出的通項公式不等增數(shù)列還可能用作商法確定增減性．
15．在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并解答問題.
已知等比數(shù)列的公比是，，且有 ().(注：如果選擇多個條件分別解答，那么按照第一個解答計分)
（1）求證：；
（2）求數(shù)列的前項和為.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
不管選哪一個條件，方法都一樣：
（1）由基本量法求出，得通項公式；
（2）用分組求和法求．
【詳解】
若選擇①，
（1）設(shè)數(shù)列公比為，
則，，
∴，又，解得，
∴；
（2）由（1）得
．
若選擇②，
（1）設(shè)數(shù)列公比為，
則，，
∴，∵，故解得，
∴；
（2）由（1）得
．
若選擇③，
（1）設(shè)數(shù)列公比為，
，，∴，又，故解得，
∴．
（2）由（1）得
．
【點睛】
方法點睛：本題考查求等比數(shù)列的通項公式，考查分組求和法．數(shù)列求和的常用方法：
設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，
（1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；（
（2）錯位相減法：數(shù)列的前項和應(yīng)用錯位相減法；
（3）裂項相消法；數(shù)列（為常數(shù)，）的前項和用裂項相消法；
（4）分組（并項）求和法：數(shù)列用分組求和法，如果數(shù)列中的項出現(xiàn)正負相間等特征時可能用用并項求和法；
（5）倒序相加法：滿足（為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和．
16．設(shè)是數(shù)列的前n項和，已知，
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用當時，，可推出數(shù)列為等比數(shù)列，即可求出通項公式；
（2）化簡，分為奇數(shù)，偶數(shù)，求和即可.
【詳解】
（1）因為，所以當時，
兩式相減得，所以，當時，，，則所以數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列， 故
（2）由（1）可得
所以
故當為奇數(shù)時，
當為偶數(shù)時，
綜上
17．已知等差數(shù)列中，，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若是等比數(shù)列的前3項，求的值及數(shù)列的前項和
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）利用，且列出關(guān)于首項與公差的關(guān)系式，求出公差與首項，即可求數(shù)列的通項公式．
（2）利用（1）的結(jié)論，可得，利用分組法求，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列的和．
【詳解】
（1）數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為.
由知，且，故.
再由，得，故.
所以：
（2）若，是等比數(shù)列的前3項
則，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得到：，
代入上式解得：
而等數(shù)列中，c，
所以：等比數(shù)列的公比為.
于是：
則
故
【點睛】
利用“分組求和法”求數(shù)列前項和常見類型有兩種：一是通項為兩個公比不相等的等比數(shù)列的和或差，可以分別用等比數(shù)列求和后再相加減；二是通項為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的和或差，可以分別用等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和后再相加減.
18．已知數(shù)列的前n項和為.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前n項和.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根據(jù)，由題中條件，即可求出通項；
（2）先由（1）得到，再由分組求和的方法，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）因為，
當時，，
當時，；也滿足上式；
∴；
（2）由（1）可得：，
∴
.
19．已知數(shù)列中，為數(shù)列的前n項和，若對任意的正整數(shù)n都有.
（1）求a的值；
（2）試確定數(shù)列是不是等差數(shù)列；若是，求出其通項公式，若不是，說明理由；
（3）記，求數(shù)列的前n項和.
（4）記是否存在正整數(shù)M，使得不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，說明理由.
【答案】（1）；（2）數(shù)列是等差數(shù)列，通項公式為；（3）；（4）.
【分析】
（1）令，即得結(jié)果；
（2）將代入，作差整理得，再結(jié)合作差整理，即得，即證數(shù)列是等差數(shù)列，再計算通項公式即可；
（3）先利用（2）求，再化簡得到通項公式，最后累加相消即得；
（4）先化簡，利用單調(diào)性判斷其取值范圍，再解決恒成立問題得到M范圍，即可得到最小值.
【詳解】
解：（1）對任意的正整數(shù)n都有，令則，即故；
（2），故，則，作差得，化簡整理得，則，作差得，化簡整理得，故數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差為，故通項公式為；
（3）由（2）知數(shù)列的前n項和，故，
故
；
（4），易見是遞減數(shù)列，故即.
依題意不等式恒成立，即有，故正整數(shù)M的最小值為3.
【點睛】
證明等差數(shù)列的方法：
1.定義法；2.等差通項法；3.觀察法，利用公式特征觀察判斷，只用于小題中.
數(shù)列求和的常用方法：
1.公式法；2.裂項相消法；3.倒序相加法4.錯位相減法；5.并項求和法.
20．已知數(shù)列的首項，，.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）記，若，求最大正整數(shù).
【答案】（1）證明見解析；（2）99.
【分析】
（1）對遞推關(guān)系兩邊取倒數(shù)，再進行構(gòu)造，即可得答案；
（2）求出，再利用分組求和法，即等比數(shù)列和等差數(shù)列的前項和，再解不等式，即可得答案；
【詳解】
（1）證明：∵，∴，
又∵，∴()，
∴數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)由（1），可得，∴，
∴，
若，則，
∴最大正整數(shù)的值為.
【點睛】
形如的遞推關(guān)系求通項公式，?？梢杂脴?gòu)造法進行求解；數(shù)列不等式的解，要充分利用為整數(shù)進行代入求解.
21．已知數(shù)列滿足數(shù)列的前n項和為，且.
（1）求數(shù)列，的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）由已知條件得，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；
且，當時，．當時，，
利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）由（1）得，利用分組求和即可．
【詳解】
（1）因為，，所以為首項是1，公差為2的等差數(shù)列，
所以．
又當時，，所以，
當時， ①
②
由①－②得，即，
所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故．
（2）由（1）得，
所以．
【點睛】
方法點睛：求數(shù)列通項公式的方法：
1.定義法：利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義；
2.利用 與 的關(guān)系： ；
3.累加法： ；
4.累乘法：；
5.構(gòu)造法：；；
6.取倒數(shù)或者取對數(shù)．
22．已知數(shù)列的前項和為，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由,可得數(shù)列是等比數(shù)列，求出通項公式即可；
（2）由（1）得到，按為偶數(shù)和為奇數(shù)分類，利用等差數(shù)列的求和公式和并向求和法得出數(shù)列的前項和．
【詳解】
（1）當時，，所以；
當時，因為，所以，
兩式作差得，即，
因為，所以數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，
故.
（2），
當為偶數(shù)時，前項和；
當為奇數(shù)時，前項和，
則
【點睛】
方法點睛：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，數(shù)列求和的方法總結(jié)如下：
1.公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進行計算即可；
2.裂項相消法，通過把數(shù)列的通項公式拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求出數(shù)列的和；
3.錯位相減法，當數(shù)列的通項公式由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時使用此方法；
4.倒序相加法，如果一個數(shù)列滿足首末兩項等距離的兩項之和相等，可以使用此方法求和．
23．如圖，在直角坐標系中有邊長為2的正方形，取其對角線的一半，構(gòu)成新的正方形，再取新正方形對角線的一半，構(gòu)成正方形……如此形成一個邊長不斷縮小的正方形系列.設(shè)這一系列正方形中心的縱坐標為，其中為最大正方形中心的縱坐標.

（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成新數(shù)列，求的前n項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由題意可知，，，再由第2n-1個正方形到直線的距離為和第2n個正方形到直線的距離為，得出數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）知，，利用分組求和法得出的前n項和.
【詳解】
（1）由題意可知，，，
第2n-1個正方形到直線的距離為，即；
第2n個正方形到直線的距離為，即，
.
（2）由（1）知，，
則，

.
【點睛】
方法點睛：本題考查數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的求和，數(shù)列求和的方法總結(jié)如下：
1.公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進行計算即可；
2.裂項相消法，通過把數(shù)列的通項公式拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求出數(shù)列的和；
3.錯位相減法，當數(shù)列的通項公式由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時使用此方法；
4.倒序相加法，如果一個數(shù)列滿足首末兩項等距離的兩項之和相等，可以使用此方法求和．
24．已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列中，.
（1）求的通項公式；
（2）若，，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）令可求得的值，令，由可得出，兩式作差可得出，且有，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，利用等比數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式；
（2）利用累加法可求得，，可得，進而可求得數(shù)列的前項的和.
【詳解】
（1）當時，，；
當時，由可得出，
兩式作差得，即，則，且，
所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比也為，；
（2）由題意得，，所以，且，
則，，，，，
所以，
所以，所以，
所以，易得也適合上式，
所以的前項和為.
【點睛】
本題考查利用與之間的關(guān)系求通項，同時也考查了并項求和法，考查計算能力，屬于中等題.
25．已知有限數(shù)列{an}，從數(shù)列{an} 中選取第i1項、第i2項、……、第im項（i1＜i2＜…＜im），順次排列構(gòu)成數(shù)列{ak}，其中bk＝ak，1≤k≤m，則稱新數(shù)列{bk}為{an} 的長度為m的子列．規(guī)定：數(shù)列{an} 的任意一項都是{an} 的長度為1的子列．若數(shù)列{an} 的每一子列的所有項的和都不相同，則稱數(shù)列{an} 為完全數(shù)列．設(shè)數(shù)列{an}滿足an＝n，1≤n≤25，n∈N*．
（Ⅰ）判斷下面數(shù)列{an} 的兩個子列是否為完全數(shù)列，并說明由；
數(shù)列（1）：3，5，7，9，11；數(shù)列 （2）：2，4，8，16．
（Ⅱ）數(shù)列{an} 的子列{ak}長度為m，且{bk}為完全數(shù)列，證明：m的最大值為6；
（Ⅲ）數(shù)列{an} 的子列{ak}長度m＝5，且{bk}為完全數(shù)列，求的最大值．
【答案】（Ⅰ）數(shù)列（1）不是{an}的完全數(shù)列；數(shù)列（2）是{an}的完全數(shù)列；理由見解析（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）．
【分析】
（Ⅰ）直接利用信息的應(yīng)用和定義的應(yīng)用整理出結(jié)果．
（Ⅱ）根據(jù)定義的應(yīng)用求出子列的長度．假設(shè)長度為m≥7，不妨設(shè)m＝7，得出矛盾，再說明長度為6時滿足條件.
（Ⅲ）利用信息的應(yīng)用和關(guān)系式的恒等變換的應(yīng)用求出最大值．
【詳解】
（Ⅰ）數(shù)列 （1）不是{an}的完全數(shù)列；數(shù)列 （2）是{an}的完全數(shù)列．
理由如下：
數(shù)列 （1）：3，5，7，9，11中，因為3+9＝5+7＝12，所以數(shù)列（1）不是{an}的完全數(shù)列；
數(shù)列 （2）：2，4，8，16中，所有項的和都不相等，數(shù)列（2）是{an}的完全數(shù)列．
（Ⅱ）假設(shè)數(shù)列{bk}長度為m≥7，不妨設(shè)m＝7，各項為b1＜b2＜b3＜…＜b7．
考慮數(shù)列{bk}的長度為2，3，…7的所有子列，一共有27﹣1﹣7＝120個．
記數(shù)列{bk}的長度為2，3，…7的所有子列中，各個子列的所有項之和的最小值為a，最大值為A．
所以a＝b1+b2，A＝b1+b2+25+24+23+22+21＝b1+b2+115．
所以其中必有兩個子列的所有項之和相同．
所以假設(shè)不成立．
再考慮長度為6的子列：12，18，21，23，24，25，滿足題意．
所以子列{bk}的最大長度為6．
（Ⅲ）數(shù)列{an} 的子列{bk}長度m＝5，且{bk}為完全數(shù)列，且各項為b1＜b2＜b3＜…＜b5．
所以，由題意得，這5項中任意i（1≤i≤5）項之和不小于2i﹣1．
即對于任意的1≤i≤5，有，
即．
對于任意的1≤i≤5，，
設(shè)（i＝1，2，3，4，5），則數(shù)列{ci}的前j項和Dj≥0（j＝1，2，3，4，5）．
下面證明：．
因為（）﹣（）
，
，
0．
所以，當且僅當（i＝1，2，3，4，5）時，等號成立．
所以求的最大值為．
【點睛】
本題考查數(shù)列的新定義，考查反證法的應(yīng)用，考查關(guān)系式的恒等變換的應(yīng)用，屬于難題.
三、填空題
26．數(shù)列的通項公式，其前項和為，則______.
【答案】.
【分析】
由于，可得數(shù)列的所有奇數(shù)項為，前項的所有偶數(shù)項共有項，從而可求得其結(jié)果
【詳解】
因為，
所以數(shù)列的所有奇數(shù)項為，前項的所有偶數(shù)項共有項，
所以
.
故答案為：1010
27．已知數(shù)列的前項和為，，則的值為__________.
【答案】
【分析】
由已知構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項得解.
【詳解】
，，
故數(shù)列是以2為公比，以為第二項的等比數(shù)列，
故，故，

故答案為：
【點睛】
(的常數(shù))遞推關(guān)系求通項，構(gòu)造等比數(shù)列是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
28．在數(shù)列中，若，記是數(shù)列的前項和，則__________.
【答案】
【分析】
當為奇數(shù)時，可得數(shù)列的奇數(shù)項為公差為2的等差數(shù)列，當為偶數(shù)時，可得偶數(shù)項的特征，將所求問題轉(zhuǎn)化為奇數(shù)項和偶數(shù)項求和即可.
【詳解】
∵，
∴當為奇數(shù)時，，即數(shù)列的奇數(shù)項為公差為2的等差數(shù)列，
當為偶數(shù)時，，
∴，
，
∴，
故答案為：2550.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：
（1）得到數(shù)列的奇數(shù)項為公差是2的等差數(shù)列；
（2）得到數(shù)列的偶數(shù)項滿足.
29．已知等差數(shù)列中，則數(shù)列的前n項和=___.
【答案】
【分析】
利用兩角差的正切公式可得到，從而可得到數(shù)列的通項公式，再代入求和化簡即可得到結(jié)果。
【詳解】
，

又等差數(shù)列中，，


故答案為：
【點睛】
關(guān)鍵點睛：本題考查數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵是會逆利用兩角差的正切公式，得到數(shù)列的通項公式，在求和的過程中巧用相消法得到數(shù)列的和，考查學生的轉(zhuǎn)化能力與運算求解能力，屬于中檔題.
30．已知數(shù)列的前n項和，.求數(shù)列的通項公式為______.設(shè)，求數(shù)列的前項和______.
【答案】
【分析】
根據(jù)寫式子，兩式子相減整理得，再驗證時是否成立，即可寫出通項公式.由已知可得，運用分組求和即可得到答案.
【詳解】
∵①，∴②，由②﹣①可得：，即，
又當時，有滿足，∴；
由已知可得：，
∴

，
所以，
故答案為：；.
【點睛】
本題考查已知數(shù)列前項和為與的關(guān)系求通項，注意驗證是否滿足，考查分組求和，屬于中檔題.
31．已知數(shù)列滿足，為的前項和，記，數(shù)列的前項和為，則______．
【答案】
【分析】
由等差數(shù)列的求和公式，求得，得到，利用分組求和，即可求解.
【詳解】
由題意，數(shù)列滿足，則，
則，
則

.
故答案為：
【點睛】
本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式和前項和公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的分組求和，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項公式和求和公式，合理應(yīng)用分組求和求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.
32．設(shè)為數(shù)列的前項和，，若（），則__________.
【答案】
【分析】
分為奇數(shù)、為偶數(shù)兩種情況討論，可得數(shù)列的特點，然后可算出答案.
【詳解】
當為奇數(shù)時，，則，，，，
當為偶數(shù)時，，則，，，，又，
∴
故答案為：
【點睛】
本題考查的是數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的求和公式，屬于基礎(chǔ)題.

四、雙空題
33．已知數(shù)列的前項和為，且，，則______；若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______.
【答案】
【分析】
先由遞推公式，得到數(shù)列是等比數(shù)列，求出，根據(jù)分組求和，即可得出；再由恒成立，分離參數(shù)，得到，恒成立，求出的最大值，即可得出結(jié)果.
【詳解】
由，，得，，
所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，
所以，，
.
又，所以恒成立，
即，恒成立.
令，則，所以是遞減數(shù)列，
所以，，即，
實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：；.
【點睛】
本題主要考查由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等比數(shù)列，考查分組求和的方法求數(shù)列的和，考查數(shù)列不等式恒成立問題，屬于常考題型.
34．設(shè)數(shù)列中，，，則________，數(shù)列前n項的和________.
【答案】
【分析】
利用遞推公式即可求的值，利用并項求和可求.
【詳解】
令得，，可得，
令得，，可得，
令得，，可得，
令得，，可得，
由可得：
，
，
，
….
,
以上個式子累乘得：，
，，，，
，
當時，，所以此時
當時，，所以此時
當時，，所以此時，
當時，，所以此時，
所以，
故答案為： ，
【點睛】
方法點睛：對于數(shù)列的通項中含有 的情況要分是奇數(shù)和偶數(shù)，采用奇偶并項求和，但該題目是由于兩項正數(shù)兩項負數(shù)，需要分，，，四類.
35．已知數(shù)列的前項和為，滿足，，則_______；___________．
【答案】 5
【分析】
先構(gòu)造數(shù)列，根據(jù)，計算，即得；根據(jù)相鄰項乘積定值，得奇偶特征，計算即可.
【詳解】
依題意，設(shè)，則，，故，
，故；
因為，，，故以此類推，n是奇數(shù)，，故，
n是偶數(shù)，，故，所以.
故答案為：；5.
【點睛】
本題考查了數(shù)列相鄰項的遞推公式和分組求和，屬于中檔題.

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