?專題11 數列求和方法之分組并項求和法
一、單選題
1．已知數列滿足，，，且是等比數列，則（ ）
A．376 B．382 C．749 D．766
【答案】C
【分析】
利用累加法求出通項，然后利用等比數列的求和公式，求解即可
【詳解】
由已知得，，，而是等比數列，故，
，
，化簡得，

故選：C
【點睛】
關鍵點睛：解題關鍵在于利用累加法求出通項，難度屬于中檔題
2．若在邊長為的正三角形的邊上有（，）等分點，沿向量的方向依次為，記，若給出四個數值：①；②；③；④；則的值可能的共有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】A
【分析】
由題意，存在實數，使得，則，計算數量積，得到，推出，結合題中條件，由賦值法，分別判斷，即可得出結果.
【詳解】
由題意，存在實數，使得，則，
所以
，
所以



，
令，解得；
令，解得；
令，解得；
令，解得；
所以的值不可能取所給的四個數值.
故選：A.
【點睛】
思路點睛：
向量數量積的問題，在求解時，可根據向量向量積的運算法則，由轉化法求出數量積；也可利用建系的方法，建立平面直角坐標系，得出所需向量的坐標，根據向量數量積的坐標表示求解.
3．若數列的通項公式是，則（ ）
A．45 B．65 C．69 D．
【答案】B
【分析】
由題意可得，從而可得，進而可得答案
【詳解】
因為，
所以，
則 ，
故選：B．
【點睛】
此題考查由數列的通項公式求一些項的和，利用了并項求和法，屬于基礎題
二、解答題
4．設為等差數列，是正項等比數列，且，.在①，②，這兩個條件中任選一個，回答下列問題：
（1）寫出你選擇的條件并求數列和的通項公式；
（2）在（1）的條件下，若，求數列的前項和.
【答案】（1）條件選擇見解析，，；（2）.
【分析】
（1）設的公差為，的公比為，根據所選的條件結合已知條件得出和的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數列和等比數列的通項公式可求得數列和的通項公式；
（2）求得，利用分組求和法可求得.
【詳解】
（1）選擇①：設的公差為，的公比為.
則根據題意有，解得，
所以，；
選擇②：設的公差為，的公比為.
則根據題意有，解得，
所以，；
（2）由（1）可知，
所以
.
【點睛】
方法點睛：數列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數列，利用公式法直接求和；
（2）對于型數列，其中是等差數列，是等比數列，利用錯位相減法求和；
（3）對于型數列，利用分組求和法；
（4）對于型數列，其中是公差為的等差數列，利用裂項相消法.
5．已知數列{an}中，已知a1＝1，a2＝a，an＋1＝k(an＋an＋2)對任意n∈N*都成立，數列{an}的前n項和為Sn.
（1）若{an}是等差數列，求k的值；
（2）若a＝1，k＝－，求Sn.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據等差中項可得，從而求出.
（2）根據題意可得，討論n是偶數或n是奇數，利用分組求和即可求解.
【詳解】
（1）若是等差數列，則對任意，，
即，
所以，
故
（2）當時，，即.
所以，
故，
所以，當n是偶數時，

，
當n是奇數時，，


綜上，.
【點睛】
關鍵點點睛：本題考查了分組求和，解題的關鍵是求出，考查了計算求解能力.
6．在數列中，，，.
（1）證明：數列是等比數列；
（2）求的前項和.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1），，變形為，，進而證明結論；
（2）由（1）可得：，再利用分組求和即可得出.
【詳解】
（1）證明：，，
.
又因為，
數列是首項為1，公比為5的等比數列，
（2）由（1）可得：，
，
的前項和

【點睛】
方法點睛：數列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一個數列的前項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前項和即可以用倒序相加法
（2）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前項和即可以用錯位相減法來求；
（3）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些像可相互抵消，從而求得其和；
（4）分組轉化法：一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列:或可求和的數列組成，則求和時可用分組轉換法分別求和再相加減；
（5）并項求和法：一個數列的前項和可以兩兩結合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.
7．已知正項等比數列的前項和為，且滿足是和的等差中項，.
（1）求數列的通項公式；
（2）令，求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）直接利用已知條件建立等量關系求出數列的公比，進一步求出數列的通項公式.
（2）利用（1）的結論，進一步利用分組法求出數列的和.
【詳解】
（1）正項等比數列的前項和為，且滿足是和的等差中項，
設公比為，則，整理得：，
由于，即，即，因為，所以解得，
所以.
（2）由于，
所以



.
【點睛】
關鍵點點睛：第二問分組后利用等差、等比數列的前項和公式求和是解題關鍵.
8．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.
已知是各項均為正數的等差數列，其前n項和為，________，且，，成等比數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用，，成等比數列，可得，
若選①：由得：，即可解出和的值，即可求出的通項公式；
若選②：由可得，即可解出和的值，即可求出的通項公式；
若選③：由，可表示出，，結合，，成等比數列，即可解出和的值，即可求出的通項公式；
（2）由（1）可得，分為奇數和偶數，利用并項求和即可求解.
【詳解】
是各項均為正數的等差數列，，，成等比數列.
所以，即，
整理可得，
若選①：，則，即，
由可得代入可得：
，解得或（舍）
所以，
所以，
若選②：，即，代入得：
，即
解得：或不符合題意；
若選③：，則，，
代入可得
解得：或不符合題意；
綜上所述：，
，
（2），


當為偶數時，，
當為奇數時，，
所以.
【點睛】
關鍵點點睛：本題得關鍵點是分別由條件①②③結合，，成等比數列計算出和的值，由是各項均為正數的等差數列，所以，，第二問中正負交錯的數列求和，需要用奇偶并項求和，注意分為奇數和偶數討論.
9．已知數列是等差數列，是其前項和，且．
（1）求數列的通項公式;
（2）設，求數列的前項和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由等差數列前n項和公式，結合已知即可求公差，進而寫出通項公式即可.
（2）由（1）結論，有，首先分組，再結合等差等比前n項和公式求．
【詳解】
（1）∵數列是等差數列，是其前項和，，
∴，解得，
∴．
（2）∵，
∴．
10．已知等差數列的公差為，前項和為，且滿足，，，成等比數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由和，，成等比數列，求得，即可求得數列的通項公式.
（2）由（1）和，可得，結合等差數列和等比數列的求和公式，即可求解.
【詳解】
（1）由題意，數列中，因為，可得，
又由，，成等比數列，可得，即，可得，
聯立方程組，解得，，
所以數列的通項公式.
（2）由（1）和，可得，
則
，
即.
11．已知是等比數列，，．數列滿足，，且是等差數列．
（1）求數列和的通項公式；
（2）求數列的前項和．
【答案】（1）；；（2）.
【分析】
（1）首項求出，然后求出，然后可得；
（2）分別算出數列、的前項和即可.
【詳解】
（1）設等比數列的公比為，由題意得， 解得 ．
所以 ．
設等差數列的公差為，由題意得
．
所以 ．
從而 ．
（2）由（1）知．
數列的前項和為；
數列的前項和為．
所以，數列的前項和為 ．
12．設數列的前項和為，且.
（1）證明數列是等比數列，并求出數列的通項公式；
（2）若數列中，，，求數列的前項和.
【答案】（1）證明見解析；；（2）.
【分析】
（1）當時，由，可得，兩式相減，可化為，結合等比數列的定義,即可得到結論；
（2）由題知數列是等差數列，則，再利用分組求和法求數列的前項和.
【詳解】
（1）證明：當時，，
當時， ①
②
由①－②得：， ，即，
故數列是以2為公比，首項為的等比數列，
，得.
（2）由題得：，
故是以2為公差，2為首項的等差數列，.

.
【點睛】
方法點睛：本題考查數列求通項公式與求和問題，求數列和常用的方法：
（1）等差等比數列：分組求和法；（2）倒序相加法；
（3）（數列為等差數列）：裂項相消法；
（4）等差等比數列：錯位相減法.
13．已知是公差不為零的等差數列，，且，，成等比數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前n項和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根據等比中項的性質，結合等差數列的通項求出公差，即可得出數列的通項公式；
（2）由（1）得出數列的通項公式，再由分組求和法，結合等差、等比的求和公式求解即可.
【詳解】
解：（1）由題設知公差，由，，，成等比數列得
解得或（舍去）
故的通項公式為．
（2）由（1）知，，由分組求和法得
．
14．已知數列滿足奇數項成等比數列，而偶數項成等差數列，且，，，，數列的前n項和為．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）當時，若，試求的最大值．
【答案】（Ⅰ），或，； （Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）設等比數列的公比為，等差數列的公差為，代入已知條件求出，得通項公式；
（Ⅱ）用分組求和法求出，得，然后用作差法確定數列的單調性，得最大值．
【詳解】
（Ⅰ）設等比數列的公比為，等差數列的公差為，則，，
因為，，所以，解得，．
若，則，，
若，則，，
所以，．
（Ⅱ）因為，所以，．
．
由，，，
所以當時，，，
當時，，，
所以的最大項為．
【點睛】
關鍵點點睛：本題考查等差數列和等比數列的通項公式，考查分組求和法，數列的增減性．
求通項公式的方法是等差數列和等比數列的基本量法，即求出公比和公差后直接寫出通項公式，只是注意兩解，要寫成統(tǒng)一形式．
數列求和用的分組求和法，數列求和還有其他一些特殊方法：錯位相減法，裂項相消法，倒序求和法等．他們都是對應的著特殊數列的求和．
數列的單調性一般用作差法確定，即確定的正負，得數列的增減性，從而得最大項或最小項．對于以冪的形式給出的通項公式不等增數列還可能用作商法確定增減性．
15．在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并解答問題.
已知等比數列的公比是，，且有 ().(注：如果選擇多個條件分別解答，那么按照第一個解答計分)
（1）求證：；
（2）求數列的前項和為.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
不管選哪一個條件，方法都一樣：
（1）由基本量法求出，得通項公式；
（2）用分組求和法求．
【詳解】
若選擇①，
（1）設數列公比為，
則，，
∴，又，解得，
∴；
（2）由（1）得
．
若選擇②，
（1）設數列公比為，
則，，
∴，∵，故解得，
∴；
（2）由（1）得
．
若選擇③，
（1）設數列公比為，
，，∴，又，故解得，
∴．
（2）由（1）得
．
【點睛】
方法點睛：本題考查求等比數列的通項公式，考查分組求和法．數列求和的常用方法：
設數列是等差數列，是等比數列，
（1）公式法：等差數列或等比數列的求和直接應用公式求和；（
（2）錯位相減法：數列的前項和應用錯位相減法；
（3）裂項相消法；數列（為常數，）的前項和用裂項相消法；
（4）分組（并項）求和法：數列用分組求和法，如果數列中的項出現正負相間等特征時可能用用并項求和法；
（5）倒序相加法：滿足（為常數）的數列，需用倒序相加法求和．
16．設是數列的前n項和，已知，
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用當時，，可推出數列為等比數列，即可求出通項公式；
（2）化簡，分為奇數，偶數，求和即可.
【詳解】
（1）因為，所以當時，
兩式相減得，所以，當時，，，則所以數列為首項為，公比為的等比數列， 故
（2）由（1）可得
所以
故當為奇數時，
當為偶數時，
綜上
17．已知等差數列中，，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）若是等比數列的前3項，求的值及數列的前項和
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）利用，且列出關于首項與公差的關系式，求出公差與首項，即可求數列的通項公式．
（2）利用（1）的結論，可得，利用分組法求，結合等差數列與等比數列的求和公式可求出數列的和．
【詳解】
（1）數列是等差數列，設公差為.
由知，且，故.
再由，得，故.
所以：
（2）若，是等比數列的前3項
則，根據等差數列的通項公式得到：，
代入上式解得：
而等數列中，c，
所以：等比數列的公比為.
于是：
則
故
【點睛】
利用“分組求和法”求數列前項和常見類型有兩種：一是通項為兩個公比不相等的等比數列的和或差，可以分別用等比數列求和后再相加減；二是通項為一個等差數列和一個等比數列的和或差，可以分別用等差數列求和、等比數列求和后再相加減.
18．已知數列的前n項和為.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前n項和.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根據，由題中條件，即可求出通項；
（2）先由（1）得到，再由分組求和的方法，利用等差數列與等比數列的求和公式，即可得出結果.
【詳解】
（1）因為，
當時，，
當時，；也滿足上式；
∴；
（2）由（1）可得：，
∴
.
19．已知數列中，為數列的前n項和，若對任意的正整數n都有.
（1）求a的值；
（2）試確定數列是不是等差數列；若是，求出其通項公式，若不是，說明理由；
（3）記，求數列的前n項和.
（4）記是否存在正整數M，使得不等式恒成立，若存在，求出M的最小值，若不存在，說明理由.
【答案】（1）；（2）數列是等差數列，通項公式為；（3）；（4）.
【分析】
（1）令，即得結果；
（2）將代入，作差整理得，再結合作差整理，即得，即證數列是等差數列，再計算通項公式即可；
（3）先利用（2）求，再化簡得到通項公式，最后累加相消即得；
（4）先化簡，利用單調性判斷其取值范圍，再解決恒成立問題得到M范圍，即可得到最小值.
【詳解】
解：（1）對任意的正整數n都有，令則，即故；
（2），故，則，作差得，化簡整理得，則，作差得，化簡整理得，故數列是等差數列，首項為，公差為，故通項公式為；
（3）由（2）知數列的前n項和，故，
故
；
（4），易見是遞減數列，故即.
依題意不等式恒成立，即有，故正整數M的最小值為3.
【點睛】
證明等差數列的方法：
1.定義法；2.等差通項法；3.觀察法，利用公式特征觀察判斷，只用于小題中.
數列求和的常用方法：
1.公式法；2.裂項相消法；3.倒序相加法4.錯位相減法；5.并項求和法.
20．已知數列的首項，，.
（1）求證：數列為等比數列；
（2）記，若，求最大正整數.
【答案】（1）證明見解析；（2）99.
【分析】
（1）對遞推關系兩邊取倒數，再進行構造，即可得答案；
（2）求出，再利用分組求和法，即等比數列和等差數列的前項和，再解不等式，即可得答案；
【詳解】
（1）證明：∵，∴，
又∵，∴()，
∴數列為等比數列；
(2)由（1），可得，∴，
∴，
若，則，
∴最大正整數的值為.
【點睛】
形如的遞推關系求通項公式，?？梢杂脴嬙旆ㄟM行求解；數列不等式的解，要充分利用為整數進行代入求解.
21．已知數列滿足數列的前n項和為，且.
（1）求數列，的通項公式；
（2）設，求數列的前n項和．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）由已知條件得，利用等差數列的通項公式即可得出；
且，當時，．當時，，
利用等比數列的通項公式即可得出；
（2）由（1）得，利用分組求和即可．
【詳解】
（1）因為，，所以為首項是1，公差為2的等差數列，
所以．
又當時，，所以，
當時， ①
②
由①－②得，即，
所以是首項為1，公比為的等比數列，故．
（2）由（1）得，
所以．
【點睛】
方法點睛：求數列通項公式的方法：
1.定義法：利用等差數列或等比數列的定義；
2.利用 與 的關系： ；
3.累加法： ；
4.累乘法：；
5.構造法：；；
6.取倒數或者取對數．
22．已知數列的前項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由,可得數列是等比數列，求出通項公式即可；
（2）由（1）得到，按為偶數和為奇數分類，利用等差數列的求和公式和并向求和法得出數列的前項和．
【詳解】
（1）當時，，所以；
當時，因為，所以，
兩式作差得，即，
因為，所以數列是首項為3，公比為3的等比數列，
故.
（2），
當為偶數時，前項和；
當為奇數時，前項和，
則
【點睛】
方法點睛：本題考查等比數列的證明，考查數列的求和，數列求和的方法總結如下：
1.公式法，利用等差數列和等比數列的求和公式進行計算即可；
2.裂項相消法，通過把數列的通項公式拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求出數列的和；
3.錯位相減法，當數列的通項公式由一個等差數列與一個等比數列的乘積構成時使用此方法；
4.倒序相加法，如果一個數列滿足首末兩項等距離的兩項之和相等，可以使用此方法求和．
23．如圖，在直角坐標系中有邊長為2的正方形，取其對角線的一半，構成新的正方形，再取新正方形對角線的一半，構成正方形……如此形成一個邊長不斷縮小的正方形系列.設這一系列正方形中心的縱坐標為，其中為最大正方形中心的縱坐標.

（1）求數列的通項公式；
（2）若數列的奇數項構成新數列，求的前n項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由題意可知，，，再由第2n-1個正方形到直線的距離為和第2n個正方形到直線的距離為，得出數列的通項公式；
（2）由（1）知，，利用分組求和法得出的前n項和.
【詳解】
（1）由題意可知，，，
第2n-1個正方形到直線的距離為，即；
第2n個正方形到直線的距離為，即，
.
（2）由（1）知，，
則，

.
【點睛】
方法點睛：本題考查數列的通項公式，考查數列的求和，數列求和的方法總結如下：
1.公式法，利用等差數列和等比數列的求和公式進行計算即可；
2.裂項相消法，通過把數列的通項公式拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求出數列的和；
3.錯位相減法，當數列的通項公式由一個等差數列與一個等比數列的乘積構成時使用此方法；
4.倒序相加法，如果一個數列滿足首末兩項等距離的兩項之和相等，可以使用此方法求和．
24．已知數列的前項和為，且，數列中，.
（1）求的通項公式；
（2）若，，求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）令可求得的值，令，由可得出，兩式作差可得出，且有，可知數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，利用等比數列的通項公式可求得數列的通項公式；
（2）利用累加法可求得，，可得，進而可求得數列的前項的和.
【詳解】
（1）當時，，；
當時，由可得出，
兩式作差得，即，則，且，
所以，數列是等比數列，且首項為，公比也為，；
（2）由題意得，，所以，且，
則，，，，，
所以，
所以，所以，
所以，易得也適合上式，
所以的前項和為.
【點睛】
本題考查利用與之間的關系求通項，同時也考查了并項求和法，考查計算能力，屬于中等題.
25．已知有限數列{an}，從數列{an} 中選取第i1項、第i2項、……、第im項（i1＜i2＜…＜im），順次排列構成數列{ak}，其中bk＝ak，1≤k≤m，則稱新數列{bk}為{an} 的長度為m的子列．規(guī)定：數列{an} 的任意一項都是{an} 的長度為1的子列．若數列{an} 的每一子列的所有項的和都不相同，則稱數列{an} 為完全數列．設數列{an}滿足an＝n，1≤n≤25，n∈N*．
（Ⅰ）判斷下面數列{an} 的兩個子列是否為完全數列，并說明由；
數列（1）：3，5，7，9，11；數列 （2）：2，4，8，16．
（Ⅱ）數列{an} 的子列{ak}長度為m，且{bk}為完全數列，證明：m的最大值為6；
（Ⅲ）數列{an} 的子列{ak}長度m＝5，且{bk}為完全數列，求的最大值．
【答案】（Ⅰ）數列（1）不是{an}的完全數列；數列（2）是{an}的完全數列；理由見解析（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）．
【分析】
（Ⅰ）直接利用信息的應用和定義的應用整理出結果．
（Ⅱ）根據定義的應用求出子列的長度．假設長度為m≥7，不妨設m＝7，得出矛盾，再說明長度為6時滿足條件.
（Ⅲ）利用信息的應用和關系式的恒等變換的應用求出最大值．
【詳解】
（Ⅰ）數列 （1）不是{an}的完全數列；數列 （2）是{an}的完全數列．
理由如下：
數列 （1）：3，5，7，9，11中，因為3+9＝5+7＝12，所以數列（1）不是{an}的完全數列；
數列 （2）：2，4，8，16中，所有項的和都不相等，數列（2）是{an}的完全數列．
（Ⅱ）假設數列{bk}長度為m≥7，不妨設m＝7，各項為b1＜b2＜b3＜…＜b7．
考慮數列{bk}的長度為2，3，…7的所有子列，一共有27﹣1﹣7＝120個．
記數列{bk}的長度為2，3，…7的所有子列中，各個子列的所有項之和的最小值為a，最大值為A．
所以a＝b1+b2，A＝b1+b2+25+24+23+22+21＝b1+b2+115．
所以其中必有兩個子列的所有項之和相同．
所以假設不成立．
再考慮長度為6的子列：12，18，21，23，24，25，滿足題意．
所以子列{bk}的最大長度為6．
（Ⅲ）數列{an} 的子列{bk}長度m＝5，且{bk}為完全數列，且各項為b1＜b2＜b3＜…＜b5．
所以，由題意得，這5項中任意i（1≤i≤5）項之和不小于2i﹣1．
即對于任意的1≤i≤5，有，
即．
對于任意的1≤i≤5，，
設（i＝1，2，3，4，5），則數列{ci}的前j項和Dj≥0（j＝1，2，3，4，5）．
下面證明：．
因為（）﹣（）
，
，
0．
所以，當且僅當（i＝1，2，3，4，5）時，等號成立．
所以求的最大值為．
【點睛】
本題考查數列的新定義，考查反證法的應用，考查關系式的恒等變換的應用，屬于難題.
三、填空題
26．數列的通項公式，其前項和為，則______.
【答案】.
【分析】
由于，可得數列的所有奇數項為，前項的所有偶數項共有項，從而可求得其結果
【詳解】
因為，
所以數列的所有奇數項為，前項的所有偶數項共有項，
所以
.
故答案為：1010
27．已知數列的前項和為，，則的值為__________.
【答案】
【分析】
由已知構造等比數列，求出通項得解.
【詳解】
，，
故數列是以2為公比，以為第二項的等比數列，
故，故，

故答案為：
【點睛】
(的常數)遞推關系求通項，構造等比數列是解題關鍵，屬于基礎題.
28．在數列中，若，記是數列的前項和，則__________.
【答案】
【分析】
當為奇數時，可得數列的奇數項為公差為2的等差數列，當為偶數時，可得偶數項的特征，將所求問題轉化為奇數項和偶數項求和即可.
【詳解】
∵，
∴當為奇數時，，即數列的奇數項為公差為2的等差數列，
當為偶數時，，
∴，
，
∴，
故答案為：2550.
【點睛】
關鍵點點睛：
（1）得到數列的奇數項為公差是2的等差數列；
（2）得到數列的偶數項滿足.
29．已知等差數列中，則數列的前n項和=___.
【答案】
【分析】
利用兩角差的正切公式可得到，從而可得到數列的通項公式，再代入求和化簡即可得到結果。
【詳解】
，

又等差數列中，，


故答案為：
【點睛】
關鍵點睛：本題考查數列求和，解題的關鍵是會逆利用兩角差的正切公式，得到數列的通項公式，在求和的過程中巧用相消法得到數列的和，考查學生的轉化能力與運算求解能力，屬于中檔題.
30．已知數列的前n項和，.求數列的通項公式為______.設，求數列的前項和______.
【答案】
【分析】
根據寫式子，兩式子相減整理得，再驗證時是否成立，即可寫出通項公式.由已知可得，運用分組求和即可得到答案.
【詳解】
∵①，∴②，由②﹣①可得：，即，
又當時，有滿足，∴；
由已知可得：，
∴

，
所以，
故答案為：；.
【點睛】
本題考查已知數列前項和為與的關系求通項，注意驗證是否滿足，考查分組求和，屬于中檔題.
31．已知數列滿足，為的前項和，記，數列的前項和為，則______．
【答案】
【分析】
由等差數列的求和公式，求得，得到，利用分組求和，即可求解.
【詳解】
由題意，數列滿足，則，
則，
則

.
故答案為：
【點睛】
本題主要考查了等差數列的通項公式和前項和公式的應用，以及數列的分組求和，其中解答中熟記等差數列的通項公式和求和公式，合理應用分組求和求解是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.
32．設為數列的前項和，，若（），則__________.
【答案】
【分析】
分為奇數、為偶數兩種情況討論，可得數列的特點，然后可算出答案.
【詳解】
當為奇數時，，則，，，，
當為偶數時，，則，，，，又，
∴
故答案為：
【點睛】
本題考查的是數列的遞推公式和等比數列的求和公式，屬于基礎題.

四、雙空題
33．已知數列的前項和為，且，，則______；若恒成立，則實數的取值范圍為______.
【答案】
【分析】
先由遞推公式，得到數列是等比數列，求出，根據分組求和，即可得出；再由恒成立，分離參數，得到，恒成立，求出的最大值，即可得出結果.
【詳解】
由，，得，，
所以數列是首項為1，公比為的等比數列，
所以，，
.
又，所以恒成立，
即，恒成立.
令，則，所以是遞減數列，
所以，，即，
實數的取值范圍為.
故答案為：；.
【點睛】
本題主要考查由遞推關系證明數列是等比數列，考查分組求和的方法求數列的和，考查數列不等式恒成立問題，屬于?？碱}型.
34．設數列中，，，則________，數列前n項的和________.
【答案】
【分析】
利用遞推公式即可求的值，利用并項求和可求.
【詳解】
令得，，可得，
令得，，可得，
令得，，可得，
令得，，可得，
由可得：
，
，
，
….
,
以上個式子累乘得：，
，，，，
，
當時，，所以此時
當時，，所以此時
當時，，所以此時，
當時，，所以此時，
所以，
故答案為： ，
【點睛】
方法點睛：對于數列的通項中含有 的情況要分是奇數和偶數，采用奇偶并項求和，但該題目是由于兩項正數兩項負數，需要分，，，四類.
35．已知數列的前項和為，滿足，，則_______；___________．
【答案】 5
【分析】
先構造數列，根據，計算，即得；根據相鄰項乘積定值，得奇偶特征，計算即可.
【詳解】
依題意，設，則，，故，
，故；
因為，，，故以此類推，n是奇數，，故，
n是偶數，，故，所以.
故答案為：；5.
【點睛】
本題考查了數列相鄰項的遞推公式和分組求和，屬于中檔題.

相關試卷

2024年新高考數學培優(yōu)專練11 數列求和方法之分組并項求和法（原卷版+解析）：

這是一份2024年新高考數學培優(yōu)專練11 數列求和方法之分組并項求和法（原卷版+解析），文件包含專題11數列求和方法之分組并項求和法原卷版docx、專題11數列求和方法之分組并項求和法教師版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共44頁， 歡迎下載使用。

新高考數學二輪復習重難點突破練習專題11 數列求和方法之分組并項求和法（含解析）：

這是一份新高考數學二輪復習重難點突破練習專題11 數列求和方法之分組并項求和法（含解析），共38頁。試卷主要包含了單選題，解答題，填空題，雙空題等內容，歡迎下載使用。

新高考數學培優(yōu)專練11 數列求和方法之分組并項求和法：

這是一份新高考數學培優(yōu)專練11 數列求和方法之分組并項求和法，文件包含專題11數列求和方法之分組并項求和法原卷版docx、專題11數列求和方法之分組并項求和法教師版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共44頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

高中數學高考專題11 數列求和方法之分組并項求和法(原卷版)

高中數學高考專題11 數列求和方法之分組并項求和法(原卷版)
(新高考)高考數學二輪精品復習專題11《數列求和方法之分組并項求和法》(2份打包，解析版+原卷版)

(新高考)高考數學二輪精品復習專題11《數列求和方法之分組并項求和法》(2份打包，解析版+原卷版)
新高考數學培優(yōu)專練11 數列求和方法之分組并項求和法

新高考數學培優(yōu)專練11 數列求和方法之分組并項求和法
（新高考專用）2021年新高考數學難點：專題11 數列求和方法之分組并項求和法

（新高考專用）2021年新高考數學難點：專題11 數列求和方法之分組并項求和法
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部