?專題10 數(shù)列求和方法之錯位相減法
一、單選題
1．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=7，S6=63，則數(shù)列{nan}的前n項和為（ ）
A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2n
C．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n
【答案】D
【分析】
利用已知條件列出方程組求解即可得，求出數(shù)列{an}的通項公式，再利用錯位相減法求和即可.
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，易知q≠1，
所以由題設(shè)得，
兩式相除得1+q3=9，解得q=2，
進(jìn)而可得a1=1，
所以an=a1qn-1=2n-1，
所以nan=n×2n-1.
設(shè)數(shù)列{nan}的前n項和為Tn，
則Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，
2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，
兩式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=-1+(1-n)×2n，
故Tn=1+(n-1)×2n.
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了求等比數(shù)列的通項公式問題以及利用錯位相減法求和的問題.屬于較易題.
二、解答題
2．在公差不為零的等差數(shù)列中，前五項和，且，，依次成等比數(shù)列，數(shù)列的前項和滿足（）.
（1）求及；
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合等比中項的應(yīng)用，列方程求出公差，進(jìn)而得出數(shù)列；當(dāng)時，由可得，兩式作差并利用等比數(shù)列的通項公式計算出；
（2）利用錯位相減法計算出數(shù)列的前項和為．
【詳解】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.
因?yàn)椋裕?br /> 又，，依次成等比數(shù)列，所以，所以.
即，解得（舍）或，
所以，即.
當(dāng)時，即，所以；
當(dāng)時，由可得，
相減得，即，
所以數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列，所以.
（2），所以，
則，
相減得

，
所以.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生計算能力，數(shù)列求和的方法如下：
1.公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行計算即可；
2.裂項相消法，通過把數(shù)列的通項公式拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求出數(shù)列的和；
3.錯位相減法，當(dāng)數(shù)列的通項公式由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時使用此方法；
4.倒序相加法，如果一個數(shù)列滿足首末兩項等距離的兩項之和相等，可以使用此方法求和．
3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n﹣1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式，
(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝()x，數(shù)列{bn}滿足條件b1＝f(﹣1)，f(bn+1)．
①求數(shù)列{bn}的通項公式，
②設(shè)cn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．
【答案】(1)an＝2n，n∈N*；(2)①bn＝3n﹣1；②Tn＝5．
【分析】
（1）利用及可得通項公式；
（2）①化簡關(guān)系式，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得數(shù)列是等差數(shù)列，從而得通項公式；
②由錯位相減法求和．
【詳解】
(1)由Sn＝2n﹣1，即Sn＝2n+1﹣2，
當(dāng)n＞1時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝(2n+1﹣2)﹣(2n﹣2)＝2n，
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2，滿足上式．則有數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n，n∈N*；
(2)①f(x)＝()x，b1＝2，f(bn+1)．
可得()()，
即有bn+1＝bn+3，可得{bn}以2首項和3為公差的等差數(shù)列，
即有bn＝3n﹣1；
②cn，前n項和Tn＝25()2+…+(3n﹣4)()+(3n﹣1)()n，
Tn＝2()2+5()3+…+(3n﹣4)()n+(3n﹣1)()n+1，
相減可得，Tn()2+…+3()+3()﹣(3n﹣1)()n+1
(3n﹣1)()n+1，
化簡可得，前n項和Tn＝5．
【點(diǎn)睛】
本題考查由求，考查求等差數(shù)列的通項公式，錯位相減法求和．?dāng)?shù)列求和的常用方法：
設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，
（1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和；（
（2）錯位相減法：數(shù)列的前項和應(yīng)用錯位相減法；
（3）裂項相消法；數(shù)列（為常數(shù)，）的前項和用裂項相消法；
（4）分組（并項）求和法：數(shù)列用分組求和法，如果數(shù)列中的項出現(xiàn)正負(fù)相間等特征時可能用用并項求和法；
（5）倒序相加法：滿足（為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和．
4．?dāng)?shù)列的前項和，數(shù)列的前項和，滿足.
（1）求及；
（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求并證明：.
【答案】（1），；（2），證明見解析.
【分析】
（1）利用可求出，由可得，兩式相減整理可得，從而可得數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出，
（2）先利用錯位相法求出，再利用放縮法可證得結(jié)論
【詳解】
（1）當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
符合上式，所以.
當(dāng)時，即，所以；
當(dāng)時，由可得，
相減得，即，
所以數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列，所以.
（2），
所以，
則，
相減得


，
所以.
因?yàn)?，所以，所?
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法通常有：
（1）公式法；（2）錯位相減法；（3）裂項相消法；（4）分組求和法；（5）倒序相加法
5．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，若，且、、成等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用已知條件得出關(guān)于的方程，求出的值，利用等差數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式；
（2）求得，然后利用錯位相減法可求得.
【詳解】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
、、成等比數(shù)列，則，即，
整理得，，.
因此，；
（2）由（1）可得.
，①
（2）.
①②得，
因此，.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求解；
（2）對于型數(shù)列，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；
（3）對于型數(shù)列，利用分組求和法；
（4）對于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項相消法求和.
6．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足2Sn＝3an－3，其中n∈N*．
（1）證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)bn＝2n－1，cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】
（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系作差法即可證明；
（2）利用錯位相減求和法即可求出答案．
【詳解】
（1）因?yàn)椋?-------①
所以當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，---------②
由①-②并整理得，，
由上遞推關(guān)系得，所以，
故數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，
（2）由（1）得：，
又因?yàn)?，所以?br /> 所以，
，
兩式相減得：，
即：，
整理可得：
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：（1）解題關(guān)鍵在于利用遞推式得到，和，利用作差法求出；（2）解題關(guān)鍵在于列出，，利用錯位相消求和法進(jìn)行求解，難度屬于中檔題
7．已知等比數(shù)列中，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）用等比數(shù)列基本量計算表示出已知條件，解方程即可求得公比，代入等比數(shù)列的通項公式即可求得結(jié)果；
（2）把（1）中求得的結(jié)果代入，求出，利用錯位相減法求出
【詳解】
(1)設(shè)數(shù)列的公比為，
由題意知：，
∴，即.
∴，，即.
(2)，
∴.①
.②
①－②得

∴.
【點(diǎn)睛】
錯位相減法求和的方法：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解; 在寫“”與“”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式.
8．已知數(shù)列的前項和.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
（3）若存在正整數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用，求得，注意檢驗(yàn)首項.
（2），錯位相減法求和得解.
（3）當(dāng)時，若為奇數(shù)，則，單調(diào)遞增；若為偶數(shù)，則，單調(diào)遞減，利用數(shù)列單調(diào)性得解.
【詳解】
（1）因?yàn)?，所以?dāng)時，，
所以，
因?yàn)?，不適合，所以.
（2）由題意得當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，
令，①
則，②
由①-②得

，
所以，
所以.
（3）由題意知，當(dāng)時，若為奇數(shù)，則，單調(diào)遞增；
若為偶數(shù)，則，單調(diào)遞減，
所以，
因?yàn)榇嬖谡麛?shù)，使得成立，
所以當(dāng)為奇數(shù)時，則，，所以，所以，
當(dāng)為偶數(shù)時，則，，所以，所以，
即.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用與的關(guān)系求通項及錯位相減法求和.
已知求的三個步驟:(1)先利用求出.(2)用替換中的得到一個新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時的表達(dá)式．(3)對時的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合時的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫．　
錯位相減法求和的方法：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列 的前項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解; 在寫“ ”與“”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式.
9．已知數(shù)列滿足，.設(shè).
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項和為.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）由遞推關(guān)系式可得，從而可證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）先由（1），根據(jù)題中條件，求出，再利用錯位相減法進(jìn)行求和可得．
【詳解】
（1）由，可得，即
則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得，，，

則有
兩式作差得：
.
10．已知等比數(shù)列滿足，.
（1）定義：首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”，證明：數(shù)列是“數(shù)列”；
（2）記等差數(shù)列的前項和記為，已知，，求數(shù)列的前項的和.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）由等比數(shù)列的通項公式求出公比，根據(jù)題意證明數(shù)列是“數(shù)列”；
（2）由等差數(shù)列的性質(zhì)求出，當(dāng)時，由等差數(shù)列的求和公式求出；當(dāng)時，由錯位相減法求出.
【詳解】
（1）證明：由題意可設(shè)公比為，則得：
得：或
∴數(shù)列是“數(shù)列”.
（2）設(shè)數(shù)列的公差為
易得：得：
∴，得：
由（1）知
若，則
∴
若，則，∴
∴①
∴②
①②得：
∴
∴.
【點(diǎn)睛】
對于 “等差乘等比”類型的數(shù)列，一般采用錯位相減法求數(shù)列的和.
11．已知等比數(shù)列的公比，且滿足，，數(shù)列的前項和，.
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)題干已知條件可列出關(guān)于首項與公比的方程組，解出與的值，即可計算出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)公式進(jìn)行計算可得數(shù)列的通項公式；
（2）先分為奇數(shù)和為偶數(shù)分別計算出數(shù)列的通項公式，在求前項和時，對奇數(shù)項運(yùn)用裂項相消法求和，對偶數(shù)項運(yùn)用錯位相減法求和，最后相加進(jìn)行計算即可得到前項和.
【詳解】
（1）依題意，由，，可得，因?yàn)?，所以解得，?br /> ，，
對于數(shù)列：當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，也滿足上式，
，.
（2）由題意及（1），可知：
當(dāng)為奇數(shù)時，，
當(dāng)為偶數(shù)時，，
令，，則



，
，
，
兩式相減，可得，
，
，
，
，




.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問中當(dāng)為奇數(shù)時，求出，并對進(jìn)行裂項為是解題關(guān)鍵，本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算，以及數(shù)列求和問題.考查了方程思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸能力，整體思想，裂項相消法和錯位相減法求和，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.本題屬中檔偏難題.
12．已知各項都大于1的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，4Sn－4n＋1＝an2：數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，bn＋Tn＝1.
（1）分別求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn＝anbn，若對任意的n∈N*.不等式5(λn＋3bn)－2bnSn>λn(c1＋c2＋c3＋…＋cn)恒成立，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
【答案】（1）；；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)與的關(guān)系可得，以及，再利用等差數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的通項公式即可求解.
（2）利用錯位相減法求出，然后再分離參數(shù)即可求解.
【詳解】
（1）由題可知，①
②
由②-①得：，
，，
故或，
又，（舍）或，
若，則有，而，所以，不滿足題意，
所以，故
，，
兩式相減得，
，
又，，
是等比數(shù)列，首項為，公比為，

（2）設(shè)
由（1）得，
，
相減得：，
，
又，
可化為：
，
即，
又，
，.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了與的關(guān)系、數(shù)列求和、數(shù)列不等式，解題的關(guān)鍵是利用與的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，分離參數(shù)，考查了計算能力.
13．已知等差數(shù)列的前n項的和為，且，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式列方程求解；
（2）利用錯位相減法求和即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，得
解得
所以數(shù)列的通項公式是；
（2）由（1）知
則，①
①式兩邊同乘以，得，②
①②，得，
所以．
【點(diǎn)睛】
(1)一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
14．記等比數(shù)列的前n項和為，已知.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前n項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用作差思想可得，進(jìn)而可得的通項公式；
（2）通過（1）求出的通項公式，利用錯位相減法求其前項和即可.
【詳解】
（1）當(dāng)時，；
當(dāng)時，，即，
所以等比數(shù)列的公比是3，所以，即，得，
故數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，.
（2）由（1）知，，故.
則，
，
兩式相減得，


，
故.
【點(diǎn)睛】
一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解.
15．已知數(shù)列的前n項的和為，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)寫出，然后兩式作差結(jié)合證明為等比數(shù)列并求解出通項公式；
（2）先根據(jù)（1）寫出的通項公式，采用錯位相減法求和，從而可求解出.
【詳解】
解：（1）因?yàn)?，?br /> 當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，②
①②，得，即，
所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
從而．
（2）由（1）知，
則，
兩邊同乘以，得；
兩式相減得，
所以．
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：滿足等差乘以等比形式的數(shù)列的前項和的求解步驟（錯位相減法）：
（1）先根據(jù)數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的一般形式：；
（2）將（1）中的關(guān)于等式的左右兩邊同時乘以等比數(shù)列的公比；
（3）用（1）中等式減去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一項減去（2）中等式的第2項，依次類推，得到結(jié)果；
（4）利用等比數(shù)列的前項和公式以及相關(guān)計算求解出.
16．已知數(shù)列中，，.
（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；
（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析，；（2）.
【分析】
（1）對遞推關(guān)系兩邊取倒數(shù)得，再利用構(gòu)造等比數(shù)列，即可得答案；
（2）求出，再利用錯位相減求和，根據(jù)數(shù)據(jù)的單調(diào)性，可求得參數(shù)的取值范圍；
【詳解】
（1）由得，即，
又，所以是以是為首項，為公比的等比數(shù)列.
所以，即.
（2），所以，.
兩式相減得，所以，
所以. 令，易知單調(diào)遞增，
若為偶數(shù)，則，所以；
若為奇數(shù)，則，所以，所以.
綜上所述.
【點(diǎn)睛】
利用構(gòu)造等比數(shù)列可求解形如遞推關(guān)系的通項公式；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最值，可求得參數(shù)的取值范圍.
17．已知數(shù)列{an}的首項為0，且2anan+1+an+3an+1+2＝0.
（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求{an}的通項公式；
（2）已知數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且，若不等式(-1)nλ＜Sn+3×2n+1對一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；；（2）-14＜λ＜38.
【分析】
（1）通過化簡，得到，然后利用等差數(shù)列的通項公式求解即可；
（2）利用錯位相消求和法，得出，然后代入不等式，利用參變分離法求出λ的取值范圍
【詳解】
（1）證明：∵2anan+1+an+3an+1+2＝0，
∴2(an+1)(an+1+1)+an+1-an＝0，∴2(an+1)(an+1+1)+(an+1+1)-(an+1)＝0，
∴，∴數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.∴，∴.
（2）解：由題可知bn＝(2n-1)×2n，Sn＝1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n，2Sn＝1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1，
兩式相減得-Sn＝1×21+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)×2n+1，

，
得，代入不等式中得，
，化簡得
，設(shè)，明顯地，該數(shù)列為遞增數(shù)列，
若n為偶數(shù)，則λ＜n·2n+2+6，當(dāng)時，取最小值，此時，∴λ＜38；若n為奇數(shù)，則-λ＜n·2n+2+6，當(dāng)時，取最小值，此時，，∴-λ＜14，∴λ＞-14，綜上，-14＜λ＜38.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于，利用錯位相消求和法和參變分離法進(jìn)行求解，即先求出Sn＝2n+1(2n-3)+6，進(jìn)而不等式化簡為(-1)nλ＜n·2n+2+6，進(jìn)而利用參變分離法得到λ＜n·2n+2+6，進(jìn)而分類討論求解，屬于中檔題
18．已知等比數(shù)列{an}的公比大于1，且滿足a3+a5＝90，a4＝27．
（1）求{an}的通項公式；
（2）記bn＝log3an，求數(shù)列{an(bn+1)}的前n項和Tn.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的公式求出、，即可寫出通項公式；
（2）由（1）結(jié)合已知有數(shù)列{an(bn+1)}的通項為，利用錯位相減及等比數(shù)列前n項和公式即可求Tn.
【詳解】
（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為，由已知得：，
解之得：或(舍去)，所以，故{an}的通項公式.
（2），所以數(shù)列{an(bn+1)}的通項為，
∴，
，
即得，
∴
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等比通項公式結(jié)合已知即可得，進(jìn)而求基本量并寫出通項公式，由新數(shù)列的組成得到其通項公式結(jié)合等差、等比的項積的混合型數(shù)列，應(yīng)用錯位相減即可得到一個等比數(shù)列形式，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式即可求和.
19．已知在等差數(shù)列中，，其前8項和.
（1）求數(shù)列的通項公式﹔
（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)已知條件列出關(guān)于首項和公差的方程組，求解通項公式；（2）由（1）可知，利用錯位相減法求和.
【詳解】
解：（1）由，
由，得，
聯(lián)立，解得，
故.
（2），
所以，①
，②
由①一②，得，
所以.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：一般數(shù)列求和包含：1.公式法，利用等差和等比數(shù)列的前項和公式求解；2.錯位相減法求和，適用于等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的數(shù)列求和；3.裂項相消法求和，適用于能變形為， 4.分組轉(zhuǎn)化法求和，適用于；5.倒序相加法求和.
20．已知等差數(shù)列的前項和為，，和的等差中項為.
（1）求及；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列前項的性質(zhì)求解，再利用等差數(shù)列的通項公式以及等差數(shù)列前項公式求解即可；（2）由(1)得，利用錯位相減法求和即可.
【詳解】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)椋?br /> 所以，解得，
所以，
.
（2）由(1)得，
①
②
①－②

所以.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法：
（1）等差等比公式法；（2）裂項相消法；（3）錯位相減法；（4）分組（并項）求和法；（5）倒序相加法.
21．甲?乙兩名同學(xué)在復(fù)習(xí)時發(fā)現(xiàn)他們曾經(jīng)做過的一道數(shù)列題目因紙張被破壞導(dǎo)致一個條件看不清，具體如下等比數(shù)列的前n項和為，已知____________，
（1）判斷的關(guān)系并給出證明.
（2）若，設(shè)，的前n項和為，證明.
甲同學(xué)記得缺少的條件是首項的值，乙同學(xué)記得缺少的條件是公比q的值，并且他倆都記得第（1）問的答案是成等差數(shù)列.如果甲?乙兩名同學(xué)記得的答案是正確的，請通過推理把條件補(bǔ)充完整并解答此題.
【答案】補(bǔ)充條件見解析；（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）可補(bǔ)充公比的值，由等比數(shù)列的通項公式和等差中項的性質(zhì)，計算即可得所求得結(jié)論；
（2）由等比數(shù)列的通項公式求得，再利用乘公比錯位相減求和結(jié)合等比數(shù)列求和公式，不等式的性質(zhì)即可得證.
【詳解】
（1）補(bǔ)充的條件為，
的關(guān)系為成等差數(shù)列.
證明如下：
若則，
，
，
可得，因此成等差數(shù)列.
（2）證明：由，可得，
解得
，
則，
，
上面兩式相減可得.
整理可得，
因?yàn)?，所?
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題得關(guān)鍵點(diǎn)是利用成等差數(shù)列求出等比數(shù)列的公比才能求出，在利用乘公比錯位相減求和時要仔細(xì)，必要時可以用萬能公式建議求和的結(jié)果，再利用不等式的性質(zhì)即可得證.
22．已知數(shù)列中，且滿足．
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式;
（2）求證：對于數(shù)列，的充要條件是.
【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.
【分析】
（1）兩邊同時除以即可證明，利用等差數(shù)列的通項公式求出，即得出的通項公式；
（2）先正充分性，由得，相減即可證出；再證必要性，利用錯位相減法求和可證明.
【詳解】
（1），
兩邊同時除以，可得，
是首項為，公差為1的等差數(shù)列，
，
；
（2），即①，
充分性：時，，
時，②，
①-②得，則，滿足，
，充分性成立；
必要性：若，則，
設(shè)，
，
，
兩式相減得：

，
，
故，必要性成立.
故得證.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；
（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；
（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；
（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.
23．?dāng)?shù)列的前n項和為，若，點(diǎn)在直上.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和；
【答案】（1）證明見解析，；（2）.
【分析】
（1）由點(diǎn)（Sn，Sn+1）在直線（n∈N*）上，得，對此式兩邊同除以n+1，得到，可得；根據(jù)，求出數(shù)列{an}的通項公式，（2）求得數(shù)列{bn}的通項公式，然后利用錯位相減法求得數(shù)列{bn}的前n項和Tn；
【詳解】
（Ⅰ），則有：數(shù)列是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列故-
當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時也成立．

（Ⅱ），，





解得：
【點(diǎn)睛】
本題考查數(shù)列通項公式求解及等差數(shù)列性質(zhì)，考查數(shù)列求和方法，易錯點(diǎn)點(diǎn)睛由求 不檢驗(yàn)首項；方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的基本方法：1.公式法，2錯位性減法，3裂項相消，4分組求和
24．已知數(shù)列，，滿足，.
（1）令，證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）若，證明：.
【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由，變形得，可得，即，所以是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，即可求出通項公式.
（2）由題設(shè)知，然后利用錯位相減法求，即可證得結(jié)論.
【詳解】
（1），，
又，兩邊同除以，可得，即，
所以是公差為2的等差數(shù)列.
又，所以.
（2）由（1）得，，
則，①
，②
由①②，得


，
.
又，，，
即.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列求通項公式與求和問題，求數(shù)列和常用的方法：
（1）等差等比數(shù)列：分組求和法；（2）倒序相加法；（3）（數(shù)列為等差數(shù)列）：裂項相消法；（4）等差等比數(shù)列：錯位相減法.
25．已知是遞增的等差數(shù)列，、是方程的根
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）轉(zhuǎn)化條件為，，由等差數(shù)列的通項公式列方程即可得，即可得解；
（2）結(jié)合錯位相減法運(yùn)算即可得解.
【詳解】
（1）因?yàn)榉匠痰母鶠?，，是遞增的等差數(shù)列，
所以，，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，
所以；
（2）由題意，，
所以，
，
所以
，
所以.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是注意錯位相減法的應(yīng)用，要注意適用條件，細(xì)心計算.
三、填空題
26．求和____________. (用數(shù)字作答)
【答案】
【分析】
利用錯位相減法求解.
【詳解】
設(shè)，則，
兩式相減得：，
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；
（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；
（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；
（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.


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