基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測
知識點1　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
名師點睛1.當(dāng)圓心在原點即A(0,0),半徑長為r(r>0)時,方程為x2+y2=r2.2.當(dāng)圓心在原點即A(0,0),半徑長r=1時,方程為x2+y2=1,稱為單位圓.3.相同的圓,建立的坐標(biāo)系不同時,圓心坐標(biāo)不同,導(dǎo)致圓的方程不同,但是半徑是不變的.
過關(guān)自診1.[人教B版教材習(xí)題]分別寫出滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)圓心為坐標(biāo)原點,半徑為2;(2)圓心為點(0,1),半徑為2;(3)圓心為點(-2,1),半徑為 .
提示 (1)x2+y2=4.(2)x2+(y-1)2=4.(3)(x+2)2+(y-1)2=3.
2.[人教B版教材習(xí)題]求出下列方程表示的圓的圓心坐標(biāo)和半徑:(1)x2+y2=5;(2)(x-3)2+y2=4;(3)x2+(y+1)2=2;(4)(x+2)2+(y-1)2=3.
提示 (1)圓心C(0,0),半徑r= .(2)圓心C(3,0),半徑r=2.(3)圓心C(0,-1),半徑r= .(4)圓心C(-2,1),半徑r= .
知識點2　點與圓的位置關(guān)系圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圓心為C(a,b),半徑為r,點P(x0,y0),設(shè)
(x0-a)2+(y0-b)2>r2　
(x0-a)2+(y0-b)2=r2　
(x0-a)2+(y0-b)20)的幾何性質(zhì)1.范圍圓上任意一點P(x,y)都滿足不等式　　　　,|y|≤r.　　　2.對稱性?圓x2+y2=r2是關(guān)于　　　和　　　的軸對稱圖形,也是關(guān)于　　　　的中心對稱圖形.?
對稱軸并非只有這兩條
過關(guān)自診[人教B版教材習(xí)題]已知A(x1,y1),B(x2,y2)是圓的一條直徑的兩個端點,證明圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
提示 設(shè)P(x,y)為圓上一動點,則|PA|2=(x-x1)2+(y-y1)2,|PB|2=(x-x2)2+(y-y2)2, |AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2.因為|PA|2+|PB|2=|AB|2,所以代入,化簡得(x-x1)(x-x2) +(y-y1)(y-y2)=0.
探究點一　　求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1】 求圓心在直線x-2y-3=0上,且過點A(2,-3),B(-2,-5)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解 (方法一)設(shè)點C為圓心,∵點C在直線x-2y-3=0上,∴可設(shè)點C的坐標(biāo)為(2a+3,a).又該圓經(jīng)過A,B兩點,∴|CA|=|CB|.解得a=-2.∴圓心坐標(biāo)為C(-1,-2),半徑r= .故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.
(方法二)設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心坐標(biāo)為(a,b),故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=10.
規(guī)律方法　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法(1)幾何法它是利用圖形的幾何性質(zhì),如圓的性質(zhì)等,直接求出圓的圓心和半徑,代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)待定系數(shù)法由三個獨立條件得到三個方程,通過解方程組來得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個參數(shù),從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.它是求圓的方程最常用的方法,一般步驟:
變式訓(xùn)練1已知圓過點A(1,-2),B(-1,4),求:(1)周長最小的圓的方程;(2)圓心在直線2x-y-4=0上的圓的方程.
(方法二)待定系數(shù)法.設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,∴圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=20.
探究點二　　點與圓的位置關(guān)系
【例2】 點P(m,5)與圓x2+y2=24的位置關(guān)系是(　　)A.點P在圓內(nèi)B.點P在圓外C.點P在圓上D.不確定
解析 由m2+52=m2+25>24,得點P在圓外.
變式探究1將本例條件改為“點P(m,5)在圓(x-1)2+y2=26上”,則m的值為　　　　.?
解析 由題意知(m-1)2+52=26,則(m-1)2=1,即m-1=±1,所以m=0或m=2.
變式探究2將本例條件改為“點P(m,5)在圓(x-1)2+y2=26內(nèi)部”,則m的取值范圍是　　　　　　.?
解析 由題意知(m-1)2+52

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2.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

版本： 北師大版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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