新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納與演練專題3-9 利用導(dǎo)函數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問(wèn)題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題3-9利用導(dǎo)函數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問(wèn)題
目錄
專題3-9利用導(dǎo)函數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問(wèn)題 1
1
題型一：對(duì)稱化構(gòu)造 1
題型二：比值代換法 13
題型三：對(duì)數(shù)均值不等式法 22
29

題型一：對(duì)稱化構(gòu)造
【典例分析】
例題1．（2022·江蘇南通·高三期中）已知，其極小值為-4.
(1)求的值；
(2)若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求證：.
【答案】(1)3
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）因?yàn)?，所?
當(dāng)時(shí)，，
所以單調(diào)遞增，沒(méi)有極值，舍去.
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，
在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，
在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，的極小值為，舍去
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，
在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，
在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，的極小值為.
所以.
（2）由（1）知，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，
在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，
在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，
所以不妨設(shè).
下面先證.
即證，因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)閰^(qū)間上，單調(diào)遞減，
只要證，又因?yàn)椋?br /> 只要證，只要證.
設(shè)，
則，
所以單調(diào)遞增，
所以，所以.
下面證.
設(shè)，因?yàn)椋?br /> 在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.
設(shè)，，因?yàn)椋?br /> 所以，所以.
設(shè)，，因?yàn)椋?br /> 所以，所以.
因?yàn)椋裕?br /> 所以.
【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中（極值點(diǎn)為），證明或的方法：
①構(gòu)造，
②確定的單調(diào)性，
③結(jié)合特殊值得到或，再利用，得到與的大小關(guān)系，
④利用的單調(diào)性即可得到或.
例題2．（2022·北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學(xué)高三期中）已知函數(shù)
(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，
①求的取值范圍；
②求證：．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)①；②證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）定義域?yàn)?，?br /> 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）①若是的兩個(gè)不同零點(diǎn)，則與在上有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
由（1）知：，又，
在的圖象如下圖所示，

由圖象可知：，，即的取值范圍為.
②不妨設(shè)，由①知：，
，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞減，，，
又，，又，；
，，在上單調(diào)遞增，
，則.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中的類似于（）的問(wèn)題的基本步驟如下：
①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；
②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得恒正或恒負(fù)；
③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；
④根據(jù)與所處的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得到與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.
【提分秘籍】
主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和，積相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題．其解題要點(diǎn)如下：
(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)．
(2)構(gòu)造函數(shù)，即對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)或；
(3)對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究的單調(diào)性獲得不等式．
(4)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性．
(5)比較大小，即判斷函數(shù)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系．
(6)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)的單調(diào)性，將與的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為與之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．
【變式演練】
1．（2022·福建·廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期末）已知函數(shù)
(1)若對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)設(shè)是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且．求證：
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(1)
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，即，不符合題意；??????????
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．??????????
所以．??????????
由恒成立可知，所以．??????????
又因?yàn)?，所以的取值范圍為?br /> (2)
因?yàn)?，所以，即?br /> 令，由題意可知，存在不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)，，使得．??????????
由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
不妨設(shè)，則．
設(shè)，??????????
則，
所以在上單調(diào)遞增，??????????
所以，即在區(qū)間上恒成立．
因?yàn)?，所以??????????
因?yàn)?，所以??????????
又因?yàn)?，，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，即．
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的極值.
(2)若，，證明：.
【答案】(1)極大值為，的極小值為
(2)證明見(jiàn)解析
(1)
（1）由題意可得.
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
故的極大值為，的極小值為.
(2)
證明：由（1）可知.
設(shè)，，
則
.
設(shè)，則.
因?yàn)?，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以在上恒成?
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)?，所?
由（1）可知在上單調(diào)遞增，且，，
則，即.
3．（2022·河北·開(kāi)灤第二中學(xué)高二期末）設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)有極值時(shí)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，若在定義域內(nèi)存在兩實(shí)數(shù)滿足且，證明：．
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【詳解】（1）定義域?yàn)?，?br /> 當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，不合題意，；
令，解得：，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；
存在，使得成立，則，即，
又，，
即，
令，則，
在上單調(diào)遞增，又，，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由且知：；
令，，
則，
在上單調(diào)遞增，，即；
，又，；
，，又且在上單調(diào)遞減，
，即.
4．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)（且）.
(1)若函數(shù)的最小值為2，求的值；
(2)在（1）的條件下，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）解：因?yàn)?，?br /> 所以，.
當(dāng)時(shí)，有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)不存在最小值；
所以不合題意，故.
當(dāng)時(shí)，令，得.
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
所以，解得.
所以，的值為
（2）解：方法一：
由（1）知，，.
因?yàn)闉榉匠痰膬蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
所以①；②.
①－②得：，即，
所以，
令，有，
所以，從而得.
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，
即，又，
所以，恒成立，即，得證.
方法二：
由（1）知，，.
因?yàn)闉榉匠痰膬蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
所以，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
令，，則，.
令，得.
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.
因?yàn)椋?br /> 所以.
令，，
則.
所以在上單調(diào)遞減，所以，即.
所以，所以.
又在上單調(diào)遞增，
所以.即，得證.
題型二：比值代換法
【典例分析】

例題1．（2022·全國(guó)·高二期末）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性.
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) ，且，證明：.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(1)
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?
①當(dāng)時(shí)，令，得，則在上單調(diào)遞減；
令，得，則在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)時(shí)，令，得，則在上單調(diào)遞減；
令，得，則在上單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
(2)
證明：因?yàn)闉榈膬蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，，
兩式相減，可得，即，，
因此，，.
令，則，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.
因?yàn)?，所以，故得證.
例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證：；
(3)設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
(1)
解：由可得，可得，
令，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，所以，；
(2)
解：要證，即證，
由（1）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
令，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，
因?yàn)楹腿〉鹊臈l件不同，故，即；
(3)
解：由題知①，②，
①②得③，
②①得④.
③④得，
不妨設(shè)，記.
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，則，即，
所以.
因?yàn)?br /> ，
所以，即.
令，，則在上單調(diào)遞增.
又，
所以，即，所以.
【提分秘籍】

比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)的比值作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問(wèn)題求解．
【變式演練】
1．（2022·四川成都·高三期中（文））已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.
（1）求a的取值范圍；
（2）求證：.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【詳解】(1)有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)相異實(shí)根．
令，則
由得：，由得：，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，
又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
（2）不妨設(shè),由題意得,
，,，
要證：，只需證.
，
令，，只需證
，只需證：.
令,，
在遞增，
成立.
綜上所述，成立．
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若存在三個(gè)極值點(diǎn)，，，且，求k的取值范圍，并證明：.
【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2），證明見(jiàn)解析.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
∴，
令，則，
∴由得，得，
∴在上遞減，在上遞增，
∴即，
∴得，解得，
∴的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
（2），
∵有三個(gè)極值點(diǎn)，
∴方程有兩個(gè)不等根，且都不是1，
令，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，至多有一根，
當(dāng)時(shí)，得，得，
∴在上遞減，在上遞增，
∴，，
此時(shí)，，，，時(shí)，，
∴時(shí)，有三個(gè)根，，，且，
由得，由得，
∴，
下面證明：，可變形為，
令，，
，∴在上遞增，
∴，∴，
∴.
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，
(1)求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不等實(shí)根．
（?。┳C明：；
（ⅱ）證明：．
【答案】(1)極小值為，沒(méi)有極大值．
(2)（ⅰ）證明見(jiàn)解析，（ⅱ）證明見(jiàn)解析
（1）
由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 由，
所以．
令，解得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值為，函數(shù)沒(méi)有極大值．
（2）
（?。┯深}意，，
因?yàn)椋?br /> 設(shè)，則,，
構(gòu)造函數(shù)，則．
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故，所以．
（ⅱ）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，
所以
即
兩式相減得，
所以．
由（?。┑茫?br /> 由重要不等式得，
所以，
即，所以，
所以，
所以，即．
因?yàn)椋?br /> 所以，所以．
故由（Ⅰ）得
題型三：對(duì)數(shù)均值不等式法
【典例分析】

例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)）.
(1)討論單調(diào)性；
(2)設(shè)是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
（1）
的定義域?yàn)?
，設(shè)，則
當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，由，得；由，則；
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
（2）
證明：，因?yàn)?，是函?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，
所以，
兩式相減得，
欲證，只需證.
①
不妨設(shè)，故①變形為②
令，，
則在上單調(diào)遞增，則
故②式成立，即要證不等式得證
例題2．（2022·黑龍江·牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
(2)若是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．
【答案】(1)；
(2)詳見(jiàn)解析
【詳解】（1），
，在上單調(diào)遞減，
在上恒成立，即，
即在，
設(shè)，，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的最大值是，所以；
（2）若是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即又2個(gè)不同實(shí)數(shù)根，且，，
得，即，
所以，
不妨設(shè)，則，
要證明，
只需證明，
即證明，即證明，
令，，
令函數(shù)，
所以，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以，，
所以，即，即得
【提分秘籍】
兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：
對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）
取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
【變式演練】

1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣ax，a為常數(shù)．
（1）若函數(shù)f(x)在x＝1處的切線與x軸平行，求a的值；
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，試比較f（m）與f（）的大??；
（3）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2，試證明x1x2＞e2．
【答案】（1）a＝1；（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．
【詳解】（1）解：由f(x)＝lnx﹣ax，得：，
∵函數(shù)f(x)在x＝1處的切線與x軸平行，
∴ ，即a＝1；
（2）當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝lnx﹣x，
∴，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，f(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞1時(shí)，，f(x)單調(diào)遞減．
令，
則．
又∵h(yuǎn)（1）＝0，
①當(dāng)0＜m＜1時(shí)，h（m）＞0，即；
②當(dāng)m＝1時(shí)，h（m）＝0，即；
③當(dāng)m＞1時(shí)，h（m）＜0即；
（3）證明：∵函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2，
∴l(xiāng)nx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，
∴l(xiāng)nx1+lnx2＝a（x1+x2），lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2），
∴，
欲證明，即證lnx1+lnx2＞2，
∵lnx1+lnx2＝a（x1+x2），
∴即證，
∴原命題等價(jià)于證明，
即證：（x1＞x2），
令，則t＞1，設(shè)（t＞1），
，
∴g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵g(1)＝0，
∴g（t）＞g(1)＝0，
∴，即．
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，.
（1）求的取值范圍；
（2）證明：.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【詳解】（1），
①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
則，解得，注意此時(shí)，
（i）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
則在和上分別存在一個(gè)零點(diǎn)；
（ii）當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，，所以，，
所以在單調(diào)遞增，則，
所以在單調(diào)遞減，則，即，
此時(shí)，則在和分別存在一個(gè)零點(diǎn)；
綜上，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為；
（2）不妨設(shè)，由得：
，
兩式相減得：，
兩式相加得：，
要證，只需證，
只需證，
因?yàn)?，所以只需證，
即證，
令，，，
則，
所以在單調(diào)遞增，
則，所以原不等式得證.

一、單選題
1．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b滿足，，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則ab的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，故，，即；
，故，即.
設(shè)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，
，故，即，
整理得到，即.
故選：D.
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，對(duì)于正實(shí)數(shù)a，若關(guān)于t的方程恰有三個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)?，，令得：；令得：，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且時(shí)，恒成立，的圖像如下：

令，則，且
①當(dāng)時(shí)，，成立，所以是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根
②當(dāng)時(shí)，由得：，令
則：，兩式相減得：，兩式相加得：
所以：，由對(duì)數(shù)均值不等式得：
所以：，且，所以，，即：
所以
故選：D
3．（2021·河南·鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（????）
A．是的極小值點(diǎn)
B．函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)
C．存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立
D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則
【答案】C
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：定義域?yàn)?，?br /> 時(shí),時(shí)，
是的極小值點(diǎn)，A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)：令，
在上遞減，，
有唯一零點(diǎn)，B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)：令，
令，時(shí),時(shí),，
在上遞減，在上遞增，則，
，在上遞減，圖象恒在x軸上方，
與x軸無(wú)限接近，不存在正實(shí)數(shù)k使得恒成立，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)：由A選項(xiàng)知，在上遞減，在上遞增，
因正實(shí)數(shù)，，且，，則，
時(shí)，令，
，
即在上遞減，
于是有，從而有，
又，所以，即成立，D正確.
故選：C.
4．（2021·江西·鷹潭一中高三階段練習(xí)（文））關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（????）
A．是的極大值點(diǎn)
B．函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)
C．存在正整數(shù)k，使得恒成立
D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則
【答案】D
【詳解】對(duì)A，，函數(shù)在單減，在單增，
是的極小值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，，函數(shù)在單減，至多一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；
對(duì)C，，令，則，
設(shè)，則，函數(shù)在單增，在單減，
所以，∴，
則函數(shù)在單減，無(wú)最小值，且當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；
對(duì)D，不妨設(shè)，易知，
，且，
因?yàn)楹瘮?shù)在單增，則，
即證：，記，
所以，所以在單減，所以，
即，所以，D正確.
故選：D.
二、多選題
5．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期中）已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的有（????）
A．當(dāng)時(shí)，是的極值點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，恒成立
C．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)
D．若是關(guān)于x的方程的2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則
【答案】ABD
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，
令，得；令，得；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以是的極大值點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，令，得，
令，則，
令，解得，
故當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減；
所以，
因?yàn)?，所以，故，整理得，即恒成立，故B正確；
對(duì)于C，令，則，令，解得，故只有1個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
所以，即，
所以問(wèn)題等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，證明，
不妨設(shè)，則由得到，
要證，只需要證明，
即只需證明：，
只需證明：，即，
令，
只需證明：，
令，
則，即在上單調(diào)遞增，
又，所以，即恒成立，
綜上所述，原不等式成立，即成立，故D正確.
故選：ABD.
6．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（????）
A．若恒成立，則
B．當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)只有個(gè)
C．若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則
D．當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是
【答案】BC
【詳解】對(duì)于A，定義域?yàn)?，由得：?br /> 令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，則，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，定義域?yàn)?，?br /> 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
又，，
，使得，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，B正確；
對(duì)于C，，，
；
要證，只需證，即證，
不妨令，則只需證，
令，則，
令，
則，
在上單調(diào)遞增，，，
即恒成立，，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由得：，
即，；
令，則，在上單調(diào)遞增，
由得：，；
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
7．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（????）
A．
B．若有兩個(gè)不相等的實(shí)根、，則
C．
D．若，x，y均為正數(shù)，則
【答案】AD
【詳解】解：對(duì)于A：，又，，，所以，則有，A正確；
對(duì)于B：若有兩個(gè)不相等的實(shí)根、，則，故B不正確；
證明如下：函數(shù)，定義域?yàn)?，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則且時(shí)，有，所以若有兩個(gè)不相等的實(shí)根、，有，
不妨設(shè)，有，要證，只需證，且，又，所以只需證，令
則有
當(dāng)時(shí)，，，所以有，即在上單調(diào)遞增，且，所以恒成立，即，即，即.
對(duì)于C：由B可知，在上單調(diào)遞增，則有，即，則有，故C不正確；
對(duì)于D：令，則，，，
，
，故D正確；
故選：AD.
三、解答題
8．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市同升湖高級(jí)中學(xué)有限公司高三階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)證明：.
(2)若函數(shù)，若存在使，證明：.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）令，，，
令，解得：；令，解得：，
∴在遞增，在遞減，則，
∴恒成立，即.
（2）∵，，∴，
令，解得：；令，解得：；
∴在遞增，在遞減.
又∵，，，，且，.
要證，即證.
∵，∴，
又∵，∴只證即可.
令，，
恒成立，
∴在單調(diào)遞增.
又∵，∴，∴，
即，∴.
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間
(2)若的極值點(diǎn)為，且，證明：.
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)證明見(jiàn)解析
(1)
解：的定義域?yàn)?，?br /> 由，得.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)
證明：由（1）可知，由的極值點(diǎn)為，得，
所以，.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)的大致圖象，如圖所示；

不妨設(shè)，若，
由圖象知：，又，
所以要證，即證，
當(dāng)時(shí)，，.
當(dāng)時(shí)，，
，
=，.
設(shè)，，
則，，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，在上單調(diào)遞增，
則，
所以，即，
又因?yàn)閚，，且在上單調(diào)遞增，
所以，即，
則.
綜上，.
10．（2022·江蘇常州·高三期中）已知函數(shù)，，．
(1)若在x＝0處的切線與在x＝1處的切線相同，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)令，直線y＝m與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，證明：．
【答案】(1)a＝1
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1），．，，1－a＝a－1，a＝1．
檢驗(yàn)a＝1時(shí)兩個(gè)函數(shù)切線方程都是y＝1．
（2），x＞0，令，則，
∴在遞增，，，
因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)不間斷，所以存在唯一實(shí)數(shù)，
，，從而在遞減，遞增．
不妨設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)，則，，在遞增，，
，
令，，
令，，
令，，
，，在遞減，
因?yàn)?，，，在遞增，
，所以在遞減，
所以，
即，即，
因?yàn)?，，在遞增，
所以，所以．綜上可得，．
11．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)．
(1)若時(shí)，，求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）∵，，∴，
設(shè) ，，
當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
∴，與已知矛盾．
當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，滿足條件；
綜上，取值范圍是．
（2）證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)，，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
不妨設(shè)，則，要證，只需證，
∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴只需證，
∵，∴只需證．
設(shè)，則，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，即成立，
∴．
12．（2022·貴州六盤(pán)水·高二期末（理））已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)，設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為.證明：.
【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br /> 且，
當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合要求，故，
要想有兩個(gè)不相同的零點(diǎn)，則，
解得：，
，故
要證，即證，
即證：，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以只需證，不妨設(shè)，
兩式相減得：，
變形為，
下面證明在上成立，
只需證，即，
令，即證，
構(gòu)造，，
則恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
故，所以，，
故，即，所以，，證畢.
四、雙空題
13．（2022·吉林市教育學(xué)院模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)的極大值點(diǎn)為0，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)________；設(shè)，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____________．
【答案】???? 1????
【詳解】解：，則，則，解得，
此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上的單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取極大值，符合題意；
令，則
構(gòu)造函數(shù)，則．
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，
易知的圖象如圖所示：

不妨令，
令
∵
∴在上單調(diào)遞增，即
∵，∴，即
∵，∴
∵在上單調(diào)遞減，∴
故答案為：1；

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多