?專題3-5 利用導(dǎo)函數(shù)解決恒（能）成立問題
目錄
1
題型一：分離變量+最值法 1
題型二：分類討論法 9
題型三：同構(gòu)法 16
題型四：最值定位法解決雙參不等式問題 23
32
一、單選題 32
二、多選題 38
三、解答題 41




題型一：分離變量+最值法
【典例分析】
例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（??）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】令，
則，令
若時(shí)，
若時(shí)，
所以可知函數(shù)在遞減，在遞增
所以
由對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立
所以
故選：A
例題2．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））設(shè)是定義在上的連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)，則.
因?yàn)?，，所以恒成?則函數(shù)在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，不等式可化為，即恒成立.
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以不等式在上恒成立，
所以在上恒成立.
令，則.
令，得.
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.
所以，
所以，故所求實(shí)數(shù)的取值范固為.
故選:A.
例題3．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期中）已知函數(shù).
(1)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解:由題知在上恒成立,
即,
,
只需即可,
即,
記,
,
,
,
,
在單調(diào)遞減,

;
（2）由題知,在上單調(diào)遞增,
即在上恒成立,
即恒成立,
,只需恒成立,
即,
記,
,
,,
在單調(diào)遞增,
,
只需即可,
綜上:.

【提分秘籍】
①若)對(duì)恒成立，則只需；
②若對(duì)恒成立，則只需．
③，使得能成立；
④，使得能成立．
【變式演練】
1．（2022·甘肅省民樂縣第一中學(xué)高二期中（文））若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意可得：
在上恒成立，
整理可得：，
函數(shù)在上遞減，
所以，
所以，
故選：C.
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】,
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，
所以取得極小值，也是最小值，
，
不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，
所以.
故選:D.
3．（多選）（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）若時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的值可以為（????）
（附：）
A． B． C． D．
【答案】BD
【詳解】由題意知：當(dāng)時(shí)，恒成立；
令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，
在上單調(diào)遞增，，
，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
，，，.
故選：BD.
4．（2022·湖北·仙桃市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）若不等式（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________
【答案】
【詳解】，，令，，求導(dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，
因此當(dāng)時(shí)，，則，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
5．（2022·浙江寧波·一模）已知函數(shù)，．
(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，
所以，，
所以，
故所求切線方程為．
（2）解：因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ?br /> 令，，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?br /> 由零點(diǎn)存在定理知，存在唯一，使，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
從而．
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（2）若在區(qū)間，內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【詳解】解：（1）時(shí)，，，
曲線在點(diǎn)，（1）處的切線斜率:（1），
故曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為：，
所求切線方程為：；
（2），
①當(dāng)即時(shí)，，在，上為單調(diào)增函數(shù)，
此時(shí)，（1），解得：，與矛盾，不符合題意，
②當(dāng)即時(shí)，，，的變化如下：

，

，


0


遞減
極小值
遞增
此時(shí)，，解得：
，與矛盾，不符合題意，
③當(dāng)即時(shí)，，在，上為單調(diào)減函數(shù)
，解得：，又，，
綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是．
題型二：分類討論法
【典例分析】
例題1．（2022·四川省岳池中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
(1)若的最小值為0，求；
(2)若在上恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）
()若,則單調(diào)遞增,無(wú)最小值,不合題意.
()若,令,得
當(dāng)單調(diào)遞減
當(dāng)單調(diào)遞增
所以
即,即,即
（2）令


易知在上單調(diào)遞增,所以
所以在上單調(diào)遞增,所以
()若,則,即在上單調(diào)遞增
即,即在上恒成立,符合題意
()若,則
所以存在,使得
當(dāng)單調(diào)遞減,即
所以此時(shí)存在,使得,不合題意
綜合知的取值范圍為
例題2．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖像在處的切線與直線垂直．
(1)求的解析式；
(2)若在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；
(3)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)3
【詳解】（1），則，
∵函數(shù)的圖像在x＝1處的切線與直線x+3y﹣1＝0垂直，
∴，即，解得，
∴ ；
（2）由（1）得，則，
則，由得x＝1，
由得，由得，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，取得極小值也是最小值，
要使在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需滿足，即，
解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為；
（3）對(duì)任意的，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，恒成立，
①當(dāng)時(shí)，，顯然成立，此時(shí)；
②當(dāng)時(shí)， 恒成立，
令，則，
∵x＞0，∴恒成立，
由得，由得，由得0＜x＜1，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，取得極小值也是最小值，且，
∴；
③當(dāng)時(shí)， 恒成立，
令，此時(shí)m（x）＜0，
由②得（），令，
，∴在上單調(diào)遞增，
又，
由零點(diǎn)存在定理得存在，使得，有，
即，由得，由得，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)時(shí)，取得極大值也是最大值，且＝，
∴，
綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為，
∴實(shí)數(shù)k的最大值為3．
【提分秘籍】
①首先可以把含參不等式整理成適當(dāng)形式如、等；
②從研究函數(shù)的性質(zhì)入手，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性和極值或最值；
③得出結(jié)論.
【變式演練】
1．（2023·陜西西安·高三期末（理））已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
(2).
【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，，∴
令，得；令，得
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
的單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）

，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，
∴此時(shí) ，
②當(dāng)，令，得；令，得 ，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴．
∵，，，
∴此時(shí)
③當(dāng)，恒成立，在上單調(diào)遞減．
∴此時(shí)，令，得.
要使，，只需在的最大值點(diǎn)
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為
2．（2022·江蘇·姜堰中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)增區(qū)間為；減區(qū)間為
(2)
（1）
當(dāng)時(shí)，
由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br />
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為
當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為
（2）

令
當(dāng)時(shí)，
令
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為
當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為
所以，∴恒成立
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋圆缓愠闪?br /> 綜上，正實(shí)數(shù)的取值范圍為．
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若存在，當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 令，解得.
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，.即不存在滿足題意；
當(dāng)時(shí)，由，得，
對(duì)于，有，所以不存在滿足題意；
當(dāng)時(shí)，令
則，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，
此時(shí)，即，
所以存在滿足題意
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是
題型三：同構(gòu)法
【典例分析】

例題1．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知.
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性；
(2)若恒大于0，求的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，
.
，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
（2）要使有意義，則，且，
恒大于0，即恒成立，
則，可得，
因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，所以，即，
令，
則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
的最大值為，可得，則.
所以的取值范圍是.
例題2．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（理））已知，.
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若不等式在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)．

【詳解】（1），即，，
設(shè)，，，
時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以，
恒成立，則；
（2）不等式即為
設(shè)，顯然此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
所以在時(shí)恒成立，在時(shí)恒成立，
設(shè)（），則，
時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，
所以，
所以．
【提分秘籍】

①對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)、系數(shù)升指數(shù)等，把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是

相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)．

②為了實(shí)現(xiàn)不等式兩邊“結(jié)構(gòu)”相同的目的，需時(shí)時(shí)對(duì)指對(duì)式進(jìn)行“改頭換面”，常用的方法有：、、、、、，有時(shí)也需要對(duì)兩邊同時(shí)加、乘某式等.
③與為常見同構(gòu)式：，；與為常見同構(gòu)式：，.
【變式演練】
1．（多選）（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的可能的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】CD
【詳解】因?yàn)椋液愠闪ⅲ?br /> 所以，則，故，則，
當(dāng)時(shí)，，，則，故，則恒成立，
當(dāng)時(shí)，，，則，
對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，
令，則，
又，所以在上單調(diào)遞增，
故，即在上恒成立，
令，則在上恒成立，即，
又，令，得；，得；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，
故，
對(duì)于AB，易得，，故AB錯(cuò)誤；
對(duì)于CD，易得，，故CD正確.
故選：CD.
2．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則．
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
則，即．
所以當(dāng)時(shí)，
所以




由
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）．
令，則，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
故．
令，則等價(jià)于．
因?yàn)椋?br /> 所以等價(jià)于．
令，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
則．
故k的取值范圍為．
3．（2022·江蘇蘇州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.
【答案】(1)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
(2)
【詳解】（1）由題意，令，得，
當(dāng)時(shí)，
若，則，所以，
若，則，，所以；
當(dāng)時(shí)，
若，則，所以，
若，則，，所以；
綜上在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，即，即，
構(gòu)造函數(shù)，即有對(duì)時(shí)恒成立，
，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又時(shí)，時(shí)，，
所以只需要對(duì)時(shí)恒成立即可，
兩邊取對(duì)數(shù)，有對(duì)時(shí)恒成立，
又時(shí)，，所以對(duì)時(shí)恒成立，
令
，令，則，令，則
則在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
最大值為，
所以的最小值為.
題型四：最值定位法解決雙參不等式問題
【典例分析】

例題1．（2022·湖南省臨澧縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)若對(duì),使得成立,則實(shí)數(shù)的最小值是
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【詳解】 由題意，對(duì)于，使得成立，
可轉(zhuǎn)化為對(duì)于，使得成立，
又由，可得，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為，
又由二次函數(shù)，開口向上，且對(duì)稱軸的方程為，
①當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)函數(shù)，令，
解得（不符合題意，舍去）；
②當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)函數(shù)，令，
解得，（符合題意），
綜上所述，實(shí)數(shù)的最小值為，故選C．
例題2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù),,若對(duì)任意都存在使成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【詳解】對(duì)任意都存在使成立，
所以得到，
而，所以，
即存在，使，
此時(shí)，，
所以，
因此將問題轉(zhuǎn)化為
存在，使成立，
設(shè)，則，
，
當(dāng)，，單調(diào)遞增，
所以，
即，所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
例題3．（2022·江西·南昌十中高二階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，.
(1)若曲線在和處的切線互相平行，求的值；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)
(1)
解：，則，其中，
由題意可得，即，解得．
(2)
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t.
①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，
由，可得；由，可得，
此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；
②當(dāng)時(shí)，則，由可得；由可得或.
此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；
③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，且不恒為零，
此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；
④當(dāng)時(shí)，則，由可得；由可得或.
此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.
(3)
解：對(duì)任意，均存在，使得，
所以，當(dāng)時(shí)，有．
在的最大值．
由（2）知：①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
故，
所以，，解得，此時(shí)；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，
由，知，所以，，則，則.
綜上所述的取值范圍是．
【提分秘籍】

最值定位法解決雙參不等式問題
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
【變式演練】
1．（2022·廣東·汕頭市達(dá)濠華僑中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中.若對(duì)，都，使得不等式成立，則的最大值為（????）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【詳解】對(duì)，都，使得不等式成立，
等價(jià)于,
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
所以對(duì)，恒成立，即，
當(dāng)，成立，
當(dāng)時(shí)，恒成立.
記,
因?yàn)楹愠闪ⅲ?br /> 所以在上單調(diào)遞增，且，
所以恒成立，即
所以.
所以的最大值為1.
故選：C.
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故；
（5）若，，有，則的值域是值域的子集．
2．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)九江中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若任意，存在，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【詳解】解：∵ ，，
，
∴在上單調(diào)遞增，
；
根據(jù)題意可知存在，使得.
即能成立，
令，
則要使在能成立，只需使，
又在上恒成立，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，
，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，若存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
【答案】
【詳解】，
當(dāng)，單調(diào)遞減，
當(dāng)，單調(diào)遞增，
所以
，當(dāng)
存在，使得成立，只需即可
所以的取值范圍為：
故答案為：
4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，若，使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值是_________．
【答案】
【詳解】因?yàn)?，使得成立，等價(jià)于，
，
當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值；
因?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
所以實(shí)數(shù)的最小值是.
故答案為：
5．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，，．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【詳解】（1）由題意知：的定義域?yàn)?，?br /> 當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，若，則；若，則；
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，，；，；
恒成立，不合題意；
當(dāng)時(shí)，取，，
則，符合題意；
當(dāng)時(shí)，若，，使得，則；
由（1）知：；
，，在上單調(diào)遞增，
，
，即，，解得：；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.

一、單選題
1．（2022·浙江·高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】在恒成立.
當(dāng)，記， 所以在單調(diào)遞增，， 故
故，所以 ，
故選：C
2．（2022·廣東·紅嶺中學(xué)高二期中）若關(guān)于的不等式，對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)椴坏仁?，?duì)恒成立，
當(dāng)時(shí)，顯然成立，
當(dāng)，恒成立，
令，則，
令，
則在上成立，
所以在上遞減，
則，
所以在上成立，
所以在上遞減，
所以，
所以，
故選：A
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若?，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】依題意可得不等式在內(nèi)有解，
設(shè)，，
則，
由，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?br /> 所以，
所以.
故選：A.
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)與滿足：存在實(shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)為的“友導(dǎo)”函數(shù)．已知函數(shù)為函數(shù)的“友導(dǎo)”函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，則
∵存在實(shí)數(shù)，使得，即
則
構(gòu)建，則
令，則或（舍去）
在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則
即
故選：D．
5．（2022·廣東·高三開學(xué)考試）已知，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（????）
A．e B． C． D．
【答案】B
【詳解】依題意，，而，則，
設(shè)，則原不等式等價(jià)于，又，
即在上單調(diào)遞增，于是得對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，
設(shè)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，
所以實(shí)數(shù)a的最小值為.
故選：B
6．（2022·安徽滁州·高二期末）已知當(dāng)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由，得，即，即，
設(shè)，則，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
，
設(shè)
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
，
，則，
實(shí)數(shù)的取值范圍為．
故選：B．
7．（2022·遼寧沈陽(yáng)·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，使得成立，等價(jià)為使得成立，
由得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，，故
在成立，
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，，則，
由，得，
所以在遞減，所以，
則在遞減，所以，
則，所以．
故選：A
8．（2022·河南·濮陽(yáng)南樂一高高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，．若，都，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，都，使成立，；
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又時(shí)，；時(shí)，；，
當(dāng)時(shí)，；
①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，
，解得：，；
②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，解得：或，
；
③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，
，解得：，；
綜上所述：的取值范圍為.
故選：D.
二、多選題
9．（2022·江蘇·句容碧桂園學(xué)校高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，滿足對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（????）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，滿足對(duì)任意的，恒成立，
當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以.
當(dāng)時(shí)，恒成立.
當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，
設(shè)，，
，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，
所以，所以，
綜上所述：.
故選：ABC
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的可能取值是（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】ABC
【詳解】，令，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以時(shí)，函數(shù)取得最小值，
因?yàn)楹愠闪ⅲ?br /> 所以恒成立，且，
可得實(shí)數(shù)的所有可能取值1，2，3，
故選：ABC.
11．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若存在正實(shí)數(shù)x，y，使得等式成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則a的取值可能是（???????）
A． B． C． D．2
【答案】ACD
【詳解】解：由題意，不等于，由，得，
令，則，
設(shè)，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單詞遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
從而，
即，解得或.
故.
故選：ACD.
三、解答題
12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，曲線處的切線斜率為0
求b;若存在使得，求a的取值范圍．
【答案】（1）;（2）.
【詳解】（1），
由題設(shè)知，解得.
（2）的定義域?yàn)?，由?）知，，

（?。┤?，則，故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
所以，存在，使得的充要條件為，即，
所以.
（ⅱ）若，則，故當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
所以，存在，使得的充要條件為，
而，所以不合題意.
（ⅲ）若，則.
綜上，a的取值范圍是.
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，
(Ⅰ) 設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，
【答案】(1)見解析.
(2)見解析.
【詳解】(Ⅰ)由題得，
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，
②當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，????
③當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，????
（Ⅱ）要證，即證，令，
當(dāng)時(shí)，，∴成立；????????????
當(dāng)時(shí)，，??
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴．
∵，∴，，
∴，即成立，故原不等式成立．
14．（2022·福建省漳州第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知f（x）＝．
（1）曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）＜x2在（1，＋）恒成立，求a的取值范圍．
【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）．
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋髮?dǎo)可得，
由得，，
令得；
令得，
所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
（2）由題意：，即，
恒成立．
令，則，[
令，則，
在上單調(diào)遞增，
又，∴當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，
所以，
∴當(dāng)時(shí)，恒成立，
∴a的取值范圍為．
15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，．
（1）求的最大值與最小值；
（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）的最大值為，最小值為；（2）.
【詳解】：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=﹣lnx，
所以f′（x）=，令f′（x）=0得x=±2，
因?yàn)閤∈[1，3]，
當(dāng)1＜x＜2時(shí)??f′（x）＜0；當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上單調(diào)減函數(shù)，在（2，3）上單調(diào)增函數(shù)，
∴f（x）在x=2處取得極小值f（2）=﹣ln2；
又f（1）=，f（3）=，
∵ln3＞1∴
∴f（1）＞f（3），
∴x=1時(shí) f（x）的最大值為，
x=2時(shí)函數(shù)取得最小值為﹣ln2．
（2）由（1）知當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x），
故對(duì)任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣At恒成立，
只要4﹣At＞對(duì)任意t∈[0，2]恒成立，即At恒成立
記 g（t）=At，t∈[0，2]
∴，解得A，
∴實(shí)數(shù)A的取值范圍是（﹣∞，）．













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