新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點歸納與演練專題3-7 利用導(dǎo)函數(shù)研究雙變量問題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc9200" 專題3-7利用導(dǎo)函數(shù)研究雙變量問題 PAGEREF _Tc9200 \h 1
\l "_Tc22096" PAGEREF _Tc22096 \h 1
\l "_Tc3141" 題型一：分離雙參，構(gòu)造函數(shù) PAGEREF _Tc3141 \h 1
\l "_Tc21276" ②根據(jù)分離后的不等式結(jié)構(gòu)的對稱性，構(gòu)造新函數(shù)； PAGEREF _Tc21276 \h 3
\l "_Tc5285" 題型二：糅合雙參（比值糅合） PAGEREF _Tc5285 \h 6
\l "_Tc23889" 題型三：糅合雙參（差值糅合） PAGEREF _Tc23889 \h 14
\l "_Tc11555" 題型四：利用對數(shù)平均（指數(shù)平均）不等式解決雙變量問題 PAGEREF _Tc11555 \h 19
\l "_Tc2844" 題型五：最值定位法解決雙參不等式問題 PAGEREF _Tc2844 \h 26
\l "_Tc26646" PAGEREF _Tc26646 \h 34
題型一：分離雙參，構(gòu)造函數(shù)
【典例分析】
例題1．（2022·遼寧·沈陽市第三十一中學(xué)高三階段練習(xí)），均有成立，則的取值范圍為___________.
【答案】
【詳解】不妨設(shè)，則，
由可得，
所以，
即，
所以，
令，則，
因為，所以在上單調(diào)遞減，
所以對于恒成立，
所以對于恒成立，
可得對于恒成立，
所以，因為在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，
故答案為：
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：，，.
【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見解析.
【詳解】解：（1）由，則，，
，
令，解得；令，解得.
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）證明：，要證明.
即證明：.
即證明：.
令，，且.
，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，由，則，
所以，
即：，，成立.
【提分秘籍】
①在含有雙參（，）的不等式中，將雙參分別分離到不等式左右兩邊；
②根據(jù)分離后的不等式結(jié)構(gòu)的對稱性，構(gòu)造新函數(shù)；
③證明構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性證明結(jié)論
【變式演練】
1．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））若實數(shù)滿足，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】∵
∴ ，
即
∴，
設(shè)，則有，即，
∴，
令，則，
∴當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；
∴，即，
要使成立等價于成立，
只有當時，即時才滿足，
∴
∴，∴.
故選：A.
2．（2022·廣西玉林·模擬預(yù)測（理））已知，都是正整數(shù)，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為，所以，令，
所以，故在上單調(diào)遞增，由已知得，
故，因為，都是正整數(shù)，即.
故選：A.
2．（2021·四川省瀘縣第二中學(xué)一模（理））已知函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，且時，，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)在遞增，在遞減
(2)
(1)
的導(dǎo)數(shù)為，
可得的圖象在處的切線斜率為，
由切線與直線平行，可得，即，
，，
由，可得，由，可得，則在遞增，在遞減．
(2)因為，若，由，
即有恒成立，設(shè)，
所以在為增函數(shù)，即有對恒成立，
可得在恒成立，由的導(dǎo)數(shù)為，
當，可得，在遞減，在遞增，
即有在處取得極小值，且為最小值可得，解得
則實數(shù)m的取值范圍是．
題型二：糅合雙參（比值糅合）
【典例分析】
例題1．（2022·山東德州·高三期中）已知函數(shù).
(1)求在的最小值；
(2)若方程有兩個不同的解，且成等差數(shù)列，試探究值的符號.
【答案】(1)答案見解析；
(2)正，理由見解析
【詳解】（1）.
當時，在單調(diào)遞減，；
當時，在單週遞減，；
當時，時，時，，所以在單週遞減，在單調(diào)遞增，
綜上，當時，；當時， .
（2）值的符號為正，理由如下：
由 (1) 知，當時，單調(diào)遞減，不符合題意.
當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
不妨設(shè) ，由方程有兩個不同的解，
則，整理得
.
令，則，令，
在單調(diào)遞增， .故得證
例題2．（2022·山東威?！と＃┮阎瘮?shù)．
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個極值點，且，從下面兩個結(jié)論中選一個證明．
①；
【答案】(1)的單增區(qū)間為；單減區(qū)間為，
(2)證明見解析
（1），當時，，令，解得；令，解得或，所以的單增區(qū)間為；單減區(qū)間為，．
（2）證明①：由題意知，是的兩根，則，，將代入得，，要證明，只需證明，即，因為，所以，只需證明，令，則，只需證明，即，令，，所以在上單調(diào)遞減，可得，所以，綜上可知，．
【提分秘籍】
利用換元法解決雙變量問題，將要證明的不等式或目標代數(shù)式通過變形成關(guān)于（或等）的整體結(jié)構(gòu)，通過將（或等）換元成把問題化歸成單變量問題來處理.這一方法也稱為“齊次換元”。
【變式演練】
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)，求證：，恒有.
(3)若，函數(shù)有兩個零點，求證.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
(1)
函數(shù)的定義域為，
且，
當時，由可得，由可得，
因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當時，恒成立，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，
綜上所述：當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)
，，
所以，
因為，
所以當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當時，，，
所以，其中，
構(gòu)造函數(shù)，其中，，
則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
所以對于、，恒有；
(3)
因為，則，
所以函數(shù)單調(diào)遞增，且，
要證，即證，
即證，即證，
因為函數(shù)有兩個零點，
由題意可得，
上述兩個等式作差得，
下面先證明，只需證：，
整理得，即證，
設(shè)，不妨設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
因為，所以，故原不等式成立.
2．（2022·廣東·廣州市第七中學(xué)高二期中）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點，線段中點的橫坐標為，證明：.
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(1)
的定義域為，
．
①若，則，所以在單調(diào)遞增．
②若，則由得，
且當時，，當時，．
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
(2)
由（1）可知：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故圖像與x軸至多有一個交點，不符合題意，從而．
當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
不妨設(shè)，，，則．
由，
兩式相減得：，
即：，
又
令，，
則，從而函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故，從而，又，所以．
3．（2022·陜西師大附中高三期中（理））已知函數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直.
(1)試比較與的大小，并說明理由；
(2)若函數(shù)有兩個不同的零點，證明：.
【答案】(1)，證明見解析；
(2)證明見解析.
【詳解】（1）由題可知：，
，而直線的斜率，
所以有，解得：或，
又因為函數(shù)在處有意義，所以，故，
所以，，
時，，時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即，
即，
即有，
所以.
（2）不妨設(shè)，
所以有，
化簡得
即，，
要證，即證，
即證，因為，
所以即證：，
即，
設(shè)，因為，所以，
即證 ()
設(shè)()，
，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，
即，即.
題型三：糅合雙參（差值糅合）
【典例分析】
例題1．（2022·江蘇江蘇·高三期末）設(shè)，.
(1)設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)在有兩個零點，，證明：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
(1)
，，
時，，當時，是單調(diào)遞增函數(shù)，
當時，是單調(diào)遞減函數(shù)；
時，令，得，
當即時，或時，是單調(diào)增函數(shù)，時，是單調(diào)遞減函數(shù)，
當即時，或時，是單調(diào)增函數(shù)，時，是單調(diào)遞減函數(shù)，
當即時，，在上是單調(diào)增函數(shù)，
綜上所述
時，在是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)；
時，在，上是單調(diào)增函數(shù)，在是單調(diào)遞減函數(shù)，
時，在，上是單調(diào)增函數(shù)，在是單調(diào)遞減函數(shù)，
時，在上是單調(diào)增函數(shù).
(2)
令，因為，所以，
令，，兩式相除得，
， ①
不妨設(shè)，令，則，，
代入①得：，反解出：，則，
故要證即證，又因為，
等價于證明：，
構(gòu)造函數(shù)，
則，，
故在上單調(diào)遞增，，
從而在上單調(diào)遞增，.
即.
【提分秘籍】
利用換元法解決雙變量問題，將要證明的不等式或目標代數(shù)式通過變形成關(guān)于（或等）的整體結(jié)構(gòu)，通過將（或等）換元成把問題化歸成單變量問題來處理.這一方法也稱為“齊次換元”。
【變式演練】
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)當時，若函數(shù)恰有兩個不同的極值點、，且，求證：.
【答案】(1)
(2)答案見解析；
(3)證明見解析.
(1)解：當時，，，則，
故曲線在點處的切線方程為，即.
(2)
解：當時，，該函數(shù)的定義域為.
.
當時，由可得或.
（i）當時，，由，可得，
由，可得或，
此時函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；
（ii）當時，，對任意的，且不恒為零，
此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（iii）當時，，由，可得，
由，可得或，
此時函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.
綜上所述
當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.
(3)
證明：，則，
令，則.
當時，由可得.
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，解得.
下面證明不等式，其中，即證，
令，即證對任意的恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，其中，
則對任意的恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，所以，當時，，
由已知可得，兩式作差可得，
則，即，故原不等式得證.
題型四：利用對數(shù)平均（指數(shù)平均）不等式解決雙變量問題
【典例分析】
例題1、已知函數(shù)（為常數(shù)）有兩個不同的零點，（為自然對數(shù)的底數(shù)）請證明：.
解析：借助作為媒介，構(gòu)造指數(shù)均值不等式：
因為：，是函數(shù)的兩個零點，所以：，欲證，只需證：；又；
所以只需證：，即只需證：，由指數(shù)均值不等式可知，成立；故成立.
例題2．（2022·重慶·高二階段練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)求證：，；
(2)若存在、，且當時，使得成立，求證：.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(1)
證明：構(gòu)造函數(shù)，其中，
則
，
因為，則，，
即當時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故當時，，即.
(2)
證明：先證明對數(shù)平均不等式，其中，
即證，
令，即證，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，當時，，
所以，當時，，
本題中，若，則，
此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，不合乎題意，所以，，
由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，
則，即，
所以，，
因為，則，
所以，，
所以，，
所以，，所以，，
由對數(shù)平均不等式可得，可得，所以，.
【提分秘籍】
1.對數(shù)均值不等式法
兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義：
對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對數(shù)平均不等式）
取等條件：當且僅當時，等號成立．
2.指數(shù)不等式法
在對數(shù)均值不等式中，設(shè)，，則，根據(jù)對數(shù)均值不等式有如下關(guān)系：
【變式演練】
1．（2022·湖北·武漢市第一中學(xué)高二期中）已知函數(shù)有兩個零點、，則下列說法正確的是（）．
A．B．C．D．
【答案】ACD
【詳解】由可得，令，其中，
所以，直線與曲線的圖象有兩個交點，
，令，可得，列表如下：
作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：
由圖可知，當時，函數(shù)與的圖象有兩個交點，A對；
接下來證明對數(shù)平均不等式，其中，且、均為正數(shù).
先證明，其中，
即證，
令，，其中，則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當時，，
所以，當時，，
接下來證明：，其中，即證，
令，即證，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，當時，，
所以，當時，，
由已知可得，兩式作差可得，所以，，
因為，故，，B錯，CD都對.
故選：ACD.
2．（2022·全國·高二期末）已知函數(shù)．
(1)若，當時，試比較與的大??；
(2)若的兩個不同零點分別為、，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(1)
解：因為，，
當時，，且，
又當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以．
(2)
證明：先證明，其中，
即證，
令，，其中，
則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當時，，
所以，當時，，
由題知，取對數(shù)有，即，
又，所以．
3．（2022·廣東·深圳市第七高級中學(xué)高三階段練習(xí)）已知為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個不同零點，求證：.
【答案】(1)詳見解析；
(2)證明見解析.
【詳解】（1）由題可得，
當時，，當時，；
所以當時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；
當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；
（2）因為有兩個不同零點，，則，，
因此，即，
要證，只要證明，即證，
不妨設(shè)，記，則，，
因此只要證明，即，
記，則，
令，則，
所以函數(shù)在上遞增，
則，即，
∴在上單調(diào)遞增，
∴，
即成立，
∴.
題型五：最值定位法解決雙參不等式問題
【典例分析】
例題1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高三期中）已知函數(shù).
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對于任意的，都存在，使得成立，試求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【詳解】（1）由題可知函數(shù)的定義域為.
因為，則.
當時，.
所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）因為，所以，
又，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以.
所以對任意的恒成立，即恒成立.
所以恒成立.
令，則.
令，則，解得.
當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
所以.所以.
所以實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、確定不等式恒成立問題．在含有全稱量詞與存在量詞的命題中注意問題的轉(zhuǎn)化：
（1）對于任意的，任意的，恒成立，
（2）對于任意的，存在，使得成立，
（3）存在，使得對任意的，都有成立，
（4）存在，存在，使得成立．
例題2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)（為自然對數(shù)的底數(shù)），當時，對任意，存在，使，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
(1)
函數(shù)的定義域為，
，
①當時，由得，即的單調(diào)遞增區(qū)間是；
由得，即單調(diào)遞減區(qū)間是.
②當時，由得，即的單調(diào)遞增區(qū)間是）；
由得，即單調(diào)遞減區(qū)間是.
(2)
當時，由（1）知，函數(shù)在上道減，
所以，所以
對任意，存在，使
即等價為恒成立即可，即.∴，
設(shè)，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴
∴
【提分秘籍】
最值定位法解決雙參不等式問題
（1）,,使得成立
（2）,,使得成立
（3）,,使得成立
（4）,,使得成立
【變式演練】
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，，，使不等式成立，則的取值范圍是______.
【答案】
【詳解】因為對，，使不等式成立，所以，
當時，，由，得，由，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
因為在上單調(diào)遞減，所以，
所以，即.
故答案為：.
2．（2022·山東聊城·高三期中）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)，當時，對任意，存在，使，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【詳解】（1）定義域為，
，
令，得或．
當即時：
，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
，，函數(shù)在單調(diào)遞增；
當，即時：
，，函數(shù)在單調(diào)遞增；
，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當即時：，，函數(shù)在單調(diào)遞增；
當即時：
，，函數(shù)在單調(diào)遞增；
，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
綜上：當時，單調(diào)遞減區(qū)間有，單調(diào)遞增區(qū)間有；
當時，單調(diào)遞減區(qū)間有，單調(diào)遞增區(qū)間有，；
當時，單調(diào)遞增區(qū)間有，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當時，單調(diào)遞減區(qū)間有，單調(diào)遞增區(qū)間有，．
（2）當時，
由（1）得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增，
從而函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．
即存在，使，
即存在，使得，
即，令，，則，
由，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，所以．
3．（2022·寧夏六盤山高級中學(xué)高三期中（理））函數(shù)，．
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)對，，使成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1);
(2).
【詳解】（1）因為，所以，
當，即時，，單調(diào)遞增，
等號僅在時取得，
綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間是.
（2），即，
設(shè)，
則問題等價于，，
由（1）可知，當時，，故在遞增，
∴，
，，
∵時，，，
故當時，，在遞增，，
故，即，
即實數(shù)的取值范圍是；
4．（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)有限責(zé)任公司模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，，其中，．
(1)試討論函數(shù)的極值；
(2)當時，若對任意的，，總有成立，試求b的最大值．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【詳解】（1）由題意得的定義域為，．
當時，在區(qū)間內(nèi)恒成立，
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，無極值．
當時，令，得；令，得．
在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
在處取得極大值，且極大值為，無極小值．
綜上，當時，無極值；當時，的極大值為，無極小值．
（2）由知當時，的最大值為．
由題意得，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．
又，，根據(jù)零點存在定理可得，
存在，使得，
且當時，，則單調(diào)遞減，
當時，，則單調(diào)遞增，
．
，，兩邊取對數(shù)可得
，
．
令，則當時，，
即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故，
，即，即．對任意的，，總有成立，，即，，即．
又，故的最大值為0．
一、單選題
1．（2022·山東煙臺·高三期中）若對任意正實數(shù)x，y都有，則實數(shù)m的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】因為，
所以，設(shè)，
則，，
令
恒成立，故單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；.
故
所以，得到.
故選:A.
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若對于任意的，都有，則的最大值為（）
A．1B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：，，
，
，
，
函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
在上恒成立，
由，解得，故的最大值是.
故選：C．
3．（2022·江西省豐城中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知，，有如下四個結(jié)論：
①；②；③滿足；④．
則正確結(jié)論的序號是（）
A．①③B．②③C．①④D．②④
【答案】C
【詳解】由，則，設(shè),則
當時，，當時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,
又，當時，有，則的圖象如圖.
由，即，且，所以，所以①正確，②錯誤；
設(shè)，則
兩式相減得，得
兩式相加得
設(shè)
，則
所以在上單調(diào)遞增，則
所以在上單調(diào)遞增，,即
所以，即
所以，故④正確，③錯誤；
綜上，正確的命題是①④，
故選：C.
4．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知，若對于且都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由題意，對于且都有成立，
不妨設(shè)，可得恒成立，
即對于且時，都有恒成立，
構(gòu)造函數(shù)，
可轉(zhuǎn)化為，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以當時，恒成立，
又由，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又由，所以，
即實數(shù)的取值范圍為.
故選：D.
5．（2021·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，若對任意、，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】對任意、，不等式恒成立，則.
當時，由基本不等式可得，
當且僅當時，等號成立，所以，.
，對任意的恒成立，
所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，
所以，，因為，解得.
故選：D.
6．（2021·江蘇·高二單元測試）已知函數(shù)的定義域為，當，時，，，若對，，，，使得，則正實數(shù)的取值范圍為（）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【詳解】解：對，，，，使得，，
①當，時，，，
②當，時，，，在，上單調(diào)遞增，
（4），由①②得，
又，在，上為增函數(shù)，，，，
的取值范圍為，．
故選：D．
7．（2021·江蘇·高二單元測試）已知函數(shù)，，若對任意，存在，，使，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．，D．，
【答案】B
【詳解】解：函數(shù)，
，
若，，為增函數(shù)；
若，或，為減函數(shù)；
在上有極值，
在處取極小值也是最小值；
，對稱軸，，，
當時，在處取最小值；
當時，在處取最小值；
當時，在，上是減函數(shù)，；
對任意，存在，，使，
只要的最小值大于等于的最小值即可，
當時，，解得，故無解；當時，，解得，
綜上：，
故答案為：，．
8．（2021·河南·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，對，使得成立，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】時，
，使得成立
對函數(shù)
當時，，此時
當時，
令得
當時，，單調(diào)遞減
當時，，單調(diào)遞增
所以為極小值點，此時
故
當，不合題意；
當，
所以，解得
當，
所以，解得
綜上得
故選：D.
二、多選題
9．（2021·廣東·金山中學(xué)高二期中）已知函數(shù)，，若，，則的取值可能是（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【詳解】由題意，，得，
∴，即，
又，得
∵在上單調(diào)遞增，
∴綜上知：，
∴，
令，，則
∴，得；，得；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
∴，
A：因為，所以本選項不符合題意；
B：因為，所以本選項符合題意；
C：顯然符合題意；
D：因為，所以本選項不符合題意，
故選：BC
三、填空題
10．（2021·江西·贛州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知三個函數(shù)，，.若，，都有成立，求實數(shù)b的取值范圍______.
【答案】
【詳解】由題知，.
.
在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，
易知在區(qū)間上的最大值為，
，，都有成立，
即在上的最大值大于等于在上的最大值，
即，即，解得，
故答案為：.
11．（2021·黑龍江·牡丹江市第三高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，，若，，使得，則實數(shù)的取值范圍是________．
【答案】.
【詳解】解：依題意知，
令，在恒成立，
在上單調(diào)遞增，，
所以在上單調(diào)遞減，，
在是增函數(shù)，，
所以，即
故答案為：.
四、解答題
12．（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)（文））設(shè)，.
（1）如果存在使得成立，求滿足上述條件的最大值；
（2）如果對于任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）由題意，存在使成立，等價于，
因為函數(shù)，可得.
令，解得或；令，解得，
又因為，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，
又由，所以，
所以，即的最大值為.
（2）對于任意的，都有成立，
等價于在區(qū)間上，，
由（1）知在區(qū)間上，
在區(qū)間上，恒成立等價于恒成立，
設(shè)，可得
可知在區(qū)間上是減函數(shù)，
又由，所以當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；
所以，所以，即的取值范圍是.
13．（2022·安徽·合肥市第九中學(xué)高二期中）已知的圖象在處的切線與直線平行．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若，，，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）極大值為，無極小值；（2），．
【詳解】（1）的導(dǎo)數(shù)為，
可得的圖象在，（1）處的切線斜率為，
由切線與直線平行，可得，
即，，
，
由，可得，由，可得，
則在遞增，在遞減，
可得在處取得極大值為，無極小值；
（2）可設(shè)，若，，
，可得，
即有，
設(shè)在為增函數(shù)，
即有對恒成立，
可得在恒成立，
由的導(dǎo)數(shù)為得：
當，可得，
在遞減，在，遞增，
即有在處取得極小值，且為最小值，
可得，
解得，
則實數(shù)的取值范圍是，．
14．（2022·河南·鄭州勵德雙語學(xué)校高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù) .
(1)當時,討論的單調(diào)性；
(2)設(shè)，當時,若對任意,存在使,求實數(shù)取值范圍.
【答案】（1）當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增;函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）．
【詳解】(1)定義域
因為
所以
令
(i)當時,
所以當時, ,此時,函數(shù)單調(diào)遞增;
當時, ,此時,函數(shù)單調(diào)遞增
(ii)當時,由,
即,解得
①當時, ，恒成立,此時,函數(shù)在上單調(diào)遞減;
②當時,
時, ,此時,函數(shù)單調(diào)遞減；
時, ,此時,函數(shù)單調(diào)遞增；
時, ,此時,函數(shù)單調(diào)遞減；
③當時,由于
時, ,此時,函數(shù)單調(diào)遞減；
時, ,此時,函數(shù)單調(diào)遞增；
綜上所述:
當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減；
函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減；
函數(shù)在上單調(diào)遞增;
函數(shù)在上單調(diào)遞減
(2)因為,由于(I)知, ,當時, ,
函數(shù)單調(diào)遞減:當時, ,函數(shù)單調(diào)遞增,所以在上的最小值為
由于“對任意,存在,使”等價于“在上的最小值不大于在上的最小值”
又,,所以
①當時,因為 ,此時與矛盾
②當時,因為,同樣與矛盾
③當時,因為，解不等式
可得
綜上, 的取值范圍是．
15．（2022·四川樂山·高二期末（文））已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最大值；
(2)斜率為k的直線與曲線交于，兩點，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
（1）
∵，令，得．當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，∴．
（2）
∵，又，則，則，欲證，
只需證．只要證，令，只要證，由知，只要證．
①設(shè)，∵，∴在是增函數(shù)，∴當時，，即；
②設(shè)，∵ ，∴在是增函數(shù)，∴當時，，即．
由①②知成立，則得證．
16．（2022·江西·二模（理））設(shè)為實數(shù)，函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
(2)若方程有兩個實數(shù)根，證明：（是自然對數(shù)的底數(shù)）
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
(1)
，
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
(2)
證明：，
令，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，∴，
不妨設(shè)，則，故，
令，所以，
要證，只要證，只要證，
令，
設(shè)，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∵，則存在，使得，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∵，
∴在上恒成立，即證．
17．（2022·天津二十中高三期中）已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求整數(shù)a的最小值；
(3)當時，函數(shù)恰有兩個不同的零點，且，求證：.
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為
(2)2
(3)證明見解析
【詳解】（1）當時，，所以，
則，定義域為.
令，解得：.
所以的單調(diào)增區(qū)間為.
（2）依題意對恒成立，等價于對恒成立.
令，則
令在上是增函數(shù)，
，
所以，使即
對，，，所以在上單調(diào)遞增；
對，，，所以在上單調(diào)遞減.
所以.
所以.
又，所以整數(shù)a的最小值2
（3）當時，由（2）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減且，時，；時，；
依題意存在，使得
已知可得
要證成立，只需證
因為是的零點，所以，
兩式相減得：
即
只需證
又因為只需證
即證
令則，所以，
所以在增函數(shù)，所以即.
即成立.
所以原不等式得證.
18．（2022·四川·鹽亭中學(xué)模擬預(yù)測（文））設(shè)m為實數(shù)，函數(shù).
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若方程有兩個實數(shù)根，證明：.（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）
【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
(2)證明見解析
（1）
，
令解得：；令解得：
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.
（2）
證明：，
令，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則的極大值為：，
，不妨設(shè)，則，故，
令，所以，
要證，只要證：，
只要證：，
令，
設(shè)，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∵，
則存在，使得，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
在上恒成立，
即證得：.
減
極小值
增

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