8.1.2　用二分法求方程的近似解1．通過實例理解二分法的概念．(難點)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．3．能夠借助計算器用二分法求方程的近似解．(重點)借助二分法的操作步驟與思想，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)． 通過上一節(jié)的學(xué)習(xí)，利用函數(shù)的零點存在定理可以確定函數(shù)的零點所在的區(qū)間，請利用計算器嘗試探求函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6零點的近似值(精確到0.1)．知識點1　二分法的定義對于在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值，即f(x)＝0的近似解的方法叫作二分法．1．觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點的是(　　)A　　　　B　 　　C　　　　D[答案]　A知識點2　用二分法求方程的一個近似解的操作流程以上操作過程中，如果存在c，使得f(c)＝0，那么c就是方程f(x)＝0的一個精確值．用“二分法”求方程的近似解時，應(yīng)通過移項問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點近似值．如求f(x)＝g(x)的近似解時可構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，將問題轉(zhuǎn)化為求h(x)的零點近似值的問題．2．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　　)(2)函數(shù)f(x)＝|x|可以用二分法求零點． (　　)(3)用二分法求函數(shù)零點的近似值時，每次等分區(qū)間后，零點必定在右側(cè)區(qū)間內(nèi)． (　　)(4)用“二分法”求方程的近似解一定可將y＝f(x)在[a，b]內(nèi)的所有零點得到． (　　)[提示]　四句話都是錯的．(1)中，二分法求出的解也有精確解，如f(x)＝x－1在(0,2)上用二分法求解時，中點為x＝1，而f(1)＝0．(2)中， f(x)＝|x|≥0，不能用二分法．(3)中，二分法求零點時，零點可以在等分區(qū)間后的右側(cè)，也可以在左側(cè)．(4)中f(x)在[a，b]內(nèi)的近似解可能有多個，而二分法求解時，只須達到一定的精確度即可，故可能會漏掉一些，另外在等分區(qū)間后，中點的函數(shù)值與某一端點函數(shù)值同號時內(nèi)部也未必沒有零點，故采用“二分法”不一定求出函數(shù)的所有零點的近似解．[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 類型1　“二分法”的概念【例1】　下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求函數(shù)零點近以值的是(　　)A　　　　B　　　　C　　　　DD　[根據(jù)二分法的基本方法，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)<0，即函數(shù)的零點是變號零點，才能將區(qū)間[a，b]一分為二，逐步得到零點的近似值．對各圖象分析可知，選項A、B、C都符合條件，而選項D不符合，由于零點左右兩側(cè)的函數(shù)值不變號，因此不能用二分法求函數(shù)零點的近似值．故選D．]判斷一個函數(shù)能否用二分法求其零點的依據(jù)是：其圖象在零點附近是連續(xù)不斷的，且該零點為變號零點.因此，用二分法求函數(shù)的零點近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點適用，對函數(shù)的不變號零點不適用.1．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，其中零點的個數(shù)與可以用二分法求解的個數(shù)分別為(　　)A．4,4　　　　　 B．3,4C．5,4     D．4,3D　[圖象與x軸有4個交點，所以零點的個數(shù)為4；左右函數(shù)值異號的零點有3個，所以用二分法求解的個數(shù)為3，故選D．]2．關(guān)于“二分法”求方程的近似解，下列說法正確的是(　　)A．“二分法”求方程的近似解一定可將y＝f(x)在[a，b]內(nèi)的所有零點得到B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]內(nèi)的零點C．應(yīng)用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]內(nèi)有可能無零點D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]內(nèi)的精確解D　[如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法，且在區(qū)間內(nèi)存在兩個及以上的實根，二分法只可能求出其中的一個，∴A錯誤；二分法的實施滿足零點存在定理，在區(qū)間內(nèi)一定存在零點，∴B錯誤；C只要限定了近似解的范圍就可以得到方程的近似解，∴C錯誤；“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函數(shù)的精確零點，∴D正確．] 類型2　用“二分法”求方程的近似解【例2】　利用計算器，求方程ln x＝2－x的近似解(精確到0.1)．[解]　分別畫出函數(shù)y＝ln x和y＝2－x的圖象，如圖所示，在兩個函數(shù)圖象的交點處，函數(shù)值相等．因此，這個點的橫坐標就是方程ln x＝2－x的解．由函數(shù)y＝ln x 與y＝2－x的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程ln x＝2－x有唯一解，且這個解在區(qū)間(1,2)內(nèi)．設(shè)f(x)＝ln x＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點即方程ln x＝2－x的解，記為x0，利用計算器計算得f(1)＜0，f(2)＞0?x0∈(1,2)；f(1.5)＜0，f(2)＞0?x0∈(1.5,2)；f(1.5)＜0，f(1.75)＞0?x0∈(1.5,1.75)；f(1.5)＜0，f(1.625)＞0?x0∈(1.5,1.625)；f(1.5)＜0，f(1.562 5)＞0?x0∈(1.5,1.562 5)；f(1.531 25)＜0，f(1.562 5)＞0?x0∈(1.531 25,1.562 5)；f(1.546 875)＜0，f(1.562 5)＞0?x0∈(1.546 875，1.562 5)；f(1.554 687 5)＜0，f(1.562 5)＞0?x0∈(1.554 687 5,1.562 5)；因為1.554 687 5與1.562 5精確到0.1的近似值都為1.6，所以方程ln x＝2－x的近似解為x0≈1.6．用二分法求方程的近似解應(yīng)明確兩點?1?根據(jù)函數(shù)的零點與相應(yīng)方程的解的關(guān)系，求函數(shù)的零點與求相應(yīng)方程的解是等價的，求方程f?x?＝0的近似解，即按照用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟求解.?2?對于求形如f?x?＝g?x?的方程的近似解，可以通過移項轉(zhuǎn)化成求形如F?x?＝f?x?－g?x?＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟求解.3．求的近似值．(精確到0.1)[解]　是x3＝2的根，因此可構(gòu)造f(x)＝x3－2，問題轉(zhuǎn)化為“求f(x)的零點的近似解”．用二分法求其零點．由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0．故可取區(qū)間[1,2]為計算的初始區(qū)間．用二分法逐次計算，如下：f(1)<0，f(1.5)>0?x1∈(1,1.5)，f(1.25)<0，f(1.5)>0?x1∈(1.25,1.5)，f(1.25)<0，f(1.375)>0?x1∈(1.25,1.375)，f(1.25)<0，f(1.312 5)>0?x1∈(1.25,1.312 5)，因為1.25與1.312 5精確到0.1的近似值都為1.3，所以1.3是精確到0.1的近似值．1．用“二分法”可求一元方程的近似解，對于精確到ε的說法正確的是(　　)A．ε越大，近似解的精確度越高B．ε越大，近似解的精確度越低C．重復(fù)計算次數(shù)就是εD．重復(fù)計算次數(shù)與ε無關(guān)B　[依“二分法”的具體步驟可知，ε越大，近似解的精確度越低．]2．在用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值時，第一次取的區(qū)間是[－2,4]，則第三次所取的區(qū)間可能是(　　)A．[1,4]　　　　　　　　 B．[－2,1]C．[－2,2.5]     D．[－0.5,1]D　[因第一次所取的區(qū)間是[－2,4]，所以第二次所取的區(qū)間可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的區(qū)間可能為[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有D在其中，故答案為D．]3．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則不能利用二分法求解的零點是________．x3　[因為x3左右兩側(cè)的函數(shù)值同號，故其不能用二分法求解．]4．用二分法求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(2,4)上的近似解，驗證f(2)·f(4)<0，精確到0.1，取區(qū)間(2,4)的中點x1＝＝3，計算得f(2)·f(x1)<0，則此時零點x0∈________．(填區(qū)間)(2,3)　[由f(2)·f(3)<0可知，x0∈(2,3)．]5．如圖，一塊電路板的線路AB之間有64個串聯(lián)的焊接點(不含端點A，B)，如果線路不通的原因是由于焊口脫落所致，要想檢驗出哪一處的焊口脫落，則至多需要檢測________次．6　[第1次取中點把焊點數(shù)減半為＝32，第2次取中點把焊點數(shù)減半為＝16，第3次取中點把焊點數(shù)減半為＝8，第4次取中點把焊點數(shù)減半為＝4，第5次取中點把焊點數(shù)減半為＝2，第6次取中點把焊點數(shù)減半為＝1，所以至多需要檢測的次數(shù)是6．]回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題．1．用二分法求函數(shù)近似零點時，函數(shù)應(yīng)滿足哪些條件？[提示]　(1)f(x)在區(qū)間(a，b)上的圖象連續(xù)不斷．(2)在區(qū)間(a，b)端點的函數(shù)值f(a)·f(b)<0．2．使用二分法求方程近似解的理論依據(jù)是什么？[提示]　零點存在定理． 

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