1.分類加法計(jì)數(shù)原理
eq \\ac(○,1)有n類方法
完成一件事 eq \\ac(○,2)任兩類無公共方法（互斥） 共有
eq \\ac(○,3)每類中每法可單獨(dú)做好這件事
SKIPIF 1 < 0 種不同方法.
2.分步乘法計(jì)數(shù)原理
eq \\ac(○,1)必須走完n步，才能完成任務(wù)
完成一件事 eq \\ac(○,2)前一步怎么走對(duì)后一步怎么 共有
走無影響（獨(dú)立）
SKIPIF 1 < 0 種不同方法.
3.排列與排列數(shù)
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)（不同）元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.從n個(gè)不同元素中選取m個(gè)元素(n≥m)的排列個(gè)數(shù)共有 SKIPIF 1 < 0 .
4.組合與組合數(shù)
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)(不同)元素，并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)共有 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
【典型例題】
例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）互不相同的 SKIPIF 1 < 0 盆菊花，其中 SKIPIF 1 < 0 盆為白色， SKIPIF 1 < 0 盆為黃色， SKIPIF 1 < 0 盆為紅色，現(xiàn)要擺成一排，要求紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 種B． SKIPIF 1 < 0 種C． SKIPIF 1 < 0 種D． SKIPIF 1 < 0 種
【答案】D
【詳解】
紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，即紅色菊花兩邊各一盆白色菊花，一盆黃色菊花，共有 SKIPIF 1 < 0 種擺放方法．
故選：D.
例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某地計(jì)劃在10月18日至11月18日舉辦“菊花花會(huì)”，如圖是某展區(qū)的一個(gè)菊花布局圖，現(xiàn)有5個(gè)不同品種的菊花可供選擇擺放，要求相鄰的兩個(gè)展區(qū)不使用同一種菊花，則不同的布置方法有（ ）
A．240種B．300種
C．360種D．420種
【答案】D
【詳解】
先放A，共有5種選擇，
若B、D選則同一種花，有四種選擇，剩下的C、E均有三種選擇，共 SKIPIF 1 < 0 種，
若B、D選則不同種花，有 SKIPIF 1 < 0 種選擇，剩下的C、E均有兩種選擇，共 SKIPIF 1 < 0 種，
故共有180+240=420種.
故選：D.
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有五名學(xué)生站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲不排在乙的左邊，則不同的站法共有( )
A．66種B．60種C．36種D．24種
【答案】B
【詳解】
首先對(duì)五名學(xué)生全排列，則共有 SKIPIF 1 < 0 種情況，
又因?yàn)橹挥屑自谝业淖筮吇蛴疫厓煞N情況，
所以甲不排在乙的左邊的不同的站法共有 SKIPIF 1 < 0 種情況.
故選：B
例4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）永州是一座有著兩千多年悠久歷史的湘南古邑，民俗文化資源豐富.在一次民俗文化表演中，某部門安排了《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》、《女書表演》六個(gè)節(jié)目，其中《祁陽小調(diào)》與《道州調(diào)子戲》不相鄰，則不同的安排種數(shù)為（ ）
A．480B．240C．384D．1440【答案】A
【詳解】
第一步，將《東安武術(shù)》、《零陵漁鼓》、《瑤族傘舞》、《女書表演》四個(gè)節(jié)目排列，有 SKIPIF 1 < 0 種排法；
第二步，將《祁陽小調(diào)》、《道州調(diào)子戲》插入前面的4個(gè)節(jié)目的間隙或者兩端，有 SKIPIF 1 < 0 種插法；
所以共有 SKIPIF 1 < 0 種不同的安排方法.
故選：A
例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）疫情期間，有6名同學(xué)去社區(qū)做防疫志愿者，根據(jù)需要，要安排這6名同學(xué)去甲?乙兩個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)至少去2名同學(xué)，則不同的安排方法共有( )
A．10種B．20種C．50種D．70種
【答案】C
【詳解】
根據(jù)題意，分2種情況，
(1)①將6人分為人數(shù)為2和4的2組，有 SKIPIF 1 < 0 種分組方法，
②將分好的2組全排列，安排到2個(gè)核酸點(diǎn)，有 SKIPIF 1 < 0 種情況，則有 SKIPIF 1 < 0 種不同的安排方法；
(2)①將6人分為人數(shù)為3和3的2組，有 SKIPIF 1 < 0 種分組方法，
②將分好的2組全排列，安排到2個(gè)核酸點(diǎn)，有 SKIPIF 1 < 0 種情況，則有 SKIPIF 1 < 0 種不同的安排方法；
∴不同的安排方法有 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C．
例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到A、B、C三個(gè)班級(jí)中，要求每個(gè)班級(jí)至少分到一人，則甲被分到A班級(jí)的概率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【詳解】
將甲、乙、丙、丁 SKIPIF 1 < 0 名同學(xué)分到 SKIPIF 1 < 0 三個(gè)班級(jí)中，要求每個(gè)班級(jí)至少分到一人，
則將甲、乙、丙、丁 SKIPIF 1 < 0 名同學(xué)分成三組，人數(shù)分別為1，1，2；則共有 SKIPIF 1 < 0 種方法，分配給 SKIPIF 1 < 0 三個(gè)班級(jí)的所有方法有 SKIPIF 1 < 0 種；
甲被分到A班，有兩種情況：
甲單獨(dú)一人分到A班，則剩余兩個(gè)班級(jí)分別為1人和2人，共有 SKIPIF 1 < 0 種；
二，甲和另外一人分到A班，則剩余兩個(gè)班級(jí)各1人，共有 SKIPIF 1 < 0 種；
綜上可知，甲被分到 SKIPIF 1 < 0 班的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從三個(gè)小區(qū)中選取6人做志愿者，每個(gè)小區(qū)至少選取1人，則不同的選取方案數(shù)為（ ）
A．10B．20C．540D．1080
【答案】A
【詳解】
從三個(gè)小區(qū)中選取6人做志愿者，每個(gè)小區(qū)至少選取1人，
即6個(gè)志愿者名額分到3個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少1個(gè)，
等價(jià)于6個(gè)相同的小球分成3組，每組至少1個(gè)，
將6個(gè)小球排成一排，除去兩端共有5個(gè)空，
從中任取2個(gè)插入擋板，共有 SKIPIF 1 < 0 （種）方法，
即從三個(gè)小區(qū)中選取6人做志愿者，每個(gè)小區(qū)至少選取1人，不同的選取方案數(shù)為10.
故選：A
例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））將4本不同的書本全部分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每位同學(xué)都分到書的分法有（ ）
A．12種B．24種C．32種D．36種
【答案】D
【詳解】
依題意，將4本不同的書任取2本為1份，余下兩本各1份，分成3份有 SKIPIF 1 < 0 種分法，
再將分得的3份送給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人1份有 SKIPIF 1 < 0 種送法，由分步計(jì)數(shù)乘法原理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以每位同學(xué)都分到書的分法有36種.故選：D
例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））10名同學(xué)合影，站成了前排3人，后排7人，現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站前排，其他人的相對(duì)順序不變，則不同的調(diào)整方法的種數(shù)為_______（用數(shù)字作答）．
【答案】420
【詳解】
可從后排7人中任取2人，插入前排，調(diào)整方法數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：420．
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某班有9名運(yùn)動(dòng)員，其中5人會(huì)打籃球，6人會(huì)踢足球，現(xiàn)從中選出2人分別參加籃球賽和足球賽，則不同的選派方案有（ ）
A．28種B．30種
C．27種D．29種
【答案】A
【分析】
依題意可得有 SKIPIF 1 < 0 人既會(huì)踢足球又會(huì)打籃球，有3人只會(huì)打籃球，有4人只會(huì)踢足球，則選派的方案有四類：①選派兩種球都會(huì)的兩人；②從兩種球都會(huì)的選1人踢足球，再?gòu)闹粫?huì)打籃球的選1人；③從兩種球都會(huì)的選1人打籃球，再?gòu)闹粫?huì)踢足球的選1人；④選派只會(huì)打籃球和踢足球的運(yùn)動(dòng)員分別打籃球和踢足球；按照分步乘法計(jì)數(shù)原理與分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；
【詳解】
解：有9名運(yùn)動(dòng)員，其中5人會(huì)打籃球，6人會(huì)踢足球，則有 SKIPIF 1 < 0 人既會(huì)踢足球又會(huì)打籃球，有3人只會(huì)打籃球，有4人只會(huì)踢足球，
所以選派的方案有四類：
選派兩種球都會(huì)的運(yùn)動(dòng)員有2種方案；
選派兩種球都會(huì)的運(yùn)動(dòng)員中一名踢足球，只會(huì)打籃球的運(yùn)動(dòng)員打籃球，有 SKIPIF 1 < 0 （種）方案；
選派兩種球都會(huì)的運(yùn)動(dòng)員中一名打籃球，只會(huì)踢足球的運(yùn)動(dòng)員踢足球，有 SKIPIF 1 < 0 （種）方案；
選派只會(huì)打籃球和踢足球的運(yùn)動(dòng)員分別打籃球和踢足球，有 SKIPIF 1 < 0 （種）方案.
綜上可知，共有 SKIPIF 1 < 0 （種）方案，
故選：A.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機(jī)航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是（ ）
A．26B．60
C．18D．1080
【答案】A
【分析】
按照分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；
【詳解】
解：由分類加法計(jì)數(shù)原理知有 SKIPIF 1 < 0 （種）不同走法.
故選：A
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某班班干部有4名男生和5名女生組成，從9人中選1人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則不同的選法共有（ ）
A．4種B．5種C．9種D．20種
【答案】C
【分析】
分兩類：從男生中選和從女生中選，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得總的選法數(shù)量﹒
【詳解】
分兩類：一類從男生中選，有4種方法；一類從女生中選，有5種方法；用加法原理共有4＋5＝9種方法．
故選：C．
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知某教學(xué)大樓共有四層，每層都有東、西兩個(gè)樓梯，則從一層到四層不同的走法種數(shù)為（ ）
A．32B．23
C．43D．24
【答案】B
【分析】
由于每上一層樓有2種走法，所以由分步乘法原理可求得答案
【詳解】
根據(jù)題意，教學(xué)大樓共有四層，每層都有東、西兩個(gè)樓梯，則從一層到二層，有2種走法，同理從二層到三層、從三層到四層也各有2種走法，
則從一層到四層共有2×2×2＝23種走法．
故選：B.
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個(gè)號(hào)碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從0~9這十個(gè)數(shù)字中選擇（數(shù)字可以重復(fù)），有車主第一個(gè)號(hào)碼（從左到右）只想在數(shù)字3，5，6，8，9中選擇，其他號(hào)碼只想在1，3，6，9中選擇，則他的車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有（ ）
A．180種B．360種
C．720種D．960種
【答案】D
【分析】
按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；
【詳解】
解：按照車主的要求，從左到右第一個(gè)號(hào)碼有5種選法，第二個(gè)號(hào)碼有3種選法，其余三個(gè)號(hào)碼各有4種選法.因此車牌號(hào)碼可選的所有可能情況有 SKIPIF 1 < 0 （種）.
故選：D
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某公交車上有6位乘客，沿途4個(gè)車站，乘客下車的可能方式有（ ）
A．64種B．46種C．24種D．360種
【答案】B
【分析】
對(duì)于每一位乘客都有4種下車可能，即可求6位乘客的可能下車情況數(shù).
【詳解】
由題意，每一位乘客都有4種選擇，故乘客下車的可能方式有4×4×4×4×4×4＝46種，
故選：B．
7．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在某校舉行一次閱讀分享活動(dòng)中，需從4名男生和3名女生中任選4人參加，若這4人必須既有男生又有女生，則不同的選法的種數(shù)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】這4人必須既有男生又有女生分為3類，然后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理以及組合數(shù)分別求出結(jié)果，再利用分類計(jì)數(shù)原理即可求出結(jié)果.
【詳解】
這4人必須既有男生又有女生分為3類，
（1）1男生3女生，共有 SKIPIF 1 < 0 種，
（2）2男生2女生，共有 SKIPIF 1 < 0 種，
（3）3男生1女生，共有 SKIPIF 1 < 0 種，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有 SKIPIF 1 < 0 種，
故選：D.
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇．要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為
A．24種B．48種C．72種D．96種
【答案】C
【詳解】
試題分析：按照先A再BD最后CE的順序，分兩種情況涂色，1：BD同色，有 SKIPIF 1 < 0 ;2：BD不同色，有 SKIPIF 1 < 0 種
考點(diǎn)：1.分步計(jì)數(shù)原理；2.分情況討論
9．（2021·福建·三模）《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的天文學(xué)?數(shù)學(xué)著作，公元3世紀(jì)初中國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了“勾股圓方圖”(如圖)，用以證明其中記載的勾股定理.現(xiàn)提供4種不同顏色給如圖中5個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則不同涂色的方法種數(shù)為（ ）
A．36B．48C．72D．96【答案】C
【分析】
根據(jù)題意，分2步依次分析區(qū)域 SKIPIF 1 < 0 和區(qū)域 SKIPIF 1 < 0 的涂色方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.
【詳解】
解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①對(duì)于區(qū)域 SKIPIF 1 < 0 ，三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，有 SKIPIF 1 < 0 種涂色的方法，
②對(duì)于區(qū)域 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域與 SKIPIF 1 < 0 顏色相同， SKIPIF 1 < 0 區(qū)域有2種選法，
若 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域與 SKIPIF 1 < 0 顏色不同，則 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域有1種選法， SKIPIF 1 < 0 區(qū)域也只有1種選法，
則區(qū)域 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 種涂色的方法，
則有 SKIPIF 1 < 0 種涂色的方法，
故選：C.
10．（2021·陜西·西安市經(jīng)開第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））用5種不同顏色給圖中5個(gè)車站的候車牌( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )染色，要求相鄰的兩個(gè)車站間的候車牌不同色，有（ ）種染色方法
A．120B．180C．360D．420
【答案】D
【分析】
根據(jù) SKIPIF 1 < 0 用三種顏色、四種顏色、五種顏色分三類，結(jié)合分類計(jì)算原理、排列的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】
SKIPIF 1 < 0 用三種顏色涂色，則有 SKIPIF 1 < 0 種方式；
SKIPIF 1 < 0 用四種顏色涂色，則有 SKIPIF 1 < 0 種方式；
SKIPIF 1 < 0 用五種顏色涂色，則有 SKIPIF 1 < 0 種方式，所以一共有 SKIPIF 1 < 0 種方式.
故選：D.
11．（2021·河南·高三階段練習(xí)（理））如圖，準(zhǔn)備用 SKIPIF 1 < 0 種不同的顏色給 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 五塊區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域隨機(jī)用一種顏色涂色，且相鄰區(qū)域（有公共邊的）所涂顏色不能相同，則不同涂色方法的種數(shù)共有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意，涂色分 SKIPIF 1 < 0 步進(jìn)行，第一步對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域，有 SKIPIF 1 < 0 種顏色可選，第二步對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域，與 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域相鄰，有 SKIPIF 1 < 0 種情況，第三步對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域，與 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域相鄰，有 SKIPIF 1 < 0 種情況，第四步對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域，分 SKIPIF 1 < 0 種情況討論，然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果
【詳解】
根據(jù)題意，涂色分 SKIPIF 1 < 0 步進(jìn)行分析：
對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域，有 SKIPIF 1 < 0 種顏色可選，即有 SKIPIF 1 < 0 種情況，
對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域，與 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域相鄰，有 SKIPIF 1 < 0 種情況，
對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域，與 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域相鄰，有 SKIPIF 1 < 0 種情況，
對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域，分 SKIPIF 1 < 0 種情況討論：
若 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域與 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域涂色的顏色相同，則 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域有 SKIPIF 1 < 0 種顏色可選，即有 SKIPIF 1 < 0 種情況，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域有 SKIPIF 1 < 0 種情況；
若 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域與 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域所涂的顏色不相同，則 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域有 SKIPIF 1 < 0 種情況， SKIPIF 1 < 0 區(qū)域有2種情況，
此時(shí) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域有 SKIPIF 1 < 0 種情況，
則 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 區(qū)域共有 SKIPIF 1 < 0 種情況，
則不同涂色的方案種數(shù)共有 SKIPIF 1 < 0 種．
故選：C．
12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））甲、乙、丙、丁4名同學(xué)和1名老師站成一排合影留念，要求老師必須站在中間，則不同站法種數(shù)為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
只需考慮將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)全排列即刻.
【詳解】
解：根據(jù)題意，將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)全排列，有 SKIPIF 1 < 0 種排法，老師必須站在中間，有1種安排方法，則有 SKIPIF 1 < 0 種站法；
故選:B
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某國(guó)際會(huì)議結(jié)束后，中、美、俄等21國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人也站前排并與中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，如果對(duì)其他國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( )
A． SKIPIF 1 < 0 種B． SKIPIF 1 < 0 種
C． SKIPIF 1 < 0 種D． SKIPIF 1 < 0 種
【答案】D
【分析】
先排中國(guó)，再排美俄兩國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人，其他國(guó)家任意排即可﹒
【詳解】
中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站前排并與中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，有 SKIPIF 1 < 0 種站法；其他18國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人可以任意站，因此有 SKIPIF 1 < 0 種站法．
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有 SKIPIF 1 < 0 種站法．
故選：D．
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有五名學(xué)生站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲不排在乙的左邊，則不同的站法共有( )
A．66種B．60種C．36種D．24種
【答案】B
【分析】首先利用全排列并結(jié)合已知條件即可求解.
【詳解】
首先對(duì)五名學(xué)生全排列，則共有 SKIPIF 1 < 0 種情況，
又因?yàn)橹挥屑自谝业淖筮吇蛴疫厓煞N情況，
所以甲不排在乙的左邊的不同的站法共有 SKIPIF 1 < 0 種情況.
故選：B
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）七人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙?丙兩人必須相鄰，則排法共有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 種B． SKIPIF 1 < 0 種C． SKIPIF 1 < 0 種D． SKIPIF 1 < 0 種
【答案】D
【分析】
特殊元素優(yōu)先安排，先讓甲從頭、尾中選取一個(gè)位置，再利用捆綁法即求.
【詳解】
特殊元素優(yōu)先安排，先讓甲從頭、尾中選取一個(gè)位置，有 SKIPIF 1 < 0 種選法，乙、丙相鄰，捆綁在一起看作一個(gè)元素，與其余四個(gè)元素全排列，最后乙、丙可以換位，故共有 SKIPIF 1 < 0 (種)．
故選：D
16．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）高三某班課外演講小組有4位男生、3位女生，從中選拔出3位男生、2位女生，然后5人在班內(nèi)逐個(gè)進(jìn)行演講，則2位女生不連續(xù)演講的方式有（ ）
A．864種B．432種C．288種D．144種
【答案】A
【分析】
分步完成：第一步選3位男生排列，第二步選2位女生插入男生形成的空檔中，由乘法原理可得．
【詳解】
由題意可分步完成：第一步選3位男生排列，第二步選2位女生插入男生形成的空檔中，
方法數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：A．
17．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是（ ）
A．12B．24C．64D．81
【答案】B
【分析】
題目考察簡(jiǎn)單的排列問題，即四本書選三本給三個(gè)人，符合 SKIPIF 1 < 0 的含義
【詳解】
4本不同的課外讀物選3本分給3位同學(xué)，每人一本，則不同的分配方法種數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：B
18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日在北京開幕．為保證冬奧會(huì)順利進(jìn)行，組委會(huì)需要提前把各項(xiàng)工作安排好．現(xiàn)要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服務(wù)，每天一人，甲兩天，乙三天，丙和丁各一天，則不同的安排方法有（ ）
A．840種B．140種
C．420種D．210種
【答案】C
【分析】
使用特殊元素法，直接計(jì)算即可.
【詳解】
由題可知：甲兩天，乙三天，丙和丁各一天
所以不同的安排方法有 SKIPIF 1 < 0 種
故選：C
19．（2021·四川·綿陽中學(xué)高三階段練習(xí)）某國(guó)際旅行社現(xiàn)有11名對(duì)外翻譯人員，其中有5人只會(huì)英語，4人只會(huì)法語，2人既會(huì)英語又會(huì)法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（ ）種不同的選法
A．225B．185C．145D．110
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意，按“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”的參與情況進(jìn)行討論，由加法原理計(jì)算可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，按“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”的參與情況分成三類．
①“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”不參加，這時(shí)有 SKIPIF 1 < 0 種；
②“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”中有一人入選，
這時(shí)又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，
因此有 SKIPIF 1 < 0 種；
③“2人既會(huì)英語又會(huì)法語”中兩個(gè)均入選，
這時(shí)又分三種情況：兩個(gè)都譯英文、兩個(gè)都譯日文、兩人各譯一個(gè)語種，
因此有 SKIPIF 1 < 0 種．
綜上分析，共可開出 SKIPIF 1 < 0 種．
故選：B．
二、填空題
20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有A，B，C型高級(jí)電腦各一臺(tái)，甲.乙.丙.丁4個(gè)操作人員的技術(shù)等級(jí)不同，甲.乙會(huì)操作三種型號(hào)的電腦，丙不會(huì)操作C型電腦，而丁只會(huì)操作A型電腦.從這4個(gè)操作人員中選3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦，則不同的選派方法有________種(用數(shù)字作答).
【答案】8
【分析】
由題意，分選甲.乙.丙，選甲.乙.丁，選甲.丙.丁，選乙.丙.丁四類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解.
【詳解】
解：由于丙，丁兩位操作人員的技術(shù)問題，要完成“從4個(gè)操作人員中選3人去操作這三種型號(hào)的電腦”這件事，
則甲，乙兩人至少要選派一人，可分四類：
第1類，選甲.乙.丙3人，由于丙不會(huì)操作C型電腦，分2步安排這3人操作的電腦的型號(hào)，有2×2＝4種方法；
第2類，選甲.乙.丁3人，由于丁只會(huì)操作A型電腦，這時(shí)安排3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦，有2種方法；
第3類，選甲.丙.丁3人，這時(shí)安排3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦，只有1種方法；
第4類，選乙.丙.丁3人，同樣也只有1種方法.
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有4＋2＋1＋1＝8種選派方法.故答案為：8
21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））某公司招牌5名員工，分給下屬的甲乙兩個(gè)部門，其中2名英語翻譯人員不能分給同一部門，另3名電腦編程人員不能都分給同一部門，則不同的分配方案種數(shù)是______．
【答案】12
【分析】
分甲部門2名電腦編程人員和1名電腦編程人員兩種情況討論，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；
【詳解】
解：由題意可得，
①若甲部門要2名電腦編程人員，則有3種情況；2名英語翻譯人員的分配方法有2種．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，分配方案共有 SKIPIF 1 < 0 （種）．
②若甲部門要1名電腦編程人員，則有3種情況；2名英語翻譯人員的分配方法有2種．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，分配方案有 SKIPIF 1 < 0 （種）．由分類加法計(jì)數(shù)原理，可得不同的分配方案共有 SKIPIF 1 < 0 （種）．
故答案為： SKIPIF 1 < 0
22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）小明有4枚完全相同的硬幣，每個(gè)硬幣都分正反兩面.他想把4個(gè)硬幣擺成一摞，且滿足相鄰兩枚硬幣的正面與正面不相對(duì)，不同的擺法有________種.
【答案】5
【分析】
運(yùn)用枚舉法即可求得答案.
【詳解】
記反面為1，正面為2，則正反依次相對(duì)有12121212，21212121兩種；有兩枚反面相對(duì)有21121212，21211212，21212112三種，共5種擺法.
故答案為：5.
23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古人用天干、地支來表示年、月、日、時(shí)的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________組．
【答案】60
【分析】
首先根據(jù)題意分成兩類，分別計(jì)算各類的結(jié)果再相加即可.【詳解】
分兩類：第一類：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有5×6＝30(組)不同的結(jié)果．
第二類：用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，
則有5×6＝30(組)不同的結(jié)果．
共可得到30＋30＝60(組)．
故答案為：60
24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）杭州亞運(yùn)會(huì)啟動(dòng)志愿者招募工作，甲、乙等6人報(bào)名參加了A、B、C三個(gè)項(xiàng)目的志愿者工作，因工作需要，每個(gè)項(xiàng)目?jī)H需1名志愿者，每人至多參加一個(gè)項(xiàng)目，若甲不能參加A、B項(xiàng)目，乙不能參加B、C項(xiàng)目，那么共有__________種不同的選拔志愿者的方案.（用數(shù)字作答）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
由題意，按照甲乙是否參加志愿活動(dòng)分4種情況討論，求出每種情況的選拔方案數(shù)量，再由加法計(jì)數(shù)原理相加計(jì)算.
【詳解】
根據(jù)題意，分4種情況討論：①甲乙都不參加志愿活動(dòng)，在剩下的4人中任選3人參加即可，有 SKIPIF 1 < 0 種選拔方法；
②甲參加但乙不參加志愿活動(dòng)，甲只能參加C項(xiàng)目，在剩下的4人中任選2人參加A、B項(xiàng)目，有 SKIPIF 1 < 0 種選拔方法；
③乙參加但甲不參加志愿活動(dòng)，乙只能參加A項(xiàng)目，在剩下的4人中任選2人參加B、C項(xiàng)目，有 SKIPIF 1 < 0 種選拔方法；
④甲乙都參加志愿活動(dòng)，在剩下的4人中任選1人參加B項(xiàng)目，有 SKIPIF 1 < 0 種選拔方法，則有 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
25．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）寒假里5名同學(xué)結(jié)伴乘動(dòng)車外出旅游，實(shí)名制購(gòu)票，每人一座，恰在同一排 SKIPIF 1 < 0 五個(gè)座位（一排共五個(gè)座位），上車后五人在這五個(gè)座位上隨意坐，則恰有一人坐對(duì)與自己車票相符座位的坐法有__________種.
【答案】45【分析】
先選出坐對(duì)位置的人，再對(duì)剩下四人進(jìn)行錯(cuò)排，最后利用分布計(jì)數(shù)乘法原理求結(jié)果.
【詳解】
先選出坐對(duì)位置的人，即從5人中選1人，有5種可能；
剩下四人進(jìn)行錯(cuò)排，設(shè)四人座位為 SKIPIF 1 < 0 ，則四人都不坐在自己位置上有 SKIPIF 1 < 0 這9種可能；
所以恰有一人坐對(duì)與自己車票相符座位的坐法有 SKIPIF 1 < 0 種
故答案為：45
【點(diǎn)睛】
本題考查錯(cuò)排問題，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））將甲、乙、丙、丁四位輔導(dǎo)老師分配到A，B，C，D四個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)一位老師，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，則共有分配方案的種數(shù)為______．
【答案】14
【分析】
根據(jù)甲分配的班級(jí)分類討論：一甲分到 SKIPIF 1 < 0 班，二是甲分到 SKIPIF 1 < 0 中的一個(gè)班級(jí)，注意考慮乙班級(jí)即可得．
【詳解】
將分配方案分為甲分配到B班和甲不分配到B班兩種情況：①甲分配到B班 SKIPIF 1 < 0 （種）分配方案；②甲不分配到B班有 SKIPIF 1 < 0 （種）分配方案．由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有 SKIPIF 1 < 0 （種）分配方案．
故答案為：14．
27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了應(yīng)對(duì)美歐等國(guó)的經(jīng)濟(jì)制裁，俄羅斯天然氣公司決定從10名辦公室工作人員中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，則不同的裁員方案的種數(shù)為________．
【答案】182
【分析】
根據(jù)甲、乙中裁一人、都不裁進(jìn)行分類討論，由此求得不同的裁員方案的種數(shù).
【詳解】
甲、乙中裁一人的方案有 SKIPIF 1 < 0 種，甲、乙都不裁的方案有 SKIPIF 1 < 0 種，故不同的裁員方案共有 SKIPIF 1 < 0 ＝182(種)．
故答案為：18228．（2022·河北張家口·高三期末）四個(gè)不同的小球隨機(jī)放入編號(hào)為 SKIPIF 1 < 0 的四個(gè)盒子中，則恰有兩個(gè)空盒的概率為___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式以及排列組合的計(jì)算，求得所求概率.
【詳解】
四個(gè)不同的小球隨機(jī)放入編號(hào)為 SKIPIF 1 < 0 的四個(gè)盒子中共有 SKIPIF 1 < 0 種，若恰有兩個(gè)空盒，則四個(gè)不同的小球可分成1個(gè)和3個(gè)或2個(gè)和2個(gè)，共有 SKIPIF 1 < 0 種，故恰有兩個(gè)空盒的概率為 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某賓館安排A，B，C，D，E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則共有________種不同的安排方法．(用數(shù)字作答)
【答案】114
【分析】
先將 SKIPIF 1 < 0 人分成三組，再安排到 SKIPIF 1 < 0 個(gè)房間，結(jié)合對(duì)立事件來計(jì)算出不同的安排方法數(shù).
【詳解】
5個(gè)人住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，則有(3，1，1)和(2，2，1)兩種，
當(dāng)為(3，1，1)時(shí)，有 SKIPIF 1 < 0 ＝60(種)，A，B住同一房間有 SKIPIF 1 < 0 ＝18(種)，故有60－18＝42(種)，
當(dāng)為(2，2，1)時(shí)，有 SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 ＝90(種)，
A，B住同一房間有 SKIPIF 1 < 0 ＝18(種)，故有90－18＝72(種)，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可知，共有42＋72＝114(種)．
故答案為：114.
30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲?乙?丙?丁四人分別去甘肅?內(nèi)蒙古?北京三個(gè)地方旅游，每個(gè)地方至少有一人去，且甲?乙兩人不能同去一個(gè)地方，則不同分法的種數(shù)有___________.
【答案】30
【分析】
先計(jì)算4人中有兩名分在一個(gè)地方的種數(shù)，和其余二個(gè)看作三個(gè)元素進(jìn)行全排列，再排除甲乙被分到同一個(gè)地方的情況即可﹒
【詳解】
先計(jì)算4人中有兩名分在一個(gè)地方的種數(shù)，可從4個(gè)中選2個(gè)，和其余的2個(gè)看作3個(gè)元素的全排列共有 SKIPIF 1 < 0 種，
再排除甲乙被分在同一地方的情況共有 SKIPIF 1 < 0 種，
∴不同的安排方法種數(shù)是： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：30．
31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有7人排隊(duì)接種新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙丁相鄰，則有______種不同的排隊(duì)方法.（用數(shù)字作答）
【答案】240
【分析】
丙丁捆綁作為一個(gè)人，7個(gè)人7個(gè)位置變成6個(gè)位置，從中選3個(gè)安置甲乙丙（?。?，其他3個(gè)任意排列，由此可得結(jié)論．
【詳解】
丙丁捆綁作為一個(gè)人，7個(gè)人7個(gè)位置變成6個(gè)位置，從中選3個(gè)安置甲乙丙（?。?，其他3個(gè)任意排列，方法數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：240．
32．（2020·遼寧·凌源市第二高級(jí)中學(xué)高三期中）現(xiàn)有7名志愿者，其中只會(huì)俄語的有3人，既會(huì)俄語又會(huì)英語的有4人.從中選出4人擔(dān)任“一帶一路”峰會(huì)開幕式翻譯工作，2人擔(dān)任英語翻譯，2人擔(dān)任俄語翻譯，共有_______種不同的選法．
【答案】60
【分析】
考慮多面手（既會(huì)俄語又會(huì)英語的）的特殊性，按照多面手從事的工作進(jìn)行分類，分別求出每種情況的選法種數(shù)，由分類加法原理即得．
【詳解】
因?yàn)橛⒄Z翻譯只能從多面手中選，所以有
（1）當(dāng)選出的多面手2人從事英語翻譯，沒人從事俄語翻譯，所以有 SKIPIF 1 < 0 種選法；
（2）當(dāng)選出的多面手2人從事英語翻譯，1人從事俄語翻譯，所以有 SKIPIF 1 < 0 種選法；（3）當(dāng)選出的多面手2人從事英語翻譯，2人從事俄語翻譯，所以有 SKIPIF 1 < 0 種選法；
共有18+36+6=60種選法．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查排列、組合的應(yīng)用，涉及到分類討論思想的運(yùn)用，選好標(biāo)準(zhǔn)，要做到不重不漏．
33．（2020·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））世界第三屆無人駕駛智能大賽在天津召開，現(xiàn)在要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、安保、禮儀、服務(wù)四項(xiàng)不同工作，若小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有______種.
【答案】36
【分析】
根據(jù)題意，小趙和小趙智能從事兩項(xiàng)工作，由此分為2種情況討論，結(jié)合排列組合，即可求解.
【詳解】
根據(jù)題意可分為2種情況討論：
（1）若小張或小趙入選，則有 SKIPIF 1 < 0 種不同的選法；
（2）若小張，小趙都入選，則有 SKIPIF 1 < 0 種不同的選法，
綜上可得，共有 SKIPIF 1 < 0 種不同的選法.
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了排列、組合的綜合應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，根據(jù)題意分類討論，結(jié)合排列組合的知識(shí)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.
34．（2018·上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)高三階段練習(xí)）從6名志愿者中選出4個(gè)人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔工作，其中甲、乙兩個(gè)人不能從事翻譯工作，則選派志愿者的方案共有_____種（用數(shù)值作答）
【答案】240
【分析】
由題可考慮先選擇從事翻譯工作的志愿者,再利用排列方法考慮另外三種工作即可.
【詳解】
由題,先考慮從事翻譯工作的志愿者,再考慮另外三種工作.故共有 SKIPIF 1 < 0 種.
故答案為：240
【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用,根據(jù)題意先考慮特定的工作再分析其他工作即可.屬于基礎(chǔ)題型.
三、解答題
35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)．
（1）選其中5人排成一排；
（2）排成前后兩排，前排3人，后排4人；
（3）全體站成一排，男、女各站在一起；
（4）全體站成一排，男生不能站在一起．
【答案】
（1）2520
（2）5040
（3）288
（4）1440
【分析】
（1）從7人中任選5人進(jìn)行全排列即可，
（2）由題意可知相當(dāng)于排成一排的全排列，
（3）利用捆綁法求解即可，
（4）利用插空法求解即可
（1）
問題即為從7個(gè)元素中選出5個(gè)全排列，有 SKIPIF 1 < 0 ＝2 520種排法．
（2）
前排3人，后排4人，相當(dāng)于排成一排，共有 SKIPIF 1 < 0 ＝5 040種排法
（3）
相鄰問題(捆綁法)：男生必須站在一起，是男生的全排列，有 SKIPIF 1 < 0 種排法；女生必須站在一起，是女生的全排列，有 SKIPIF 1 < 0 種排法；全體男生、女生各視為一個(gè)元素，有 SKIPIF 1 < 0 種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有N＝ SKIPIF 1 < 0 ＝288(種)．
（4）不相鄰問題(插空法)：先安排女生共有 SKIPIF 1 < 0 種排法，男生在4個(gè)女生隔成的五個(gè)空中安排共有 SKIPIF 1 < 0 種排法，故N＝ SKIPIF 1 < 0 ＝1 440(種)．

相關(guān)教案

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案第36講 軌跡方程（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案第36講 軌跡方程（含解析），共29頁。教案主要包含了知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，典型例題，技能提升訓(xùn)練等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案第34講 圓的方程（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案第34講 圓的方程（含解析），共56頁。教案主要包含了知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，典型例題，技能提升訓(xùn)練，名師點(diǎn)睛等內(nèi)容，歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案第33講 直線方程（含解析）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案第33講 直線方程（含解析），共43頁。教案主要包含了知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，典型例題，技能提升訓(xùn)練等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)教案 更多

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案第30講 概率小題（含解析）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案第30講 概率小題（含解析）
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案第26講 統(tǒng)計(jì)（含解析）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案第26講 統(tǒng)計(jì)（含解析）
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案第03講 函數(shù)的概念（含解析）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案第03講 函數(shù)的概念（含解析）
新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案第01講 集合（含解析）

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案第01講 集合（含解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部