?第30講 概率小題
【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】
一、必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件
在一定條件下：
①必然要發(fā)生的事件叫必然事件；
②一定不發(fā)生的事件叫不可能事件；
③可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件。
二、概率
在相同條件下，做次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，事件A發(fā)生次，測(cè)得A發(fā)生的頻率為，當(dāng)很大時(shí)，A發(fā)生的頻率總是在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，隨著的增加，擺動(dòng)幅度越來(lái)越小，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做A的概率，記作。對(duì)于必然事件A，；對(duì)于不可能事件A，=0.
三、基本事件和基本事件空間
在一次實(shí)驗(yàn)中，不可能再分的事件稱為基本事件，所有基本事件組成的集合稱為基本事件空間。
四、古典概型
條件：1、基本事件空間含有限個(gè)基本事件 2、每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同

五、互斥事件的概率
1、互斥事件
在一次實(shí)驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生的事件稱為互斥事件。事件A與事件B互斥，則 。
2、對(duì)立事件
事件A,B互斥，且其中必有一個(gè)發(fā)生，稱事件A,B對(duì)立，記作或..
3、互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系
對(duì)立事件必是互斥事件，即“事件A，B對(duì)立”是”事件A，B互斥“的充分不必要條件。
六、條件概率與獨(dú)立事件
（1）在事件A發(fā)生的條件下，時(shí)間B發(fā)生的概率叫做A發(fā)生時(shí)B發(fā)生的條件概率，記作 ，條件概率公式為 。
（2）若，即,稱與為相互獨(dú)立事件。 與相互獨(dú)立，即發(fā)生與否對(duì)的發(fā)生與否無(wú)影響，反之亦然。即相互獨(dú)立，則有公式。
（3）在次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，事件發(fā)生次的概率記作，記在其中一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率為 ，則 .
【典型例題】
例1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）有兩個(gè)事件，事件拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)；事件人中至少有人生日相同.下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．事件、都是隨機(jī)事件 B．事件、都是必然事件
C．事件是隨機(jī)事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是隨機(jī)事件
【答案】C
【詳解】
對(duì)于事件，拋擲一枚均勻的骰子，朝上的面的點(diǎn)數(shù)可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)，則事件為隨機(jī)事件；
對(duì)于事件B，一年有天或天，由抽屜原理可知，人中至少有人生日相同，事件為必然事件.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題考查事件類型的判斷，屬于基礎(chǔ)題.
例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共兩場(chǎng)，第一場(chǎng)投籃20次的命中率為80%，第二場(chǎng)投籃30次的命中率為70%，則該同學(xué)這兩場(chǎng)投籃的命中率為（ ）
A．72% B．74% C．75% D．76%
【答案】B
【詳解】
該同學(xué)這兩場(chǎng)投籃的命中率為.
故選：B.
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）袋子里有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，5個(gè)紅球，某人一次抽取3個(gè)球，若每個(gè)球被抽到的機(jī)會(huì)均等，則此人抽到的球顏色互異的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
基本事件總數(shù)為 (種)，此人抽到的球顏色互異的情況有3×4×5＝60(種)，
故所求概率為 .
故選：D.
例4．（2021·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）陜西省西安市周至縣的旅游景點(diǎn)樓觀臺(tái)，號(hào)稱“天下第一福地”，是我
國(guó)著名的道教勝跡，古代圣哲老子曾在此著《道德經(jīng)》五千言．景區(qū)內(nèi)有一處景點(diǎn)建筑，是按古典著作《連山易》中記載的金、木、水、火、土之間相生相克的關(guān)系，如圖所示，現(xiàn)從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，則取出的兩種物質(zhì)恰好是相克關(guān)系的概率為

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，基本事件數(shù)量為
取出兩種物質(zhì)恰好相克的基本事件數(shù)量為
則取出兩種物質(zhì)恰好是相克關(guān)系的概率為
所以選B
（多選題）例5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)命題錯(cuò)誤的是（ ）
A．對(duì)立事件一定是互斥事件
B．若，為兩個(gè)事件，則
C．若事件，，彼此互斥，則
D．若事件，滿足，則A，是對(duì)立事件
【答案】BCD
【詳解】
在A中，對(duì)立事件一定是互斥事件，故A正確；
在B中，若，為兩個(gè)互斥事件，則，若，不為兩個(gè)互斥事件，則，故B錯(cuò)誤；
在C中，若事件，，彼此互斥，則，故C錯(cuò)誤；
在D中，若事件，滿足，則，有可能不是對(duì)立事件，故D錯(cuò)誤；
故選：BCD.
例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.設(shè)ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則P(ξ＝2)＝________.
【答案】
【詳解】
由題意可知，
故答案為：
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為（ ）
①物體在只受重力的作用下會(huì)自由下落；②方程x2＋2x＋8＝0有兩個(gè)實(shí)根；③某信息臺(tái)每天的某段時(shí)間收到信息咨詢的請(qǐng)求次數(shù)超過(guò)10次；④下周六會(huì)下雨.
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根據(jù)隨機(jī)事件的定義判斷即可
【詳解】
①為必然事件，②為不可能事件，③④為隨機(jī)事件.
故選：B
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））在對(duì)口扶貧工作中，某單位扶貧工作組4人幫扶到戶3戶貧困戶，每名工作組成員幫扶一戶，每戶至少一人，則扶貧工作組組長(zhǎng)甲被分到第一戶的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
組長(zhǎng)甲被分到第一戶，有兩種情況，甲單獨(dú)一人有種可能，甲兩人一組有種可能，總共有可能，根據(jù)概率公式即可得解.
【詳解】
分兩種情況，甲一人一組和甲兩人一組，
可得概率，
故選：C.
3．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在12本書中，有10本語(yǔ)文書，2本英語(yǔ)書，從中任意抽取3本的必然事件是（ ）
A．3本都是語(yǔ)文書 B．至少有一本是英語(yǔ)書
C．3本都是英語(yǔ)書 D．至少有一本是語(yǔ)文書
【答案】D
【分析】
由必然事件的含義：結(jié)果一定會(huì)出現(xiàn)，直接選擇即可.
【詳解】
因?yàn)?2本書中只有2本英語(yǔ)書，從中任取3本，必然至少會(huì)有一本語(yǔ)文書，
故選：
【點(diǎn)睛】
本題考查了隨機(jī)事件、必然事件的含義，屬于基本概念的考查.
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)人有把鑰匙，其中只有一把可以打開房門，他隨意的進(jìn)行試開，若試開過(guò)的鑰匙放在一邊，試開次數(shù)為隨機(jī)變量，則
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
試題分析：，故選B.
考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及分布列.
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共場(chǎng)，每場(chǎng)投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如表中記錄板所示．

第一場(chǎng)
第二場(chǎng)
第三場(chǎng)
投籃次數(shù)



投中次數(shù)



根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，該同學(xué)場(chǎng)投籃的命中率約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意由總的投中次數(shù)除以總的投籃次數(shù)，可得答案.
【詳解】
該同學(xué)3場(chǎng)投籃的命中率為，
故選：B．
6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某人進(jìn)行打靶練習(xí)，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，3次中9環(huán)，4次中8環(huán)，1次未中靶，則此人中靶的頻率是（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.9
【答案】D
【分析】
直接利用頻率的公式求解.
【詳解】
由題得這個(gè)人中靶的次數(shù)為2+3+4=9，
所以此人中靶的頻率是.
故選：D
7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)“三件產(chǎn)品全不是次品”，“三件產(chǎn)品全是次品”，“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．A與B互斥且為對(duì)立事件 B．B與C互斥且為對(duì)立事件
C．A與C存在有包含關(guān)系 D．A與C不是對(duì)立事件
【答案】A
【分析】
將取出的三件產(chǎn)品分類為M= “三件產(chǎn)品全是正品”，N= “兩件正品，一件次品”，P= “一件正品，兩件次品”，Q= “三件產(chǎn)品全是次品”，進(jìn)而根據(jù)題意得到答案.
【詳解】
取出的三件產(chǎn)品分類為M= “三件產(chǎn)品全是正品”，N= “兩件正品，一件次品”，P= “一件正品，兩件次品”，Q= “三件產(chǎn)品全是次品”，它們之間兩兩互斥.
于是A=M，B=Q，，
所以A與B互斥但不對(duì)立，A錯(cuò)誤；B,C,D正確.
故選：A.
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，若事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為”，“向上的點(diǎn)數(shù)為或”，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)事件的關(guān)系、和事件、積事件的定義逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤，即可得出正確選項(xiàng)
【詳解】
對(duì)于A：事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”發(fā)生，事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”一定不發(fā)生，故選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于B：事件“向上的點(diǎn)數(shù)為或”發(fā)生，事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”不一定發(fā)生，但事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”發(fā)生，事件“向上的點(diǎn)數(shù)為或” 一定發(fā)生，所以 ，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C：事件和事件不能同時(shí)發(fā)生，，故選項(xiàng)C不正確；
對(duì)于D：事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”或事件“向上的點(diǎn)數(shù)為”發(fā)生，則事件“向上的點(diǎn)數(shù)為或”發(fā)生，故選項(xiàng)D正確；
故選：D
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在一個(gè)擲骰子的試驗(yàn)中，事件A表示“向上的面小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“向上的面小于4的點(diǎn)出現(xiàn)”，則在一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出事件后易得概率．
【詳解】
由題意＝“向上的面的點(diǎn)數(shù)為2或4或5或6”，
所以其概率為．
故選：B．
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“向上的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”，則P(A∪B)=（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】
寫出事件包含的基本事件，可得概率．
【詳解】
A包含向上的點(diǎn)數(shù)是1，3，5的情況，B包含向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3的情況，所以A∪B包含了向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3，5的情況.故P(A∪B)=.
故選：B．
11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)達(dá)，電子支付變得愈發(fā)流行，若電子支付只包含微信支付和支付寶支付兩種.若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】B
【分析】
由事件的關(guān)系，可列式求解.
【詳解】
設(shè)事件A為只用現(xiàn)金支付，事件B為只用非現(xiàn)金支付，
則
因?yàn)?br /> 所以
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了事件的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，和棋的概率為，則乙獲勝的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
結(jié)合概率之和為求得乙獲勝的概率.
【詳解】
記“甲獲勝”為事件，“和棋”為事件，“乙獲勝”為事件，則，，所以
．
故選：D
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用互斥事件的加法公式及概率的基本性質(zhì)列式即可作答.
【詳解】
因隨機(jī)事件，互斥，則，
依題意及概率的性質(zhì)得，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一人打靶中連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶
C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶
【答案】C
【分析】
根據(jù)互斥事件定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】
對(duì)于A，若恰好中靶一次，則“至少有一次中靶”與“至多有一次中靶”同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若兩次都中靶，則“至少有一次中靶”與“兩次都中靶”同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若兩次都不中靶，則“至少有一次中靶”與“兩次都不中靶”不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，C正確；
對(duì)于D，若只有一次中靶，則“至少有一次中靶”與“只有一次中靶”同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，D錯(cuò)誤.
故選：C.
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）把語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三本學(xué)習(xí)書隨機(jī)地分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人一本，則事件A：“甲分得語(yǔ)文書”，事件B：“乙分得數(shù)學(xué)書”，事件C：“丙分得英語(yǔ)書”，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．A與B是不可能事件 B．A＋B＋C是必然事件
C．A與B不是互斥事件 D．B與C既是互斥事件也是對(duì)立事件
【答案】C
【分析】
利用事件必然事件，互斥事件，對(duì)立事件的概念判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確.
【詳解】
事件A，B，C都是隨機(jī)事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故A，B選項(xiàng)都不正確；A，B可能同時(shí)發(fā)生，故A，B不互斥，C選項(xiàng)正確，B與C既不是互斥事件也不是對(duì)立事件，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，因此選項(xiàng)A，B，D錯(cuò)，C正確.
16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在某次圍棋比賽中，甲、乙兩人進(jìn)入最后決賽.比賽取三局二勝制，即先勝兩局的一方獲得比賽冠軍，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為，且各局比賽的勝負(fù)互不影響，在甲已經(jīng)先勝一局的情況下，甲獲得冠軍的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
甲獲得冠軍有兩種情況, 第一種情況：第二局甲獲勝獲得得比賽冠軍, 第二種情況：第二局甲輸，第三局甲獲勝獲勝得比賽冠軍，求出兩種情況下的概率，相加即可.
【詳解】
在甲已經(jīng)先勝一局的情況下，甲獲得冠軍有兩種情況，
第一種情況：第二局甲獲勝獲得得比賽冠軍，
第二種情況：第二局甲輸，第三局甲獲勝獲勝得比賽冠軍，
故甲獲得冠軍的概率為.
故選：B.
17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知從甲袋內(nèi)摸出1個(gè)紅球的概率是，從乙袋內(nèi)摸出1個(gè)紅球的概率是，從兩袋內(nèi)各摸出1個(gè)球，則2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
應(yīng)用獨(dú)立事件的乘法公式及對(duì)立事件概率的求法，求從兩袋內(nèi)各摸出1個(gè)球，則2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率.
【詳解】
從甲袋內(nèi)摸出1個(gè)紅球的概率是，從乙袋內(nèi)摸出1個(gè)紅球的概率是，
∴從兩袋內(nèi)各摸出1個(gè)球，2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率為．
故選：C．
18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）國(guó)慶節(jié)放假，甲回老家過(guò)節(jié)的概率為，乙、丙回老家過(guò)節(jié)的概率分別為，.假定三人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少1人回老家過(guò)節(jié)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率求解.
【詳解】
因?yàn)榧谆乩霞疫^(guò)節(jié)的概率為，乙、丙回老家過(guò)節(jié)的概率分別為，，且三人的行動(dòng)相互之間沒有影響，
所以這段時(shí)間內(nèi)至少1人回老家過(guò)節(jié)的概率為，
故選：B
19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)條件概率公式可求出，然后根據(jù)對(duì)立事件的概率公式即可求出的值.
【詳解】
因?yàn)?，，?br /> 所以．
故選：C．
20．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）對(duì)關(guān)于的一元二次方程，通過(guò)擲骰子確定其中的系數(shù)，第一次出現(xiàn)的數(shù)作為，第二次出現(xiàn)的數(shù)作為（一顆骰子有6個(gè)面，分別刻有1、2，3、4、5、6六個(gè)數(shù)，每次擾擲，各數(shù)出現(xiàn)的可能性相同），那么，這個(gè)方程有解的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
記事件 “方程有實(shí)根”．由，得：，利用列舉法得到事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，又總的基本事件共個(gè)，由古典概型概率公式求出方程有解的概率．
【詳解】
記事件 “方程有實(shí)根”．
由，得：
又基本事件共個(gè)，
其中事件包含19個(gè)基本事件，列舉如下：
，，，，，，,,，，，，
，，，，，，，
所以，
故選：C.
21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)袋子中裝有大小形狀完全相同的個(gè)白球和個(gè)黑球，從中一次摸出個(gè)球，則摸出白球個(gè)數(shù)多于黑球個(gè)數(shù)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)古典概型的概念及計(jì)算公式直接計(jì)算即可.
【詳解】
一個(gè)袋子中裝有大小形狀完全相同的個(gè)白球和個(gè)黑球，從中一次摸出個(gè)球，
基本事件總數(shù)，
摸出白球個(gè)數(shù)多于黑球個(gè)數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)，
則摸出白球個(gè)數(shù)多于黑球個(gè)數(shù)的概率為，
故選：C.
22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只藍(lán)色6只紅色，小朋友花花想從袋子里取到一只紅色小球，第一次從袋子里隨機(jī)取出一只小球，卻是藍(lán)色，不放回，再取第二次.則小朋友花花第二次取到紅色小球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先分析第二次摸球時(shí)袋子里小球情況，直接求概率即可.
【詳解】
第一次從袋子里隨機(jī)取出一只藍(lán)球，不放回，還剩下9個(gè)小球，其中藍(lán)球3個(gè)，紅球6個(gè)，
所以第二次取到紅色小球的概率，
故選：C
23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））中國(guó)古典戲曲四大名著是《牡丹亭》《西廂記》《桃花扇》和《長(zhǎng)生殿》，它們是中國(guó)古典文化藝術(shù)的瑰寶.某戲曲學(xué)院圖書館藏有上述四部戲曲名著各10本，由于該戲曲學(xué)院的部分學(xué)生對(duì)《牡丹亭》這部戲曲產(chǎn)生了濃厚的興趣，該戲曲學(xué)院圖書館決定購(gòu)買一批《牡丹亭》戲曲書籍(其他三部數(shù)量保持不變)若干本.若要保證購(gòu)買后在該戲曲學(xué)院圖書館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戲曲書籍的概率不小于0.6，則該戲曲學(xué)院圖書館需至少購(gòu)買《牡丹亭》戲曲書籍（ ）
A．25本 B．30本 C．35本 D．40本
【答案】C
【分析】
設(shè)需購(gòu)買《牡丹亭》戲曲書籍x本，由古典概率的計(jì)算公式可得答案.
【詳解】
設(shè)需購(gòu)買《牡丹亭》戲曲書籍x本，則購(gòu)買后
該戲曲學(xué)院圖書館所藏有的這四大戲曲名著共，從中任取1本有種取法.
《牡丹亭》戲曲書籍共，從中任取1本有種取法.
從該戲曲學(xué)院圖書館所藏有的這四大戲曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戲曲書籍的概率為
根據(jù)題意可得，解得，
即該戲曲學(xué)院圖書館需至少購(gòu)買《社丹亭》戲曲書籍35本.
故選：C
24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)）一次，觀察擲出向上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件為擲出向上為偶數(shù)點(diǎn)，事件為擲出向上為3點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)互斥事件概率計(jì)算公式直接計(jì)算.
【詳解】
事件為擲出向上為偶數(shù)點(diǎn)，所以，
事件為擲出向上為3點(diǎn)，所以，
又事件，是互斥事件，
所以，
故選：B.
25．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲乙二人爭(zhēng)奪一場(chǎng)圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立且沒有平局，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
設(shè)甲獲得冠軍為事件A，比賽進(jìn)行了三局為事件B，分別求出P(AB)和P(A)，利用條件概率的計(jì)算公式求概率即可.
【詳解】
設(shè)甲獲得冠軍為事件A，比賽進(jìn)行了三局為事件B，
則P(AB)=，
P(A)=，
所以
故選：A.
26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）根據(jù)歷年的氣象數(shù)據(jù)，某市5月份發(fā)生中度霧霾的概率為0.25，刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為0.4，既發(fā)生中度霧霾又刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為0.2.
則在發(fā)生中度霧霾的情況下，刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為（ ）
A．0.8 B．0.625 C．0.5 D．0.1
【答案】A
【分析】
利用條件概率的概率公式求解即可.
【詳解】
設(shè)發(fā)生中度霧霾為事件，刮四級(jí)以上大風(fēng)為事件，
由題意知：，，，
則在發(fā)生中度霧霾的情況下，刮四級(jí)以上大風(fēng)的概率為.
故選：A.
27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠、紫五只杯子，將它們疊成一疊，則在黃色杯子和綠色杯子相鄰的條件下，黃色杯子和紅色杯子也相鄰的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)條件概率的計(jì)算公式及排列組合中相鄰問(wèn)題捆綁法策略即可求解.
【詳解】
解：記“黃色杯子和綠色杯子相鄰”為事件A，“黃色杯子和紅色杯子也相鄰”為事件B，
則黃色杯子和綠色杯子相鄰，有種；黃色杯子和綠色杯子相鄰，且黃色杯子和紅色杯子也相鄰，有種；
所以，
故選：C.
28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））從一副52張的撲克牌（不含大小王）中隨機(jī)抽取一張，設(shè)事件為“抽到黑色牌”，事件為“抽到黑桃牌”，事件為“抽到”，則（ ）
A．事件與事件相互獨(dú)立，事件與事件相互獨(dú)立
B．事件與事件相互獨(dú)立，事件與事件不相互獨(dú)立
C．事件與事件不相互獨(dú)立，事件與事件相互獨(dú)立
D．事件與事件不相互獨(dú)立，事件與事件不相互獨(dú)立
【答案】C
【分析】
根據(jù)相互獨(dú)立事件的判定方法，分別判定事件與，與之間的關(guān)系，即可求解.
【詳解】
由題意，從一副52張的撲克牌中隨機(jī)抽取一張，設(shè)事件為“抽到黑色牌”，事件為“抽到黑桃牌”，事件為“抽到”，
可得，所以，又由，
則，所以事件與事件不是獨(dú)立事件；
又由，所以，又由，
所以，所以事件與事件是獨(dú)立事件.
故選：C.
29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”記為B，否則記為C，那么事件A與B，A與C間的關(guān)系是（ ）
A．A與B，A與C均相互獨(dú)立
B．A與B相互獨(dú)立，A與C互斥
C．A與B，A與C均互斥
D．A與B互斥，A與C相互獨(dú)立
【答案】A
【分析】
根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】
有放回地摸球，第一次摸球與第二次摸球之間沒有影響，即A與B，A與C均相互獨(dú)立
故選：A
30．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））某工廠生產(chǎn)一批醫(yī)療器械的零件，每件零件生產(chǎn)成型后，得到合格零件的概率為0.7，得到的不合格零件可以進(jìn)行一次技術(shù)精加工，技術(shù)精加工后得到合格零件的概率是0.3，而此時(shí)得到的不合格零件將不能再加工，只能成為廢品，則生產(chǎn)時(shí)得到合格零件的概率是（ ）
A．0.49 B．0.73 C．0.79. D．0.91
【答案】C
【分析】
生產(chǎn)得到合格零件分為第一次就得到合格零件和第一次得到不合格零件，進(jìn)行一次技術(shù)精加工后得到合格零件，從而可得答案.
【詳解】
設(shè)事件: “第一次就得到合格零件”，設(shè)事件: “第一次得到不合格零件，進(jìn)行一次技術(shù)精加工后得到合格零件”
所以,
所以生產(chǎn)時(shí)得到合格零件的概率是
故選：C
31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）擲一枚硬幣兩次，記事件“第一次出現(xiàn)正面”，“第二次出現(xiàn)反面”，則有
A．與相互獨(dú)立 B．
C．與互斥 D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)獨(dú)立事件和互斥事件的定義對(duì)給出的四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行分析、判斷后可得正確的結(jié)論．
【詳解】
對(duì)于選項(xiàng)A，由題意得事件的發(fā)生與否對(duì)事件的發(fā)生沒有影響，所以與相互獨(dú)立，所以A正確．
對(duì)于選項(xiàng)B，C，由于事件與可以同時(shí)發(fā)生，所以事件與不互斥，故選項(xiàng)B,C不正確．
對(duì)于選項(xiàng)D，由于與相互獨(dú)立，因此，所以D不正確．
故選A．
【點(diǎn)睛】
“互斥事件”與“相互獨(dú)立事件”的區(qū)別與聯(lián)系
①“互斥”與“相互獨(dú)立”都是描述的兩個(gè)事件間的關(guān)系．②“互斥”強(qiáng)調(diào)不可能同時(shí)發(fā)生，“相互獨(dú)立”強(qiáng)調(diào)一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響．③“互斥”的兩個(gè)事件可以獨(dú)立，“獨(dú)立”的兩個(gè)事件也可以互斥．
32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一臺(tái)機(jī)床有的時(shí)間加工零件A，其余時(shí)間加工零件B.加工零件A時(shí)，停機(jī)的概率為，加工零件B時(shí)，停機(jī)的概率是，則這臺(tái)機(jī)床停機(jī)的概率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
機(jī)床停機(jī)分為加工零件時(shí)停機(jī)和加工零件時(shí)停機(jī)，分別求出加工零件時(shí)停機(jī)的概率和加工零件時(shí)停機(jī)的概率，兩者的和即為這臺(tái)機(jī)床停機(jī)的概率.
【詳解】
由已知得一臺(tái)機(jī)床有的時(shí)間加工零件A，的時(shí)間加工零件B，
則加工零件A停機(jī)的概率是，加工零件B停機(jī)的概率是，
即這臺(tái)機(jī)床停機(jī)的概率是.
故選:.
33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一只不透明的口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球，其中3個(gè)白球?2個(gè)黑球.現(xiàn)有放回地從袋中依次摸出1個(gè)球，則前三次摸出的球均為白球的概率是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先求出摸一次摸出白球的概率，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；
【詳解】
解：依題意從袋子中摸1個(gè)球，摸出的是白球的概率，現(xiàn)有放回地從袋中依次摸出1個(gè)球，則前三次摸出的球均為白球的概率為
故選：C
34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某大學(xué)選拔新生進(jìn)“籃球”“電子競(jìng)技”“國(guó)學(xué)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，新生是否通過(guò)考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)相互獨(dú)立某新生參加社團(tuán)時(shí)，假設(shè)他通過(guò)考核選拔進(jìn)入該校的“籃球”“
電子競(jìng)技”“國(guó)學(xué)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為m，，n，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用獨(dú)立事件的概率公式可得關(guān)于的方程組，從而可求的值.
【詳解】
設(shè)該新生“進(jìn)入籃球社團(tuán)”為事件，“進(jìn)入電子競(jìng)技社團(tuán)”為事件，
“進(jìn)入國(guó)學(xué)社團(tuán)”為事件，
則：“三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入”的概率為，
“至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)”的概率為，
整理得到 ，故，
故選：A.
35．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）箱子里有5個(gè)黑球，4個(gè)白球，每次隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率為(　 　)
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
說(shuō)明前次都是黑球，最后一次是白球，故概率為.

二、多選題
36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于該隨機(jī)事件發(fā)生的概率
B．某種福利彩票的中獎(jiǎng)概率為，買1000張這種彩票一定能中獎(jiǎng)
C．連續(xù)100次擲一枚硬幣，結(jié)果出現(xiàn)了49次反面，則擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為
D．某市氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“明天本市降水概率為70%”，指的是：該市氣象臺(tái)專家中，有70%認(rèn)為明天會(huì)降水，30%認(rèn)為明天不會(huì)降水
【答案】BCD
【分析】
根據(jù)概率的定義和生活中的概率判斷各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).
【詳解】
由頻率和概率的關(guān)系可知隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定于該隨機(jī)事件發(fā)生的概率，A正確，
某種福利彩票的中獎(jiǎng)概率為，買1000張這種彩票不一定能中獎(jiǎng)，B錯(cuò)誤，
擲一枚硬幣出現(xiàn)反面的概率為，C錯(cuò)誤，
某市氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“明天本市降水概率為70%”，指的是明天有70%的可能會(huì)降水，D錯(cuò)誤，
故選：BCD.
37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且B發(fā)生A必定發(fā)生，，，給出下列各式，其中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
由B發(fā)生A必定發(fā)生，可知，依次判斷即得解
【詳解】
∵B發(fā)生A必定發(fā)生，∴，，，故A，D不正確；，故B正確；，故C正確．
故選：BC
38．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)，，為三個(gè)事件，下列各式意義表述正確的是（ ）
A．表示事件不發(fā)生且事件和事件同時(shí)發(fā)生
B．表示事件，，中至少有一個(gè)沒發(fā)生
C．表示事件，至少有一個(gè)發(fā)生
D．表示事件，，恰有一個(gè)發(fā)生
【答案】ACD
【分析】
根據(jù)對(duì)立事件、互斥事件的概念對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得答案．
【詳解】
根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于，表示事件不發(fā)生且事件和事件同時(shí)發(fā)生，正確；
對(duì)于，表示事件、、至少一個(gè)發(fā)生，則表示事件都沒有發(fā)生，錯(cuò)誤；
對(duì)于，表示事件，至少有一個(gè)發(fā)生，正確；
對(duì)于，表示事件、不發(fā)生且事件發(fā)生，事件、不發(fā)生且事件發(fā)生，事件、不發(fā)生且事件發(fā)生，則表示事件，，恰有一個(gè)發(fā)生，正確，
故選：．
39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．
C．若A，B獨(dú)立，則
D．若A，B互斥，則
【答案】ACD
【分析】
利用條件概率的概率公式以及獨(dú)立事件與對(duì)立事件的概率公式，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一的分析判斷即可．
【詳解】
解：A中：，故A正確；
B中：設(shè)A，B獨(dú)立，則，而顯然不一定為，故B錯(cuò)誤；
C中：A，B獨(dú)立，則，則，故C正確；
D中：A，B互斥，，則根據(jù)條件概率公式，故D正確.
故選：ACD．
40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的奮斗歷程，增進(jìn)全體黨員干部職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，某單位組織開展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，以支部為單位參加比賽，某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和道填空題)，不放回地依次隨機(jī)抽取道題作答，設(shè)事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
根據(jù)古典概型概率的求法及條件概率，互斥事件概率求法，可以分別求得各選項(xiàng).
【詳解】
,故A正確；
，故B正確；
，故C正確；
，，，故D錯(cuò)誤.
故選: ABC


三、雙空題
41．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在一只袋子中裝有7個(gè)紅玻璃球，3
個(gè)綠玻璃球．從中無(wú)放回地任意抽取兩次，每次只取一個(gè)，取得兩個(gè)紅玻璃球的概率為，取得兩個(gè)綠玻璃球的概率為，則取得兩個(gè)同顏色的玻璃球的概率為________；至少取得一個(gè)紅玻璃球的概率為________．
【答案】
【分析】
“取得兩個(gè)同顏色的球”是由“取得兩個(gè)紅球”與“取得兩個(gè)綠球”的和事件，利用互斥事件的概率公式求出概率； “至少取得一個(gè)紅球”與“取得兩個(gè)綠球”為對(duì)立事件，利用對(duì)立事件的概率公式求出概率．
【詳解】
取得兩個(gè)同顏色的玻璃球包括兩個(gè)紅玻璃球或兩個(gè)綠玻璃球故取得兩個(gè)同顏色的玻璃球的概率；
“至少取得一個(gè)紅玻璃球”的對(duì)立事件是“取得兩個(gè)綠玻璃球”
故至少取得一個(gè)紅玻璃球的概率
故答案為：；
【點(diǎn)睛】
本題考查互斥事件的概率公式；對(duì)立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．
42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某射擊運(yùn)動(dòng)員每次擊中目標(biāo)的概率為，現(xiàn)連續(xù)射擊兩次．
（1）已知第一次擊中，則第二次擊中的概率是_________ ；
（2）在僅擊中一次的條件下，第二次擊中的概率是_________ ．
【答案】
【分析】
（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率即可直接求出結(jié)果；
（2）求出僅擊中一次的概率，進(jìn)而結(jié)合條件概率公式即可求出結(jié)果.
【詳解】
設(shè)第一次擊中為事件，則，
第二次擊中為事件，則，
（1）由題意知，第一次擊中與否對(duì)第二次沒有影響，因此已知第一次擊中，則第二次擊中的概率，
（2）僅擊中一次的概率為
在僅擊中一次的條件下，第二次擊中的概率是,
故答案為：；.

四、填空題
43．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）給出下列4個(gè)說(shuō)法：
①現(xiàn)有一批產(chǎn)品，次品率為0.05，則從中選取200件，必有10件是次品；
②做100次拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果有51次出現(xiàn)正面向上，因此，出現(xiàn)正面向上的概率是；
③拋擲一枚骰子100次，有18次出現(xiàn)1點(diǎn)，則出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是；
④隨機(jī)事件的概率一定等于這個(gè)事件發(fā)生的頻率．
其中正確的說(shuō)法是________．(填序號(hào))
【答案】③
【分析】
對(duì)于①，由次品率為0.05，可知出現(xiàn)次品的概率是0.05，從而可對(duì)①進(jìn)行判斷；對(duì)于②，由題意可知出現(xiàn)正面向上的頻率是；對(duì)于③，由頻率的定義判斷即可；對(duì)于④，由概率與頻率的關(guān)系判斷即可
【詳解】
次品率為0.05，即出現(xiàn)次品的概率(可能性)是0.05，所以200件產(chǎn)品中可能有10件是次品，并非“必有”，故①錯(cuò)；
在100次具體的試驗(yàn)中，正面向上的次數(shù)與試驗(yàn)的總次數(shù)之比是頻率，而不是概率，故②錯(cuò)；
③由頻率的定義可知出現(xiàn)1點(diǎn)的頻率是，所以③正確；
由概率的定義知，概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率在概率附近擺動(dòng)，故隨機(jī)事件的概率不一定等于該事件發(fā)生的頻率，故④錯(cuò)．
故答案為：③
44．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從某自動(dòng)包裝機(jī)包裝的食品中，隨機(jī)抽取20袋，測(cè)得各袋的質(zhì)量（單位：g）分別為：492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，496，500，501，499.根據(jù)抽測(cè)結(jié)果估計(jì)該自動(dòng)包裝機(jī)包裝的袋裝食品質(zhì)量在497.5～501.5 g之間的概率為
_______.
【答案】0.25
【分析】
找到質(zhì)量在497.5～501.5 g之間的袋數(shù)由頻率可得答案.
【詳解】
質(zhì)量在497.5～501.5 g之間的有498， 501， 500，501，499共5袋，
所以其頻率為＝0.25，由此我們可以估計(jì)質(zhì)量在497.5～501.5 g之間的概率為0.25.
故答案為：0.25.
45．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有，兩隊(duì)參加關(guān)于“十九大”的知識(shí)問(wèn)答競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏1分，答錯(cuò)得0分.隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，隊(duì)中每人答對(duì)的概率分別為，，，且各答題人答題正確與否之間互無(wú)影響.若事件表示“隊(duì)得2分”，事件表示“隊(duì)得1分”，則___________.
【答案】
【分析】
事件表示“隊(duì)得2分”，事件表示 “隊(duì)得1分”，由次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生次概率計(jì)算公式求出，再由獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出，由此利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出.
【詳解】
解：“隊(duì)得2分”為事件，即隊(duì)三人中有一人答錯(cuò)，其余兩人答對(duì)，.
“隊(duì)得1分”為事件，即隊(duì)三人中有兩人答錯(cuò)，剩余一人答對(duì)，
.
表示“隊(duì)得2分，隊(duì)得1分”，即事件，同時(shí)發(fā)生，則.
故答案為：
46．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的0.20，0.25，0.3，0.25，這四條流水線的合格率依次為，，，
，現(xiàn)在從出廠產(chǎn)品中任取一件，則恰好抽到不合格的概率是___________.
【答案】0.034
【分析】
根據(jù)互斥事件與條件概率計(jì)算．
【詳解】
不合格品可能來(lái)自四條生產(chǎn)線的任一條，因此所求概率為：
．
故答案為：．
47．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）祖沖之是我國(guó)南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家．他一生鉆研自然科學(xué)，其主要貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)、天文歷法和機(jī)械制造三方面，特別是在探索圓周率的精確度上，首次將“”精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位，即＝3.1415926…，在此基礎(chǔ)上，我們從“圓周率”第三到第八位有效數(shù)字中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)字a，b，則事件“”的概率為_______．
【答案】
【分析】
根據(jù)給定條件，列出從4，1，5，9，2，6中任取兩個(gè)數(shù)字的所有結(jié)果，再求出兩個(gè)數(shù)字差的絕對(duì)值不小于5的個(gè)數(shù)即可作答.
【詳解】
依題意，“圓周率”第三到第八位有效數(shù)字分別是4，1，5，9，2，6，從中任取兩個(gè)數(shù)字a，b的不同結(jié)果是：
(1，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，9)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，9)，(4，5)，(4，6)，(4，9)，(5，6)，(5，9)，(6，9)，共15種，它們等可能，
事件“”記為M，它含有的結(jié)果有：(1，6)，(1，9)，(2，9)，(4，9)，共4種，
于是得，
所以事件“”的概率為.
故答案為：
48．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）袋子中有3個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中1個(gè)紅球，2個(gè)黑球，現(xiàn)隨機(jī)從中不放回地依次摸出2個(gè)球，則第二次摸到紅球的概率為_________________．
【答案】
【分析】
先由題中條件，確定總的情況個(gè)數(shù)，以及“第二次摸到紅球”對(duì)應(yīng)的情況個(gè)數(shù)，個(gè)數(shù)比即為所求概率.
【詳解】
因?yàn)槿齻€(gè)小球的大小質(zhì)地完全相同，
所以從袋中不放回的依次摸出2個(gè)球，所包含的總的情況有：第一次紅球第二次黑球，第一次黑球第二次紅球，第一次和第二次都是黑球，共種情況；
滿足第二次摸到紅球的只有一種，
故所求的概率為．
故答案為：
49．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）盒中有3張分別標(biāo)有1,2,3的卡片．從盒中隨機(jī)抽取一張記下號(hào)碼后放回，再隨機(jī)抽取一張記下號(hào)碼，則兩次抽取的卡片號(hào)碼中至少有一個(gè)為偶數(shù)的概率為__________．
【答案】
【詳解】
試題分析：沒有偶數(shù)的概率為，所以所求概率為
考點(diǎn)：古典概型概率
50．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2021年5月15日，天問(wèn)一號(hào)探測(cè)器在火星烏托邦平原南部預(yù)選著陸區(qū)著陸，我國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)著陸火星取得成功，極大地鼓舞了天文愛好者探索宇宙奧秘的熱情.某校航天科技小組決定從甲、乙等6名同學(xué)中選出4名同學(xué)參加市舉行的“我愛火星”知識(shí)競(jìng)賽，已知甲被選出，則乙也被選出的概率為______.
【答案】
【分析】
利用條件概率公式即可得到結(jié)果.
【詳解】
設(shè)“甲同學(xué)被選出”記為事件，“乙同學(xué)被選出”記為事件，
則在甲同學(xué)被選出的情況下，乙同學(xué)也被選出的概率.
故答案為：
51．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）拋擲骰子2次，每次結(jié)果用表示，其中，分別表示第一次?第二次骰子朝上的點(diǎn)數(shù).若設(shè)，，則______.
【答案】
【分析】
利用條件概率的公式直接求解即可
【詳解】
因?yàn)閽仈S骰子2次共有36種情況，其中和為10的有（4，6），（5，5），（6，4）三種情況，當(dāng)和為10時(shí)，的有1種，
所以，，
所以.
故答案為：



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