新高考數(shù)學一輪復習精品教案第14講 等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量（含解析）

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?第14講 等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量
【知識點總結】
一、基本概念
1.數(shù)列
(1)定義.
按照一定順序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.
(2)數(shù)列與函數(shù)的關系.
從函數(shù)的角度來看,數(shù)列是特殊的函數(shù).在中,當自變量時,所對應的函數(shù)值就構成一數(shù)列,通常記為,所以數(shù)列有些問題可用函數(shù)方法來解決.
2.等差數(shù)列
(1)定義.
一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它前一項的差等于同一常數(shù),則該數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做公差,常用字母表示,即.
(2)等差數(shù)列的通項公式.
若等差數(shù)列的首項是,公差是,則其通項公式為,是關于的一次型函數(shù).或,公差(直線的斜率)().
(3)等差中項.
若成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項,即或.在一個等差數(shù)列中,從第2項起(有窮等差數(shù)列的末項除外),每一項都是它的前一項與后一項的等差中項;事實上,等差數(shù)列中每一項都是與其等距離的前后兩項的等差中項.
(4)等差數(shù)列的前項和(類似于),是關于的二次型函數(shù)(二次項系數(shù)為且常數(shù)項為0).的圖像在過原點的直線上或在過原點的拋物線上.
3.等比數(shù)列
(1)定義.
一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它前一項的比等于同一個非零常數(shù),則該數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做公比,常用字母表示,即.
(2)等比數(shù)列的通項公式.
等比數(shù)列的通項,是不含常數(shù)項的指數(shù)型函數(shù).
(3).
(4)等比中項
如果成等比數(shù)列,那么叫做與的等比中項,即或(兩個同號實數(shù)的等比中項有兩個).
(5)等比數(shù)列的前項和

二、基本性質(zhì)
1.等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)等差中項的推廣.
當時,則有,特別地,當時,則有.
(2)等差數(shù)列線性組合.
①設是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.
②設是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.
(3)等差數(shù)列的單調(diào)性及前項和的最值.
公差為遞增等差數(shù)列,有最小值;
公差為遞減等差數(shù)列,有最大值;
公差為常數(shù)列.
特別地
若,則有最大值(所有正項或非負項之和);
若,則有最小值(所有負項或非正項之和).
(4)其他衍生等差數(shù)列.
若已知等差數(shù)列,公差為,前項和為,則為等差數(shù)列,公差為.
3.等比數(shù)列的性質(zhì)
(1)等比中項的推廣.
若時,則,特別地,當時,.
(2)①設為等比數(shù)列,則(為非零常數(shù)),,仍為等比數(shù)列.
②設與為等比數(shù)列,則也為等比數(shù)列.
(3)等比數(shù)列的單調(diào)性(等比數(shù)列的單調(diào)性由首項與公比決定).
當或時,為遞增數(shù)列;
當或時,為遞減數(shù)列.
(4)其他衍生等比數(shù)列.
若已知等比數(shù)列,公比為,前項和為,則為等比數(shù)列,公比為(當時,不為偶數(shù)).
4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉化
(1)若為正項等比數(shù)列,則為等差數(shù)列.
(2)若為等差數(shù)列,則為等比數(shù)列.
(3)若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列.
【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習）等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項的和為（ ）
A．－24 B．－3
C．3 D．8
【答案】A
【詳解】
根據(jù)題意得
，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
解得d＝0(舍去)，d＝－2，
所以數(shù)列{an}的前6項和為.
故選：A
例2．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A．38 B．50 C．36 D．45
【答案】D
【詳解】
．
故選：D
例3．（2022·全國·高三專題練習）等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，則a1=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
因為S3 = a2 +10a1，
所以a2 +a3= a2 +10a1，
即a3= 9a1，即= 9a1，
解得= 9，
又因為a5 = 9，
所以= 9，
解得，
故選：C.
例4．（2022·全國·高三專題練習）設等比數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，若S10∶S5=1∶2，則S15∶S5=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
解析:∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且其前n項和記為Sn,
∴S5,S10-S5,S15-S10成等比數(shù)列.
∵S10∶S5=1∶2,即S10=S5,
∴等比數(shù)列S5,S10-S5,S15-S10的公比為=-.
∴S15-S10=-(S10-S5)=S5.
∴S15=S5+S10=S5.
∴S15∶S5=.
故選：A.
例5．（2020·全國·高考真題（理））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊
【答案】C
【詳解】
設第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，
則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，，
設為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分
別為，因為下層比中層多729塊，
所以，
即
即，解得，
所以.
故選：C
例6．（2019·海南·嘉積中學高三階段練習）已知是等差數(shù)列前項和，，，當
取得最小值時（ ）．
A．2 B．14 C．7 D．6或7
【答案】D
【詳解】
設等差數(shù)列的公差為，∵，，
∴，，
聯(lián)立解得：，，
∴，
令，解得．
當取得最小值時或7．
故選：D．
例7．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列、都是等差數(shù)列，設的前項和為，的前項和為.若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
∵，
∴，
故選：A
例8．（2022·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列滿足，且對任意的正整數(shù)n，是和的等差中項，證明：是等差數(shù)列，并求的通項公式．
【詳解】
證明：由題知，
得，
所以是以為首項，公差為2的等差數(shù)列，
即，
當時，
，
當時，也符合題意，
所以，又
所以.
例9．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且點在函數(shù)的圖象上，求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式：
【詳解】
由點在函數(shù)的圖象上，
可得，
所以，即，
也即，
由，所以，
所以是首項和公比均為的等比數(shù)列，
則，
所以；
例10．（2022·全國·高三專題練習）有下列三個條件：①數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，②是公差為1的等差數(shù)列，③，在這三個條件中任選一個，補充在題中“___________”處，使問題完整，并加以解答.
設數(shù)列的前項和為，，對任意的，都有___________.已知數(shù)列滿足，是否存在，使得對任意的，都有？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【詳解】
記，從而有().
選擇①，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
因為，所以，即.
所以，所以.
由，當時，，當時，，
所以當或2時，取得最大值，即取得最大值.
所以存在，2，使得對任意的，都有.
選擇②，方法一：是公差為1的等差數(shù)列，
因為，所以，
當時，，
則，
當時，上式成立，
所以.
所以，從而.
由，
所以當時，；當時，，
所以當時，取得最大值，即取得最大值.
所以存在，使得對任意的，都有.
方法二：利用“夾逼法”，即利用來求解.
，
由()，得，解得.
選擇③，方法一：，
則，
從而，
即.
又，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以.
所以，從而，即，
所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，
故不存在，使得對任意的，都有.
方法二：利用求解.
，，
則，
因為，所以不存在，使得對任意的，都有.
【技能提升訓練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習）在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由等差數(shù)列性質(zhì)可知數(shù)列為等差數(shù)列，由已知等式可求得其公差，結合等差數(shù)列通項公式可求得，進而得到結果.
【詳解】
數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，設其公差為，
又，解得：，又，
，.
故選：B.
2．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
設數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列和等差數(shù)列的中項性質(zhì)，化簡已知得，，代入即得解.
【詳解】
設數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，
若，
則，，
即為，，
即，，
則．
故選：A
3．（2022·全國·高三專題練習）記等差數(shù)列的前項和為，若，則的公差為（ ）
A．3 B．2 C．－2 D．－3
【答案】A
【分析】
設等差數(shù)列的公差為，將條件轉化為和表示，得到方程組，解得的值.
【詳解】
解：設等差數(shù)列的公差為，
因為，，所以，
解得：.
故選：A.
4．（2021·湖北·高三階段練習）已知是等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A．22 B．45 C．50 D．55
【答案】D
【分析】
利用等差中項和等差數(shù)列前n項和公式求解
【詳解】
由題意得，，
則，
故.
故選：D
5．（2021·四川遂寧·模擬預測（理））已知數(shù)列的前項和，且滿足，，若，則（ ）
A．9 B． C．10 D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)判斷出是等差數(shù)列，然后將條件化為基本量，進而解出答案.
【詳解】
由可知，是等差數(shù)列，設公差為，所以，
由，所以.
故選：B.
6．（2022·全國·高三專題練習）設等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若對任意的n∈N*，都有＝，則＋的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，逐步化簡，即可得到本題答案．
【詳解】
由題意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，
∴＋＝＝＝＝＝＝
故選：C．
7．（2022·全國·高三專題練習）等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10的值是（ ）
A．20 B．22 C．24 D．8
【答案】C
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求.
【詳解】
因為a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
故選：C.
8．（2022·全國·高三專題練習）設是等差數(shù)列，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知，，成等差數(shù)列，由此可構造方程求得結果.
【詳解】
是等差數(shù)列，，，成等差數(shù)列，
，.
故選：D.
9．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項之和為，所有偶數(shù)項之和為，則該數(shù)列的中間項為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本題可設等差數(shù)列共有項，然后通過即可得出結果.
【詳解】
設等差數(shù)列共有項，
則，，中間項為，
故
，
，
故選：B.
10．（2022·全國·高三專題練習）等差數(shù)列的前n項和為，若，則數(shù)列的通項公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由已知可得得，逐項排除可得答案.
【詳解】
因為是等差數(shù)列，且，得，
對于A， ，故錯誤；
對于B， ，故正確；
對于C， ，故錯誤；
對于D，，故錯誤.
故選：B.
11．（2021·貴州畢節(jié)·模擬預測（文））等差數(shù)列的前項和為，若且，則( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
等差數(shù)列前n項和構成的數(shù)列{}為等差數(shù)列，公差為原數(shù)列公差的一半﹒
【詳解】
設的公差為d，
∵
∴，
即{}為等差數(shù)列，公差為，
由知，
故﹒
故選：A﹒
12．（2021·安徽定遠·高三階段練習（理））等差數(shù)列和的前項和分別為和，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用等差數(shù)列的前項和公式，由此能求出結果
【詳解】
解：等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，
與是兩個等差數(shù)列，它們的前項和分別為和，
又等差數(shù)列的前項和公式，
．所以
故選：B．
【點睛】
本題考查兩個等差數(shù)列的前5項和的比值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．
13．（2022·全國·高三專題練習）設等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．28 B．34 C．40 D．44
【答案】D
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結合已知可求出，再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得，即可求出結果.
【詳解】
因為，
所以由，可得
所以，
所以，
故選：D
14．（2021·廣東廣州·高三階段練習）已知是等差數(shù)列的前項和，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)，可得，再根據(jù)，得，從而可得出答案.
【詳解】
解：因為，所以，
又，所以，
所以的最小值為.
故選：C.
15．（2022·全國·高三專題練習）我國明代數(shù)學家程大位的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問：各該鈔若干？其意思是：現(xiàn)有錢238貫，采用等差數(shù)列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個人，現(xiàn)在只知道戊所得錢比甲少33貫600文(1貫=1000文)，問各人各得錢多少？在這個問題中，戊所得錢數(shù)為（ ）
A．30.8貫 B．39.2貫 C．47.6貫 D．64.4貫
【答案】A
【分析】
由題意知甲?乙?丙?丁?戊五個人所得錢數(shù)組成等差數(shù)列，由等差數(shù)列項的性質(zhì)列方程組即可求出所要的結果.
【詳解】
解：依次記甲?乙?丙?丁?戊五個人所得錢數(shù)為a1，a2，a3，a4，a5，
由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，可記公差為d，依題意得：
，
解得a1=64.4，d=﹣8.4，
所以a5=64.4﹣33.6=30.8，
即戊所得錢數(shù)為30.8貫.
故選：A.
【點睛】
本題考查了等差數(shù)列項的性質(zhì)與應用問題，也考查了運算求解能力，是基礎題.
16．（2022·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則
（ ）
A． B．5 C．10 D．15
【答案】B
【分析】
利用等比中項和對數(shù)的運算性質(zhì)可求得結果.
【詳解】
因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，
所以.
故選：B.
17．（2022·浙江·高三專題練習）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用等差中項和等比中項的性質(zhì)分別求得、的值，然后利用特殊角的三角函數(shù)值可得出結果.
【詳解】
由等差中項的性質(zhì)可得，，
由等比中項的性質(zhì)可得，，
因此，.
故選：B.
18．（2022·全國·高三專題練習）已知正項等比數(shù)列的前n項和為，，，則的公比為( )
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】
利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.
【詳解】
因為，，為正項等比數(shù)列，
所以，解得.
故選：B．
19．（2022·全國·高三專題練習（文））等比數(shù)列{an}中，每項均為正數(shù)，且a3a8＝81，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于（ ）
A．5 B．10 C．20 D．40
【答案】C
【分析】
由對數(shù)運算法則，等比數(shù)列的性質(zhì)求解．
【詳解】
是等比數(shù)列，則，
所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10．
故選：C．
20．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【分析】
結合等比數(shù)列的中項性質(zhì)以及完全平方公式即可求出結果.
【詳解】
數(shù)列{an}是等比數(shù)列，所以，
所以，
又因為，所以，所以，
故選：A.
21．（2021·陜西安康·高三期中（理））等比數(shù)列的前項和為，，，則（ ）
A．1 B．5 C．1或31 D．5或11
【答案】D
【分析】
由已知條件可得，求出公比，從而可求出結果
【詳解】
設等比數(shù)列的公比為，則，∴或1，
∴當時，，
當時，
故選：D．
22．（2021·四川·雙流中學高三階段練習（理））已知為等比數(shù)列，是它的前n項和．若，且與的等差中項為，則（ ）
A．29 B．31 C．33 D．35
【答案】B
【分析】
設等比數(shù)列的公比為，由已知可得和，代入等比數(shù)列的求和公式即可
【詳解】
因為 ，
，
，
所以，
，
故選：B.
23．（2021·西藏·拉薩那曲第二高級中學高三階段練習（文））記等比數(shù)列的前項和為，若，，則公比 （ ）
A． B． C． D．或2
【答案】D
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再由，可得，分別求出，即可得出答案.
【詳解】
解：在等比數(shù)列中，若，則，
，所以，
由，，解得，或，
當時，，
當時，，
所以或2.
故選：D.
24．（2021·山西運城·高三期中（文））數(shù)列中，，對任意 ，若，則 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關于的等式，由可求得的值.
【詳解】
在等式中，令，可得，，
所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，
，
，則，解得.
故選：C.
【點睛】
本題考查利用等比數(shù)列求和求參數(shù)的值，解答的關鍵就是求出數(shù)列的通項公式，考查計算能力，屬于中等題.
25．（2021·遼寧·大連市第一中學高三期中）等比數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】A
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列前項和公式的結構求得.
【詳解】
設等比數(shù)列的公比為q，當時，，不合題意；
當時，等比數(shù)列前項和公式，
依題意.
故選：A
26．（2022·全國·高三專題練習）已知各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足、、成等差數(shù)列.其前項和為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根據(jù)，，成等差數(shù)列以及單調(diào)遞減，求出公比，再由即可求出，
再根據(jù)等比數(shù)列通項公式以及前項和公式即可求出.
【詳解】
解：由，，成等差數(shù)列，
得：，
設的公比為，則，
解得：或，
又單調(diào)遞減，
，
，
解得：，
數(shù)列的通項公式為：，
.
故選：C．
27．（2022·全國·高三專題練習）已知為等比數(shù)列，且，與的等差中項為，則（ ）
A．1 B．2 C．31 D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)已知條件列出首項和公比的方程組可得答案.
【詳解】
由得，①
又，得，②
由①②得，，.
故選：A.
28．（2022·浙江·高三專題練習）已知1，a1，a2，9四個實數(shù)成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3，9五個數(shù)成等比數(shù)列，則b2（a2﹣a1）等于（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．
【答案】A
【分析】
由已知條件求出公差和公比，即可由此求出結果.
【詳解】
設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
則有，，
解之可得，，
.
故選：A.

二、多選題
29．（2022·江蘇·高三專題練習）等差數(shù)列是遞增數(shù)列，公差為，前項和為，滿足，下列選項正確的是（ ）
A． B．
C．當時最小 D．時的最小值為
【答案】BD
【分析】
由題意可知，由已知條件可得出，可判斷出AB選項的正誤，求出關于的表達式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及二次不等式可判斷出CD選項的正誤.
【詳解】
由于等差數(shù)列是遞增數(shù)列，則，A選項錯誤；
，則，可得，B選項正確；
，
當或時，最小，C選項錯誤；
令，可得，解得或.
，所以，滿足時的最小值為，D選項正確.
故選：BD.


三、填空題
30．（2022·全國·高三專題練習）在等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則_______.
【答案】3
【分析】
根據(jù)條件可得，解出，即解.
【詳解】
∵成等差數(shù)列，則，
由為等比數(shù)列，設公比為q，則，
可得：，解得，
所以.
故答案為：3.
31．（2022·全國·高三專題練習）已知為等差數(shù)列的前項和，且，，則當取最大值時，的值為___________.
【答案】7
【分析】
根據(jù)條件，由等差數(shù)列通項公式及求和公式求得首項和公差，從而變成函數(shù)問題，找到最大值.
【詳解】
方法一：設數(shù)列的公差為，則由題意得，解得
則.又，∴當時，取得最大值.
方法二：設等差數(shù)列的公差為.∵，∴，
∴，解得，
則，
令
解得，又，
∴，即數(shù)列的前7項為正數(shù)，從第8項起各項均為負數(shù)，
故當取得最大值時，.
故答案為：7.
32．（2022·上海寶山·一模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，則___________.
【答案】
【分析】
根據(jù)通項公式列出方程求出，利用前n項和公式求解.
【詳解】
因為，
所以，
所以是以2為公差的等差數(shù)列，
所以，
故答案為：
33．（2022·全國·高三專題練習）設等差數(shù)列的前項和為，，，，則______．
【答案】15
【分析】
先根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的等差中項的性質(zhì)利用求得
，進而根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知，求得．
【詳解】
因為，所以．
又，所以．
故答案為：15
34．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前項和有最小值，且，則使得成立的的最小值是________．
【答案】22
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的前項和有最小值，得到公差，再由，得到 ，利用等差數(shù)列的性質(zhì)結合前n項和公式求解.
【詳解】
因為等差數(shù)列的前項和有最小值，
所以等差數(shù)列的公差，
又因為，
所以 ，
所以 ，
，
所以使得成立的的最小值是22，
故答案為：22
35．（2022·全國·高三專題練習）在等差數(shù)列中，，，求____
【答案】
【分析】
利用等差數(shù)列等距離片段和的性質(zhì)求即可.
【詳解】
由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)有，
∴.
故答案為：
36．（2022·全國·高三專題練習）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，，則公比等于________.
【答案】2
【分析】
由等比數(shù)列以及，可知 ，由已知條件結合等比數(shù)列通項公式可知，聯(lián)立方程求解，根據(jù)可解的答案.
【詳解】
解：由題意得
則，又因為


解得：或（舍去）
故答案為：2
37．（2022·全國·高三專題練習）在等比數(shù)列{an}中，各項均為正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，則a4＋a8＝________．
【答案】
【詳解】
分析：利用的等比數(shù)列的性質(zhì)，求解．
詳解：由題意，∴，
又，∴．
故答案為．
點睛：在等差數(shù)列和等比數(shù)列中一般可用基本量法求解，得數(shù)列的這個性質(zhì)要盡量進行應用，若是等差數(shù)列，若，則，若，則；若
是等比數(shù)列，若，則，若，則．
38．（2021·海南·三亞華僑學校高三階段練習）若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則___________.
【答案】256
【分析】
由等比數(shù)列片段和性質(zhì)結合等比數(shù)列的通項公式，即可求解
【詳解】
∵是等比數(shù)列，
∴，，，，為等比數(shù)列，
且公比，
∴.
故答案為：
39．（2022·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列中，為其前項之和，，則______
【答案】260
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)，可知，，成等比數(shù)列，結合等比中項公式，即可求解.
【詳解】
解：根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)，
可知，，成等比數(shù)列，
則，即，
解得.
故答案為：.
40．（2021·江蘇·無錫市第一中學高三階段練習）已知等比數(shù)列的前n項和，則________．
【答案】2
【分析】
由題設得，若有與不相等，與假設矛盾，進而根據(jù)等比前n項和公式，結合已知列方程求參數(shù)a即可.
【詳解】
由題設，，
若時，，故與矛盾，
∴，即，顯然成立.
故答案為：2.

四、解答題
41．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．
①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．
【答案】答案見解析．
【分析】
首先確定條件和結論，然后結合等差數(shù)列的通項公式和前項和公式證明結論即可．
【詳解】
選擇①③為條件，②結論．
證明過程如下：
設數(shù)列的公差為，由題意可得：，，
數(shù)列的前項和：，
故，
據(jù)此可得數(shù)列 是等差數(shù)列．
選擇①②為條件，③結論：
設數(shù)列的公差為，則：
，
數(shù)列為等差數(shù)列，則：，
即：，整理可得：，．
選擇③②為條件，①結論：
由題意可得：，，
則數(shù)列的公差為，
通項公式為：，
據(jù)此可得，當時，，
當時上式也成立，故數(shù)列的通項公式為：，
由，可知數(shù)列是等差數(shù)列．
42．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，.
（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列前n項和，求n的最小值.
【答案】（1）證明見解析；（2）5.
【分析】
（1）根據(jù)等差數(shù)列定義，結合遞推公式，可證明，即得證；
（2）由（1）可得，分組求和可得，化簡為，解不等式即可
【詳解】
（1）證明：因為
所以，
因為，所以數(shù)列為首項為，公差為 的等差數(shù)列.
（2）由（1）可得，即 .
令，則，故為等比數(shù)列；
設，則，故為等差數(shù)列.
分組求和可得
，∴，∴，
∴n的最小值為5.
43．（2021·江西南昌·模擬預測（文））已知等差數(shù)列的前項和為，，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件列方程組求、，寫出通項公式；
（2）由（1）可知時，，而，，分別求出、時數(shù)列的前項和即可.
【詳解】
（1）設等差數(shù)列的公差為，
∴，解得，
∴.
（2）由（1）知：，則，得，又，
∴時，，而，，
∴數(shù)列的前項和，而，，
∴，故.
44．（2021·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前項和為，且
（1）求通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)，利用“”法求解.
（2）令，解得，然后分， 去掉絕對值，利用等差數(shù)列的前n項和公式求解.
【詳解】
（1）在等差數(shù)列中，因為，
所以，
解得 ，
所以 .
（2）令，解得，
當時，，當時，，
所以當時， ，
當時， ，
，
所以.
45．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求的最大值及取得最大值時的值.
【答案】（1）證明見解析；（2）前16項或前17項和最大，最大值為.
【分析】
（1）先由求通項公式，再利用定義法證明即可；
（2）先判斷的n的范圍，得到數(shù)列的正負分布，即得何時最大.
【詳解】
解：（1）證明：當時，，
又當時，，滿足，
故的通項公式為，
∴.
故數(shù)列是以32為首項，為公差的等差數(shù)列；
（2）令，即，解得，
故數(shù)列的前16項或前17項和最大，
此時.
46．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足：.證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項；
【答案】證明見解析，.
【分析】
由已知數(shù)列bn﹣an＝n，b1＝2求得a1，再將an+1+1＝2an+n，轉化為，利用等比數(shù)列概念求解.
【詳解】
證明：因為，所以．因為，所以，所以．又，
所以是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以．
47．（2020·湖南·長沙一中高三階段練習）數(shù)列滿足：，．
（1）記，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）記為數(shù)列的前項和，求．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】
（1）由已知可得，再由等比數(shù)列的定義即可證明.
（2）由（1）可得，再由等比數(shù)列以及等差數(shù)列的前項和公式，分組求和即可求解.
【詳解】
（1）∵，∴，
∴，∴數(shù)列是以，公比為的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，∴，
．
48．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{an}滿足，，，成等差數(shù)列，證明:數(shù)列是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式.
【答案】證明見解析，；
【分析】
由已知得4an+1=3an+anan+1，化簡變形得，則可得，求出，所以可得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而可求出數(shù)的通項公式
【詳解】
由已知得4an+1=3an+anan+1，
∵a1≠0，∴由遞推關系可得an≠0恒成立，
∴，∴，即，
又∵，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
，
，；
49．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且滿足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.求證：數(shù)列{an－bn}為等比數(shù)列.
【答案】證明見解析
【分析】
根據(jù)問題要證明等比數(shù)列，即證明 為常數(shù)，故將題中條件進行結合處理，即可得到，并求出首項即可.
【詳解】
證明：an－bn＝(3an－1－bn－1)－(an－1－3bn－1)＝2(an－1－bn－1)，即，
又a1－b1＝3－(－1)＝4，
所以{an－bn}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列；
50．（2022·浙江·高三專題練習）已知是等差數(shù)列，，，且，，是等比數(shù)列的前3項.
（1）求數(shù)列，的通項公式；
（2）數(shù)列是由數(shù)列的項刪去數(shù)列的項后仍按照原來的順序構成的新數(shù)列，求數(shù)列的前20項的和.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)以及等差數(shù)列的通項公式計算即可得到結果，然后根據(jù)可得，最后簡單計算可得.
（2）根據(jù)（1）的條件可知求解的是，計算即可.
【詳解】
（1）數(shù)列是等差數(shù)列，設公差為，且，.
則，解得，
所以.
又因為，，是等比數(shù)列的前3項，則，
由于，代入上式解得.
于是，，，因此等比數(shù)列的公比.
故數(shù)列的通項公式為.
（2）設數(shù)列的前20項的和為.
因為，，
則
.