?專題01 二次函數(shù)的定義壓軸題四種模型全攻略

考點(diǎn)一 二次函數(shù)的識別 考點(diǎn)二 二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項
考點(diǎn)三 根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù) 考點(diǎn)四 列二次函數(shù)關(guān)系式
典型例題


考點(diǎn)一 二次函數(shù)的識別
例題：（2022·江蘇·鹽城市初級中學(xué)一模）下列函數(shù)中為二次函數(shù)的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用二次函數(shù)的定義進(jìn)而分析得出答案．
【詳解】
解：A、，是一次函數(shù)，故此選項不符合題意；
B、，是二次函數(shù)，故此選項符合題意；
C、，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；
D、，未知數(shù)的最高次為3，不是二次函數(shù)，故此選項錯誤．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的定義；熟練掌握二次函數(shù)解析式的一般形式()，是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2020·陜西·西安市大明宮中學(xué)三模）觀察：①；②；③；④；⑤；⑥．這六個式子中二次函數(shù)有（???????）個．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可．
【詳解】
①是二次函數(shù)；
②是二次函數(shù)；
③是二次函數(shù)；
④不是二次函數(shù)；
⑤不是二次函數(shù)；
⑥不是二次函數(shù)；
這六個式子中二次函數(shù)有①②③
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的定義，即一般地，形如（a，b，c是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．
2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）下列函數(shù)①；②；③；④；⑤．其中是二次函數(shù)的是____________．
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的定義，函數(shù)式為整式且自變量的最高次數(shù)為2，二次項系數(shù)不為0，逐一判斷．
【詳解】
解：①y=5x-5為一次函數(shù)；
②y=3x2-1為二次函數(shù)；
③y=4x3-3x2自變量次數(shù)為3，不是二次函數(shù)；
④y=2x2-2x+1為二次函數(shù)；
⑤y=函數(shù)式為分式，不是二次函數(shù)．
故答案為②④．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的定義，熟記定義“函數(shù)式為整式且自變量的最高次數(shù)為2，二次項系數(shù)不為0”是解題關(guān)鍵．

考點(diǎn)二 二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項
例題：（2022·福建省福州外國語學(xué)校八年級期末）二次函數(shù)的一次項系數(shù)是（???????）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項作答．
【詳解】
解：二次函數(shù)y=x2－2x+3的一次項系數(shù)是－2；
故選：C．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是注意在找二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項時，不要漏掉符號．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·全國·九年級）設(shè)a，b，c分別是二次函數(shù)y＝﹣x2＋3的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項，則（???????）
A．a(chǎn)＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a(chǎn)＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a(chǎn)＝1，b＝0，c＝3
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的一般形式可得答案．
【詳解】
解：二次函數(shù)y＝﹣x2+3的二次項系數(shù)是a＝﹣1，一次項系數(shù)是b＝0，常數(shù)項是c＝3；
故選：B．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了二次函數(shù)的一般形式，關(guān)鍵是注意在找二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項時，不要漏掉符號．
2．（2022·全國·九年級）已知二次函數(shù)y＝1﹣5x＋3x2，則二次項系數(shù)a＝___，一次項系數(shù)b＝___，常數(shù)項c＝___．
【答案】???? 3???? -5???? 1
【解析】
【分析】
形如：這樣的函數(shù)是二次函數(shù)，其中二次項系數(shù)為 一次項系數(shù)為 常數(shù)項為 根據(jù)定義逐一作答即可．
【詳解】
解：二次函數(shù)y＝1﹣5x+3x2，則二次項系數(shù)a＝3，一次項系數(shù)b＝﹣5，常數(shù)項c＝1，
故答案為：3，﹣5，1．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的定義，熟記二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．

考點(diǎn)三 根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)
例題：（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知y＝+2x﹣3是二次函數(shù)式，則m的值為 _____．
【答案】-1
【解析】
【分析】
若y＝+2x﹣3是二次函數(shù)式，則二次項系數(shù)不等于零，可得答案；
【詳解】
解：由題意得：，
解得：m=-1，
故答案為：-1．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的定義，理解二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·黑龍江·塔河縣第一中學(xué)校九年級期中）已知是關(guān)于的二次函數(shù)，那么的值____．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的定義，中，未知數(shù)x的指數(shù)為2，系數(shù)不為0，列式計算即可．
【詳解】
解：∵是關(guān)于的二次函數(shù)，
∴且，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是二次函數(shù)的定義，熟練掌握形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·廣東廣州·九年級期中）關(guān)于的函數(shù)是二次函數(shù)，則的值為__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)，求出m的值即可解決問題．
【詳解】
解：∵是關(guān)于x的二次函數(shù)，
∴m2-m=2，m+1≠0，
解得：m=2．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了二次函數(shù)的定義及解一元二次方程；牢固掌握定義和方程的解法是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)四 列二次函數(shù)關(guān)系式
例題：（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）為防治新冠病毒，某醫(yī)藥公司一月份的產(chǎn)值為1億元，若每月平均增長率為，第一季度的總產(chǎn)值為（億元），則關(guān)于的函數(shù)解析式為________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意分別求得每個月的產(chǎn)值，然后相加即可求解．
【詳解】
解：∵某醫(yī)藥公司一月份的產(chǎn)值為1億元，若每月平均增長率為，
∴二月份的為
三月份的為
第一季度的總產(chǎn)值為（億元），則
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·山東濱州·九年級期中）某商店從廠家以每件元的價格購進(jìn)一批商品，該商店可以自行定價，若每件商品的售價為元，則可賣出件，那么賣出商品所賺錢元與售價元之間的函數(shù)關(guān)系為________．
【答案】
【解析】
【分析】
由題意分析出每件商品的盈利為：元，再根據(jù)：總利潤等于每件商品的利潤乘以銷售的數(shù)量，再化簡即可.
【詳解】
解：由題意得：每件商品的盈利為：元，
所以：


故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查的是列二次函數(shù)關(guān)系式，掌握“總利潤等于每件商品的利潤乘以銷售的數(shù)量”是解題的關(guān)鍵.
2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在長方形中，，，點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)沿線段運(yùn)動，點(diǎn)沿線段運(yùn)動（其中一點(diǎn)停止運(yùn)動，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動）．若設(shè)，陰影部分的面積為，則與之間的關(guān)系式為______．

【答案】y=-+48
【解析】
【分析】
先求出，進(jìn)而即可得到答案．
【詳解】
由題意得：，
∴陰影部分的面積=6×8-，即：y=-+48．
故答案是：y=-+48．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查列二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是掌握割補(bǔ)法求面積．










課后訓(xùn)練


一、選擇題
1．（2022·吉林·安圖縣第三中學(xué)九年級階段練習(xí)）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（　?。?br /> A．y=2x+1 B． C．y=- D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．
【詳解】解：A、該函數(shù)是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故本選項錯誤；
B、該函數(shù)是二次函數(shù)，故本選項正確；
C、該函數(shù)是反比例函數(shù)，故本選項錯誤；
D、該函數(shù)是三次函數(shù)，故本選項錯誤；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義．熟知一般地，形如（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．
2．（2020·北京房山·九年級期中）二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（????）
A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，-4，3 D．0，-4，3
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x，y是變量，是常量， a是二次項系數(shù)， b是一次項系數(shù)， c是常數(shù)項作答．
【詳解】解：解:二次函數(shù)的二次項系數(shù)是1，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是3．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是注意在找二次項系數(shù)， 一次項系數(shù)和常數(shù)項時，不要漏掉符號．
3．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）一臺機(jī)器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機(jī)器約為y萬元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（????）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
【答案】D
【分析】根據(jù)兩年后機(jī)器價值＝機(jī)器原價值×（1﹣折舊百分比）2可得函數(shù)解析式．
【詳解】解：根據(jù)題意知y＝100（1﹣x）2，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)實(shí)際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖像要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．
4．（2021·河北·唐山市第九中學(xué)九年級階段練習(xí)）若函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的取值為（????）
A． B．2 C．3 D．或2
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，必須二次項系數(shù)不等于0，且未知數(shù)的次數(shù)等于2，據(jù)此列不等式組并求解即可．
【詳解】解：由二次函數(shù)的定義可知，當(dāng)時，該函數(shù)是二次函數(shù)，
∴m=-3或m=2，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，明確二次函數(shù)的定義并正確列式，是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖所示，在中，，且，設(shè)直線截此三角形所得的陰影部分的面積為，則與之間的函數(shù)關(guān)系式為（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】中，，且，可得；再由平行線的性質(zhì)得出，即，進(jìn)而證明，最后根據(jù)三角形的面積公式，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式．
【詳解】解：如圖所示，
∵中，，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
即：．
故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形的面積等知識點(diǎn)．解題的關(guān)鍵是能夠找到題目中的有關(guān)面積的等量關(guān)系．
二、填空題
6．（2021·全國·九年級課前預(yù)習(xí)）把y＝（2－3x）（6＋x）變成y＝ax2＋bx＋c的形式，二次項為____，一次項系數(shù)為______，常數(shù)項為______．
【答案】???? ???? －16???? 12
【解析】略
7．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，設(shè)BC＝x，AD＝y(tǒng)，當(dāng)x＞時，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為 _____．

【答案】
【分析】由BD=1，AD=y，可得AB=AC=y+1，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=2y+1，在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-1，即得2y+1=x2-1，可得答案．
【詳解】解：∵BD=1，AD=y，
∴AB=y+1，
∵AB=AC，
∴AC=y+1，
在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=（y+1）2-y2=2y+1，
在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-12=x2-1，
∴2y+1=x2-1，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將CD2作等量，列出y與x的關(guān)系式．
8．（2021·重慶·墊江第八中學(xué)校九年級階段練習(xí)）若函數(shù)y＝（a＋1）x|a|＋1是二次函數(shù)，則a的值是　______ ．
【答案】１
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，列出關(guān)于a的方程和不等式，即可求解．
【詳解】根據(jù)二次函數(shù)的定義可得：，解得：a=1．
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的最高次項的次數(shù)為2，二次項系數(shù)不等于零，是解題的關(guān)鍵．
9．（2021·山東·泰安市泰山區(qū)大津口中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知是二次函數(shù)，則的值為___________．
【答案】-1
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，即可求解．
【詳解】解：∵是二次函數(shù)，
∴且，
解得：．
故答案為：-1
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
10．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是__________．
①；②；③；④；⑤y=(x-3)2-x2
【答案】③
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義： 一般地,把形如y=ax2+bx+c(a≠0)(a、b、c是常數(shù))的函數(shù)叫做二次函數(shù)，據(jù)此判斷即可．
【詳解】解：①，必須滿足a≠0才為二次函數(shù)，故①不一定是二次函數(shù)；
②等號右邊為分式，故②不是二次函數(shù)；
③是二次函數(shù)，故③是二次函數(shù)；
④，時，該式不是二次函數(shù)；
⑤，該式不是二次函數(shù)；
故答案為：③．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的識別，熟知二次函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？
（1）y＝3x—1；
（2） ；
（3）??；
（4） ；
（5） ；
（6）
【答案】（2）（4）是二次函數(shù)
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，即可求解．
【詳解】解∶（1）不是二次函數(shù)，因為自變量的最高次數(shù)是1．
（2）是二次函數(shù)，因為符合二次函數(shù)的概念．
（3）不是二次函數(shù)，因為自變量的最高次數(shù)是3．
（4）是二次函數(shù)，因為符合二次函數(shù)的概念．
（5）不是二次函數(shù)，因為原式整理后為y=－x．
（6）不是二次函數(shù)，因為x－2為分式，不是整式．
故（2）（4）是二次函數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握形如（其中a、b、c均為常數(shù)，且）的函數(shù)關(guān)系稱為二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知函數(shù)y=（a+1） +（a﹣2）x（a為常數(shù)），求a的值：
(1)函數(shù)為二次函數(shù)；
(2)函數(shù)為一次函數(shù)．
【答案】(1)a=1
(2)a=0或﹣1
【分析】（1）直接利用二次函數(shù)的定義得出a2+1=2，a+1≠0得出即可；
（2）利用一次函數(shù)的定義分別求出即可．
(1)
當(dāng) 時，函數(shù)為二次函數(shù)，
解得：a=±1，a≠-1，
∴a=1；
(2)
當(dāng) 時，函數(shù)為一次函數(shù)，
解得：a=0，
當(dāng)a+1=0，即a=﹣1時，函數(shù)為一次函數(shù)，
所以，當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時，a=1，當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時，a=0或﹣1．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
13．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）一個二次函數(shù)．
（1）求k的值．
（2）求當(dāng)x=3時，y的值？
【答案】（1）k=2；（2）14
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義列出關(guān)于k所滿足的式子，求解即可；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，先求出二次函數(shù)解析式，然后代入x=3求解即可．
【詳解】解：（1）依題意有，
解得：k=2，
∴k的值為2；
（2）把k=2代入函數(shù)解析式中得：，
當(dāng)x=3時，y=14，
∴y的值為14．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，以及求二次函數(shù)的函數(shù)值，理解并掌握二次函數(shù)的基本定義是解題關(guān)鍵．
14．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知函數(shù)y＝（k2﹣k）x2+kx+k+1（k為常數(shù)）．
（1）若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求k的值；
（2）若這個函數(shù)是二次函數(shù)，則k的值滿足什么條件？
【答案】（1）k＝1；（2）k≠0且k≠1
【分析】（1）由一次函數(shù)的定義求解可得；
（2）由二次函數(shù)的定義求解可得．
【詳解】解：（1）若這個函數(shù)是一次函數(shù)，
則k2﹣k＝0且k≠0，
解得k＝1；
（2）若這個函數(shù)是二次函數(shù)，
則k2﹣k≠0，
解得k≠0且k≠1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的定義、二次函數(shù)的定義，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．
15．（2022·浙江寧波·八年級期末）荔枝是夏季的時令水果，儲存不太方便．某水果店將進(jìn)價為18元/千克的荔枝，以28元/千克售出時，每天能售出40千克．市場調(diào)研表明：當(dāng)售價每降低1元/千克時，平均每天能多售出10千克．設(shè)降價x元．
(1)降價后平均每天可以銷售荔枝 千克（用含x的代數(shù)式表示）．
(2)設(shè)銷售利潤為y，請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
(3)該水果店想要使荔枝的銷售利潤平均每天達(dá)到480元，且盡可能地減少庫存壓力，應(yīng)將價格定為多少元/千克？
【答案】(1)
(2)
(3)24元/千克

【分析】（1）根據(jù)“當(dāng)售價每降低1元/千克時，平均每天能多售出10千克”可直接得出結(jié)論；
（2）利用利潤=（售價-成本）×銷售量可得出結(jié)論；
（3）令y=480，求出x的值，再根據(jù)題意對x的值進(jìn)行取舍即可．
（1）
根據(jù)題意得，降價后平均每天可以銷售荔枝：（40+10x）千克，
故答案為：（40+10x）．
（2）
根據(jù)題意得，
整理得
（3）
令，代入函數(shù)得，
解方程，得，
因為要盡可能地清空庫存，所以舍去取
此時荔枝定價為（元/千克）
答：應(yīng)將價格定為24元/千克．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，列函數(shù)關(guān)系式，列代數(shù)式，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．







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