內蒙古呼和浩特市2021-2023三年中考數學真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點分類-試卷下載-教習網

?內蒙古呼和浩特市2021-2023三年中考數學真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點分類
一．分式方程的應用（共2小題）
1．（2022?呼和浩特）今年我市某公司分兩次采購了一批土豆，第一次花費30萬元，第二次花費50萬元，已知第一次采購時每噸土豆的價格比去年的平均價格上漲了200元，第二次采購時每噸土豆的價格比去年的平均價格下降了200元，第二次的采購數量是第一次采購數量的2倍．
（1）問去年每噸土豆的平均價格是多少元？
（2）該公司可將土豆加工成薯片或淀粉，因設備原因，兩種產品不能同時加工，若單獨加工成薯片，每天可加工5噸土豆，每噸土豆獲利700元；若單獨加工成淀粉，每天可加工8噸土豆，每噸土豆獲利400元，由于出口需要，所有采購的土豆必須全部加工完且用時不超過60天，其中加工成薯片的土豆數量不少于加工成淀粉的土豆數量的，為獲得最大利潤，應將多少噸土豆加工成薯片？最大利潤是多少？
2．（2021?呼和浩特）為了促進學生加強體育鍛煉，某中學從去年開始，每周除體育課外，又開展了“足球俱樂部1小時”活動．去年學校通過采購平臺在某體育用品店購買A品牌足球共花費2880元，B品牌足球共花費2400元，且購買A品牌足球數量是B品牌數量的1.5倍，每個足球的售價，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于參加俱樂部人數增加，需要從該店再購買A、B兩種足球共50個，已知該店對每個足球的售價，今年進行了調整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年購買A、B兩種足球的總費用不超過去年總費用的一半，那么學校最多可購買多少個B品牌足球？
二．一次函數的應用（共1小題）
3．（2021?呼和浩特）下面圖片是七年級教科書中“實際問題與一元一次方程”的探究3．
探究3
電話計費問題
下表中有兩種移動電話計費方式．

月使用費/元
主叫限定時間/min
主叫超時費/（元/min）
被叫
方式一
58
150
0.25
免費
方式二
88
350
0.19
免費
考慮下列問題：
月使用費固定收：
主叫不超限定時間不再收費，主叫超時部分加收超時費，被叫免費．
（1）設一個月內用移動電話主叫為tmin（t是正整數）．根據上表，列表說明：當t在不同時間范圍內取值時，按方式一和方式二如何計費．
（2）觀察你的列表，你能從中發(fā)現如何根據主叫時間選擇省錢的計費方式嗎？通過計算驗證你的看法．
小明升入初三再看這個問題，發(fā)現兩種計費方式，每一種都是因主叫時間的變化而引起計費的變化，他把主叫時間視為在正實數范圍內變化，決定用函數來解決這個問題．
（1）根據函數的概念，小明首先將問題中的兩個變量分別設為自變量x和自變量的函數y，請你幫小明寫出：
x表示問題中的　　，y表示問題中的　　．
并寫出計費方式一和二分別對應的函數解析式；
（2）在給出的正方形網格紙上畫出（1）中兩個函數的大致圖象，并依據圖象直接寫出如何根據主叫時間選擇省錢的計費方式．（注：坐標軸單位長度可根據需要自己確定）

三．二次函數綜合題（共2小題）
4．（2023?呼和浩特）探究函數y＝﹣2|x|2+4|x|的圖象和性質，探究過程如下：
（1）自變量x的取值范圍是全體實數，x與y的幾組對應值列表如下：
x
…
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0

1

2

…
y
…
﹣
0

m

0

2

0
﹣
…
其中，m＝　　.根據如表數據，在圖1所示的平面直角坐標系中，通過描點畫出了函數圖象的一部分，請畫出該函數圖象的另一部分．觀察圖象，寫出該函數的一條性質；
（2）點F是函數y＝﹣2|x|2+4|x|圖象上的一動點，點A（2，0），點B（﹣2，0），當S△FAB＝3時，請直接寫出所有滿足條件的點F的坐標；
（3）在圖2中，當x在一切實數范圍內時，拋物線y＝﹣2x2+4x交x軸于O，A兩點（點O在點A的左邊），點P是點Q（1，0）關于拋物線頂點的對稱點，不平行y軸的直線l分別交線段OP，AP（不含端點）于M，N兩點．當直線l與拋物線只有一個公共點時，PM與PN的和是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

5．（2022?呼和浩特）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點B（4，0）和點C（0，2），與x軸的另一個交點為A，連接AC、BC．
（1）求拋物線的解析式及點A的坐標；
（2）如圖1，若點D是線段AC的中點，連接BD，在y軸上是否存在點E，使得△BDE是以BD為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，點P是第一象限內拋物線上的動點，過點P作PQ∥y軸，分別交BC、x軸于點M、N，當△PMC中有某個角的度數等于∠OBC度數的2倍時，請求出滿足條件的點P的橫坐標．

四．矩形的性質（共1小題）
6．（2021?呼和浩特）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE∥DF且分別交對角線AC于點E，F．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）當四邊形ABCD分別是矩形和菱形時，請分別說出四邊形BEDF的形狀．（無需說明理由）

五．四邊形綜合題（共1小題）
7．（2022?呼和浩特）下面圖片是八年級教科書中的一道題．
如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．求證AE＝EF．（提示：取AB的中點G，連接EG．）

（1）請你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件：　 ?。?br /> （2）如圖1，若點E是BC邊上任意一點（不與B、C重合），其他條件不變．求證：AE＝EF；
（3）在（2）的條件下，連接AC，過點E作EP⊥AC，垂足為P．
設＝k，當k為何值時，四邊形ECFP是平行四邊形，并給予證明．

六．圓周角定理（共1小題）
8．（2022?呼和浩特）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交線段CA的延長線于點E，連接BE．
（1）求證：BD＝CD；
（2）若tanC＝，BD＝4，求AE．

七．圓的綜合題（共2小題）
9．（2021?呼和浩特）已知AB是⊙O的任意一條直徑．
（1）用圖1，求證：⊙O是以直徑AB所在直線為對稱軸的軸對稱圖形；
（2）已知⊙O的面積為4π，直線CD與⊙O相切于點C，過點B作BD⊥CD，垂足為D，如圖2．
求證：①BC2＝2BD；
②改變圖2中切點C的位置，使得線段OD⊥BC時，OD＝2．

10．（2023?呼和浩特）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以邊AC為直徑作⊙O，與AB邊交于點D，點M為邊BC的中點，連接DM．
（1）求證：DM是⊙O的切線；
（2）點P為直線BC上任意一動點，連接AP交⊙O于點Q，連接CQ．
①當tan∠BAP＝時，求BP的長；
②求的最大值．

八．頻數（率）分布直方圖（共1小題）
11．（2023?呼和浩特）3月21日是國際森林日．某中學為了推動學生探索森林文化，進行自然教育，開展了“森林——地球之肺”相關知識的測試活動．測試結束后隨機抽取了部分學生成績進行統(tǒng)計，按成績分成A，B，C，D，E五個等級，并繪制了如圖不完整的統(tǒng)計圖．請結合統(tǒng)計圖，解答下列問題：

等級
成績x/分
E
50≤x＜60
D
60≤x＜70
C
70≤x＜80
B
80≤x＜90
A
90≤x≤100
（1）本次調查一共隨機抽取了　　名學生的成績，頻數分布直方圖中m＝　 ??；補全學生成績頻數分布直方圖；
（2）所抽取學生成績的中位數落在　　等級；
（3）若成績在60分及60分以上為合格，全校共有920名學生，估計成績合格的學生有多少名？
九．列表法與樹狀圖法（共1小題）
12．（2021?呼和浩特）某大學為了解大學生對中國共產黨黨史知識的學習情況，在大學一年級和二年級舉行有關黨史知識測試活動．現從一、二兩個年級中各隨機抽取20名學生的測試成績（滿分50分，30分及30分以上為合格；40分及40分以上為優(yōu)秀）進行整理、描述和分析，給出了下面的部分信息．
大學一年級20名學生的測試成績?yōu)椋?br /> 39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．
大學二年級20名學生的測試成績條形統(tǒng)計圖如圖所示；兩個年級抽取的學生的測試成績的平均數、眾數、中位數、優(yōu)秀率如下表所示：

年級
平均數
眾數
中位數
優(yōu)秀率
大一
a
b
43
m
大二
39.5
44
c
n
請你根據上面提供的所有信息，解答下列問題：
（1）上表中a＝　　，b＝　　，c＝　　，m＝　　，n　 ?。?br /> 根據樣本統(tǒng)計數據，你認為該大學一、二年級中哪個年級學生掌握黨史知識較好？并說明理由（寫出一條理由即可）；
（2）已知該大學一、二年級共1240名學生參加了此次測試活動，通過計算，估計參加此次測試活動成績合格的學生人數能否超過1000人；
（3）從樣本中測試成績?yōu)闈M分的一、二年級的學生中隨機抽取兩名學生，用列舉法求兩人在同一年級的概率．

內蒙古呼和浩特市2021-2023三年中考數學真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點分類
參考答案與試題解析
一．分式方程的應用（共2小題）
1．（2022?呼和浩特）今年我市某公司分兩次采購了一批土豆，第一次花費30萬元，第二次花費50萬元，已知第一次采購時每噸土豆的價格比去年的平均價格上漲了200元，第二次采購時每噸土豆的價格比去年的平均價格下降了200元，第二次的采購數量是第一次采購數量的2倍．
（1）問去年每噸土豆的平均價格是多少元？
（2）該公司可將土豆加工成薯片或淀粉，因設備原因，兩種產品不能同時加工，若單獨加工成薯片，每天可加工5噸土豆，每噸土豆獲利700元；若單獨加工成淀粉，每天可加工8噸土豆，每噸土豆獲利400元，由于出口需要，所有采購的土豆必須全部加工完且用時不超過60天，其中加工成薯片的土豆數量不少于加工成淀粉的土豆數量的，為獲得最大利潤，應將多少噸土豆加工成薯片？最大利潤是多少？
【答案】（1）去年每噸土豆的平均價格是2200元；
（2）為獲得最大利潤，應將175噸土豆加工成薯片，最大利潤是202500元．
【解答】解：（1）設去年每噸土豆的平均價格是x元，則今年第一次采購每噸土豆的平均價格為（x+200）元，第二次采購每噸土豆的平均價格為（x﹣200）元，
由題意得：×2＝，
解得：x＝2200，
經檢驗，x＝2200是原分式方程的解，且符合題意，
答：去年每噸土豆的平均價格是2200元；
（2）由（1）得：今年采購的土豆數為：×3＝375（噸），
設應將m噸土豆加工成薯片，則應將（375﹣m）噸加工成淀粉，
由題意得：，
解得：150≤m≤175，
設總利潤為y元，
則y＝700m+400（375﹣m）＝300m+150000，
∵300＞0，
∴y隨m的增大而增大，
∴當m＝175時，y的值最大＝300×175+150000＝202500，
答：為獲得最大利潤，應將175噸土豆加工成薯片，最大利潤是202500元．
2．（2021?呼和浩特）為了促進學生加強體育鍛煉，某中學從去年開始，每周除體育課外，又開展了“足球俱樂部1小時”活動．去年學校通過采購平臺在某體育用品店購買A品牌足球共花費2880元，B品牌足球共花費2400元，且購買A品牌足球數量是B品牌數量的1.5倍，每個足球的售價，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于參加俱樂部人數增加，需要從該店再購買A、B兩種足球共50個，已知該店對每個足球的售價，今年進行了調整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年購買A、B兩種足球的總費用不超過去年總費用的一半，那么學校最多可購買多少個B品牌足球？
【答案】最多可購進33個B足球．
【解答】解：設去年A足球售價為x元/個，則B足球售價為（x+12）元/個．
由題意得：，即，
∴96（x+12）＝120x，
∴x＝48．
經檢驗，x＝48是原分式方程的解且符合題意．
∴A足球售價為48元/個，B足球售價為60元/個．
設今年購進B足球的個數為a個，則有：．
∴50.4×50﹣50.4a+54a≤2640．
∴3.6a≤120，
∴．
∴最多可購進33個B足球．
二．一次函數的應用（共1小題）
3．（2021?呼和浩特）下面圖片是七年級教科書中“實際問題與一元一次方程”的探究3．
探究3
電話計費問題
下表中有兩種移動電話計費方式．

月使用費/元
主叫限定時間/min
主叫超時費/（元/min）
被叫
方式一
58
150
0.25
免費
方式二
88
350
0.19
免費
考慮下列問題：
月使用費固定收：
主叫不超限定時間不再收費，主叫超時部分加收超時費，被叫免費．
（1）設一個月內用移動電話主叫為tmin（t是正整數）．根據上表，列表說明：當t在不同時間范圍內取值時，按方式一和方式二如何計費．
（2）觀察你的列表，你能從中發(fā)現如何根據主叫時間選擇省錢的計費方式嗎？通過計算驗證你的看法．
小明升入初三再看這個問題，發(fā)現兩種計費方式，每一種都是因主叫時間的變化而引起計費的變化，他把主叫時間視為在正實數范圍內變化，決定用函數來解決這個問題．
（1）根據函數的概念，小明首先將問題中的兩個變量分別設為自變量x和自變量的函數y，請你幫小明寫出：
x表示問題中的　主叫時間　，y表示問題中的　計費　．
并寫出計費方式一和二分別對應的函數解析式；
（2）在給出的正方形網格紙上畫出（1）中兩個函數的大致圖象，并依據圖象直接寫出如何根據主叫時間選擇省錢的計費方式．（注：坐標軸單位長度可根據需要自己確定）

【答案】（1）主叫時間，計費；
方式一：y＝；
方式二：y＝；
（2）畫圖象見解答；當主叫時間在270分鐘以內選方式一，270分鐘時兩種方式相同，超過270分鐘選方式二．
【解答】解：（1）由題意，可得x表示問題中的主叫時間，y表示問題中的計費；
方式一：y＝；
方式二：y＝；
故答案為：主叫時間，計費；
（2）大致圖象如下：

由圖可知：當主叫時間在270分鐘以內選方式一，270分鐘時兩種方式相同，超過270分鐘選方式二．
三．二次函數綜合題（共2小題）
4．（2023?呼和浩特）探究函數y＝﹣2|x|2+4|x|的圖象和性質，探究過程如下：
（1）自變量x的取值范圍是全體實數，x與y的幾組對應值列表如下：
x
…
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0

1

2

…
y
…
﹣
0

m

0

2

0
﹣
…
其中，m＝　2　.根據如表數據，在圖1所示的平面直角坐標系中，通過描點畫出了函數圖象的一部分，請畫出該函數圖象的另一部分．觀察圖象，寫出該函數的一條性質；
（2）點F是函數y＝﹣2|x|2+4|x|圖象上的一動點，點A（2，0），點B（﹣2，0），當S△FAB＝3時，請直接寫出所有滿足條件的點F的坐標；
（3）在圖2中，當x在一切實數范圍內時，拋物線y＝﹣2x2+4x交x軸于O，A兩點（點O在點A的左邊），點P是點Q（1，0）關于拋物線頂點的對稱點，不平行y軸的直線l分別交線段OP，AP（不含端點）于M，N兩點．當直線l與拋物線只有一個公共點時，PM與PN的和是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

【答案】（1）2；圖象見解答，該函數關于y軸對稱；當x＜﹣1或0≤x＜1時，y隨x的增大而增大；當﹣1≤x＜0或x≥1時，y隨x的增大而減小；
（2）所有滿足條件的點F的坐標為（﹣，）或（﹣，）或（，）或（，）或（﹣1﹣，﹣）或（1+，﹣）；
（3）PM+PN＝為定值．
【解答】解：（1）當x＝﹣1時，y＝﹣2×（﹣1）2+4×|﹣1|＝2，
∴m＝2，
函數圖象如圖所示：

由圖象可得該函數的性質：該函數關于y軸對稱；當x＜﹣1或0≤x＜1時，y隨x的增大而增大；當﹣1≤x＜0或x≥1時，y隨x的增大而減小；
故答案為：2；
（2）當x＜0時，y＝﹣2x2﹣4x，
當x≥0時，y＝﹣2x2+4x，
∵A（2，0），B（﹣2，0），
∴AB＝4，
∵S△FAB＝3，
∴×4|yF|＝3，
∴yF＝±，
當yF＝時，若x＜0，則﹣2x2﹣4x＝，
解得：x＝﹣或﹣，
若x≥0，則﹣2x2+4x＝，
解得：x＝或，
∴F（﹣，）或（﹣，）或（，）或（，）；
當yF＝﹣時，若x＜0，則﹣2x2﹣4x＝﹣，
解得：x＝﹣1﹣或x＝﹣1+（舍去），
若x≥0，則﹣2x2+4x＝﹣，
解得：x＝1﹣（舍去）或x＝1+，
∴F（﹣1+，﹣）或（﹣1﹣，﹣）或（1﹣，﹣）或（1+，﹣）；
綜上所述，所有滿足條件的點F的坐標為（﹣，）或（﹣，）或（，）或（，）或（﹣1﹣，﹣）或（1+，﹣）；
（3）PM與PN的和是定值；
如圖2，連接直線PQ，

∵拋物線y＝﹣2x2+4x交x軸于O，A兩點，
∴O（0，0），A（2，0），
∵y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，
∴拋物線y＝﹣2x2+4x的頂點為（1，2），
∵點P是點Q（1，0）關于拋物線頂點（1，2）的對稱點，故點P的坐標為（1，4），
由點P、O的坐標得，直線OP的表達式為y＝4x①，
同理可得，直線AP的表達式為y＝﹣4x+8②，
設直線l的表達式為y＝tx+n，
聯(lián)立y＝tx+n和y＝﹣2x2+4x并整理得：2x2+（t﹣4）x+n＝0，
∵直線l與拋物線只有一個公共點，
故Δ＝（t﹣4）2﹣8n＝0，解得n＝（t﹣4）2，
故直線l的表達式為y＝tx+（t﹣4）2③，
聯(lián)立①③并解得xM＝﹣（t﹣4），
同理可得，xN＝﹣（t﹣12），
∵射線PO、PA關于直線PQ：x＝1對稱，則∠APQ＝∠OPQ，設∠APQ＝∠OPQ＝α，
則sin∠APQ＝sin∠OPQ＝＝＝＝sinα，
∴PM+PN＝+＝（xN﹣xM）＝為定值．
5．（2022?呼和浩特）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點B（4，0）和點C（0，2），與x軸的另一個交點為A，連接AC、BC．
（1）求拋物線的解析式及點A的坐標；
（2）如圖1，若點D是線段AC的中點，連接BD，在y軸上是否存在點E，使得△BDE是以BD為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，點P是第一象限內拋物線上的動點，過點P作PQ∥y軸，分別交BC、x軸于點M、N，當△PMC中有某個角的度數等于∠OBC度數的2倍時，請求出滿足條件的點P的橫坐標．

【答案】見試題解答內容
【解答】解：（1）將點B（4，0）和點C（0，2）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中，
則，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2，
在y＝﹣x2+x+2中，令y＝0得﹣x2+x+2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0）；
（2）存在y軸上一點E，使得△BDE是以BD為斜邊的直角三角形，理由如下：
如圖：

∵點D是線段AC的中點，A（﹣1，0），C（0，2），
∴D（﹣，1），
設E（0，t），
又B（4，0），
∵∠BED＝90°，
∴BE2+DE2＝BD2，
即[（4﹣0）2+（0﹣t）2]+[（﹣﹣0）2+（1﹣t）2]＝（4+）2+（0﹣1）2，
化簡得：t2﹣t﹣2＝0，
解得：t1＝﹣1，t2＝2，
∴E的坐標為（0，﹣1）或（0，2）；
（3）∵B（4，0）、C（0，2），
∴設直線BC的解析式為y＝kx+2（k≠0），
把點B（4，0）代入解析式得，4k+2＝0，
解得：k＝﹣，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+2，
設點P（m，﹣m2+m+2），則M（m，﹣m+2），
①當∠PCM＝2∠OBC時，
過點C作CF⊥PM于點F，如圖，

∵CF⊥PM，PM∥y軸，
∴CF∥OB，
∴∠FCM＝∠OBC，F（m，2），
又∵∠PCM＝2∠OBC，
∴∠PCF＝∠FCM＝∠OBC，
∴F是線段PM的中點，
∴＝2，
整理得：m2﹣2m＝0，
解得：m＝2或m＝0，
∵點P是第一象限內拋物線上的動點，
∴m＝2；
②∠CMP＝2∠OBC時，
∵∠CMP＝∠BMN，
∴∠BMN＝2∠OBC，即∠BMN＝2∠NBM，
∵PN⊥x軸，
∴∠BMN+∠NBM＝90°，
即3∠NBM＝90°，
∴∠NBM＝30°，
∴OC＝BC，
∵BC＝＝＝2≠4，
∴此種情況不存在；
③當∠CPM＝2∠OBC時，
∵∠CMP＝∠NMB＝90°﹣∠OBC，
∴∠PCM＝180°﹣∠CPM﹣∠CMP＝180°﹣2∠OBC﹣（90°﹣∠OBC）＝90°﹣∠OBC，
∴∠PCM＝∠CMP，
∴PC＝PM，
∴（m﹣0）2+（﹣+m+2﹣2）2＝[（﹣+m+2）﹣（﹣m+2）]2，
整理得：m2+m4﹣m3+m2＝m4﹣2m3+4m2，
解得：m＝；
綜上所述，滿足條件的點P的橫坐標為2或．
四．矩形的性質（共1小題）
6．（2021?呼和浩特）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE∥DF且分別交對角線AC于點E，F．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）當四邊形ABCD分別是矩形和菱形時，請分別說出四邊形BEDF的形狀．（無需說明理由）

【答案】（1）見解答；
（2）見當四邊形ABCD是矩形時，四邊形BEDF是平行四邊形，當四邊形ABCD是菱形時，四邊形BEDF是菱形．
【解答】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA，
∴180°﹣∠BEC＝180°﹣∠DFA，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
（2）連接ED，BF，BD，
由（1）知△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
1°當四邊形ABCD是矩形時，四邊形BEDF是平行四邊形，
2°當四邊形ABCD是菱形時，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
∴四邊形BEDF是菱形．

五．四邊形綜合題（共1小題）
7．（2022?呼和浩特）下面圖片是八年級教科書中的一道題．
如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．求證AE＝EF．（提示：取AB的中點G，連接EG．）

（1）請你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件：　AG＝CE　；
（2）如圖1，若點E是BC邊上任意一點（不與B、C重合），其他條件不變．求證：AE＝EF；
（3）在（2）的條件下，連接AC，過點E作EP⊥AC，垂足為P．
設＝k，當k為何值時，四邊形ECFP是平行四邊形，并給予證明．

【答案】見試題解答內容
【解答】（1）解：∵點E為BC的中點，
∴BE＝CE，
∵點G為AB的中點，
∴BG＝AG，
∴AG＝CE，
故答案為：AG＝CE；
（2）證明：取AG＝EC，連接EG，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△GAE≌△CEF（ASA），
∴AE＝EF；
（3）解：k＝時，四邊形PECF是平行四邊形，如圖，

由（2）知，△GAE≌△CEF，
∴CF＝EG，
設BC＝x，則BE＝kx，
∴GE＝kx，EC＝（1﹣k）x，
∵EP⊥AC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC＝45°，
∴∠PEC+∠ECF＝180°，
∴PE∥CF，
∴PE＝（1﹣k）x，
當PE＝CF時，四邊形PECF是平行四邊形，
∴（1﹣k）x＝kx，
解得k＝．
六．圓周角定理（共1小題）
8．（2022?呼和浩特）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交線段CA的延長線于點E，連接BE．
（1）求證：BD＝CD；
（2）若tanC＝，BD＝4，求AE．

【答案】見試題解答內容
【解答】（1）證明：連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（2）解：∵BD＝DC＝4，
∴BC＝DB+DC＝8，
在Rt△ADC中，tanC＝，
∴AD＝CD?tanC＝4×＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB＝90°，
∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CEB，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝，
∴AE＝CE﹣AC＝，
∴AE的長為．

七．圓的綜合題（共2小題）
9．（2021?呼和浩特）已知AB是⊙O的任意一條直徑．
（1）用圖1，求證：⊙O是以直徑AB所在直線為對稱軸的軸對稱圖形；
（2）已知⊙O的面積為4π，直線CD與⊙O相切于點C，過點B作BD⊥CD，垂足為D，如圖2．
求證：①BC2＝2BD；
②改變圖2中切點C的位置，使得線段OD⊥BC時，OD＝2．

【答案】（1）證明過程見解析；
（2）①證明過程見解析；
②證明過程見解析．
【解答】（1）證明：如圖，設P是⊙O上點A，B以外任意一點，
過點P作PP′⊥AB，交⊙O于點P′，垂足為M，
若M與圓心O不重合，
連接OP，OP′，
在△OPP'中，
∵OP＝OP′，
∴△OPP'是等腰三角形，
又PP′⊥AB，
∴PM＝MP′，
則AB是PP'的垂直平分線，
若M與圓心O重合，顯然AB是PP'的垂直平分線，
這就是說，對于圓上任意一點P，在圓上都有關于直線AB的對稱點P'，因此⊙O是以直徑AB所在直線為對稱軸的軸對稱圖形；

（2）①證明：設⊙O半徑為r，
由πr2＝4π可得r＝2，
∴AB＝4，
連接AC，則∠BCA＝90°，

∵C是切點，連接OC，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
而∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBE＝∠OBC，
又∵∠BCA＝∠BDC＝90°，
∴△ACB∽△CDB，
∴，
∴BC2＝AB?BD＝4BD，
∴；
②證明：由①證明可知∠CBD＝∠OBC，與切點C的位置無關，

又OD⊥BC，
∴BD＝OB，
又∵△OCB是等腰三角形，
∴BC與OD互相垂直平分，
又∠BDC＝90°，
∴四邊形BOCD是邊長為2的正方形，
∴．
10．（2023?呼和浩特）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以邊AC為直徑作⊙O，與AB邊交于點D，點M為邊BC的中點，連接DM．
（1）求證：DM是⊙O的切線；
（2）點P為直線BC上任意一動點，連接AP交⊙O于點Q，連接CQ．
①當tan∠BAP＝時，求BP的長；
②求的最大值．

【答案】（1）證明見解答；
（2）①BP的長為或；
②的最大值為．
【解答】（1）證明：如圖，連接OD，CD，

∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵點M為邊BC的中點，
∴MC＝MD，
∴∠MDC＝∠MCD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ACB＝90°，即∠MCD+∠OCD＝90°，
∴∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，
即∠ODM＝90°，
∴DM⊥OD，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DM是⊙O的切線；
（2）①當點P在線段BC上時，如圖，過點P作PT⊥AB于點T，

在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，
設PT＝x，
∵tan∠BAP＝，
∴＝，
∴AT＝3PT＝3x，
∴BT＝AB﹣AT＝10﹣3x，
∵tan∠ABC＝＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴PT＝，
∵sin∠ABC＝＝，即＝，
∴BP＝；
當點P在CB的延長線上時，如圖，過點B作BK⊥AP于點K，

∵tan∠BAP＝，
∴＝，
設BK＝a，則AK＝3a，
在Rt△ABK中，AK2+BK2＝AB2，
即（3a）2+a2＝102，
解得：a1＝，a2＝﹣（舍去），
∴AK＝3，BK＝，
∵S△ABP＝AP?BK＝BP?AC，
∴＝＝，
設BP＝m，則AP＝m，
在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，
即82+（m+6）2＝（m）2，
解得：m1＝，m2＝﹣（舍去），
∴BP＝；
綜上所述，BP的長為或；
②設CP＝n，則AP＝＝，
如圖，∵AC是⊙O的直徑，
∴CQ⊥AP，

∵CQ?AP＝AC?CP，
∴CQ＝＝，
∴＝，
∵n＞0，
∴（n﹣8）2≥0，
∴64+n2≥16n，
∴＝≤＝，
∴的最大值為．
八．頻數（率）分布直方圖（共1小題）
11．（2023?呼和浩特）3月21日是國際森林日．某中學為了推動學生探索森林文化，進行自然教育，開展了“森林——地球之肺”相關知識的測試活動．測試結束后隨機抽取了部分學生成績進行統(tǒng)計，按成績分成A，B，C，D，E五個等級，并繪制了如圖不完整的統(tǒng)計圖．請結合統(tǒng)計圖，解答下列問題：

等級
成績x/分
E
50≤x＜60
D
60≤x＜70
C
70≤x＜80
B
80≤x＜90
A
90≤x≤100
（1）本次調查一共隨機抽取了　40　名學生的成績，頻數分布直方圖中m＝　7?。谎a全學生成績頻數分布直方圖；
（2）所抽取學生成績的中位數落在　B　等級；
（3）若成績在60分及60分以上為合格，全校共有920名學生，估計成績合格的學生有多少名？
【答案】（1）40，7，學生成績頻數分布直方圖見解答過程；
（2）B；
（3）851人．
【解答】解：（1）由頻數分布直方圖得：等級C有6人，
由扇形統(tǒng)計圖得：等級C占15%，
∴6÷15%＝40．
∴本次調查一共隨機抽取了40名學生的成績，
由扇形統(tǒng)計圖得：等級D占17.5%，等級B占32.5%，
∴等級D得人數m＝40×17.5＝7（人），等級B的人數為：40×32.5%＝13（人），
補全學生成績頻數分布直方圖如圖所示；

故答案為：40，7．
（2）∵等級A是11人，等級B是13人，等級C是6人，等級D是7人，等級E是3人，
∴所抽取學生成績的中位數落在B等級
故答案為：B．
（3）∵抽取的40名學生的成績中，60分及60分以上的人數為：40﹣3＝37（人），
∴920×＝851（人）．
答：估計成績合格的學生有851人．
九．列表法與樹狀圖法（共1小題）
12．（2021?呼和浩特）某大學為了解大學生對中國共產黨黨史知識的學習情況，在大學一年級和二年級舉行有關黨史知識測試活動．現從一、二兩個年級中各隨機抽取20名學生的測試成績（滿分50分，30分及30分以上為合格；40分及40分以上為優(yōu)秀）進行整理、描述和分析，給出了下面的部分信息．
大學一年級20名學生的測試成績?yōu)椋?br /> 39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25．
大學二年級20名學生的測試成績條形統(tǒng)計圖如圖所示；兩個年級抽取的學生的測試成績的平均數、眾數、中位數、優(yōu)秀率如下表所示：

年級
平均數
眾數
中位數
優(yōu)秀率
大一
a
b
43
m
大二
39.5
44
c
n
請你根據上面提供的所有信息，解答下列問題：
（1）上表中a＝　41.1　，b＝　43　，c＝　42.5　，m＝　55%　，n　＝65%?。?br /> 根據樣本統(tǒng)計數據，你認為該大學一、二年級中哪個年級學生掌握黨史知識較好？并說明理由（寫出一條理由即可）；
（2）已知該大學一、二年級共1240名學生參加了此次測試活動，通過計算，估計參加此次測試活動成績合格的學生人數能否超過1000人；
（3）從樣本中測試成績?yōu)闈M分的一、二年級的學生中隨機抽取兩名學生，用列舉法求兩人在同一年級的概率．
【答案】（1）41.1，43，42.5，55%，65%，理由見解析；
（2）能超過1000人；
（3）．
【解答】解：（1）將一年級20名同學成績整理如下表：
成績
25
30
37
39
43
49
50
人數
1
2
4
2
5
4
2
∴a＝（25×1+30×2+37×4+39×2+43×5+49×4+50×2）＝41.1，b＝43，
c＝＝42.5，m＝（5+4+2）÷20×100%＝55%，n＝（3+5+2+3）÷20×100%＝65%，
故答案為：41.1，43，42.5，55%，＝65%；
從表中優(yōu)秀率看，二年級樣本優(yōu)秀率達到65%高于一年級的55%，因此估計二年級學生的優(yōu)秀率高，
所以用優(yōu)秀率評價，估計二年級學生掌握黨史知識較好．
（2）∵樣本合格率為：＝92.5%，
∴估計總體的合格率大約為92.5%，
∴估計參加測試的兩個年級合格學生約為：1240×92.5%＝1147（人），
∴估計參加此次測試活動成績合格的學生人數能超過1000人；
（3）一年級滿分有2人，記為A，B，二年級滿分有3人，記為C，D，E，
畫樹狀圖如圖：

共有20種等可能的結果，兩人在同一年級的結果有8種，
∴兩人在同一年級的概率為＝．

相關試卷

相關試卷更多

相關試卷

相關試卷 更多

相關試卷更多