?內(nèi)蒙古通遼2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識(shí)點(diǎn)分類
一．根與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）
1．（2023?通遼）閱讀材料：
材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1x2和系數(shù)a，b，c，有如下關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
則 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：
（1）應(yīng)用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　．
（2）類比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
二．分式方程的應(yīng)用（共1小題）
2．（2023?通遼）某搬運(yùn)公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A，B兩種型號(hào)的機(jī)器搬運(yùn)貨物，每臺(tái)A型機(jī)器比每臺(tái)B型機(jī)器每天少搬運(yùn)10噸貨物，且每臺(tái)A型機(jī)器搬運(yùn)450噸貨物與每臺(tái)B型機(jī)器搬運(yùn)500噸貨物所需天數(shù)相同．
（1）求每臺(tái)A型機(jī)器，B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？
（2）每臺(tái)A型機(jī)器售價(jià)1.5萬(wàn)元，每臺(tái)B型機(jī)器售價(jià)2萬(wàn)元，該公司計(jì)劃采購(gòu)兩種型號(hào)機(jī)器共30臺(tái)，滿足每天搬運(yùn)貨物不低于2880噸，購(gòu)買(mǎi)金額不超過(guò)55萬(wàn)元，請(qǐng)幫助公司求出最省錢(qián)的采購(gòu)方案．
三．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
3．（2023?通遼）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．

（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合），作PD⊥x軸，垂足為D，連接PC．
①如圖，若點(diǎn)P在第三象限，且tan∠CPD＝2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②直線PD交直線BC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)E′落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形PECE'的周長(zhǎng)．
4．（2022?通遼）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BC方程為y＝x﹣3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PBC＝S△ABC，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

5．（2021?通遼）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的周長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

四．四邊形綜合題（共1小題）
6．（2022?通遼）已知點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，正方形AFEG與正方形ABCD有公共點(diǎn)A．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在AD上，F(xiàn)在AB上，求的值為多少；
（2）將正方形AFEG繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖2，求的值為多少；
（3）AB＝8，AG＝AD，將正方形AFEG繞A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），當(dāng)C，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DG的長(zhǎng)度．


五．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）
7．（2021?通遼）如圖，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AC，點(diǎn)P是射線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，過(guò)點(diǎn)B作BD∥OP，交⊙O于點(diǎn)D，連接PD．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）當(dāng)四邊形POBD是平行四邊形時(shí)，求∠APO的度數(shù)．

六．幾何變換綜合題（共1小題）
8．（2021?通遼）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如圖1，連接AM，BN，求證：AM＝BN；
（2）將△MON繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M恰好在AB邊上時(shí)，求證：AM2+BM2＝2OM2；
②當(dāng)點(diǎn)A，M，N在同一條直線上時(shí)，若OA＝4，OM＝3，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AM的長(zhǎng)．

七．解直角三角形（共1小題）
9．（2022?通遼）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O(shè)為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑的圓交邊AB于點(diǎn)D，點(diǎn)C在邊OA上且CD＝AC，延長(zhǎng)CD交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：CD是圓的切線；
（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC長(zhǎng)度及陰影部分面積．

八．解直角三角形的應(yīng)用（共1小題）
10．（2022?通遼）某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算AB的長(zhǎng)度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，≈1.7）．

九．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題（共2小題）
11．（2023?通遼）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東72°方向，距離燈塔100nmile的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東40°方向上的B處．這時(shí)，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
?

12．（2021?通遼）如圖，一段河流自西向東，河岸筆直，且兩岸平行．為測(cè)量其寬度，小明在南岸邊B處測(cè)得對(duì)岸邊A處一棵大樹(shù)位于北偏東60°方向，他以1.5m/s的速度沿著河岸向東步行40s后到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得大樹(shù)位于北偏東45°方向，試計(jì)算此段河面的寬度（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）

一十．扇形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）
13．（2023?通遼）黨的十八大以來(lái)，習(xí)近平總書(shū)記對(duì)推動(dòng)全民閱讀、建設(shè)書(shū)香中國(guó)高度重視，多次作出重要指示．××中學(xué)在第28個(gè)“世界讀書(shū)日”到來(lái)之際，對(duì)全校2000名學(xué)生閱讀課外書(shū)的情況進(jìn)行了解，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，形成了如下調(diào)查報(bào)告（不完整）：
調(diào)查方式
抽樣調(diào)查
調(diào)查對(duì)象
xx中學(xué)部分學(xué)生
平均每周閱讀課外書(shū)的時(shí)間大約是（只能單選，每項(xiàng)含最小值，不含最大值）
A.8小時(shí)以上
B.6﹣8小時(shí)
C.4﹣6小時(shí)
D.0﹣4小時(shí)

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）求參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；
（2）求圖2中扇形A所占百分比；
（3）估計(jì)該校2000名學(xué)生中，平均每周閱讀課外書(shū)的時(shí)間在“6﹣8小時(shí)”人數(shù)；
（4）在學(xué)生眾多閱讀書(shū)籍中，學(xué)校推薦閱讀書(shū)目為四大名著：《三國(guó)演義》《紅樓夢(mèng)》《西游記》《水滸傳》（分別記為甲、乙、丙、?。?，現(xiàn)從這4部名著中選擇2部為課外必讀書(shū)籍，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法中任意一種方法，求《西游記》被選中的概率．
一十一．列表法與樹(shù)狀圖法（共2小題）
14．（2022?通遼）如圖，一個(gè)圓環(huán)被4條線段分成4個(gè)區(qū)域，現(xiàn)有2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一個(gè)，將這兩個(gè)吉祥物放在任意兩個(gè)區(qū)域內(nèi)：
（1）求：吉祥物“冰墩墩”放在區(qū)域①的概率 　 　；
（2）求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相鄰的兩個(gè)區(qū)域的概率．（用樹(shù)狀圖或列表法表示）

15．（2021?通遼）如圖，甲、乙兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)均被分成3個(gè)面積相等的扇形，每個(gè)扇形中都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字，同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)（當(dāng)指針指在邊界線上時(shí)視為無(wú)效，需重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)），當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，把甲、乙兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)中指針?biāo)笖?shù)字分別記為x，y．請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求點(diǎn)（x，y）落在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的概率．


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參考答案與試題解析
一．根與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）
1．（2023?通遼）閱讀材料：
材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1x2和系數(shù)a，b，c，有如下關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
則 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：
（1）應(yīng)用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1+x2＝　﹣　，x1x2＝　﹣?。?br /> （2）類比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
【答案】（1）﹣，﹣；
（2）；
（3）±．
【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣；
故答案為：﹣，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩根分別為m，n，
∴m+n＝﹣，mn＝﹣，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；
（3）∵實(shí)數(shù)s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴s+t＝﹣，st＝﹣，
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，
∴t﹣s＝±，
∴＝＝＝±．
二．分式方程的應(yīng)用（共1小題）
2．（2023?通遼）某搬運(yùn)公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A，B兩種型號(hào)的機(jī)器搬運(yùn)貨物，每臺(tái)A型機(jī)器比每臺(tái)B型機(jī)器每天少搬運(yùn)10噸貨物，且每臺(tái)A型機(jī)器搬運(yùn)450噸貨物與每臺(tái)B型機(jī)器搬運(yùn)500噸貨物所需天數(shù)相同．
（1）求每臺(tái)A型機(jī)器，B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？
（2）每臺(tái)A型機(jī)器售價(jià)1.5萬(wàn)元，每臺(tái)B型機(jī)器售價(jià)2萬(wàn)元，該公司計(jì)劃采購(gòu)兩種型號(hào)機(jī)器共30臺(tái)，滿足每天搬運(yùn)貨物不低于2880噸，購(gòu)買(mǎi)金額不超過(guò)55萬(wàn)元，請(qǐng)幫助公司求出最省錢(qián)的采購(gòu)方案．
【答案】（1）每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物90噸，每臺(tái)B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物100噸；（2）購(gòu)買(mǎi)A型機(jī)器人12臺(tái)，B型機(jī)器人18臺(tái)時(shí)，購(gòu)買(mǎi)總金額最低是54萬(wàn)元．
【解答】解：（1）設(shè)每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物x噸，則每臺(tái)B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物（x+10）噸，
由題意得：，
解得：x＝90，
當(dāng)x＝90時(shí)，x（x+10）≠0，
∴x＝90是分式方程的根，
∴x+10＝90+10＝100，
答：每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物90噸，每臺(tái)B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物100噸；
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)A型機(jī)器人m臺(tái)，購(gòu)買(mǎi)總金額為w萬(wàn)元，
由題意得：，
解得：10≤m≤12，
w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；
∵﹣0.5＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m＝12時(shí)，w最小，此時(shí)w＝﹣0.5×12+60＝54，
∴購(gòu)買(mǎi)A型機(jī)器人12臺(tái)，B型機(jī)器人18臺(tái)時(shí)，購(gòu)買(mǎi)總金額最低是54萬(wàn)元．
三．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
3．（2023?通遼）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．

（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合），作PD⊥x軸，垂足為D，連接PC．
①如圖，若點(diǎn)P在第三象限，且tan∠CPD＝2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②直線PD交直線BC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)E′落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形PECE'的周長(zhǎng)．
【答案】（1）．
（2）①P（﹣．
②或．
【解答】解：（1）∵拋物線 與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為．
答：拋物線的解析式為．
（2）①設(shè)P（x，），如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥PD于E，

∴∠PEC＝∠CED＝90°，
∵C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵PD⊥x軸，
∴∠PDO＝90°，
∵∠DOC＝90°，
∴四邊形DOCE是矩形，
∴DE＝OC＝4，OD＝CE＝﹣x，
∴＝，
∵，
∴，
∴（舍去），
∴＝，
∴P（﹣．
②設(shè)P（m，），
對(duì)于，當(dāng)y＝0時(shí)，，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∵OC＝4，
∴，
當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于F，

則四邊形DEFO是矩形，
∴EF＝OD＝﹣m，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)E′關(guān)于PC對(duì)稱，
∴∠ECP＝∠E′CP，CE＝CE′，
∵PE∥y軸，
∴∠EPC＝∠PCE′，
∴PE＝CE，
∴PE＝CE′，
∴四邊形PECE′是菱形，
∵EF∥OA，
∴△CEF∽△CBO，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x﹣4，
∴，
∴＝，
∵，PE＝CE，
∴，
解得（舍去），
∴，
∴四邊形PECE′的周長(zhǎng)C＝4CE＝4×＝，
當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，如圖，

同理可得，
解得（舍去），
∴，
∴四邊形PECE′的周長(zhǎng)C＝4CE＝4×＝，
綜上，四邊形PECE′的周長(zhǎng)為或．
4．（2022?通遼）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BC方程為y＝x﹣3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PBC＝S△ABC，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）（，）或（，）或（，）或（，）；
（3）Q（，﹣）．
【解答】解：（1）在y＝x﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，則x＝3，
∴B（3，0），
將B、C兩點(diǎn)代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）令y＝0，則﹣x2+4x﹣3＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴A（1，0），
∴AB＝2，
∴S△ABC＝×2×3＝3，
∵S△PBC＝S△ABC，
∴S△PBC＝，
過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交BC于點(diǎn)Q，
設(shè)P（t，﹣t2+4t﹣3），則Q（t，t﹣3），
∴PQ＝|﹣t2+3t|，
∴＝×3×|﹣t2+3t|，
解得t＝或t＝，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）或（，）；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BC交CQ于點(diǎn)E，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥x軸交于F，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝45°，
∵∠ACQ＝45°，
∴∠BCQ＝∠OCA，
∵OA＝1，
∴tan∠OCA＝，
∴tan∠BCE＝＝，
∵BC＝3，
∴BE＝，
∵∠OBC＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴EF＝BF＝1，
∴E（4，﹣1），
設(shè)直線CE的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
聯(lián)立方程組，
解得（舍）或，
∴Q（，﹣）．


5．（2021?通遼）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的周長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）P（1，2），3+；
（3）Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣）．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
∵△PBC的周長(zhǎng)為：PB+PC+BC，BC是定值，
∴當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最?。?br /> 如圖1，點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱，連接AC交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求的點(diǎn)．
∵AP＝BP，
∴△PBC周長(zhǎng)的最小值是AC+BC，
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），
∴AC＝3，BC＝．
∴△PBC周長(zhǎng)的最小值是：3+．
拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+c，將A（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，
∴P（1，2）；
（3）存在．
設(shè)P（1，t），Q（m，n）
∵A（3，0），C（0，3），
則AC2＝32+32＝18，
AP2＝（1﹣3）2+t2＝t2+4，
PC2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
∵四邊形ACPQ是菱形，
∴分三種情況：以AP為對(duì)角線或以AC為對(duì)角線或以CP為對(duì)角線，
①當(dāng)以AP為對(duì)角線時(shí)，則CP＝CA，如圖2，
∴t2﹣6t+10＝18，
解得：t＝3±，
∴P1（1，3﹣），P2（1，3+），
∵四邊形ACPQ是菱形，
∴AP與CQ互相垂直平分，即AP與CQ的中點(diǎn)重合，
當(dāng)P1（1，3﹣）時(shí)，
∴＝，＝，
解得：m＝4，n＝﹣，
∴Q1（4，﹣），
當(dāng)P2（1，3+）時(shí)，
∴＝，＝，
解得：m＝4，n＝，
∴Q2（4，），
②以AC為對(duì)角線時(shí)，則PC＝AP，如圖3，
∴t2﹣6t+10＝t2+4，
解得：t＝1，
∴P3（1，1），
∵四邊形APCQ是菱形，
∴AC與PQ互相垂直平分，即AC與CQ中點(diǎn)重合，
∴＝，＝，
解得：m＝2，n＝2，
∴Q3（2，2），
③當(dāng)以CP為對(duì)角線時(shí)，則AP＝AC，如圖4，
∴t2+4＝18，
解得：t＝±，
∴P4（1，），P5（1，﹣），
∵四邊形ACQP是菱形，
∴AQ與CP互相垂直平分，即AQ與CP的中點(diǎn)重合，
∴＝，＝，
解得：m＝﹣2，n＝3，
∴Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣），
綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣）．




四．四邊形綜合題（共1小題）
6．（2022?通遼）已知點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，正方形AFEG與正方形ABCD有公共點(diǎn)A．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在AD上，F(xiàn)在AB上，求的值為多少；
（2）將正方形AFEG繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖2，求的值為多少；
（3）AB＝8，AG＝AD，將正方形AFEG繞A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），當(dāng)C，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DG的長(zhǎng)度．


【答案】（1）＝2；
（2）＝；
（3）4﹣4或4+4．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AFEG是正方形，
∴∠AGE＝∠D＝90°，∠DAC＝45°，
∴，GE∥CD，
∴，
∴CE＝DG，
∴＝＝2；

（2）連接AE，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠CAE＝∠DAG＝α，
在Rt△AEG和Rt△ACD中，
＝cos45°＝、＝cos45°＝，
∴，
∴△ADG∽△ACE，
∴＝，
∴＝；

（3）①如圖：

由（2）知△ADG∽△ACE，
∴，
∴DG＝CE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝8，AC＝＝16，
∵AG＝AD，
∴AG＝AD＝8，
∵四邊形AFEG是正方形，
∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝8，
∵C，G，E三點(diǎn)共線．
∴CG＝＝＝8，
∴CE＝CG﹣EG＝8﹣8，
∴DG＝CE＝4﹣4；
②如圖：

由（2）知△ADG∽△ACE，
∴，
∴DG＝CE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝8，AC＝＝16，
∵AG＝AD，
∴AG＝AD＝8，
∵四邊形AFEG是正方形，
∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝8，
∵C，G，E三點(diǎn)共線．
∴∠AGC＝90°
∴CG＝＝＝8，
∴CE＝CG+EG＝8+8，
∴DG＝CE＝4+4．
綜上，當(dāng)C，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，DG的長(zhǎng)度為4﹣4或4+4．
五．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）
7．（2021?通遼）如圖，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線AC，點(diǎn)P是射線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，過(guò)點(diǎn)B作BD∥OP，交⊙O于點(diǎn)D，連接PD．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）當(dāng)四邊形POBD是平行四邊形時(shí)，求∠APO的度數(shù)．

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；
（2）45°．
【解答】（1）證明：連接OD，

∵PA切⊙O于A，
∴PA⊥AB，
即∠PAO＝90°，
∵OP∥BD，
∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠DBO，
∴∠DOP＝∠AOP，
在△AOP和△DOP中
，
∴△AOP≌△DOP（SAS），
∴∠PDO＝∠PAO，
∵∠PAO＝90°，
∴∠PDO＝90°，
即OD⊥PD，
∵OD過(guò)O，
∴PD是⊙O的切線；

（2）解：
由（1）知：△AOP≌△DOP，
∴PA＝PD，
∵四邊形POBD是平行四邊形，
∴PD＝OB，
∵OB＝OA，
∴PA＝OA，
∴∠APO＝∠AOP，
∵∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠AOP＝45°．
六．幾何變換綜合題（共1小題）
8．（2021?通遼）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如圖1，連接AM，BN，求證：AM＝BN；
（2）將△MON繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M恰好在AB邊上時(shí)，求證：AM2+BM2＝2OM2；
②當(dāng)點(diǎn)A，M，N在同一條直線上時(shí)，若OA＝4，OM＝3，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AM的長(zhǎng)．

【答案】（1）見(jiàn)證明過(guò)程；
（2①）見(jiàn)證明過(guò)程；
②或．
【解答】（1）證明：如圖1，

∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴AM＝BN；
（2）①證明：如圖2，連接BN，

∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，
∴∠MBN＝90°，
∴MB2+BN2＝MN2，
∵△MON是等腰直角三角形，
∴MN2＝2ON2，
∴AM2+BM2＝2OM2；
②解：如圖3，

當(dāng)點(diǎn)N在線段AM上時(shí)，連接BN，設(shè)BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，
∴MN＝3，AB＝4，
∴（x﹣3）2+x2＝（4）2，
解得：x＝，
∴AM＝BN＝，
如圖4，

當(dāng)點(diǎn)M在線段AN上時(shí)，連接BN，設(shè)BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，
∴MN＝3，AB＝4，
∴（x+3）2+x2＝（4）2，
解得：x＝，
∴AM＝BN＝，
綜上所述，線段AM的長(zhǎng)為或．
七．解直角三角形（共1小題）
9．（2022?通遼）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O(shè)為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑的圓交邊AB于點(diǎn)D，點(diǎn)C在邊OA上且CD＝AC，延長(zhǎng)CD交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：CD是圓的切線；
（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC長(zhǎng)度及陰影部分面積．

【答案】（1）詳見(jiàn)解答；
（2）AC＝3，陰影部分的面積為．
【解答】（1）證明：如圖，連接OD，
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A+∠ABO＝90°，
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB+∠BDE＝90°，
即OD⊥EC，
∵OD是半徑，
∴EC是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△COD中，由于sin∠OCD＝，
設(shè)OD＝4x，則OC＝5x，
∴CD＝＝3x＝AC，
在Rt△AOB中，OB＝OD＝4x，OA＝OC+AC＝8x，AB＝4，由勾股定理得，
OB2+OA2＝AB2，
即：（4x）2+（8x）2＝（4）2，
解得x＝1或x＝﹣1（舍去），
∴AC＝3x＝3，OC＝5x＝5，OB＝OD＝4x＝4，
∵∠ODC＝∠EOC＝90°，∠OCD＝∠ECO，
∴△COD∽△CEO，
∴＝，
即＝，
∴EC＝，
∴S陰影部分＝S△COE﹣S扇形
＝××4﹣
＝﹣4π
＝，
答：AC＝3，陰影部分的面積為．

八．解直角三角形的應(yīng)用（共1小題）
10．（2022?通遼）某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算AB的長(zhǎng)度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，≈1.7）．

【答案】10.2m．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C、D分別作BE的平行線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M、N，
在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝BE＝14m，
在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14m，
∴AM＝CM＝14（m），
∴AB＝BM﹣AM
＝CE﹣AM
＝20+14﹣14
≈10.2（m），
答：AB的長(zhǎng)約為10.2m．

九．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題（共2小題）
11．（2023?通遼）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東72°方向，距離燈塔100nmile的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東40°方向上的B處．這時(shí)，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
?

【答案】B處距離燈塔P約有148海里．
【解答】解：如圖：

由題意得：PC⊥AB，EF∥AB，
∴∠A＝∠EPA＝72°，∠B＝∠BPF＝40°，
在Rt△APC中，AP＝100海里，
∴PC＝AP?sin72°≈100×0.95＝95（海里），
在Rt△BCP中，BP＝≈≈148（海里），
∴B處距離燈塔P約有148海里．
12．（2021?通遼）如圖，一段河流自西向東，河岸筆直，且兩岸平行．為測(cè)量其寬度，小明在南岸邊B處測(cè)得對(duì)岸邊A處一棵大樹(shù)位于北偏東60°方向，他以1.5m/s的速度沿著河岸向東步行40s后到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得大樹(shù)位于北偏東45°方向，試計(jì)算此段河面的寬度（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）

【答案】此段河面的寬度約82m．
【解答】解：如圖，作AD⊥BC于D．
由題意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°＝＝1，
∴AD＝CD，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°＝，
∴BD＝，
∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60（m），
∴AD＝30（+1）≈82（m），
答：此段河面的寬度約82m．

一十．扇形統(tǒng)計(jì)圖（共1小題）
13．（2023?通遼）黨的十八大以來(lái)，習(xí)近平總書(shū)記對(duì)推動(dòng)全民閱讀、建設(shè)書(shū)香中國(guó)高度重視，多次作出重要指示．××中學(xué)在第28個(gè)“世界讀書(shū)日”到來(lái)之際，對(duì)全校2000名學(xué)生閱讀課外書(shū)的情況進(jìn)行了解，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，形成了如下調(diào)查報(bào)告（不完整）：
調(diào)查方式
抽樣調(diào)查
調(diào)查對(duì)象
xx中學(xué)部分學(xué)生
平均每周閱讀課外書(shū)的時(shí)間大約是（只能單選，每項(xiàng)含最小值，不含最大值）
A.8小時(shí)以上
B.6﹣8小時(shí)
C.4﹣6小時(shí)
D.0﹣4小時(shí)

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）求參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；
（2）求圖2中扇形A所占百分比；
（3）估計(jì)該校2000名學(xué)生中，平均每周閱讀課外書(shū)的時(shí)間在“6﹣8小時(shí)”人數(shù)；
（4）在學(xué)生眾多閱讀書(shū)籍中，學(xué)校推薦閱讀書(shū)目為四大名著：《三國(guó)演義》《紅樓夢(mèng)》《西游記》《水滸傳》（分別記為甲、乙、丙、?。?，現(xiàn)從這4部名著中選擇2部為課外必讀書(shū)籍，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法中任意一種方法，求《西游記》被選中的概率．
【答案】（1）300人；
（2）32%；
（3）320人；
（2）．
【解答】解：（1）33÷11%＝300（人），
答：參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為300人；
（2）×100%＝32%，
答：圖2中扇形A所占百分比為32%；
（3）2000×（100%﹣32%﹣11%﹣41%）＝320（人），
答：估計(jì)該校2000名學(xué)生中，平均每周閱讀課外書(shū)的時(shí)間在“6﹣8小時(shí)”人數(shù)為320人；
（2）畫(huà)樹(shù)狀圖，如圖所示：

所有等可能的情況有12種，其中《西游記》被選中的情況有6種，
所以《西游記》被選中的概率為＝．
一十一．列表法與樹(shù)狀圖法（共2小題）
14．（2022?通遼）如圖，一個(gè)圓環(huán)被4條線段分成4個(gè)區(qū)域，現(xiàn)有2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一個(gè)，將這兩個(gè)吉祥物放在任意兩個(gè)區(qū)域內(nèi)：
（1）求：吉祥物“冰墩墩”放在區(qū)域①的概率 　?。?br /> （2）求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相鄰的兩個(gè)區(qū)域的概率．（用樹(shù)狀圖或列表法表示）

【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）吉祥物“冰墩墩”放在區(qū)域①的概率是；
故答案為：；

（2）根據(jù)題意畫(huà)圖如下：

共有12種等可能的情況數(shù)，其中吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相鄰的兩個(gè)區(qū)域有8種，
則吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相鄰的兩個(gè)區(qū)域的概率是＝．
15．（2021?通遼）如圖，甲、乙兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)均被分成3個(gè)面積相等的扇形，每個(gè)扇形中都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字，同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)（當(dāng)指針指在邊界線上時(shí)視為無(wú)效，需重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)），當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止后，把甲、乙兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)中指針?biāo)笖?shù)字分別記為x，y．請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求點(diǎn)（x，y）落在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的概率．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如圖：

共有9種等可能的結(jié)果，點(diǎn)（x，y）落在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的結(jié)果有4種，
∴點(diǎn)（x，y）落在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的概率為．


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