?新高考數(shù)學考前沖刺卷
數(shù) 學（七）
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設(shè)復數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集，集合，，則下圖陰影部分表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
3．設(shè)，則“圖象經(jīng)過點”是“是偶函數(shù)”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
4．用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖如圖所示，則在的三邊及中線AD中，最長的線段是（ ）

A．AB B．AD C．BC D．AC
5．已知函數(shù)，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
6．在中內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則當取最大值時，外接圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
7．從將標號為1，2，3，…，9的9個球放入標號為1，2，3，…，9的9個盒子里，每個盒內(nèi)只放一個球，恰好3個球的標號與其所在盒子的標號不一致的放入方法種數(shù)為（ ）種．
A．84 B．168 C．240 D．252
8．若曲線上到直線的距離為2的點恰有3個，則實數(shù)m的值是（ ）
A． B． C．2 D．

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．一組數(shù)據(jù)共有7個數(shù)，記得其中有10，3，5，3，4，3，還有一個數(shù)沒記清，但知道這組數(shù)的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)依次成等比數(shù)列，這個數(shù)可能為（ ）
A． B． C．3 D．
10．已知數(shù)列的前項和是，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列為等差數(shù)列
B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列為等差數(shù)列
C．若數(shù)列和均為等差數(shù)列，則
D．若數(shù)列和均為等差數(shù)列，則數(shù)列是常數(shù)數(shù)列
11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù) B．是周期函數(shù)
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的最大值為1
12．如圖，在某城市中，、兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中、、、是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的個交匯處．今在道路網(wǎng)、處的甲、乙兩人分別要到、處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達、處為止．則下列說法正確的是（ ）

A．甲從到達處的方法有種 B．甲從必須經(jīng)過到達處的方法有種
C．甲、乙兩人在處相遇的概率為 D．甲、乙兩人相遇的概率為

第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．
13．若實數(shù)滿足，則的最小值為_________．
14．已知平面向量，，是單位向量，且，則的最大值為_________．
15．的展開式中的系數(shù)為_________．
16．希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系xOy中，，，點P是滿足的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為_____________；若點Q為拋物線上的動點，Q在直線上的射影為H，則的最小值為__________．

四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）中，三內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，為銳角．
（1）求的大小；
（2）若為邊上靠近點的三等分點，且，求面積的最大值．











18．（12分）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且、、成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記數(shù)列的前項和為，求數(shù)列的前項和．














19．（12分）隨著5G通訊技術(shù)的發(fā)展成熟，移動互聯(lián)網(wǎng)短視頻變得越來越普及，人們也越來越熱衷于通過短視頻獲取資訊和學習成長．某短視頻創(chuàng)作平臺，為了鼓勵短視頻創(chuàng)作者生產(chǎn)出更多高質(zhì)量的短視頻，會對創(chuàng)作者上傳的短視頻進行審核，通過審核后的短視頻，會對用戶進行重點的分發(fā)推薦．短視頻創(chuàng)作者上傳一條短視頻后，先由短視頻創(chuàng)作平臺的智能機器人進行第一階段審核，短視頻審核通過的概率為，通過智能機器人審核后，進入第二階段的人工審核，人工審核部門會隨機分配3名員工對該條短視頻進行審核，同一條短視頻每名員工審核通過的概率均為，若該視頻獲得2名或者2名以上員工審核通過，則該短視頻獲得重點分發(fā)推薦．
（1）某創(chuàng)作者上傳一條短視頻，求該短視頻獲得重點分發(fā)推薦的概率；
（2）若某創(chuàng)作者一次性上傳3條短視頻作品，求其獲得重點分發(fā)推薦的短視頻個數(shù)的分布列與數(shù)學期望．













20．（12分）如圖，在平面五邊形中，，且，，，，將沿折起，使點到的位置，且，
得到如圖2所示的四棱錐．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的大小．



















21．（12分）已知橢圓，直線經(jīng)過橢圓的右頂點且橢圓E的離心率為．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若(其中)為橢圓E上一點，過點P作斜率存在的兩條射線PM，PN，交橢圓E于M，N兩點，且，直線MN是否恒過定點？若過定點，請求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由．















22．（12分）已知函數(shù)．
（1）判斷的單調(diào)性，并比較與的大小；
（2）若函數(shù)，其中，判斷的零點的個數(shù)，并說明理由．
參考數(shù)據(jù)：．





新高考數(shù)學考前沖刺卷
數(shù) 學（七）
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。
第Ⅰ卷（選擇題）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設(shè)復數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】，所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為，
所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，故選D．
2．已知全集，集合，，則下圖陰影部分表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由圖可得陰影部分表示的集合為，
，，則可得，故選C．
3．設(shè)，則“圖象經(jīng)過點”是“是偶函數(shù)”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【答案】C
【解析】若函數(shù)圖象經(jīng)過點時，
則，或，為偶函數(shù)；
若為偶函數(shù)，
①時為奇函數(shù)，
②時為非奇非偶函數(shù)，
③時為偶函數(shù)，
∴若為偶函數(shù)時，，
∴函數(shù)圖象經(jīng)過點是為偶函數(shù)的充要條件，
故選C．
4．用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖如圖所示，則在的三邊及中線AD中，最長的線段是（ ）

A．AB B．AD C．BC D．AC
【答案】D
【解析】根據(jù)的形狀可知的形狀如下圖：

由圖可知，最長的線段為，故選D．
5．已知函數(shù)，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵的定義域為，且，
∴在上單調(diào)遞增，
又，
∴，即，故選B．
6．在中內(nèi)角所對的邊分別為，若，，則當取最大值時，外接圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，在中，滿足，
因為，
所以當時，即時，上式取得最大值，此時取最大值，
又由，可得，
因為，所以，則，
又因為，利用正弦定理可得，所以，
所以外接圓的面積為，故選C．
7．從將標號為1，2，3，…，9的9個球放入標號為1，2，3，…，9的9個盒子里，每個盒內(nèi)只放一個球，恰好3個球的標號與其所在盒子的標號不一致的放入方法種數(shù)為（ ）種．
A．84 B．168 C．240 D．252
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，先確定標號與其在盒子的標號不一致的3個球，
即從9個球中取出3個，有種，
而這3個球的排法有2×1×1=2種，
則共有種，故選B．
8．若曲線上到直線的距離為2的點恰有3個，則實數(shù)m的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】設(shè)直線與曲線相切，切點為，
，所以，，則，
切線方程為，即，
由題意直線與直線間的距離是2，
所以，，
直線在直線的上方，與曲線無公共點，所以，
故選A．

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．一組數(shù)據(jù)共有7個數(shù)，記得其中有10，3，5，3，4，3，還有一個數(shù)沒記清，但知道這組數(shù)的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)依次成等比數(shù)列，這個數(shù)可能為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】BD
【解析】設(shè)沒記清的數(shù)為，若，則這列數(shù)從小到大排列為：，3，3，3，4，5，10，
平均數(shù)為，中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，所以，；
若，則這列數(shù)從小到大排列為3，3，3，，4，5，10，
則平均數(shù)為，中位數(shù)為，眾數(shù)為3，
所以，，
解得，符合要求；
若，則這列數(shù)從小到大排列為3，3，3，4，，5，10，或3，3，3，4，5，，10，或2，2，2，4，5，10，，
則平均數(shù)為，中位數(shù)4，眾數(shù)3，所以，，
綜上，故選BD．
10．已知數(shù)列的前項和是，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列為等差數(shù)列
B．若數(shù)列為等差數(shù)列，則數(shù)列為等差數(shù)列
C．若數(shù)列和均為等差數(shù)列，則
D．若數(shù)列和均為等差數(shù)列，則數(shù)列是常數(shù)數(shù)列
【答案】BCD
【解析】對于A中，若數(shù)列為等差數(shù)列，可得，
因為首項不確定，所以數(shù)列為不一定是等差數(shù)列，所以A不正確；
對于B中，若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，
則，可得，
當時，；
當時，，
則，
由，則，
所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以B正確；
對于C中，由數(shù)列為等差數(shù)列，可得，
則，可得，
則
常數(shù)，
所以，即，
所以，所以，且，所以，所以C正確；
對于D中，由數(shù)列為等差數(shù)列，可得，
則，
可得，
因為為等差數(shù)列，所以為常數(shù)，所以，
所以，所以數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，所以D正確，
故選BCD．
11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù) B．是周期函數(shù)
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．的最大值為1
【答案】AC
【解析】對于A，的定義域為，
且，所以為偶函數(shù)，故A正確；
對于B，因為是周期為的周期函數(shù)，關(guān)于軸對稱，不是周期函數(shù)，
所以不是周期函數(shù)，故B錯誤；
對于C，當時，，
，單調(diào)遞增，故C正確；
對于D，當時，，
故的最大值不為1，故D錯誤，
故選AC．
12．如圖，在某城市中，、兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中、、、是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的個交匯處．今在道路網(wǎng)、處的甲、乙兩人分別要到、處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達、處為止．則下列說法正確的是（ ）

A．甲從到達處的方法有種 B．甲從必須經(jīng)過到達處的方法有種
C．甲、乙兩人在處相遇的概率為 D．甲、乙兩人相遇的概率為
【答案】BCD
【解析】A選項，甲從到達處，需要走步，其中有步向上走，步向右走，
則甲從到達處的方法有種，A選項錯誤；
B選項，甲經(jīng)過到達處，可分為兩步：
第一步，甲從經(jīng)過需要走步，其中步向右走，步向上走，方法數(shù)為種；
第二步，甲從到需要走步，其中步向上走，步向右走，方法數(shù)為種，
甲經(jīng)過到達的方法數(shù)為種，B選項正確；
C選項，甲經(jīng)過的方法數(shù)為種，乙經(jīng)過的方法數(shù)也為種，
甲、乙兩人在處相遇的方法數(shù)為，
甲、乙兩人在處相遇的概率為，C選項正確；
D選項，甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在、、、處相遇，
若甲、乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向上走，
乙經(jīng)過處，則乙的前三步必須向左走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；
若甲、乙兩人在處相遇，由C選項可知，走法種數(shù)為種；
若甲、乙兩人在處相遇，甲到處，前三步有步向右走，后三步只有步向右走，
乙到處，前三步有步向下走，后三步只有步向下走，
所以，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；
若甲、乙兩人在處相遇，甲經(jīng)過處，則甲的前三步必須向右走，
乙經(jīng)過處，則乙的前三步必須向下走，兩人在處相遇的走法種數(shù)為種；
故甲、乙兩人相遇的概率，D選項正確，
故選BCD．

第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．
13．若實數(shù)滿足，則的最小值為_________．
【答案】
【解析】由約束條件作出可行域如圖，

由圖可知，，
由，得，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最大，則，
有最小值為．
故答案為．
14．已知平面向量，，是單位向量，且，則的最大值為_________．
【答案】
【解析】因為，所以，如圖建系，

設(shè)，，，
因為，所以終點為單位圓上任意一點，
又，
所以，表示點與點間的距離，
由圖可得，當位于圖中B點時，點B與點A間的距離最大，且為，
所以的最大值為，
故答案為．
15．的展開式中的系數(shù)為_________．
【答案】
【解析】的展開式通項為，
的展開式通項為，
其中，、，
所以，的展開式通項為，
由題意可得，解得，
因此，的展開式中的系數(shù)為，
故答案為．
16．希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系xOy中，，，點P是滿足的阿氏圓上的任一點，則該阿氏圓的方程為_____________；若點Q為拋物線上的動點，Q在直線上的射影為H，則的最小值為__________．
【答案】，
【解析】設(shè)，由阿氏圓的定義可得，
即，化簡得，
，則，
設(shè)，則由拋物線的定義可得，
，
當且僅當四點共線時取等號，
的最小值為，
故答案為，．

四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）中，三內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，為銳角．

（1）求的大小；
（2）若為邊上靠近點的三等分點，且，求面積的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因為，所以，
因為為銳角，，所以，
所以，．
（2）在中，由余弦定理可得，
同理在中，，
由于，化簡得，
在中，由，所以，
即，即，
當且僅當時，等號成立，
所以面積的最大值為．
18．（12分）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且、、成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記數(shù)列的前項和為，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則有，
因為、、成等比數(shù)列，所以，
即，化簡得，解得，，
所以，
即數(shù)列的通項公式為．
（2），，，
，
設(shè)①，
則②，
①﹣②得
，
，
．
19．（12分）隨著5G通訊技術(shù)的發(fā)展成熟，移動互聯(lián)網(wǎng)短視頻變得越來越普及，人們也越來越熱衷于通過短視頻獲取資訊和學習成長．某短視頻創(chuàng)作平臺，為了鼓勵短視頻創(chuàng)作者生產(chǎn)出更多高質(zhì)量的短視頻，會對創(chuàng)作者上傳的短視頻進行審核，通過審核后的短視頻，會對用戶進行重點的分發(fā)推薦．短視頻創(chuàng)作者上傳一條短視頻后，先由短視頻創(chuàng)作平臺的智能機器人進行第一階段審核，短視頻審核通過的概率為，通過智能機器人審核后，進入第二階段的人工審核，人工審核部門會隨機分配3名員工對該條短視頻進行審核，同一條短視頻每名員工審核通過的概率均為，若該視頻獲得2名或者2名以上員工審核通過，則該短視頻獲得重點分發(fā)推薦．
（1）某創(chuàng)作者上傳一條短視頻，求該短視頻獲得重點分發(fā)推薦的概率；
（2）若某創(chuàng)作者一次性上傳3條短視頻作品，求其獲得重點分發(fā)推薦的短視頻個數(shù)的分布列與數(shù)學期望．
【答案】（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學期望為．
【解析】（1）設(shè)“該短視頻獲得重點分發(fā)推薦”為事件，
則．
（2）設(shè)其獲得重點分發(fā)推薦的短視頻個數(shù)為隨機變量，可取，
則，
；；
；，
所以隨機變量的分布列如下：










．(或)
20．（12分）如圖，在平面五邊形中，，且，，，，將沿折起，使點到的位置，且，
得到如圖2所示的四棱錐．

（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的大?。?br /> 【答案】（1）證明見解析；（2）45°．
【解析】（1）證明：在中，因為，，
由余弦定理可得，
連接，因為，，
所以，
又因為，故在中，，
所以，同理可證；
又因為，平面，
所以平面．
（2）以為坐標原點，所在直線為軸，軸建立空間直角坐標系如圖所示，

則，平面的一個法向量為，
設(shè)平面的一個法向量為，
因為，，
所以，即，
令，則，故，
所以，
故平面與平面所成銳二面角的大小為45°．
21．（12分）已知橢圓，直線經(jīng)過橢圓的右頂點且橢圓E的離心率為．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若(其中)為橢圓E上一點，過點P作斜率存在的兩條射線PM，PN，交橢圓E于M，N兩點，且，直線MN是否恒過定點？若過定點，請求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由．
【答案】（1）；（2）過定點，定點．
【解析】（1）因為直線經(jīng)過橢圓的右頂點，所以，
又因為，所以，所以，
所以橢圓E的標準方程為．
（2）因為為橢圓E上一點，所以，所以，．
設(shè)直線的斜率為，則直線PM的方程為．
聯(lián)立方程，得，消元得，
設(shè)，因為方程有一個根為0，所以，
所以，所以．
將M點坐標中的k用代換，得，
整理得．
所以，
整理得，
所以，
所以，
所以，
所以直線MN經(jīng)過定點．

22．（12分）已知函數(shù)．
（1）判斷的單調(diào)性，并比較與的大?。?br /> （2）若函數(shù)，其中，判斷的零點的個數(shù)，并說明理由．
參考數(shù)據(jù)：．
【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，；（2）有且僅有1個零點，答案見解析．
【解析】（1）已知的定義域為，，
當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，
所以，即，
所以．
（2），
所以．
當時，，，
所以在上單調(diào)遞增，
由，，
知當時，存在，，即函數(shù)有且僅有1個零點；
當時，，注意到，
所以：時，在上單調(diào)遞增；
時，在上單調(diào)遞減；
時，在上單調(diào)遞增，
所以在上有極小值，有極大值．
一方面，注意到，
所以存在唯一的，．
另一方面，設(shè)，
則，，
故在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上恒小于0，在上恒小于0，即在上不存在零點，
綜上所述：當時，有且僅有1個零點．






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