新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤檢測(cè)（四十六）拋物線（含解析）

這是一份新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤檢測(cè)（四十六）拋物線（含解析），共7頁(yè)。試卷主要包含了基礎(chǔ)練——練手感熟練度，綜合練——練思維敏銳度，自選練——練高考區(qū)分度等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?課時(shí)跟蹤檢測(cè)（四十六） 拋物線
一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度
1．(2021·武漢模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A．y2＝x　　　　　　　　 B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：選B　由拋物線y2＝2px(p＞0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大，根據(jù)拋物線的定義可得＝，所以p＝1，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2x.故選B.
2．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)
A．(，0) B．(0，)
C．(2，0) D．(0,2)
解析：選A　拋物線y2＝2px(p＞0)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為，就是頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是，即＝，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)．故選A.
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上的一點(diǎn)，若△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則p＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：選D　依題意，△OFM的外接圓半徑為6，△OFM的外接圓圓心應(yīng)位于OF的垂直平分線x＝上，圓心到準(zhǔn)線x＝－的距離為6，即＋＝6，解得p＝8，故選D.
4．若直線AB與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，且AB⊥x軸，|AB|＝4，則拋物線的焦點(diǎn)到直線AB的距離為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．5
解析：選A　由|AB|＝4及AB⊥x軸，不妨設(shè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2，代入y2＝4x得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，從而直線AB的方程為x＝2.又y2＝4x的焦點(diǎn)為(1,0)，所以拋物線的焦點(diǎn)到直線AB的距離為2－1＝1，故選A.
5．已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在該拋物線上，且P在y軸上的投影為點(diǎn)E，則|PF|－|PE|的值為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選B　因?yàn)閽佄锞€y2＝8x，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－2，因?yàn)镻在y軸上的投影為點(diǎn)E，所以|PE|即為點(diǎn)P到x＝－2的距離減去2，因?yàn)辄c(diǎn)P在該拋物線上，
故點(diǎn)P到x＝－2的距離等于|PF|，
所以|PE|＝|PF|－2，故|PF|－|PE|＝2，故選B.
6．已知直線l過(guò)點(diǎn)(1,0)且垂直于x軸，若l被拋物線y2＝4ax截得的線段長(zhǎng)為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．
解析：由題知直線l的方程為x＝1，則直線與拋物線的交點(diǎn)為(1，±2)(a>0)．
又直線被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4，
所以4＝4，即a＝1.所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．
答案：(1,0)

二、綜合練——練思維敏銳度
1．若拋物線y2＝2px上一點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A．y2＝4x B．y2＝6x
C．y2＝8x D．y2＝10x
解析：選C　∵拋物線y2＝2px，∴準(zhǔn)線為x＝－.
∵點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，∴＝4.
∴p＝4，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x.
2．已知拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝x0，則x0＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：選A　由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x＝－.因?yàn)閨AF|＝x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.故選A.
3．雙曲線－＝1(mn≠0)的離心率為2，有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，則mn的值為(　　)
A. B．
C. D．
解析：選A　∵拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為(1,0)，∴雙曲線中c＝1，又e＝2，∴＝2，∴m＝，∴n＝，∴mn＝.
4．已知點(diǎn)A(0,2)，拋物線C1：y2＝ax(a＞0)的焦點(diǎn)為F，射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N.若|FM|∶|MN|＝1∶，則a的值為(　　)
A. B．
C．1 D．4
解析：選D　依題意，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，如圖，設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為K，由拋物線的定義知|MF|＝|MK|，|KM|∶|MN|＝1∶，則|KN|∶|KM|＝2∶1.∵kFN＝＝－，kFN＝－＝－2，∴＝2，解得a＝4.
5．(2020·北京高考)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上異于O的一點(diǎn)，過(guò)P作PQ⊥l于Q.則線段FQ的垂直平分線(　　)
A．經(jīng)過(guò)點(diǎn)O B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P
C．平行于直線OP D．垂直于直線OP
解析：選B　連接PF，由題意及拋物線的定義可知|PQ|＝|FP|，則△QPF為等腰三角形，故線段FQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.故選B.
6．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若△AOB的面積為4，則|AB|＝(　　)
A．6 B．8
C．12 D．16
解析：選D　設(shè)A，B，F(xiàn)(1,0)．當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|＝4，S△AOB＝|OF|·|AB|＝2，不成立，所以＝?y1y2＝－4.由△AOB的面積為4，得|y1－y2|×1＝4，所以y＋y＝56，因此|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝16.
7．(2021年1月新高考八省聯(lián)考卷)已知拋物線y2＝2px上三點(diǎn)A(2,2)，B，C，直線AB，AC是圓(x－2)2＋y2＝1的兩條切線，則直線BC的方程為(　　)
A．x＋2y＋1＝0 B．3x＋6y＋4＝0
C．2x＋6y＋3＝0 D．x＋3y＋2＝0
解析：選B　把A(2,2)代入y2＝2px得p＝1，
又直線AB，AC是圓(x－2)2＋y2＝1的兩條切線，
易得AB方程為y－2＝(x－2)，
AC方程為y－2＝－(x－2)，
聯(lián)立AB方程和拋物線方程得B，
同理：C，
由B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)可得直線BC的方程為3x＋6y＋4＝0，所以選B.
8．(多選)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．△ABF是等邊三角形
B．|BF|＝3
C．點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3
D．拋物線C的方程為y2＝6x
解析：選ACD　∵以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)，∠ABD＝90°，由拋物線的定義可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等邊三角形，∴∠FBD＝30°.
∵△ABF的面積為|BF|2＝9，∴|BF|＝6.又點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為|BF|sin 30°＝3＝p，則該拋物線的方程為y2＝6x.
9．(2021·海口調(diào)研)若拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P(m，n)到其焦點(diǎn)的距離為8m，則m＝______.
解析：由題意得，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－2，
又點(diǎn)P(m，n) 到焦點(diǎn)的距離為8m，
所以|PF|＝m＋2＝8m，解得m＝.
答案：
10．拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為A，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為B，如果在直線3x＋4y＋25＝0上存在點(diǎn)M，使得∠AMB＝90°，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________．
解析：由題得A，B，
∵M(jìn)在直線3x＋4y＋25＝0上，設(shè)點(diǎn)M，
∴ ＝，＝.
又∠AMB＝90°，
∴·＝·＋2＝0，
即25x2＋150x＋625－4p2＝0，∴Δ≥0，
即1502－4×25×(625－4p2)≥0，
解得p≥10，或p≤－10，
又p>0，∴p的取值范圍是[10，＋∞)．
答案：[10，＋∞)
11．已知過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，|MN|＝16.
(1)求拋物線C的方程；
(2)試確定在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：(1)當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，l的斜率為1，
∵F，∴l(xiāng)的方程為y＝x－.
由得x2－3px＋＝0.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝3p，
∴|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝16，p＝4，
∴拋物線C的方程為y2＝8x.
(2)假設(shè)滿足題意的點(diǎn)P存在．
設(shè)P(a,0)，由(1)知F(2,0)，
①當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－2)(k≠0)，
由得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
則x1＋x2＝，x1x2＝4.
Δ＝[－(4k2＋8)]2－4·k2·4k2＝64k2＋64>0，
∵直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴kPM＋kPN＝0，
又kPM＝，kPN＝，
∴k(x1－2)(x2－a)＋k(x2－2)(x1－a)＝k[2x1x2－(a＋2)(x1＋x2)＋4a]＝－＝0，
∴a＝－2，此時(shí)P(－2,0)．
②當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，易知PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，此時(shí)只需P與焦點(diǎn)F不重合即可．
綜上，存在唯一的點(diǎn)P(－2,0)，使直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．

三、自選練——練高考區(qū)分度
1．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)M(3,1)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)過(guò)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則△ABM的周長(zhǎng)為(　　)
A.＋ B．9＋
C.＋ D．9＋
解析：選D　對(duì)于y2＝4x，令y＝1，得x＝，即A，結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)，得AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，與拋物線方程聯(lián)立可得，k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，據(jù)此可得xAxB＝1，∴xB＝＝4.
∴|AB|＝xA＋xB＋p＝.
將x＝4代入y2＝4x可得y＝±4，故B(4，－4)，
∴|MB|＝＝.
∴△ABM的周長(zhǎng)為|MA|＋|MB|＋|AB|＝＋＋＝9＋.故選D.
2．(多選)設(shè)F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．|AB|≥4
B．|OA|＋|OB|>8
C．若點(diǎn)P(2,2)，則|PA|＋|AF|的最小值是3
D．△OAB的面積的最小值是2
解析：選ACD　F(1,0)，如圖，不妨設(shè)A在第一象限．
(1)若直線l斜率不存在，則A(1,2)，B(1，－2)，則|AB|＝4，|OA|＋|OB|＝2|OA|＝2，S△OAB＝×4×1＝2，顯然B錯(cuò)誤；
(2)若直線l斜率存在，設(shè)直線l斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x－1)，顯然k≠0，
聯(lián)立方程組消元得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝＝2＋，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋>4，原點(diǎn)O到直線l的距離d＝，∴S△OAB＝×|AB|×d＝××＝2>2.
綜上，|AB|≥4，S△OAB≥2，故A正確，D正確．過(guò)點(diǎn)A向準(zhǔn)線作垂線，垂足為N，則|PA|＋|AF|＝|PA|＋|AN|，又P(2,2)在拋物線右側(cè)，故當(dāng)P，A，N三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|AF|取得最小值3，故C正確．故選A、C、D.
3．(多選)已知過(guò)拋物線C：y2＝4x焦點(diǎn)的直線交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)，交圓x2＋y2－2x＝0于M，N兩點(diǎn)，其中P, M位于第一象限，則＋的值可能為(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：選BCD　如圖所示，可設(shè)＝m，＝n，則＝m－1，＝n－1，∵y2＝4x，∴p＝2，根據(jù)拋物線的常用結(jié)論，有＋＝＝1，∴＝1，則m＋n＝mn，
∴＋＝＋＝＝4m＋n－5，
又∵(4m＋n)·1＝(4m＋n)·＝4＋＋＋1≥5＋2 ＝9，得4m＋n≥9，
∴4m＋n－5≥4，則＋的值不可能為3.