一、選擇題（共20小題；）
1. 已知四邊形 是菱形，點(diǎn) 在對(duì)角線 上（不包括端點(diǎn) ，），則
A. ，B. ，
C. ，D. ，

2. 如圖，在 中，，， 分別是邊 ，， 上的中線，它們交于點(diǎn) ，則下列各等式中不正確的是
A. B.
C. D.

3. 已知矩形 中，，若 ，，則
A. B. C. D.

4. 如圖，在 中，已知 ，則
A. B. C. D.

5. 已知 和點(diǎn) 滿足 ．若存在實(shí)數(shù) 使得 成立，則
A. B. C. D.

6. 在 中，，，，則 等于
A. B. C. D.

7. 已知關(guān)于 的方程 ，其中 ，， 都是非零向量，且 ， 不共線，則該方程的解的情況是
A. 至少有一個(gè)解B. 至多有一個(gè)解
C. 至多有兩個(gè)解D. 可能有無(wú)數(shù)個(gè)解

8. 如圖，原點(diǎn) 是 內(nèi)一點(diǎn)，頂點(diǎn) 在 軸上，，，，，，若 ，則 等于
A. B. C. D.

9. 在 中，點(diǎn) 滿足 ．若存在點(diǎn) ，使得 ，且 ，則 等于
A. B. C. D.

10. 如圖，在 中，， 是 上的一點(diǎn)，若 ，則實(shí)數(shù) 的值為
A. B. C. D.

11. 如圖所示，在 中，點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 的直線分別交 ， 所在直線于不同的兩點(diǎn) ，，若 ，，則 的值為
A. B. C. D.

12. 如圖，在 中，，， 的平分線交 的外接圓于點(diǎn) ，設(shè) ，，則向量 等于
A. B. C. D.

13. 如圖所示，在 中，，點(diǎn) 在 邊上，點(diǎn) 在線段 上，若 ，則 等于
A. B. C. D.

14. 設(shè) ，， 是平面內(nèi)共線的三個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn) 是 ，， 所在直線外任意一點(diǎn)，且滿足 ，若點(diǎn) 在線段 的延長(zhǎng)線上，則
A. ，B. ，C. D.

15. 已知點(diǎn) 是 的外接圓圓心，，．若存在非零實(shí)數(shù) ， 使得 且 ，則 的值為
A. B. C. D.

16. 如圖，在等腰梯形 中，，， 于點(diǎn) ，則
A. B. C. D.

17. 在 中，點(diǎn) 是 上一點(diǎn)，且 ， 為 上一點(diǎn)，向量 （，），則 的最小值為
A. B. C. D.

18. 在平面直角坐標(biāo)系中， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量 其中 ．若 且 ， 點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是
A. B.
C. D.

19. 已知 ，，，點(diǎn) 在 內(nèi)，且 ，設(shè) ，則 等于
A. B. C. D.

20. 設(shè) ，則 的最小值是
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 若向量 的終點(diǎn)在原點(diǎn)，那么這個(gè)向量的始點(diǎn)坐標(biāo)是 ．

22. 如圖，已知 的面積為 ，， 分別為邊 ， 上的點(diǎn)，且 ， 與 交于點(diǎn) ，連接 ，則 的面積為 ．

23. 已知 ，，，點(diǎn) 在 上，且 ．設(shè) ，則 ．

24. 已知 ，點(diǎn) 是平面上任意一點(diǎn)，且 ，給出以下命題：
①若 ，，則 為 的內(nèi)心；
②若 ，則直線 經(jīng)過(guò) 的重心；
③若 ，且 ，則點(diǎn) 在線段 上；
④若 ，則點(diǎn) 在 外；
⑤若 ，則點(diǎn) 在 內(nèi)．
其中真命題為 ．

25. 如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起．若 ，則 ， ．

三、解答題（共5小題；）
26. 如圖，，， 是 的三條中線，，．用 ， 表示 ，，，．

27. 已知四邊形 是平行四邊形，，，試用 ， 表示 ，．

28. 在 內(nèi)有一點(diǎn) ，滿足 ， 為 邊的中點(diǎn)，，設(shè) ，，以 ， 為基底，試求下列向量表達(dá)式：
（1）；
（2）．

29. 如圖，已知在梯形 中，，，， 分別是 ， 的中點(diǎn)，設(shè) ，．
（1）試用 為基底表示 ，，．
（2）若取 的中點(diǎn) ，則 ．
（3）若 的中點(diǎn)為 ，試表示出 ．

30. 如圖，在 中，，， 與 相交于點(diǎn) ， 的延長(zhǎng)線與邊 交于點(diǎn) ．
（1）用 和 分別表示 和 ；
（2）如果 ，求實(shí)數(shù) 和 的值；
（3）確定點(diǎn) 在邊 上的位置．
答案
1. A【解析】根據(jù)平行四邊形法則，， ．
2. C【解析】因?yàn)?，， 分別是邊 ，， 上的中線，它們交于點(diǎn) ，
所以點(diǎn) 是 的重心．
選項(xiàng)A：因?yàn)辄c(diǎn) 是 的重心，所以 ，因此 ，所以本選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)B：因?yàn)? 是邊 上的中線，所以 ，又因?yàn)辄c(diǎn) 是 的重心，所以有 ，因此 ，所以本選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)C：因?yàn)辄c(diǎn) 是 的重心，所以 ，因此 ，所以本選項(xiàng)不正確；
選項(xiàng)D：因?yàn)? 是邊 上的中線，點(diǎn) 是 的重心，所以有 ，因此本選項(xiàng)正確．
故選：C．
3. B【解析】因?yàn)?，，，
所以 ．
4. C【解析】
5. B
【解析】由 知，點(diǎn) 為 的重心，設(shè) 為邊 的中點(diǎn)，則 ，所以有 ，故 ．
6. A【解析】因?yàn)?，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因?yàn)?，
所以 ，，
所以 ．
7. B【解析】由平面向量基本定理可得，，
則方程 可變?yōu)?，
即 ，
因?yàn)?， 不共線，所以
可知方程組可能無(wú)解，也可能有一個(gè)解．
所以方程 至多有一個(gè)解．
8. D【解析】由題意知 ，，，
因?yàn)?，由向量相等的坐標(biāo)表示可得，
得 即 ．
9. D【解析】因?yàn)?，
所以 ，
所以 ，
可得 ，
所以 ，，．
10. B
【解析】注意到 ，， 三點(diǎn)共線，
因此 ，從而 ，
所以 ．
11. B【解析】方法一：連接 ，
則 ，
因?yàn)?，， 三點(diǎn)共線，
所以 ，
所以 ．
方法二：連接 （圖略）．
由于 為 的中點(diǎn)，故 ，
，
同理，．
由于向量 ， 共線，故存在實(shí)數(shù) 使得 ，
即 ．
由于 ， 不共線，
故得 且 ，
消掉 ，得 ，
化簡(jiǎn)即得 ．
12. C【解析】設(shè)圓的半徑為 ，在 中，，，
所以 ，， 的平分線交 的外接圓于點(diǎn) ，
所以 ，則根據(jù)圓的性質(zhì)得 ，
又因?yàn)樵? 中，，所以四邊形 為菱形，
所以 ．
13. B
14. A
15. D
16. A【解析】由題意得，．
17. A【解析】由題意可知：，
其中 ，， 三點(diǎn)共線，
由三點(diǎn)必要條件可得：，則：
，
當(dāng)且僅當(dāng) ， 時(shí)等號(hào)成立，即 的最小值為 ．
故選A．
18. A
19. B
20. B
【解析】因?yàn)?，所以

當(dāng)且僅當(dāng) ，， 時(shí)取等號(hào)，
即當(dāng) ，， 時(shí)，所求代數(shù)式的最小值為 ．
21.
22.
【解析】設(shè) ， 為一組基底，
則 ，．
因?yàn)辄c(diǎn) ，， 與 ，， 分別共線，
所以存在 和 ，使 ，．
又因?yàn)?，
所以
解得
所以 ．
所以 ．
故 ．
23.
【解析】提示：
因?yàn)?，，，
所以 ．又 ．
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ．
24. ②④
【解析】① ，
其中 ，，
如圖①所示，
令 ，，
其中 ，
則四邊形 為菱形，
則 是 的角平分線，
但 不一定為 的內(nèi)心（內(nèi)心應(yīng)為三個(gè)角角平分線的交點(diǎn)），
因此①不正確；
②若 ，
則如圖②所示，四邊形 為平行四邊形，
則 ，
即 為邊 中線，
因此直線 經(jīng)過(guò) 的重心（重心為三個(gè)中線交點(diǎn)），
因此②正確；
③若 ，，
則滿足條件 ，，
如圖③所示，此時(shí)點(diǎn) 沒(méi)有在線段 上，
因此③是假命題；
④若 與 中有一個(gè)小于 ，
則 一定在 外，
若 ， 且 ，
所以 ，
根據(jù)三點(diǎn)在同一條直線上的判定原理可得 位于線段 上，
因此若 ，
則 位于 處，
因此④是真命題；
⑤若 ，，
則 在 處，
⑤為假命題；
綜上：②④是真命題．
25. ，
【解析】設(shè)斜邊長(zhǎng)為 ．由已知，得 ，
即 ，
在 的兩端點(diǎn)乘 ，化簡(jiǎn)得 ，
在 的兩端點(diǎn)乘 ，化簡(jiǎn)得 ，
聯(lián)立 ，解得 ．
26. ，，，．
27. ，．
28. （1） 因?yàn)? 為 邊的中點(diǎn)，
由平行四邊形法則，，
由已知： 得：，
所以 ，故 為 的三等分點(diǎn)，
所以 ；
（2）
29. （1） 因?yàn)?，，， 分別是 ， 的中點(diǎn)，
所以 ，
，

（2）
【解析】，
所以 ．
（3） ，
因?yàn)?，
所以 ．
30. （1） 由 ，可得 ；
又 ，所以 ．
（2） 將 ， 代入 ，則有
即

所以
解得
（3） 設(shè) ，．
由（2）知 ，所以
所以
解得
所以 ，即 ．

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