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新高考數(shù)學(xué)沖刺卷數(shù)學(xué)·全解全析1．C【分析】由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)得到，利用復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算出答案.【詳解】由題意可知，所以.故選：C.2．B【分析】先利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示求得，再利用平面向量模的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，解得，所以，因此.故選：B．3．B【分析】利用題意找出該組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，然后利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的公式找出常數(shù)項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，令得：，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為，故選：B．4．C【分析】根據(jù)二階等差數(shù)列的定義求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用累加法計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)該數(shù)列為，則；由二階等差數(shù)列的定義可知，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，即，所以將所有上式累加可得，所以；即該數(shù)列的第15項(xiàng)為.故選：C5．B【分析】利用特例法、函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若數(shù)列為遞增數(shù)列，取，即，則對(duì)任意的恒成立，所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，但函數(shù)在上不單調(diào)，即“數(shù)列為遞增數(shù)列”“函數(shù)為增函數(shù)”；若函數(shù)在上為增函數(shù)，對(duì)任意的，則，即，故數(shù)列為遞增數(shù)列，即“數(shù)列為遞增數(shù)列”“函數(shù)為增函數(shù)”.因此，“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“函數(shù)為增函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.6．C【分析】由三角形的面積公式得到，再由正三角形得到點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，即可得到.【詳解】是面積為的正三角形，即，所以，所以的邊長(zhǎng)為，高為，所以，所以.又，所以，故選：C.7．C【分析】將三個(gè)值中的共同量0.05用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小.【詳解】記，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，即，取，所以，記，因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，即，取，所以，故，即；記，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，取，所以，即；所以.故選：C.8．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)為偶函數(shù)且在單調(diào)遞增，進(jìn)而關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且在單調(diào)遞增，結(jié)合條件可得，解不等式即得.【詳解】因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>R，又，故函數(shù)為偶函數(shù)，又時(shí)， ，單調(diào)遞增，故由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，所以，所以關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且在單調(diào)遞增．所以，兩邊平方，化簡(jiǎn)得，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn)不等式進(jìn)而即得.9．AC【分析】散點(diǎn)圖的特點(diǎn)是單調(diào)遞增，增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，且，根據(jù)特點(diǎn)對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可．【詳解】散點(diǎn)圖的特點(diǎn)是單調(diào)遞增，增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，且對(duì)A選項(xiàng)，符合散點(diǎn)圖的特點(diǎn)；對(duì)B選項(xiàng)，有不符合散點(diǎn)圖的特點(diǎn)；對(duì)C選項(xiàng)，符合散點(diǎn)圖的特點(diǎn)；對(duì)D選項(xiàng)，的增長(zhǎng)速度不變，不符合散點(diǎn)圖的特點(diǎn)；故選：AC10．BC【分析】將函數(shù)化簡(jiǎn)得，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷各個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】.對(duì)A，的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故A錯(cuò)；對(duì)B，在上，，函數(shù)單調(diào)遞增，故B對(duì)；對(duì)C，令，可得，當(dāng)時(shí)，故C對(duì)；對(duì)D，，所以，此時(shí)，故D錯(cuò)；故選：BC.11．BCD【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的概念結(jié)合正方體的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理可判斷B，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，然后根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定定理可判斷C，利用余弦定理結(jié)合條件可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可知，兩條異面直線(xiàn)和所成的角即為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，由題可知，所以，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，則平面，所以B正確；對(duì)于C，連結(jié)，由于平面，平面，故，又，故，故，即，故，又相交，平面，故平面，又平面，故對(duì)任意點(diǎn)，平面平面，所以C正確；對(duì)于D，由正方體的性質(zhì)可得，，所以，所以，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以D正確．故選：BCD．12．AC【分析】的極值點(diǎn)為的變號(hào)零點(diǎn)，即為函數(shù)與函數(shù)圖像在交點(diǎn)的橫坐標(biāo).將兩函數(shù)圖像畫(huà)在同一坐標(biāo)系下.A選項(xiàng)，利用零點(diǎn)存在性定理及圖像可判斷選項(xiàng)；BC選項(xiàng)，由圖像可判斷選項(xiàng)；D選項(xiàng)，注意到，由圖像可得單調(diào)性，后可判斷選項(xiàng).【詳解】的極值點(diǎn)為在上的變號(hào)零點(diǎn).即為函數(shù)與函數(shù)圖像在交點(diǎn)的橫坐標(biāo).又注意到時(shí)，，時(shí)，，，時(shí)，.據(jù)此可將兩函數(shù)圖像畫(huà)在同一坐標(biāo)系中，如下圖所示.A選項(xiàng)，注意到時(shí)，，，.結(jié)合圖像可知當(dāng)，.當(dāng)，.故A正確；B選項(xiàng)，由圖像可知，則，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，表示兩點(diǎn)與間距離，由圖像可知，隨著n的增大，兩點(diǎn)間距離越來(lái)越近，即為遞減數(shù)列.故C正確；D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)分析可知，，又結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)，得在上單調(diào)遞增，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及函數(shù)的極值點(diǎn)，因函數(shù)本身通過(guò)求導(dǎo)難以求得單調(diào)性，故將兩相關(guān)函數(shù)畫(huà)在同一坐標(biāo)系下，利用圖像解決問(wèn)題.13．##【分析】成等差數(shù)列得利用數(shù)列的通項(xiàng)公式展開(kāi)即可求出公比.【詳解】由題意：為等比數(shù)列，成等差數(shù)列，則，，，又因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比不為1，故答案為：.14．##【分析】根據(jù)球的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、棱錐的體積公式、球的表面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以正三棱錐外接球半徑，如圖所示，設(shè)外接球圓心為O，過(guò)向底面作垂線(xiàn)垂足為D，，要使正三棱錐體積最大，則底面與在圓心的異側(cè)，因?yàn)?/span>是正三棱錐，所以D是的中心，所以，又因?yàn)?/span>，所以，，所以，令，解得或，當(dāng)，；當(dāng)，，所以在遞增，在遞減，故當(dāng)時(shí)，正三棱錐的體積最大，此時(shí)正三棱錐的高為，故正三棱錐體積最大時(shí)該正三棱錐的高為.故答案為：15．4【分析】由得，所以，根據(jù)解方程即可求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)與由，則有兩根與所以，得因?yàn)?/span>，所以，又則，所以故答案為：16．2【分析】由題可得，然后利用韋達(dá)定理法，兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合條件即得.【詳解】由點(diǎn)在拋物線(xiàn)上得：，即,所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為：,設(shè)直線(xiàn)的方程為，，,由直線(xiàn)與的傾斜角互補(bǔ)得，即，所以,聯(lián)立，得，所以，,所以，即，所以,所以．故答案為：2.17．(1)或(2) 【分析】（1）由余弦定理列出方程，求出的值；（2）作出輔助線(xiàn)，得到，由余弦定理求出，從而求得答案.【詳解】（1）在中，由余弦定理得：，所以，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)均符合要求；（2）在中，過(guò)D作的平行線(xiàn)交于E，因?yàn)辄c(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，在中，，又，所以.由余弦定理得：，所以，所以或（舍去），故.18．(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】(1)應(yīng)用,結(jié)合等差數(shù)列定義證明即可;(2)先求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,再兩次應(yīng)用錯(cuò)位相減或裂項(xiàng)相消【詳解】（1）①，當(dāng)時(shí)，②，①－②得：,即，所以，且，所以是以1為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）得，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又滿(mǎn)足上式，所以．所以，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．方法一：（兩次錯(cuò)位相減），①，②①－②得，③則，④③－④得，所以．方法二：（裂項(xiàng)）因?yàn)?/span>，所以．19．(1)(2)6，答案見(jiàn)解析 【分析】（1）確定X可能取值為4，5，6，7，分別求出概率后，由期望公式計(jì)算出期望；（2）Y可能取值為4，5，6，7，設(shè)甲袋和乙袋抽取次數(shù)分別為和，利用獨(dú)立事件概率公式求得的概率，再由期望公式計(jì)算出期望，根據(jù)白球?qū)θ〉近\球的影響說(shuō)明期望的大小關(guān)系．【詳解】（1）X可能取值為4，5，6，7，， ；（2）Y可能取值為4，5，6，7，設(shè)甲袋和乙袋抽取次數(shù)分別為和 ，，，， ，. 在將球分裝時(shí)，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此時(shí)甲袋中還有其它球，則該球的干擾作用已經(jīng)消失，所以同樣是要取出4個(gè)黑球，調(diào)整后的方案總抽取次數(shù)的期望更低.20．(1)(2)（i）0；（ii）48 【分析】（1）設(shè)直線(xiàn)與軸交于，由幾何性質(zhì)易得：，即可解決；（2）設(shè)，（i）中，由于中點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，得，將，代入聯(lián)立得點(diǎn)縱坐標(biāo)為，即可解決；（ⅱ）由（i）得點(diǎn)，，又點(diǎn)在圓上，得，可得：即可解決.【詳解】（1）設(shè)直線(xiàn)與軸交于.由幾何性質(zhì)易得：與相似，所以，，即：，解得：. 所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)（i）由題意，中點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，即，又，將代入，得：，同理：，有，此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)為，所以直線(xiàn)的斜率為0.（ⅱ）因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)，此時(shí)，，，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，有，即，代入上式可得：，由，所以時(shí)，取到最大價(jià).所以的最大值為48.21．（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）通過(guò)證明．，轉(zhuǎn)化證明平面，然后推出平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，令，由題意可得平面的一個(gè)法向量，求出兩法向量所成角的余弦值，即可求的取值范圍．【詳解】（1）證明：設(shè)，∵，，∴，∴，∴，則.∵四邊形為矩形，∴，而平面，且，∴平面.∵，∴平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線(xiàn)，，為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，所以，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，得，取，所以，因?yàn)?/span>是平面的一個(gè)法向量.所以.因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，有最大值，所以.【點(diǎn)睛】本題考查二面角的平面角的求法，直線(xiàn)與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力22．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間(2)（ⅰ）（ⅱ）證明見(jiàn)解析 【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得單調(diào)區(qū)間；（2）（ⅰ）將函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，分類(lèi)討論，得使條件成立的a的取值范圍；（ⅱ）由，得，證明，得，可證明原命題成立.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，， 則在恒成立，所以在單調(diào)遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間．（2）（ⅰ），，，則除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，，令，當(dāng)時(shí)，在恒成立，則，所以在單調(diào)遞減，不滿(mǎn)足，舍去；當(dāng)時(shí)，除1外還有兩個(gè)零點(diǎn)，則不單調(diào)，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得， 當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則，，所以．當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞增；又，所以，，而，且，，且，所以存在，，使得，即有3個(gè)零點(diǎn) ，，．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（ⅱ）證明：因?yàn)?/span>，所以若，則，所以．當(dāng)時(shí)，先證明不等式恒成立，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立．由，可得，因?yàn)?/span>，所以，即，兩邊同除以，得，即，所以．【點(diǎn)睛】（ⅰ）中求使得有兩個(gè)零點(diǎn)的a的取值范圍，得，還需找點(diǎn)說(shuō)明此時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)；（ⅱ）由欲證命題知需先求與間的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合函數(shù)解析式特征發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而得得，推斷需證明時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)證明.
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