?第4講　統(tǒng)計(jì)與概率綜合解答題
目錄
重難點(diǎn)題型突破
突破一：頻率分布直方圖與概率統(tǒng)計(jì)
突破二：線性回歸與非線性回歸
突破三：概率綜合題
突破四：概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列交匯
突破五：概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)交匯

突破一：頻率分布直方圖與概率統(tǒng)計(jì)
1．（2022·河南·馬店第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））在高考結(jié)束后，程浩同學(xué)回初中母?？赐麛?shù)學(xué)老師，順便幫老師整理初三年級學(xué)生期中考試的數(shù)學(xué)成績，并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在整個年級中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，將成績分為，，，，，，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，記分?jǐn)?shù)不低于90分為優(yōu)秀．

(1)從樣本中隨機(jī)選取一名學(xué)生，已知這名學(xué)生的分?jǐn)?shù)不低于70分，問這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；
(2)在樣本中，采取分層抽樣的方法從成績在內(nèi)的學(xué)生中抽取13名，再從這13名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，記這3名學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析；
【詳解】（1）依題意，得，解得，
則不低于70分的人數(shù)為，
成績在內(nèi)的，即優(yōu)秀的人數(shù)為；
故這名學(xué)生成績是優(yōu)秀的概率為；
（2）成績在內(nèi)的有（人）；
成績在內(nèi)的有（人）；成績在內(nèi)的有人；
故采用分層抽樣抽取的13名學(xué)生中，成績在內(nèi)的有6人，在內(nèi)的有5人，在內(nèi)的有2人，
所以由題可知，X的可能取值為0，1，2，
則，，，
所以X的分布列為：
X
0
1
2
P



故．
2．（2022·云南云南·模擬預(yù)測）足球運(yùn)動，最早的起源在中國.在春秋戰(zhàn)國時期，就出現(xiàn)了“蹴鞠”或名“塌鞠”某足球俱樂部隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)100位足球愛好者的年齡，得到如下樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.

(1)估計(jì)該地區(qū)足球愛好者的平均年齡：（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
(2)估計(jì)該地區(qū)足球愛好者年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)足球愛好者占比為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口數(shù)占該地區(qū)總?cè)丝跀?shù)的，從該地區(qū)任選1人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人是足球愛好者的概率.
【答案】(1)歲
(2)0.48
(3)
【詳解】（1）估計(jì)該地區(qū)足球愛好者的平均年齡
歲.
（2）由題圖，得該地區(qū)足球愛好者年齡位于區(qū)間的頻率為
，
用頻率估計(jì)概率，故足球愛好者年齡位于區(qū)間概率為0.48.
（3）記事件A為：“任選一人，年齡位于區(qū)間”，事件B為：“任選一人是足球愛好者”，由條件概率公式可得：.
3．（2022·北京育才學(xué)校模擬預(yù)測）在某地區(qū)，某項(xiàng)職業(yè)的從業(yè)者共約8.5萬人，其中約3.4萬人患有某種職業(yè)病.為了解這種職業(yè)病與某項(xiàng)身體指標(biāo)（檢測值為不超過6的正整數(shù)）間的關(guān)系，依據(jù)是否患有職業(yè)病，使用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了100名從業(yè)者，記錄他們該項(xiàng)身體指標(biāo)的檢測值，整理得到如下統(tǒng)計(jì)圖：

(1)求樣本中患病者的人數(shù)和圖中，的值；
(2)在該指標(biāo)檢測值為4的樣本中隨機(jī)選取2人，求這2人中有患病者的概率；
(3)某研究機(jī)構(gòu)提出，可以選取常數(shù)（），若一名從業(yè)者該項(xiàng)身體指標(biāo)檢測值大于，則判斷其患有這種職業(yè)??；若檢測值小于，則判斷其未患有這種職業(yè)病.從樣本中隨機(jī)選擇一名從業(yè)者，按照這種方式判斷其是否患有職業(yè)病.寫出使得判斷錯誤的概率最小的的值及相應(yīng)的概率（只需寫出結(jié)論）.
【答案】(1)樣本患病人數(shù)為人，，；
(2)；
(3)，誤判概率為.
（1）
由題設(shè)，患病者與未患病者的比例為，故患者人數(shù)為人；
由直方圖知：，可得，
，可得.
（2）
由題意，指標(biāo)檢測值為4的未患病者有人，
指標(biāo)檢測值為4的患病者有人；
所以指標(biāo)檢測值為4的樣本中隨機(jī)選取2人，這2人中有患病者的概率的概率.
（3）
若為未患病者，為患病者，為體指標(biāo)檢測值為者，
所以100名樣本中，，，







未患病者
6
21
15
9
6
3
患病者
0
0
4
8
12
16
當(dāng)時，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為0、54，誤判率為；
當(dāng)時，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為0、33，誤判率為；
當(dāng)時，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為4、18，誤判率為；
當(dāng)時，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為12、9，誤判率為；
當(dāng)時，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為3、24，誤判率為；
綜上，當(dāng)時誤判概率最小為.
4．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））某市高一招生，對初中畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測試，是激發(fā)學(xué)生、家長和學(xué)校積極開展體育活動，保證學(xué)生健康成長的有效措施．該市2022年初中畢業(yè)升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩等三項(xiàng)測試，三項(xiàng)考試總分為50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實(shí)心球15分，1分鐘跳繩20分．該市一初中學(xué)校為了在初三上學(xué)期開始時掌握全年級學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測試，得到每段人數(shù)的頻率分布直方圖（如圖），且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如表：

每分鐘跳繩個數(shù)




得分
17
18
19
20
若該初中學(xué)校初三年級所有學(xué)生的跳繩個數(shù)X服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差，已知樣本方差（各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）．根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該初中學(xué)校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進(jìn)步，假設(shè)今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學(xué)期開始時個數(shù)增加10個，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：
(1)預(yù)估全年級恰好有2000名學(xué)生時，正式測試每分鐘跳182個以上的人數(shù)；（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）
(2)若在全年級所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳195個以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．
【答案】(1)1683
(2)分布列見解析，1.5
（1）
又所以正式測試時，．
（人）
（2）由正態(tài)分布模型，全年級所有學(xué)生中任取1人，每分鐘跳繩個數(shù)195以上的概率為0.5，
即，
的分布列為．

0
1
2
3

0.125
0.375
0.375
0.125
所以，
5．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））隨著智能手機(jī)的普及，手機(jī)計(jì)步軟件迅速流行開來，這類軟件能自動記載每個人每日健步的步數(shù)，從而為科學(xué)健身提供一定的幫助.某市工會為了解該市市民每日健步走的情況，從本市市民中隨機(jī)抽取了2000名市民（其中不超過40歲的市民恰好有1000名），利用手機(jī)計(jì)步軟件統(tǒng)計(jì)了他們某天健步的步數(shù)，并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，，，九組（單位：千步），將抽取的不超過40歲的市民的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如右，將40歲以上的市民的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻數(shù)分布表如下，并利用該樣本的頻率分布估計(jì)總體的概率分布.

分組
（單位：千步）









頻數(shù)
10
20
20
30
400
200
200
100
20
（1）現(xiàn)規(guī)定，日健步步數(shù)不低于13000步的為“健步達(dá)人”，填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有％的把握認(rèn)為是否為“健步達(dá)人”與年齡有關(guān)；

健步達(dá)人
非健步達(dá)人
總計(jì)
40歲以上的市民



不超過40歲的市民



總計(jì)



（2）（?。├脴颖酒骄鶖?shù)和中位數(shù)估計(jì)該市不超過40歲的市民日健步步數(shù)（單位：千步）的平均數(shù)和中位數(shù)；
（ⅱ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，不超過40歲的市民日健步步數(shù)（單位：千步）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值），的值已求出約為.現(xiàn)從該市不超過40歲的市民中隨機(jī)抽取5人，記其中日健步步數(shù)位于的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.
參考公式：，其中.
參考數(shù)據(jù)：














若，則，.
【答案】（1）填表見解析；有％的把握認(rèn)為是否為“健步達(dá)人”與年齡有關(guān)（2）（?。┢骄鶖?shù)為，中位數(shù)為（ⅱ）
【詳解】（1）列聯(lián)表為

健步達(dá)人
非健步達(dá)人
總計(jì)
40歲以上的市民
520
480
1000
不超過40歲的市民
400
600
1000
總計(jì)
920
1080
2000
，
所以有％的把握認(rèn)為是否為“健步達(dá)人”與年齡有關(guān).
（2）（?。颖酒骄鶖?shù)為
由前4組的頻率之和為，
前5組的頻率之和為，
知樣本中位數(shù)落在第5組，設(shè)樣本中位數(shù)為，則，∴.
故可以估計(jì)：該市不超過40歲的市民日健步步數(shù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為.
（ⅱ），
而
，
∴，
∴的數(shù)學(xué)期望為.
6．（2022·全國·模擬預(yù)測）從《唐宮夜宴》火爆破圈開始，河南電視臺推出的“中國節(jié)日”系列節(jié)目被年輕人列入必看節(jié)目之一.從某平臺“中國節(jié)日”系列節(jié)目的粉絲與游客（未注冊的訪客）中各隨機(jī)抽取200人，統(tǒng)計(jì)他們的年齡（單位：歲，年齡都在內(nèi)），并按照，，，，分組，得到粉絲年齡頻率分布直方圖及游客年齡頻數(shù)分布表如下所示.

年齡/歲





頻數(shù)
10
60
50
45
35
(1)估計(jì)粉絲年齡的平均數(shù)及游客年齡的中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(2)以頻率估計(jì)概率，從該平臺“中國節(jié)日”系列節(jié)目的所有粉絲與游客中各隨機(jī)抽取2人，記這4人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列與期望.
【答案】(1)，
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望
【詳解】（1）由粉絲年齡頻率分布直方圖知，
由游客年齡頻數(shù)分布表知，
所以，解得.
（2）從該平臺“中國節(jié)日”系列節(jié)目的所有粉絲中隨機(jī)抽取1人，該粉絲年齡在內(nèi)的概率為，
從該平臺“中國節(jié)日”系列節(jié)目的所有游客中隨機(jī)抽取1人，該游客年齡在內(nèi)的概率為，
由題可得的所有可能取值為0，1，2，3，4，
且，
，
，
，
，
所以的分布列為

0
1
2
3
4






.
突破二：線性回歸與非線性回歸
1．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)模擬預(yù)測）隨著人臉識別技術(shù)的發(fā)展，“刷臉支付”成為了一種便捷的支付方式，但是這種支付方式也帶來了一些安全性問題．為了調(diào)查不同年齡層的人對“刷臉支付”所持的態(tài)度，研究人員隨機(jī)抽取了300人，并將所得結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表所示．
年齡





頻數(shù)
30
75
105
60
30
持支持態(tài)度
24
66
90
42
18
(1)完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9％的把握認(rèn)為年齡與所持態(tài)度具有相關(guān)性；

年齡在50周歲以上（含50周歲）
年齡在50周歲以下
總計(jì)
持支持態(tài)度



不持支持態(tài)度



總計(jì)



(2)以（1）中的頻率估計(jì)概率，若在該地區(qū)所有年齡在50周歲以上（含50周歲）的人中隨機(jī)抽取4人，記X為4人中持支持態(tài)度的人數(shù)，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望；
(3)已知某地區(qū)“萬嘉”連鎖超市在安裝了“刷臉支付”儀器后，使用“刷臉支付”的人數(shù)y與第x天之間的關(guān)系統(tǒng)計(jì)如下表所示，且數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖呈現(xiàn)出很強(qiáng)的線性相關(guān)的特征，請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求y與x的回歸直線方程．
i
1
2
3
4
5
6
7
第天
2
4
8
12
22
26
38
使用人數(shù)








參考數(shù)據(jù)：，．

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

參考公式：，，．
【答案】(1)表格見解析，有
(2)分布列見解析，
(3)．
【詳解】（1）完成列聯(lián)表如下：

年齡在50周歲以上（含50周歲）
年齡在50周歲以下
總計(jì)
持支持態(tài)度
60
180
240
不持支持態(tài)度
30
30
60
總計(jì)
90
210
300
故本次實(shí)驗(yàn)中的觀測值，
故有99.9％的把握認(rèn)為年齡與所持態(tài)度具有相關(guān)性；
（2）依題意，，
故，，
，，
；
故X的分布列為：
X
0
1
2
3
4
P





故；
（3）依題意，，，由得，
，
所以．
故y關(guān)于x的線性回歸方程是．
2．（2022·四川·成都七中模擬預(yù)測（理））新冠肺炎疫情發(fā)生以來，我國某科研機(jī)構(gòu)開展應(yīng)急科研攻關(guān)，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn).根據(jù)普遍規(guī)律，志愿者接種疫苗后體內(nèi)會產(chǎn)生抗體，人體中檢測到抗體，說明有抵御病毒的能力.通過檢測，用x表示注射疫苗后的天數(shù)，y表示人體中抗體含量水平（單位：miu/mL，即：百萬國際單位/毫升），現(xiàn)測得某志愿者的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示.
天數(shù)x
1
2
3
4
5
6
抗體含量水平y(tǒng)
5
10
26
50
96
195
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（a，b，c，d均為大于0的實(shí)數(shù)）哪一個更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型？（給出到斷即可，不必說明理由）
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；
(3)從這位志愿者的前6天的檢測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析，求其中的y值小于50的天數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)：其中.








3.50
63.67
3.49
17.50
9.49
12.95
519.01
4023.87
參考公式：；，.
【答案】(1)更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型
(2)，該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為miu/mL
(3)分布列見解析，
【詳解】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，更適宜作為描述y與x關(guān)系的回歸方程類型.
理由：方程表示的是直線，而方程表示的是曲線，散點(diǎn)圖表示的是曲線.
（2），，
設(shè)，則有，
，，
，所以y關(guān)于x的回歸方程為.
當(dāng)時，，
則該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為miu/mL.
（3）由表中數(shù)據(jù)可知，前三天的值小于50，故的可能取值為0，1，2，3.
，，，，
故的分布列為

0
1
2
3





所以數(shù)學(xué)期望.
3．（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測）當(dāng)前，新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃興起，以區(qū)塊鏈為代表的新一代信息技術(shù)迅猛發(fā)展，現(xiàn)收集某地近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表
年份
2017
2018
2019
2020
2021
編號x
1
2
3
4
5
企業(yè)總數(shù)量y（單位：千個）
2.156
3.727
8.305
24.279
36.224
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，與（其中…為自然對數(shù)的底數(shù)），哪一個回歸方程類型適宜預(yù)測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？（給出結(jié)果即可，不必說明理由），并根據(jù)你的判斷結(jié)果求y關(guān)于x的回歸方程；
(2)為了促進(jìn)公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，邀請甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽．比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負(fù)；②每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進(jìn)行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次比賽結(jié)束，該公司獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”．已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場由甲乙比賽，求甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率．
參考數(shù)據(jù)：，，，（其中）．
附：樣本的最小二乘法估計(jì)公式為，．
【答案】(1)適宜；(2)
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)適宜預(yù)測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量．
∵，∴，
令，則，
,
，
由公式計(jì)算可知

∴，即.
（2）設(shè)事件“甲公司獲得“優(yōu)勝公司””，事件“在一場比賽中，甲勝乙”，
事件“在一場比賽中，甲勝丙”，事件“在一場比賽中，乙勝丙”，
則，
因?yàn)閮蓛瑟?dú)立，兩兩互斥，
由概率的加法公式與乘法公式得


，
所以甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率為．
4．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））為有效防控疫情，于2021年9月開始，多省份相繼啟動新冠疫苗加強(qiáng)免疫接種工作．新冠疫苗接種一段時間后，有保護(hù)效果削弱的情況存在，加強(qiáng)針的接種則會使這種下降出現(xiàn)“強(qiáng)勢反彈”．研究結(jié)果顯示，接種加強(qiáng)針以后，受種者的抗體水平將大幅提升，加強(qiáng)免疫14天后，抗體水平相當(dāng)于原來10-30倍，6個月后，能維持在較高水平，并且對德爾塔等變異株出現(xiàn)良好交叉中和作用．某市開展加強(qiáng)免疫接種工作以來，在某一周的接種人數(shù)（單位：萬人）如下表所示：

星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
接種人數(shù)
1.7
1.9
2.1
2.3
2.4
2.5
a
規(guī)定星期一為第1天，設(shè)天數(shù)為，當(dāng)日接種人數(shù)為y．
(1)若y關(guān)于具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；
(2)根據(jù)所求的線性回歸方程分別計(jì)算星期五，星期六的預(yù)報(bào)值y，并與當(dāng)日接種人數(shù)的真實(shí)值y進(jìn)行比較．若滿足，則可用此回歸方程預(yù)測以后的接種人數(shù)，并預(yù)測星期日的接種人數(shù)a；若不滿足，請說明理由．
參考公式：．
【答案】(1)
(2)答案見解析.
(1)
.
所以
.
所以.
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為.
(2)
當(dāng)時，，所以成立；
當(dāng)時，，所以不成立.
所以此回歸方程不可以預(yù)測以后的接種人數(shù)，也不能用來預(yù)測星期日的接種人數(shù)a.
5．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測）自1980年以來我國逢整十年進(jìn)行一次人口普查，總?cè)丝诘戎笜?biāo)與年份如下表所示：
指標(biāo)
1980
1990
2000
2010
2020
年份數(shù)
1
2
3
4
5
總?cè)丝冢▋|）
9.8
11.3
12.6
13.4
14.1
(1)建立總?cè)丝陉P(guān)于年份數(shù)的回歸直線方程.
(2)某市某街道青年人（15-35歲）?中年人（36-64歲）與老年人（65歲及以上）比例約為，為了比較中青年人與老年人購物方式，街道工作人員按比例隨機(jī)調(diào)查了120位居民，購物方式統(tǒng)計(jì)如下表.

實(shí)體店購物
網(wǎng)上購物
電視購物
其它
青年人
15
35

4
中年人
15

8
2
老年人

2
2
1
將實(shí)體店購物視作傳統(tǒng)購物方式，網(wǎng)上購物?電視購物和其它方式視作新興購物方式.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，補(bǔ)充上表并完成下面的列聯(lián)表：

傳統(tǒng)購物方式
新興購物方式
總計(jì)
中青年人（15-64歲）



老年人（65歲及以上）



總計(jì)



并請判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該街道居民購物方式與其是否為老年人有關(guān)？
參考公式：，.，其中.參考數(shù)據(jù)：，

0.10
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)
(2)列聯(lián)表見解析；有99.9%的把握認(rèn)為該街道居民購物方式與其是否為老年人有關(guān)
(1)由題意得： ，
故，
則，
故總?cè)丝陉P(guān)于年份數(shù)的回歸直線方程為 ；
(2)由題意可得列聯(lián)表如下：

傳統(tǒng)購物方式
新興購物方式
總計(jì)
中青年人（15-64歲）
30
70
100
老年人（65歲及以上）
15
5
20
總計(jì)
45
75
120
故，
結(jié)合臨界值表可知有99.9%的把握認(rèn)為該街道居民購物方式與其是否為老年人有關(guān).
6．（2022·黑龍江·哈師大附中三模（理））為了構(gòu)筑“綠色長城”，我國開展廣泛的全民義務(wù)植樹活動，有力推動了生態(tài)狀況的改善.森林植被狀況的改善，不僅美化了家園，減輕了水土流失和風(fēng)沙對農(nóng)田的危害，而且還有效提高了森林生態(tài)系統(tǒng)的儲碳能力.某地區(qū)統(tǒng)計(jì)了2011年到2020年十年中每年人工植樹成活數(shù)（，2，3，…，10）（單位：千棵），用年份代碼（，2，3，…，10）表示2011年，2012年，2013年，…，2020年，得到下面的散點(diǎn)圖：

對數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析發(fā)現(xiàn)，有兩個不同的回歸模型可以選擇，模型一：，模型二；，其中是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷所給哪個模型更適宜作為每年人工植樹成活數(shù)y與年份代碼x相關(guān)關(guān)系的回歸分析模型（給出判斷即可，不必說明理由）；
(2)根據(jù)（1）中選定的模型，求出y關(guān)于x的回歸方程；
(3)利用（2）中所求回歸方程，預(yù)測從哪一年開始每年人工植樹成活棵數(shù)能夠超過5萬棵？
附：對于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.參考數(shù)據(jù)：，，，設(shè)（，2，3，…，10），，，，.
【答案】(1)模型二
(2)
(3)年
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可知，呈指數(shù)式增長，故應(yīng)選模型二，其中是自然對數(shù)的底數(shù)；
（2）由已知得，兩邊同時取對數(shù)可得，
令，則，
由，，，可知，
，
，
∴，∴；
（3）令，即，
解得，預(yù)測從年開始人工植樹成活棵樹能超過萬棵.
7．（2022·江西·模擬預(yù)測（文））和時代，我們的聽覺得以延伸，掏出手機(jī)撥通電話，地球另一頭的聲音近在咫尺．到了時代，我們的視覺也開始同步延伸，視頻通話隨時隨地，一個手機(jī)像一個小小窗口，面對面輕聲閑聊，天涯若比鄰.時代，我們的思想和觀念得以延伸，隨時的靈感隨時傳上網(wǎng)，隨手的視頻隨手拍和發(fā)，全球同步可讀可轉(zhuǎn)可評，個人的思想和觀點(diǎn)能夠在全球的信息網(wǎng)絡(luò)中延伸、保存、碰撞、交流，微博、微信、抖音等等這些我們生活中極其常見的社交網(wǎng)絡(luò)正是延伸與交流之所．現(xiàn)在，的到來給人們的生活帶來更加顛覆性的變革．某科技創(chuàng)新公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持，業(yè)務(wù)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該創(chuàng)新公司在月份至月份的業(yè)務(wù)收入（單位：百萬元）關(guān)于月份的數(shù)據(jù)如下表所示，并根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖．














(1)從前個月的收入中隨機(jī)抽取個，求恰有個月的收入超過百萬元的概率；
(2)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：與（均為常數(shù)）哪一個更適宜作為業(yè)務(wù)收入關(guān)于月份的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

(3)根據(jù)（2）的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）
參考數(shù)據(jù)：
















其中，設(shè)，．
參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．
【答案】(1)
(2)選擇更適宜
(3)
【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)可知：前個月的月收入超過百萬元的有個月，
所求概率.
（2）由散點(diǎn)圖可知：選擇更適宜.
（3）由得：，即，
，，
，關(guān)于的回歸方程為：.
8．（2022·安徽省含山中學(xué)三模（文））2020年新冠肺炎疫情突如其來，在黨中央的號召下，應(yīng)對疫情，我國采取特殊的就業(yè)政策、經(jīng)濟(jì)政策很好地穩(wěn)住了經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展大局．在全世界范圍內(nèi)，我國疫情控制效果最好，經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇最快．某汽車銷售公司2021年經(jīng)濟(jì)收入在短期內(nèi)逐月攀升，該公司在第1月份至6月份的銷售收入y（單位：百萬元）關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如表：
時間（月份）
1
2
3
4
5
6
收入（百萬元）
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，如圖所示．

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（a，b，c，d均為常數(shù)）哪一個適宜作為該公司銷售收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)根據(jù)（1）的結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測該公司8月份的銷售收入．（結(jié)果近似到小數(shù)點(diǎn)后第二位）
參考數(shù)據(jù)：






3.50
21.15
2.85
17.50
125.35
6.73
其中設(shè)
參考公式和數(shù)據(jù)：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的解率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，．
【答案】(1)用表示更合適
(2)，95.58百萬元
（1）
解： ，散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布不是一條直線，相鄰兩點(diǎn)在y軸上差距是增大的趨勢，故用表示更合適；
（2）
解：由，得，
設(shè)，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
即，則回歸方程為，
預(yù)測該公司8月份的銷售收入百萬元．
突破三：概率綜合題
1．（2022·湖北·黃岡中學(xué)三模）2022世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽將于2022年9月30日至10月9日在成都舉行．近年來，乒乓球運(yùn)動已成為國內(nèi)民眾喜愛的運(yùn)動之一．今有甲、乙兩選手爭奪乒乓球比賽冠軍，比賽采用三局兩勝制，即某選手率先獲得兩局勝利時比賽結(jié)束．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)， 甲、乙在一局比賽獲勝的概率分別為、，且每局比賽相互獨(dú)立．
(1)求甲獲得乒兵球比賽冠軍的概率；
(2)比賽開始前，工作人員買來兩盒新球，分別為“裝有2個白球與1個黃球”的白盒與“裝有1個白球與2個黃球”的黃盒．每局比賽前裁判員從盒中隨機(jī)取出一顆球用于比賽，且局中不換球，該局比賽后，直接丟棄．裁判按照如下規(guī)則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致，且第一局從白盒中取球．記甲、乙決出冠軍后，兩盒內(nèi)白球剩余的總數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
（1）記事件:“甲在第局比賽中獲勝”，，事件:“甲在第局比賽中末勝” .
.記事件“甲奪得冠軍"，
則.
（2）設(shè)甲乙決出冠軍共進(jìn)行了局比賽，易知或.
則，故.
記表示第局從白盒中抽取的白色球，表示第局從黃盒中抽取的黃色球，
的所有可能取值為;

;
;
.
綜上可得，的分布列如下:
X
1
2
3




數(shù)學(xué)期望為
2．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））某職業(yè)中專開設(shè)的一門學(xué)科的考試分為理論考試和實(shí)踐操作考試兩部分，當(dāng)理論考試合格才能參加實(shí)踐操作考試，只有理論考試與實(shí)踐操作考試均合格，才能獲得技術(shù)資格證書，如果一次考試不合格有1次補(bǔ)考機(jī)會.學(xué)校為了掌握該校學(xué)生對該學(xué)科學(xué)習(xí)情況，進(jìn)行了一次調(diào)查，隨機(jī)選取了100位同學(xué)的一次考試成績，將理論考試與實(shí)踐操作考試成績折算成一科得分（百分制），制成如下表格：
分段
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
人數(shù)
5
10
a
30
a+5
10
(1)①求表中a的值，并估算該門學(xué)科這次考試的平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
②在[40，50)， [50，60)， [60，70)這三個分?jǐn)?shù)段中，按頻率分布情況，抽取7個學(xué)生進(jìn)行教學(xué)調(diào)研，學(xué)校的教務(wù)主任要在這7名學(xué)生中隨機(jī)選2人進(jìn)行教學(xué)調(diào)查，求這2人均來自[60，70)的概率；
(2)該校學(xué)生小明在歷次該學(xué)科模擬考試中，每次理論合格的概率均為，每次考實(shí)踐操作合格的概率均為，這個學(xué)期小明要參加這門學(xué)科的結(jié)業(yè)考試，小明全力以赴，且每次考試互不影響.如果小明考試的次數(shù)的期望不低于2.5次，求的取值范圍.
【答案】(1)①a=20，平均分74；②
(2)
（1）
①由題意得：，解得：，
，
②[40，50)， [50，60)， [60，70)頻率之比為1:2:4，抽取7個學(xué)生進(jìn)行教學(xué)調(diào)研，
故[40，50)， [50，60)， [60，70)分別抽取1人，2人，4人，
設(shè)抽取的[40，50)的學(xué)生為， [50，60)的學(xué)生為， [60，70)的學(xué)生為，
這7名學(xué)生中隨機(jī)選2人進(jìn)行教學(xué)調(diào)研，則一共的選法有，
，
共有21種情況，其中這2人均來自[60，70)的情況有，共6種情況，
所以這2人均來自[60，70)的概率為.
（2）
小明考試的次數(shù)為2次的概率為，
考試次數(shù)為3次的概率為，
考試次數(shù)為4次的概率為，
考試次數(shù)的期望值為，
所以，解得：，
因?yàn)?，所?br /> 即的取值范圍是.
3．（2022·福建省德化第一中學(xué)模擬預(yù)測）現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，經(jīng)常使用戰(zhàn)斗機(jī)攜帶空對空導(dǎo)彈攻擊對方戰(zhàn)機(jī)，在實(shí)際演習(xí)中空對空導(dǎo)彈的命中率約為，由于飛行員的綜合素質(zhì)和經(jīng)驗(yàn)的不同，不同的飛行員使用空對空導(dǎo)彈命中對方戰(zhàn)機(jī)的概率也不盡相同．在一次演習(xí)中，紅方的甲、乙兩名優(yōu)秀飛行員發(fā)射一枚空對空導(dǎo)彈命中藍(lán)方戰(zhàn)機(jī)的概率分別為和，兩名飛行員各攜帶4枚空對空導(dǎo)彈．
(1)甲飛行員單獨(dú)攻擊藍(lán)方一架戰(zhàn)機(jī)，連續(xù)不斷地發(fā)射導(dǎo)彈攻擊，一旦命中或?qū)椨猛昙赐Ｖ构?，各次攻擊相互?dú)立，求甲飛行員能夠命中藍(lán)方戰(zhàn)機(jī)的概率？
(2)藍(lán)方機(jī)群共有8架戰(zhàn)機(jī)，若甲、乙共同攻擊（戰(zhàn)機(jī)均在攻擊范圍之內(nèi)，每枚導(dǎo)彈只攻擊其中一架戰(zhàn)機(jī)，甲，乙不同時攻擊同一架戰(zhàn)機(jī)）．
①若一輪攻擊中，每人只有兩次進(jìn)攻機(jī)會，記一輪攻擊中，擊中藍(lán)方戰(zhàn)機(jī)數(shù)為，求的分布列；
②若實(shí)施兩輪攻擊（用完攜帶的導(dǎo)彈），記命中藍(lán)方戰(zhàn)機(jī)數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)①分布列見解析；②數(shù)學(xué)期望為.
(1)
設(shè)甲、乙兩名飛行員發(fā)射的第枚導(dǎo)彈命中對方戰(zhàn)機(jī)分別為事件，，則，．
設(shè)甲飛行員能夠擊中藍(lán)方戰(zhàn)機(jī)為事件，則，所以
所以




(2)
解：①依題意的可能取值為，1，2，3，4，
則，
，
，
，
，
所以的分布列為

0
1
2
3
4






②記兩輪攻擊中：甲命中戰(zhàn)機(jī)數(shù)為，則，
乙命中戰(zhàn)機(jī)數(shù)為，則，
所以．
4．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）隨著網(wǎng)絡(luò)的快速發(fā)展，電子商務(wù)成為新的經(jīng)濟(jì)增長點(diǎn)，市場競爭也日趨激烈，除了產(chǎn)品品質(zhì)外，客服團(tuán)隊(duì)良好的服務(wù)品質(zhì)也是電子商務(wù)的核心競爭力，衡量一位客服工作能力的重要指標(biāo)——詢單轉(zhuǎn)化率，是指咨詢該客服的顧客中成交人數(shù)占比，可以看作一位顧客咨誨該客服后成交的概率，已知某網(wǎng)店共有10位客服，按詢單率分為A，B兩個等級（見下表）
等級
A
B
詢單轉(zhuǎn)化率
[70%，90%）
[50%，70%）
人數(shù)
6
4
視A，B等級客服的詢單轉(zhuǎn)化率分別為對應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值，完成下列兩個問題的解答；
(1)現(xiàn)從這10位客服中任意抽取4位進(jìn)行培訓(xùn)，求這4人的詢單轉(zhuǎn)化率的中位數(shù)不低于70%的概率；
(2)已知該網(wǎng)店日均咨詢顧客約為1萬人，為保證服務(wù)質(zhì)量，每位客服日接待顧客的數(shù)量不超過1300人.在網(wǎng)店的前期經(jīng)營中，進(jìn)店咨詢的每位顧客由系統(tǒng)等可能地安排給任一位客服接待，為了提升店鋪成交量，網(wǎng)店實(shí)施改革，經(jīng)系統(tǒng)調(diào)整，進(jìn)店咨詢的每位顧客被任一位A等級客服接待的概率為a，被任一位B等級客服接待的概率為b，若希望改革后經(jīng)咨詢?nèi)站山蝗藬?shù)至少比改革前增加300人，則a應(yīng)該控制在什么范圍？
【答案】(1)
(2)
（1）
依題意得：A，B等級客服的詢單轉(zhuǎn)化率分別為，
設(shè)事件C表示“這4人的詢單轉(zhuǎn)化率的中位數(shù)不低于70%”，
A等級客服的人數(shù)為X，則X的可能取值為0,1,2,3,4，
對應(yīng)每種情況的詢單轉(zhuǎn)化率中位數(shù)分別為，
故；
（2）
設(shè)改革前后A等級客服的接待顧客人數(shù)分別為Y，Z
改革前，每位進(jìn)店咨詢顧客被A等級客服接待的概率為，
所以，則，
因?yàn)锳，B等級客服的詢單轉(zhuǎn)化率分別為，
所以改革前日均成交人數(shù)為，
改革后，每位進(jìn)店咨詢顧客被A等級客服接待的概率為，
所以，則，
故改革后日均成交人數(shù)為，
由得：，①
因?yàn)槊课活櫩捅灰晃籄等級客服接待的概率為，所以每位顧客被一位B等級客服接待的概率為，
則，解得：，②
由①②得：，所以a應(yīng)該控制在
5．（2022·陜西·長安一中模擬預(yù)測（理））某校高三男生體育課上做投籃球游戲，兩人一組，每輪游戲中，每小組兩人每人投籃兩次，投籃投進(jìn)的次數(shù)之和不少于次稱為“優(yōu)秀小組”.小明與小亮同一小組，小明、小亮投籃投進(jìn)的概率分別為.
（1）若，，則在第一輪游戲他們獲“優(yōu)秀小組”的概率；
（2）若則游戲中小明小亮小組要想獲得“優(yōu)秀小組”次數(shù)為次，則理論上至少要進(jìn)行多少輪游戲才行？并求此時的值.
【答案】（1）；（2）理論上至少要進(jìn)行輪游戲..
【詳解】（1）由題可知，所以可能的情況有①小明投中1次，小亮投中2次；②小明投中2次，小亮投中1次；③小明投中2次，小亮投中2次.
故所求概率
（2）他們在一輪游戲中獲“優(yōu)秀小組”的概率為
因?yàn)?，所?br /> 因?yàn)?，，，所以，，?br /> 所以，令，以，則
當(dāng)時，，他們小組在輪游戲中獲“優(yōu)秀小組”次數(shù)滿足
由，則，所以理論上至少要進(jìn)行輪游戲.此時，，
6．（2022·全國·模擬預(yù)測）若某項(xiàng)賽事有16個隊(duì)伍參加，分成4個小組，記為1，2，3，4組，每個小組有1個一檔球隊(duì)，記為A，1個二檔球隊(duì)，記為B，2個三檔球隊(duì)，分別記為C，D．一檔隊(duì)伍勝三檔隊(duì)伍的概率為，二檔隊(duì)伍勝三檔隊(duì)伍的概率為，一檔隊(duì)伍勝二檔隊(duì)伍的概率為，同檔隊(duì)伍之間比賽勝對方的概率為．比賽采取單場淘汰制，勝者進(jìn)入下一輪，直至進(jìn)入決賽決出冠軍，對陣關(guān)系圖如下所示，第一輪一、二檔球隊(duì)都是對陣三檔球隊(duì)．

(1)分別求一、二、三檔球隊(duì)從小組勝出的概率；
(2)已知A1進(jìn)決賽的概率約為，B1進(jìn)決賽的概率約為，求一檔球隊(duì)奪冠的概率．
【答案】(1)，，
(2)
【詳解】（1）由對陣關(guān)系圖可得，在一個小組中，一檔球隊(duì)A從小組勝出先要贏三檔球隊(duì)C，概率為，再贏B和D比賽的勝者，
若B勝，A勝出的概率為，
若D勝，A勝出的概率為，
所以一檔球隊(duì)從小組勝出的概率為．
二檔球隊(duì)B從小組勝出先要贏三檔球隊(duì)D，概率為，再贏A和C比賽的勝者，
若A勝，B勝出的概率為，
若C勝，B勝出的概率為，
所以二檔球隊(duì)從小組勝出的概率為．
三檔球隊(duì)C從小組勝出先要贏一檔球隊(duì)A，概率為，再贏B和D比賽的勝者，
若B勝，C勝出的概率為，
若D勝，C勝出的概率為，
所以三檔球隊(duì)C從小組勝出的概率為；
三檔球隊(duì)D從小組勝出先要贏二檔球隊(duì)B，概率為，再贏A和C比賽的勝者，
若A勝，D勝出的概率為，
若C勝，D勝出的概率為，
所以三檔球隊(duì)D從小組勝出的概率為．
所以三檔球隊(duì)從小組勝出的概率為．
（2）由題可得A1進(jìn)決賽的概率為，所以A2進(jìn)決賽的概率也為，（關(guān)鍵：由對陣關(guān)系圖可知每個小組內(nèi)的比賽安排都是一樣的，所以同檔球隊(duì)進(jìn)入決賽的概率也相同）
所以對陣關(guān)系圖左邊是一檔球隊(duì)進(jìn)決賽的概率為，
同理對陣關(guān)系圖左邊是二檔球隊(duì)進(jìn)決賽的概率為，
所以對陣關(guān)系圖左邊是三檔球隊(duì)進(jìn)決賽的概率為，
對陣關(guān)系圖右邊的情況一樣．
現(xiàn)僅考慮A1奪冠的情況，A1要先進(jìn)決賽，概率為，再贏右邊進(jìn)決賽的球隊(duì)，
若右邊是一檔球隊(duì)進(jìn)決賽，A1勝出的概率為，
若右邊是二檔球隊(duì)進(jìn)決賽，A1勝出的概率為，
若右邊是三檔球隊(duì)進(jìn)決賽，A1勝出的概率為，
所以A1奪冠的概率為．
易知A2，A3，A4奪冠的概率和A1一樣，所以一檔球隊(duì)奪冠的概率為．
7．（2022·全國·模擬預(yù)測）某商店計(jì)劃七月份訂購某種飲品，進(jìn)貨成本為每瓶元，未售出的飲品降價(jià)處理，以每瓶元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.依經(jīng)驗(yàn)，零售價(jià)與日需求量依據(jù)當(dāng)天的溫度而定，當(dāng)氣溫時，零售價(jià)為每瓶元，日需求量為瓶；當(dāng)時，零售價(jià)為每瓶元，日需求量為瓶；當(dāng)時，零售價(jià)為每瓶元，日需求量為瓶.已知七月份每天氣溫的概率為，的概率為，的概率為.
(1)求七月份這種飲品一天的平均需求量；
(2)若七月份某連續(xù)三天每天的氣溫均不低于，求這三天銷售這種飲品的總利潤的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)瓶
(2)答案見解析
(1)
解：設(shè)七月份這種飲品的日需求量為，則的可能取值有、、，
由題意知，，，
所以，
故七月份這種飲品一天的平均需求量為瓶.
(2)
解：因?yàn)檫@三天每天的氣溫不低于，所以這三天這種飲品每天的需求量至多為瓶，至少為瓶，
設(shè)這三天每天的進(jìn)貨量為瓶，則，
當(dāng)時，日利；
當(dāng)時，日利潤.
由題意知七月份某一天的氣溫的概率，
所以的概率，的概率.
設(shè)這三天銷售這種飲品的總利潤為，
若這三天的氣溫都滿足，則，；
若這三天中有兩天的氣溫滿足，一天的氣溫滿足，
則，
；
若這三天中有一天的氣溫滿足，兩天的氣溫滿足，
則，
；
若這三天的氣溫都滿足，則，.
所以的分布列如下表所示：










故，其中.
8．（2022·四川·成都七中模擬預(yù)測（理））某企業(yè)研發(fā)了一種新藥，為評估藥物對目標(biāo)適應(yīng)癥患者的治療作用和安全性，需要開展臨床用藥試驗(yàn)，檢測顯示臨床療效評價(jià)指標(biāo)A的數(shù)量y與連續(xù)用藥天數(shù)x具有相關(guān)關(guān)系.隨機(jī)征集了一部分志愿者作為樣本參加臨床用藥試驗(yàn)，并得到了一組數(shù)據(jù)，，其中表示連續(xù)用藥i天，表示相應(yīng)的臨床療效評價(jià)指標(biāo)A的數(shù)值.根據(jù)臨床經(jīng)驗(yàn)，剛開始用藥時，指標(biāo)A的數(shù)量y變化明顯，隨著天數(shù)增加，y的變化趨緩.經(jīng)計(jì)算得到如下一些統(tǒng)計(jì)量的值：，，，，，其中.
(1)試判斷與哪一個適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型？并建立y關(guān)于x的回歸方程；
(2)新藥經(jīng)過臨床試驗(yàn)后，企業(yè)決定通過兩條不同的生產(chǎn)線每天8小時批量生產(chǎn)該商品，其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線的兩倍.若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品的概率為0.012，第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)不合格藥品約概率為0.009，兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)不合格藥品相互獨(dú)立.
（i）隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品，求該藥品不合格的概率；
（ii）若在抽查中發(fā)現(xiàn)不合格藥品，求該藥品來自第1條生產(chǎn)線的概率.
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.
【答案】(1)適宜，
(2)（i）；（ii）
（1）
剛開始用藥時，指標(biāo)A的數(shù)量y變化明顯，隨著天數(shù)增加，y的變化趨緩，故適宜作為y關(guān)于x的回歸方程類型.
令，得，于是，
因?yàn)?，，所以，?br /> 所以，，即；
（2）
（i）設(shè)“隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的藥品為不合格”，
“隨機(jī)抽取一件藥品為第1條生生產(chǎn)線生產(chǎn)”，
“隨機(jī)抽取一件藥品為第2條生生產(chǎn)線生產(chǎn)”，
則，，
又，，于是
.
（ii）.
突破四：概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列交匯
1．（2022·湖南師大附中高三階段練習(xí)）為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機(jī)抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：
性別
鍛煉
不經(jīng)常
經(jīng)常
女生
40
60
男生
20
80
(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；
(2)從這200人中隨機(jī)選擇1人，已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；
(3)為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，集團(tuán)設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的主題活動，在該活動的某次排球訓(xùn)練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求第次傳球后球在甲手中的概率.
附：

0.010
0.005
0.001

6.635
7.879
10.828
【答案】(1)可以認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，理由見解析
(2)
(3)
【詳解】（1），
故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；
（2）設(shè)從這200人中隨機(jī)選擇1人，設(shè)選到經(jīng)常鍛煉的學(xué)生為事件A，選到的學(xué)生為男生為事件B，
則，
則已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，他是男生的概率；
（3）設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為，，
則有，，
設(shè)，則，
所以，解得：，
所以，其中，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
故，
故第次傳球后球在甲手中的概率為.
2．（2022·全國·模擬預(yù)測）某學(xué)校開展投籃活動，活動規(guī)則是：每名選手投籃次（，），每次投籃，若投進(jìn)，則下一次站在三分線處投籃；若沒有投進(jìn)，則下一次站在兩分線處投籃．規(guī)定每名選手第一次站在兩分線處投籃．站在兩分線處投進(jìn)得2分，否則得0分；站在三分線處投進(jìn)得3分，否則得0分．已知小明站在兩分線處投籃投進(jìn)的概率為0.7，站在三分線處投籃投進(jìn)的概率為0.5，且每次投籃相互獨(dú)立．
(1)記小明前2次投籃累計(jì)得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)記第次投籃時，小明站在三分線處投籃的概率為，，2，…，，求的表達(dá)式．
【答案】(1)分布列見解析，
(2)
(1)
依題意，的所有可能取值為，，．
記“小明第次投籃站在兩分線處并且投進(jìn)”為事件，，，
“小明第2次投籃站在三分線處并且投進(jìn)”為事件．
；
；
．
所以的分布列為









所以．
(2)
由題意知，．
當(dāng)時，分兩種情形：
①若小明第次投籃站在三分線處，這種情形下小明第次投籃站在三分線處的概率為；
②若小明第次投籃站在兩分線處，這種情形下小明第次投籃站在三分線處的概率為．
所以，
所以，
由題易知，
當(dāng)時，也成立，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
所以，即．
3．（2022·全國·高二單元測試）某超市開展購物抽獎送積分活動，每位顧客可以參加（，且）次抽獎，每次中獎的概率為，不中獎的概率為，且各次抽獎相互獨(dú)立．規(guī)定第1次抽獎時，若中獎則得10分，否則得5分．第2次抽獎，從以下兩個方案中任選一個；
方案① ：若中獎則得30分，否則得0分；
方案② ：若中獎則獲得上一次抽獎得分的兩倍，否則得5分．
第3次開始執(zhí)行第2次抽獎所選方案，直到抽獎結(jié)束．
(1)如果，以抽獎的累計(jì)積分的期望值為決策依據(jù)，顧客甲應(yīng)該選擇哪一個方案？并說明理由；
(2)記顧客甲第i次獲得的分?jǐn)?shù)為，并且選擇方案②．請直接寫出與的遞推關(guān)系式，并求的值．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：．）
【答案】(1)應(yīng)選擇方案① ，理由見解析；
(2)，
（1）
若甲第2次抽獎選方案①，兩次抽獎累計(jì)積分為，則的可能取值為40，35，10，5．????
，，
，，
所以．???????
若甲第2次抽獎選方案②，兩次抽獎累計(jì)積分為，則的可能取值為30，15，10，
則，，，，????
因?yàn)?，所以?yīng)選擇方案①．
（2）
依題意得，??????
的可能取值為10，5其分布列為

10
5
P


所以，則，????
由得，?????
所以為等比數(shù)列．其中首項(xiàng)為，公比為．?????
所以，故．
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）安慶市某學(xué)校高三年級開學(xué)之初增加晚自習(xí)，晚飯?jiān)谛Ｊ程镁筒腿藬?shù)增多，為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計(jì)調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是25%?選擇餐廳乙就餐的概率為75%，前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概率是50%?選擇餐廳甲就餐的概率也為50%，如此往復(fù).假設(shè)學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第n天選擇甲餐廳就餐的概率為.
（1）記某班級的3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X，求X的分布列，并求E(X)；
（2）請寫出與的遞推關(guān)系；
（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式并幫助學(xué)校解決以下問題：為提高學(xué)生服務(wù)意識和團(tuán)隊(duì)合作精神，學(xué)校每天從20個班級中每班抽調(diào)一名學(xué)生志愿者為全體學(xué)生提供就餐服務(wù)工作，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請說明理由.
【答案】（1）分布列答案見解析，；
（2）；
（3）分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)8人和12人，理由見解析.
【詳解】（1）某同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的概率，
某同學(xué)第二天選擇餐廳乙就餐的概率，
位同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的人數(shù)為，則.
，
的分布列為

0
1
2
3





故.
（2）依題意，，即.
（3）由（2）知，則當(dāng)時，可得，
數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列.
，即.
，
所以，分配到餐廳甲的志愿者人數(shù)為，分配到餐廳乙的志愿者人數(shù)為.
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））某商場擬在年末進(jìn)行促銷活動，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券“的活動，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點(diǎn)數(shù)不超2點(diǎn)，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計(jì)得分為19分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計(jì)得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行20輪游戲．
（1）當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時，總分為X，求X的期望；
（2）若累計(jì)得分為i的概率為，（初始得分為0分，）．
①證明數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是等比數(shù)列；
②求活動參與者得到紀(jì)念品的概率．
【答案】（1）5；（2）①證明見解析；②．
【詳解】（1）由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，設(shè)進(jìn)行完3輪游戲時，得1分的次數(shù)為，所以，，而，即隨機(jī)變量X可能取值為3，4，5，6，
，，
，．
∴X的分布列為：
X
3
4
5
6
P




E（X）＝＝5．
（2）①證明：n＝1，即累計(jì)得分為1分，是第1次擲骰子，向上點(diǎn)數(shù)不超過2點(diǎn)，，則，累計(jì)得分為i分的情況有兩種：
（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累計(jì)得i﹣2分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)超過2點(diǎn)，其概率為，
（Ⅱ）累計(jì)得分為i﹣1分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)沒超過2點(diǎn)，得1分，其概率為，
∴，∴，（i＝2，3，???，19），∴數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是首項(xiàng)為﹣，公比為﹣的等比數(shù)列．
②∵數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是首項(xiàng)為﹣，公比為﹣的等比數(shù)列，
∴，
∴，，???，，
各式相加，得：，
∴，（i＝1，2，???，19），
∴活動參與者得到紀(jì)念品的概率為：
．
6．（2022·全國·高二期末）為落實(shí)《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時代學(xué)校體育工作的意見》，完善學(xué)校體育“健康知識＋基本運(yùn)動技能＋專項(xiàng)運(yùn)動技能”教學(xué)模式，建立“校內(nèi)競賽－校級聯(lián)賽－選拔性競賽－國際交流比賽”為一體的競賽體系，構(gòu)建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國家五級學(xué)校體育競賽制度．某校開展“陽光體育節(jié)”活動，其中傳統(tǒng)項(xiàng)目“定點(diǎn)踢足球”深受同學(xué)們喜愛．其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行足球定點(diǎn)踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，且各次踢球互不影響．
（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為，求的數(shù)學(xué)期望；
（2）若經(jīng)過輪踢球，用表示經(jīng)過第輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求，，；
②規(guī)定，且有，請根據(jù)①中，，的值求出、，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】（1）；（2）①，，；②，.
【詳解】（1）記一輪踢球，甲命中為事件，乙命中為事件，，相互獨(dú)立．
由題意，，甲的得分的可能取值為，0，1．
，
．
，
∴的分布列為：


0
1




．
（2）①由（1），

．
經(jīng)過三輪踢球，甲累計(jì)得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得0分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分，1輪得分．
∴，
②∵規(guī)定，且有，
∴代入得：，
∴，∴數(shù)列是等比數(shù)列，
公比為，首項(xiàng)為，∴．
∴．
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知正三角形，某同學(xué)從點(diǎn)開始，用擦骰子的方法移動棋子，規(guī)定：①每擲一次骰子，把一枚棋子從三角形的一個頂點(diǎn)移動到另一個頂點(diǎn)；②棋子移動的方向由擲骰子決定，若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)大于3，則按逆時針方向移動：若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)不大于3，則按順時針方向移動.設(shè)擲骰子次時，棋子移動到，，處的概率分別為：，，，例如：擲骰子一次時，棋子移動到，，處的概率分別為，，
（1）擲骰子三次時，求棋子分別移動到，，處的概率，，；
（2）記，，，其中，，求.
【答案】（1），，；（2）.
【詳解】（1），
所以

所以

所以
（2）∵，即，，
又，
∴時
又∵，可得
由
可得數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列
，即
又
故
8．（2022·全國·高三階段練習(xí)）當(dāng)今世界環(huán)境污染已經(jīng)成為各國面臨的一大難題，其中大氣污染是目前城市急需應(yīng)對的一項(xiàng)課題.某市號召市民盡量減少開車出行以綠色低碳的出行方式支持節(jié)能減排.原來天天開車上班的王先生積極響應(yīng)政府號召，準(zhǔn)備每天從騎自行車和開車兩種出行方式中隨機(jī)選擇一種方式出行.從即日起出行方式選擇規(guī)則如下：第一天選擇騎自行車方式.上班，隨后每天用“一次性拋擲4枚均勻硬幣”的方法確定出行方式，若得到的正面朝，上的枚數(shù)小于3，則該天出行方式與前一天相同，否則選擇另一種出行方式.
（1）求王先生前三天騎自行車上班的天數(shù)X的分布列；
（2）由條件概率我們可以得到概率論中一個很重要公式—全概率公式.其特殊情況如下：如果事件，相互對立并且，則對任一事件B有.設(shè)表示事件“第n天王先生上班選擇的是騎自行車出行方式”的概率.
①用表示；
②請問王先生的這種選擇隨機(jī)選擇出行方式有沒有積極響應(yīng)該市政府的號召？請說明理由.
【答案】（1）分布列答案見解析；（2）①；②王先生積極響應(yīng)該市政府的號召，理由見解析.
【詳解】（1）設(shè)一次性拋擲4枚均勻的硬幣得到正面向上的枚數(shù)為，則，
，，
由已知隨機(jī)變量X的可能取值為1，2，3；
；
；
.
所以隨機(jī)變量X的分布列為
X
1
2
3
P



（2）①設(shè)表示事件“第天王先生選擇的是騎自行車出行方式”，表示事件“第n天王先生選擇的是騎自行車出行方式”，由全概率公式知.
所以.
②由①知，，
又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，.
因?yàn)楹愠闪?，所以王先生每天選擇騎自行車出行方式的概率始終大于選擇開車出行方式，從長期來看，王先生選擇騎自行車出行方式的次數(shù)多于選擇開車出行方式的次數(shù)是大概率事件，所以王先生積極響應(yīng)該市政府的號召.
突破五：概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)交匯
1．（2022·上海市光明中學(xué)高三期中）汽車尾氣排放超標(biāo)是全球變暖、海平面上升的重要因素.我國近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：
年份t
2017
2018
2019
2020
2021
年份代碼x（）
1
2
3
4
5
銷量y/萬輛
10
12
17
20
26
(1)統(tǒng)計(jì)表明銷量y與年份代碼x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，利用計(jì)算器求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；
(2)為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)200位購車車主的購車情況作為樣本，其中男性車主中購置傳統(tǒng)燃油汽車的有w名，購置新能源汽車的有45名，女性車主中有20名購置傳統(tǒng)燃油汽車.
①若，將樣本中購置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計(jì)總體，試用（1）中的線性回歸方程預(yù)測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的女性車主的人數(shù)（假設(shè)每位車主只購買一輛汽車，結(jié)果精確到千人）；
②設(shè)男性車主中購置新能源汽車的概率為p，將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查的所有男性車主中隨機(jī)抽取5人，記恰有3人購置新能源汽車的概率為，求當(dāng)w為何值時，最大.
【答案】(1)；2028年
(2)① 15.5萬人 ② 30
【詳解】（1）（1）解：由題意得,
，
，．
所以，．
所以關(guān)于的線性回歸方程為，
令，得，
所以最小的整數(shù)為12，，
所以該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在2028年能突破50萬輛．
（2）解：①由題意知，該地區(qū)200名購車者中女性有名，
故其中購置新能源汽車的女性車主的有名．
所購置新能源汽車的車主中，女性車主所占的比例為．
所以該地區(qū)購置新能源汽車的車主中女性車主的概率為．
當(dāng)時，，
所以預(yù)測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的銷量為33萬輛，
因此預(yù)測該地區(qū)2020年購置新能源汽車的女性車主的人數(shù)為萬人
②由題意知，，
則，

，
當(dāng)時，知所以函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，知所以函數(shù)單調(diào)遞減
所以當(dāng)取得最大值．
此時，解得，
所以當(dāng)時，取得最大值．
2．（2022·廣東·廣州市從化區(qū)第三中學(xué)高三階段練習(xí)）汽車尾氣排放超標(biāo)是全球變暖、海平面上升的重要因素．我國近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代碼
1
2
3
4
5
銷量萬輛
10
12
17
20
26
(1)統(tǒng)計(jì)表明銷量與年份代碼有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；
(2)為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)心隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)200位購車車主的購車情況作為樣本其中男性車主中購置傳統(tǒng)燃油汽車的有名，購置新能源汽車的有45名，女性車主中有20名購置傳統(tǒng)燃油汽車．
①若，將樣本中購置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計(jì)總體，試用（1）中的線性回歸方程預(yù)測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的女性車主的人數(shù)（假設(shè)每位車主只購買一輛汽車，結(jié)果精確到千人）；
②設(shè)男性車主中購置新能源汽車的概率為，將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查的所有男性車主中隨機(jī)抽取5人，記恰有3人購置新能源汽車的概率為，求當(dāng)為何值時，最大．
附： 為回歸方程，，．
【答案】(1)，2028年
(2)①萬人；②
【詳解】（1）解：由題意得 ，，
，．
所以，．
所以關(guān)于的線性回歸方程為，令，得，
所以最小的整數(shù)為12，，
所以該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在2028年能突破50萬輛．
（2）解：①由題意知，該地區(qū)200名購車者中女性有名，
故其中購置新能源汽車的女性車主的有名．
所購置新能源汽車的車主中，女性車主所占的比例為．
所以該地區(qū)購置新能源汽車的車主中女性車主的概率為．
預(yù)測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的銷量為33萬輛，
因此預(yù)測該地區(qū)2020年購置新能源汽車的女性車主的人數(shù)為萬人
②由題意知，，則


當(dāng)時，知所以函數(shù)單調(diào)遞增
當(dāng)時，知所以函數(shù)單調(diào)遞減
所以當(dāng)取得最大值．
此時，解得，所以當(dāng)時取得最大值．
3．（2022·山東青島·高二期末）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代…，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的，且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．
(1)已知，，，，求；
(2)設(shè)表示該生物臨近滅絕的概率，當(dāng)時，證明：p是關(guān)于x的方程的最小正實(shí)根．
【答案】(1)1.1
(2)證明見解析
(1)
由題知：，
(2)
因?yàn)?br /> 所以，p是方程的正實(shí)根
令，則
令，所以當(dāng)時，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增
又因?yàn)椋?br /> 當(dāng)時，
所以存在，使得
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；
又因?yàn)椋?br /> 所以在上存在唯一零點(diǎn)，
綜上，所以p是方程的最小正實(shí)根
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））為紀(jì)念中國共產(chǎn)黨成立100周年，加深青少年對黨的歷史、黨的知識、黨的理論和路線方針的認(rèn)識，激發(fā)愛黨愛國熱情，堅(jiān)定走新時代中國特色社會主義道路的信心，某校舉辦了黨史知識競賽．競賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別答3道題，若答對題目不少于5道題，則獲得一個積分．已知甲乙兩名同學(xué)一組，甲同學(xué)和乙同學(xué)對每道題答對的概率分別是和，且每道題答對與否互不影響．
（1）若，，求甲乙同學(xué)這一組在一輪競賽中獲得一個積分的概率；
（2）若，且每輪比賽互不影響，若甲乙同學(xué)這一組想至少獲得5個積分，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪競賽？
【答案】（1）；（2）15
【詳解】（1）假設(shè)甲和乙答對的題目個數(shù)分別為和，
故所求概率
，
所以甲乙同學(xué)這一組在一輪競賽中獲得一個積分的概率為；
（2）由（1）得
，
整理得，
因?yàn)榍?，所以?br /> 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，
令，則，
所以，則，
當(dāng)時，，則當(dāng)時，，
甲乙兩同學(xué)在輪比賽中獲得的積分?jǐn)?shù)滿足，
所以由，即解得，
因?yàn)闉檎麛?shù)，所以至少為15，
所以若甲乙同學(xué)這一組想至少獲得5個積分，那么理論上至少要進(jìn)行15輪競賽.
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））某公司研發(fā)了一種幫助家長解決孩子早教問題的萌寵機(jī)器人.萌寵機(jī)器人語音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找到寶寶想聽的內(nèi)容.同時提供快樂兒歌、國學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語等早期教育內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以持續(xù)更新.萌寵機(jī)器人一投放市場就受到了很多家長歡迎.為了更好地服務(wù)廣大家長，該公司研究部門從流水線上隨機(jī)抽取100件萌寵機(jī)器人（以下簡稱產(chǎn)品），統(tǒng)計(jì)其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：

產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合托班幼兒使用（簡稱A類產(chǎn)品），在的適合小班和中班幼兒使用（簡稱B類產(chǎn)品），在的適合大班幼兒使用（簡稱C類產(chǎn)品），A，B，C，三類產(chǎn)品的銷售利潤分別為每件1.5，3.5，5.5（單位：元）.以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.
（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤；
（2）該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用（單位：萬元）對年銷售量（單位：萬件）的影響，對近5年的年?duì)I銷費(fèi)用，和年銷售量數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.




16.30
24.87
0.41
1.64
表中，，，.
根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，可以作為年銷售量（萬件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用（萬元）的回歸方程.
（i）建立關(guān)于的回歸方程；
（ii）用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？
（收益=銷售利潤-營銷費(fèi)用，取）.
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.
【答案】（1）每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為4元（2）（i）（ii）該廠應(yīng)投入256萬元營銷費(fèi).
【詳解】（1）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤為元，則的所有可能取值為1.5，3.5，5.5，
由直方圖可得，，，三類產(chǎn)品的頻率分別為0.15、0.45、0.4，
所以，，，，
所以隨機(jī)變量的分布列為：

1.5
3.5
5.5

0.15
0.45
0.4
所以，，
故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為4元；
（2）（i）由得，，
令，，，則，
由表中數(shù)據(jù)可得，，
則，
所以，，
即，
因?yàn)?，所以?br /> 故所求的回歸方程為；
（ii）設(shè)年收益為萬元，則，
設(shè)，，
則，
當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)，即時，有最大值為768，
即該廠應(yīng)投入256萬元營銷費(fèi)，能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大768萬元.
6．（2022·全國·高二專題練習(xí)）在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩、防護(hù)服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國際社會上贏得一片贊譽(yù)．我國某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時，狠抓質(zhì)量管理，不定時抽查口罩質(zhì)量，該廠質(zhì)檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖．

（1）規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級口罩．現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8個口罩，再從中抽取3個，求恰好取到一級口罩個數(shù)為的概率；
（2）在2020年“五一”勞動節(jié)前，甲、乙兩人計(jì)劃同時在該型號口罩的某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上分別參加A、B兩店各一個訂單“秒殺”搶購，其中每個訂單由個該型號口罩構(gòu)成．假定甲、乙兩人在A、B兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，，記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數(shù)量、口罩總數(shù)量分別為，．
①求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
②求當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)期望取最大值時正整數(shù)的值．
【答案】（1）；（2）①分布列見解析，數(shù)學(xué)期望；②6．
【詳解】（1）按分層抽樣抽取8個口罩，則其中二級、一級口罩個數(shù)分別為6、2，
所以恰好取到一級口罩個數(shù)為2的概率．
（2）①由題知，X的可能取值為0，1，2，
；
；
．
所以X的分布列為

0
1
2





．
②因?yàn)?，所以?br /> 令，設(shè)，則，
因?yàn)?br /> 所以當(dāng)時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；
所以當(dāng)即時取最大值，所以．
所以取最大值時，n的值為6．
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴(yán)重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)的新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀?發(fā)熱?咳嗽?氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎?嚴(yán)重急性呼吸綜合征?腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：
方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次.
方式二：混合檢驗(yàn)，將其中且k≥2)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗(yàn)，此時這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為k+1.
假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p(0

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