?第1講　統(tǒng)計(jì)和統(tǒng)計(jì)案例
目錄
第一部分：知識(shí)強(qiáng)化
第二部分：重難點(diǎn)題型突破
突破一：隨機(jī)數(shù)表法
突破二：分層抽樣
突破三：頻率分布直方圖
突破四：平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差，標(biāo)準(zhǔn)差
突破五：總體百分位數(shù)
突破六：回歸直線方程
突破七：相關(guān)系數(shù)
突破八：殘差
突破九：非線性回歸
突破十：獨(dú)立性檢驗(yàn)
第三部分：沖刺重難點(diǎn)特訓(xùn)
第一部分：知識(shí)強(qiáng)化
1、總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)
（1）總體平均數(shù)
一般地，總體中有個(gè)個(gè)體，它們的變量值分別為，，…，
則稱為總體均值，又稱總體平均數(shù).
（2）加權(quán)平均數(shù)
如果總體的個(gè)變量值中,不同的值共有()個(gè),不妨記為,,…,,其中出現(xiàn)的頻數(shù)(),則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式：.
（3）樣本平均數(shù)
如果從總體中抽取一個(gè)容量為的樣本，它們的變量值分別為，，…，

則稱為樣本均值，又稱樣本平均數(shù).
2、分層隨機(jī)抽樣的步驟
①根據(jù)己經(jīng)掌握的信息，將總體分成互不相交的層；
②根據(jù)總體中的個(gè)體數(shù)和樣本量計(jì)算抽樣比；
③確定第層應(yīng)該抽取的個(gè)體數(shù)目（為第層所包含的個(gè)體數(shù)），使得各之和為；
④在各個(gè)層中，按步驟③中確定的數(shù)目在各層中隨機(jī)抽取個(gè)體，合在一起得到容量為的樣本.
3、繪制頻率分布直方圖的步驟及頻率分布直方圖的性質(zhì)
①求極差，即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差．
②決定組距與組數(shù)．組距與組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)，一般數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)越多，所分組數(shù)越多．當(dāng)樣本容量不超過100時(shí)，常分成5～12組．為方便起見，一般取等長組距，并且組距應(yīng)力求“取整”．
③將數(shù)據(jù)分組．
④列頻率分布表．計(jì)算各小組的頻率，第組的頻率是.
⑤畫頻率分布直方圖．其中橫軸表示分組，縱軸表示.實(shí)際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的高度，它反映了各組樣本觀測數(shù)據(jù)的疏密程度．
4、第百分位數(shù)
（1）第百分位數(shù)的概念
一般地，一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.
（2）計(jì)算第p百分位數(shù)的步驟
第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).
第2步，計(jì)算.
第3步，若不是整數(shù)，而大于的比鄰整數(shù)為,則第百分位數(shù)為第項(xiàng)數(shù)據(jù)；
若是整數(shù)，則第百分位數(shù)為第項(xiàng)與第項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).
5、總體集中趨勢的估計(jì)
（1）平均數(shù)
①定義：一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)的商.數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為.
②特征：平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表該組數(shù)據(jù)的平均水平，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的變化，這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì).所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計(jì)總體時(shí)的可靠性降低.
（2）眾數(shù)
①定義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻率分布最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。
②特征：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個(gè)，也可能沒有，反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.
（3）中位數(shù)
①定義：一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺懦梢涣?，處于最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)）或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)）稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
②特征：一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的，反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.
6、在頻率分布直方圖中平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的估計(jì)值
(1)平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個(gè)小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和近似代替.
(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等.
(3)眾數(shù)：眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù).
7、總體離散程度的估計(jì)
（1）極差
一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差稱為極差.
（2）方差與標(biāo)準(zhǔn)差
一組數(shù)據(jù)，，，，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
則這組數(shù)據(jù)的方差：；
標(biāo)準(zhǔn)差：
（3）總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差
如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為,,總體平均數(shù)為，則稱
為總體方差，為總體標(biāo)準(zhǔn)差．
（4）樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差
如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為，，，樣本平均數(shù)為，則稱
為樣本方差，為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．
（5）加權(quán)方差
如果總體的個(gè)變量值中，不同的值共有()個(gè)，記為,,，其中出現(xiàn)的頻數(shù)為()，則總體方差為.
8、相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱
（1）樣本相關(guān)系數(shù)
現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)，由于度量對(duì)象和單位的不同等，數(shù)值會(huì)有大有小，為了去除這些因素的影響，統(tǒng)計(jì)學(xué)里一般用來衡量與的線性相關(guān)性強(qiáng)弱，我們稱為變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù).
（2）相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)
①當(dāng)時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān);當(dāng)時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系.
②樣本相關(guān)系數(shù)的取值范圍為
當(dāng)越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng);
當(dāng)越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.
9、一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘法
回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心，是回歸直線方程最常用的一個(gè)特征；
我們將稱為關(guān)于的線性回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線。這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估計(jì),其中稱為回歸系數(shù)，它實(shí)際上也就是經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率，為截距.
其中
10、殘差
對(duì)于響應(yīng)變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差.
11、決定系數(shù)
（1）殘差平方和
殘差平方和，殘差平方和越小，模型擬合效果越好，殘差平方和越大，模型擬合效果越差.
（2）決定系數(shù)
決定系數(shù)是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)，在線性模型中，它代表解釋變量客戶預(yù)報(bào)變量的能力.
，越大，即擬合效果越好，越小，模型擬合效果越差.
12、分類變量與列聯(lián)表
(1)分類變量
為了方便,會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量,區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這隨機(jī)變量稱為分類變量.
(2)列聯(lián)表
①2×2列聯(lián)表給出了兩個(gè)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)．
②定義一對(duì)分類變量和，我們整理數(shù)據(jù)如下表所示：


合計(jì)










合計(jì)



知識(shí)點(diǎn)2：獨(dú)立性檢驗(yàn)
(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)定義:
利用的取值推斷分類變量和是否獨(dú)立的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”．簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn)．
(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)公式：
其中（注意使用公式時(shí)分子的平方不要忽略了）
第二部分：重難點(diǎn)題型突破
突破一：隨機(jī)數(shù)表法
1．（2022·廣東·博羅縣榕城中學(xué)高一階段練習(xí)）從800件產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)檢，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將800件產(chǎn)品按001，002，…，800進(jìn)行編號(hào)．如果從隨機(jī)數(shù)表第8行第8列的數(shù)開始往右讀數(shù)（隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行的數(shù)如下），則抽取的6件產(chǎn)品的編號(hào)的75%分位數(shù)是（????）
……
8442175331??5724550688??77047447672176335025??8392120676
6301637859??1695566711??69105671751286735807??4439523879
3321123429??7864560782??52420744381551001342??9966027954
A．105 B．556 C．671 D．169
【答案】C
【詳解】由題設(shè)，依次讀取的編號(hào)為，
根據(jù)編號(hào)規(guī)則易知：抽取的6件產(chǎn)品編號(hào)為，
所以將它們從小到大排序?yàn)椋?br /> 故，所以75%分位數(shù)為.
故選：C
2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）“雙色球”彩票中有33個(gè)紅色球，每個(gè)球的編號(hào)分別為01，02，…，33．一位彩民用隨機(jī)數(shù)表法選取6個(gè)號(hào)碼作為6個(gè)紅色球的編號(hào)，選取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)表中第1行第5列和第6列的數(shù)字開始，從左向右讀數(shù)，則依次選出來的第5個(gè)紅色球的編號(hào)為
7816
6572
0802
6314
0214
4319
9714
0198
3204
9234
4936
8200
3623
4869
6938
7181
A．01 B．02 C．14 D．19
【答案】A
【詳解】分析：根據(jù)隨機(jī)數(shù)表，依次進(jìn)行選擇即可得到結(jié)論．
詳解：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字中小于33的編號(hào)
去除重復(fù)，可知對(duì)應(yīng)的數(shù)值為08，02，14，19，01，04；
則第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為01．
故選A．
3．（2022·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測（理））某公司利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的900支新冠疫苗進(jìn)行抽樣測試，先將疫苗按000，001，…，899進(jìn)行編號(hào)，從中抽取90個(gè)樣本，若選定從第4行第4列的數(shù)開始向右讀數(shù)，（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表中的第3行至第5行），根據(jù)下圖，讀出的第6個(gè)數(shù)的編號(hào)是（????）
1676622766??????5650267107??????3290797853????????1355385859????????8897541410
1256859926??????9682731099??????1696729315????????5712101421????????8826498176
5559563564??????3854824622??????3162430990????????0618443253????????2383013030
A．827 B．315 C．696 D．729
【答案】B
【詳解】從685開始向右數(shù)，即685，992，696，827，310，991，696，729，315，跳過992，991，696重復(fù)，跳過，所以第6個(gè)數(shù)字為315
故選：B
4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）福利彩票“雙色球”中紅色球由編號(hào)為01，02，…，33的33個(gè)個(gè)體組成，某彩民利用下面的隨機(jī)數(shù)表（下表是隨機(jī)數(shù)表的第一行和第二行）選取6個(gè)紅色球，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表中第1行的第6列和第7列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第3個(gè)紅色球的編號(hào)為______.
49??54??43??54??82??17??37??93??23??28??87??35??20??56??43??84??26??34??91??64
57??24??55??06??88??77??04??74??47??67??21??76??33??50??25??83??92??12??06??76
【答案】05
【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表，排除超過33及重復(fù)的編號(hào)，第一個(gè)編號(hào)為21，第二個(gè)編號(hào)為32，第三個(gè)編號(hào)05，故選出來的第3個(gè)紅色球的編號(hào)為05.
5．（2022·山西太原·三模（文））設(shè)某總體是由編號(hào)為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第3列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第6個(gè)個(gè)體編號(hào)為___________.

【答案】19
【詳解】解：由隨機(jī)數(shù)的抽樣規(guī)則得：依次選取的樣本編號(hào)為：，
故選出來的第6個(gè)個(gè)體編號(hào)為.
故答案為：
突破二：分層抽樣
1．（2022·河南·開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測（文））為了貫徹落實(shí)中央新疆工作座談會(huì)和全國對(duì)口支援新疆工作會(huì)議精神，促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，從A市20名教師?B市15名教師和C市10名教師中，采取分層抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為n的樣本，若A市抽取4人，則（????）
A．9 B．10 C．12 D．15
【答案】A
【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義可得，解得.
故選：A.
2．（2022·新疆烏魯木齊·二模（理））從某中學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高數(shù)據(jù)（單位cm）繪制成頻率分布直方圖，若要從身高在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取16人參加一次活動(dòng).則從身高在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為（????）

A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】B
【詳解】依題意，解得，
身高在，，三組內(nèi)的學(xué)生比例為，
用分層抽樣的方法選取16人參加一次活動(dòng),
則從身高在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為人
故選：B
3．（2022·廣西河池·模擬預(yù)測（文））雅言傳承文明，經(jīng)典浸潤人生，南寧市某校每年舉辦“品經(jīng)誦典浴書香，提雅增韻享閱讀”中華經(jīng)典誦讀大賽，比賽內(nèi)容有三類：“誦讀中國”、“詩教中國”、“筆墨中國”．已知高一、高二、高三報(bào)名人數(shù)分別為：100人、150人和250人．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從三個(gè)年級(jí)中抽取25人組成校代表隊(duì)參加市級(jí)比賽，則應(yīng)該從高一年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為______．
【答案】5
【詳解】根據(jù)題意可得：高一、高二、高三報(bào)名人數(shù)之比為，
故從高一年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為.
故答案為：5.
4．（2022·全國·模擬預(yù)測）“中國式過馬路”是網(wǎng)友對(duì)部分中國人集體闖紅燈現(xiàn)象的一種調(diào)侃，即“湊夠一撮人就可以走了，和紅綠燈無關(guān)．”出現(xiàn)這種現(xiàn)象是大家受法不責(zé)眾的“從眾”心理影響，從而不顧及交通安全，某校對(duì)全校學(xué)生過馬路方式進(jìn)行調(diào)查，在所有參與調(diào)查的人中，“跟從別人闖紅燈”“從不闖紅燈”“帶頭闖紅燈”人數(shù)如表所示．

跟從別人闖紅燈
從不闖紅燈
帶頭闖紅燈
男生
600
1000
200
女生
400
650
300
用分層抽樣的方法從“帶頭闖紅燈”的人中抽取10人參加“文明交通”宣傳活動(dòng)，從這10人中任選取3人，則這三人性別不完全相同的概率為______．
【答案】##0.8
【詳解】由題可知“帶頭闖紅燈”的人中男生與女生的比例為，
所以抽取的10人中，男生有（人），女生有（人），
則這三人中性別不完全相同的概率為．
故答案為：
5．（2022·山東聊城·二模）如圖是調(diào)查某學(xué)校高一年級(jí)男、女學(xué)生是否喜歡徒步運(yùn)動(dòng)而得到的等高條形圖，陰影部分表示喜歡徒步的頻率.已知該年級(jí)男生500人、女生400名（假設(shè)所有學(xué)生都參加了調(diào)查），現(xiàn)從所有喜歡徒步的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取23人，則抽取的男生人數(shù)為______．

【答案】15
【詳解】根據(jù)等高條形圖可知: 喜歡徒步的男生人數(shù)為,喜歡徒步的女生人數(shù)為,
所以喜歡徒步的總?cè)藬?shù)為,
按分層抽樣的方法抽取23人,則抽取的男生人數(shù)為人.
故答案為:15
6．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測（理））某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二 人、高三人中，抽取人進(jìn)行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為，那么高三被抽取的人數(shù)為_______．
【答案】
【詳解】由分層抽樣的知識(shí)可得，即，所以高三被抽取的人數(shù)為，應(yīng)填答案．
突破三：頻率分布直方圖
1．（2022·四川省遂寧市第二中學(xué)校模擬預(yù)測（文））在某次高中學(xué)科競賽中，名考生的參賽成績統(tǒng)計(jì)如圖所示，分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表，則下列說法中有誤的是（????）

A．成績?cè)诜值目忌藬?shù)最多 B．考生競賽成績的中位數(shù)為分
C．不及格的考生人數(shù)為人 D．考生競賽成績的平均分約分
【答案】B
【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖得，成績出現(xiàn)在的頻率最大，所以成績?cè)诜值目忌藬?shù)最多，故A正確；
由于 ，
，
故考生競賽成績的中位數(shù)為 ，故B錯(cuò)誤；
不及格考生數(shù)為 ，故C正確；
根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)考生競賽成績平均分為 ，故D正確。
故選：B．
2．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）光明學(xué)校為了解男生身體發(fā)育情況，從2000名男生中抽查了100名男生的體重情況，根據(jù)數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，下列說法中錯(cuò)誤的是（????）

A．樣本的眾數(shù)約為 B．樣本的中位數(shù)約為
C．樣本的平均值約為66 D．體重超過75kg的學(xué)生頻數(shù)約為200人
【答案】C
【詳解】對(duì)于，樣本的眾數(shù)為，故正確，
對(duì)于，設(shè)樣本的中位數(shù)為，則，
解得，故正確，
對(duì)于，由直方圖估計(jì)樣本平均值可得：
，故錯(cuò)誤，
對(duì)于，2000名男生中體重超過的人數(shù)大約為，故正確．
故選：．
3．（2022·天津·靜海一中模擬預(yù)測）某校隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（????）

A．直方圖中x的值為0.040
B．在被抽取的學(xué)生中，成績?cè)趨^(qū)間的學(xué)生數(shù)為30人
C．估計(jì)全校學(xué)生的平均成績?yōu)?4分
D．估計(jì)全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為93分
【答案】C
【詳解】定義A：根據(jù)學(xué)生的成績都在50分至100分之間的頻率和為1，可得，解得x=0.03，所以A錯(cuò)；
對(duì)于B：在被抽取的學(xué)生中，成績?cè)趨^(qū)間[70，80)的學(xué)生數(shù)為10×0.015×400=60(人)，所以B錯(cuò)；對(duì)于C：估計(jì)全校學(xué)生的平均成績?yōu)?5×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84(分)，所以C對(duì)；
對(duì)于D：全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為 (分).
所以D錯(cuò).
故選：C
4．（2022·安徽·模擬預(yù)測（文））某校開展“正心立德，勞動(dòng)樹人”主題教育活動(dòng)，對(duì)參賽的100名學(xué)生的勞動(dòng)作品的得分情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中信息，下列說法錯(cuò)誤的是（????）

A．圖中的x值為0.020 B．得分在80分及以上的人數(shù)為40
C．這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的估計(jì)值為77 D．這組數(shù)據(jù)中位數(shù)的估計(jì)值為75
【答案】D
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得，，解得，所以A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可知，得分在分以上的人數(shù)為，所以B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可知，這組數(shù)據(jù)平均數(shù)的估計(jì)值為
，所以C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可知，的頻率為，的頻率為，則中位數(shù)在內(nèi)，所以這組數(shù)據(jù)中位數(shù)的估計(jì)值為，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：D.
5．（2022·云南昆明·一模（文））“雙減”政策實(shí)施后，某初中全面推進(jìn)學(xué)校素質(zhì)教育，推動(dòng)學(xué)校體育運(yùn)動(dòng)發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極參與體育鍛煉，為了解該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了500名學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)），所得數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，據(jù)此得到的頻率分布直方圖如圖所示，則該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間約為______小時(shí)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．

【答案】
【詳解】由頻率分布直方圖可知，每周平均體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間約為：
，
故答案為：
6．（2022·廣東汕頭·一模）在黨史學(xué)習(xí)教育動(dòng)員大會(huì)上，習(xí)近平總書記強(qiáng)調(diào)全黨同志要做到學(xué)史明理、學(xué)史增信、學(xué)史崇德，學(xué)史力行.某單位對(duì)200名黨員進(jìn)行黨史知識(shí)測試，將成績分成6組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則______.

【答案】0.050
【詳解】由，
解得，
故答案為：0.050
7．（2022·云南·玉溪市民族中學(xué)模擬預(yù)測（文））全民健身，強(qiáng)國有我，某企業(yè)為增強(qiáng)廣大職工的身體素質(zhì)和健康水平，組織全體職工開啟了“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”平臺(tái)的強(qiáng)國運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，為了解他們的具體運(yùn)動(dòng)情況，企業(yè)工會(huì)從該企業(yè)全體職工中隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計(jì)他們的日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)，并得到如下頻率分布直方圖：

(1)求直方圖中a的值；
(2)估計(jì)該企業(yè)職工日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）
(3)若該企業(yè)恰好有的職工的日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)達(dá)到了企業(yè)制定的優(yōu)秀強(qiáng)國運(yùn)動(dòng)者達(dá)標(biāo)線，試估計(jì)該企業(yè)制定的優(yōu)秀強(qiáng)國運(yùn)動(dòng)者達(dá)標(biāo)線是多少？
【答案】(1)
(2)9.08千步
(3)11千步
【詳解】（1）由頻率分布直方圖得，解得．
（2）設(shè)平均數(shù)為，則．
所以該企業(yè)職工日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)的平均數(shù)約為9.08千步．
（3）日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)在的頻率為，
日均運(yùn)動(dòng)步數(shù)在的頻率為，
則位數(shù)在內(nèi)，為，
該企業(yè)制定的優(yōu)秀強(qiáng)國運(yùn)動(dòng)者達(dá)標(biāo)線是11千步
8．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測（理））在全民抗擊新冠肺炎疫情期間，某市教育部門開展了“停課不停學(xué)”活動(dòng)，為學(xué)生提供了多種網(wǎng)絡(luò)課程資源．活動(dòng)開展一個(gè)月后，某學(xué)校隨機(jī)抽取了高二年級(jí)的學(xué)生若干進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)學(xué)生每天的學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，五組（全部數(shù)據(jù)都在內(nèi)），并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)已知該校高二年級(jí)共有800名學(xué)生，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)該校高二年級(jí)每天學(xué)習(xí)時(shí)間不低于5小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；
(2)利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)該校高二年級(jí)學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間；
【答案】(1)640人
(2)5.6小時(shí)
（1）
根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)該校高二年級(jí)每天學(xué)習(xí)時(shí)間不低于5小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為．
所以估計(jì)該校高二年級(jí)每天學(xué)習(xí)不低于5小時(shí)的人數(shù)為640人．
（2）
樣本中學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的各組頻率分別為0.05，0.15，0.50，0.25，0.05．
樣本中學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間為
（小時(shí)）．
所以估計(jì)該校高二年級(jí)學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間為5.6小時(shí)．
9．（2022·新疆克拉瑪依·三模（文））第屆北京冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于年月日至月日在北京和張家口聯(lián)合舉辦.這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，它掀起了中國人民參與冬季運(yùn)動(dòng)的大熱潮.某市舉辦了中學(xué)生滑雪比賽，從中抽取名學(xué)生的測試分?jǐn)?shù)繪制成莖葉圖和頻率分布直方圖如下，后來莖葉圖受到了污損，可見部分信息如圖.
??????
(1)求頻率分布直方圖中的值，并根據(jù)直方圖估計(jì)該市全體中學(xué)生的測試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表，結(jié)果保留一位小數(shù)）；
(2)現(xiàn)要對(duì)測試成績?cè)谇?6%的中學(xué)生頒發(fā)“滑雪達(dá)人”證書，并制定出能夠獲得證書的測試分?jǐn)?shù)線，請(qǐng)你用樣本來估計(jì)總體，給出這個(gè)分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值.
【答案】(1)，平均數(shù)為
(2)
（1）
解：由頻率分布直方圖可知，測試分?jǐn)?shù)位于的頻率為，
則測試分?jǐn)?shù)位于個(gè)數(shù)為，
所以，測試分?jǐn)?shù)位于的個(gè)數(shù)為，
所以.
估計(jì)平均數(shù)為.
（2）
解：因?yàn)闇y試分?jǐn)?shù)位于的頻率為，測試分?jǐn)?shù)位于的頻率為，
能夠獲得“滑雪達(dá)人”證書的中學(xué)生測試分?jǐn)?shù)要在前，
故設(shè)能夠獲得證書的測試分?jǐn)?shù)線為，則，
由，可得，所以分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值為.
10．（2022·廣西·南寧三中一模（文））某種植園在芒果臨近成熟時(shí)，隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個(gè)芒果，其質(zhì)量分布在，，，，（單位：克）中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)頻率分布直方圖如圖所示．

(1)估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；
(2)某經(jīng)銷商來收購芒果，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表，用樣本估計(jì)總體，該種植園中共有芒果大約10000個(gè)，經(jīng)銷商提出以下兩種收購方案：
方案①：所有芒果以10元/千克收購；
方案②：對(duì)質(zhì)量低于350克的芒果以3元/個(gè)收購，對(duì)質(zhì)量高于或等于350克的芒果以5元/個(gè)收購．
請(qǐng)通過計(jì)算確定種植園選擇哪種方案獲利更多？
【答案】(1)387（克）
(2)方案②獲利更多
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：
（克）；
（2）方案①收入：（元）；
方案②收入：由題意得低于350克的收入：（元）；
高于或等于350克的收入：（元）．
故總計(jì)（元），由于，
故種植園選擇方案②獲利更多．
突破四：平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差，標(biāo)準(zhǔn)差
1．（2022·上?！げ軛疃心M預(yù)測）第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)于2022年2月4日至20日在北京舉行，中國代表團(tuán)取得了9枚金牌，4枚銀牌，2枚銅牌的歷史最好成績.已知六個(gè)裁判為某一運(yùn)動(dòng)員這一跳的打分分別為95，95，95，93，94，94，評(píng)分規(guī)則為去掉六個(gè)原始分中的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，剩下四個(gè)有效分的平均數(shù)即為該選手的本輪得分.設(shè)這六個(gè)原始分的中位數(shù)為，方差為；四個(gè)有效分的中位數(shù)為，方差為.則下列結(jié)論正確的是（????）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【詳解】將打分95，95，95，93，94，94按照從小到大排列為93,94,94,95,95,95，
無論是否去掉一個(gè)最高分和最低分中位數(shù)都是，故AB錯(cuò)誤；
根據(jù)
；
又

故選：D.
2．（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級(jí)中學(xué)有限責(zé)任公司模擬預(yù)測（文））冬末春初，乍暖還寒，人們?nèi)菀赘忻鞍l(fā)熱，若發(fā)生群體性發(fā)熱，則會(huì)影響到人們的身體健康，干擾正常工作生產(chǎn)，某大型公司規(guī)定：若任意連續(xù)7天，每天不超過5人體溫高于37.3℃，則稱沒有發(fā)生群體性發(fā)熱，下列連續(xù)7天體溫高于37.3℃人數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)中，能判定該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱的為（????）
（1）中位數(shù)為3，眾數(shù)為2????（2）均值小于1，中位數(shù)為1
（3）均值為3，眾數(shù)為4????（4）均值為2，標(biāo)準(zhǔn)差為
A．（1）（3） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（2）（4）
【答案】D
【詳解】將 7 個(gè)數(shù)由小到大依次記為、、 、、、、.
對(duì)于（1）選項(xiàng)，反例：、、、、、、，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，與題意矛盾，（1）選項(xiàng)不合乎要求；
對(duì)于（2）選項(xiàng)， 假設(shè)，即該公司發(fā)生了群體性發(fā)熱，因中位數(shù)為1，則 ，平均數(shù)為 ，矛盾，故假設(shè)不成立，即該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱，（2）選項(xiàng)合乎要求；
對(duì)于（3）選項(xiàng)，反例：、、 、 、、、，滿足眾數(shù)為4，均值為3，與題意矛盾，（3）選項(xiàng)不合乎要求；
對(duì)于（4）選項(xiàng)， 假設(shè)，即該公司發(fā)生群體性發(fā)熱，若均值為2 ，則方差為，即，與（4）選項(xiàng)矛盾，故假設(shè)不成立，即該公司沒有發(fā)生群體性發(fā)熱，（4）選項(xiàng)合乎要求.
故選：D
3．（2022·廣西·模擬預(yù)測（文））2022年6月6日是第27個(gè)“全國愛眼日”，為普及科學(xué)用眼知識(shí)，提高群眾健康水平，預(yù)防眼疾，某區(qū)殘聯(lián)在殘疾人綜合服務(wù)中心開展“全國愛眼日”有獎(jiǎng)答題競賽活動(dòng).已知5位評(píng)委老師按百分制（只打整數(shù)分）分別給出某參賽小隊(duì)評(píng)分，可以判斷出一定有評(píng)委打滿分的是（????）
A．平均數(shù)為98，中位數(shù)為98 B．中位數(shù)為96，眾數(shù)為99
C．中位數(shù)為97，極差為9 D．平均數(shù)為98，極差為6
【答案】D
【詳解】解：選項(xiàng)A：當(dāng)打分結(jié)果為時(shí)，滿足平均數(shù)為98，中位數(shù)為98，所以A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：當(dāng)打分結(jié)果為時(shí)，滿足中位數(shù)為96，眾數(shù)為99，所以B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：當(dāng)打分結(jié)果為時(shí)，滿足中位數(shù)為97，極差為9，所以C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：假設(shè)沒有評(píng)委打滿分，結(jié)合極差為6可得總成績，
則平均數(shù)，與選項(xiàng)不符，故假設(shè)不成立，所以平均數(shù)為98，極差為6時(shí)，一定有評(píng)委打滿分，
故選：D.
4．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）已知1，這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為3，方差為2，則這4個(gè)數(shù)的方差為（????）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【詳解】∵1，這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為3，方差為2，
∴，即，
∴這4個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，
∴，即，
∴這4個(gè)數(shù)的方差為.
故選：B.
5．（2022·河南·南陽中學(xué)三模（文））某區(qū)創(chuàng)建全國文明城市指揮部辦公室對(duì)所轄街道當(dāng)月文明城市創(chuàng)建工作進(jìn)行考評(píng)，工作人員在本區(qū)選取了甲，乙兩個(gè)街道，并在這兩個(gè)街道各隨機(jī)抽取10個(gè)實(shí)地點(diǎn)位進(jìn)行現(xiàn)場測評(píng)，下面的莖葉圖是兩個(gè)街道的測評(píng)分?jǐn)?shù)（滿分100分），下列說法正確的是（????）

A．甲，乙兩個(gè)街道的測評(píng)分?jǐn)?shù)的極差相等
B．甲，乙兩個(gè)街道的測評(píng)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)相等
C．街道乙的測評(píng)分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為87
D．甲、乙兩個(gè)街道測評(píng)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)中，乙的中位數(shù)比較大
【答案】D
【詳解】街道甲的測評(píng)分?jǐn)?shù)的極差是，街道乙的測評(píng)分?jǐn)?shù)的的極差是，兩者不相等，故A錯(cuò)誤;
街道甲的測評(píng)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為 ，街道乙的測評(píng)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為，故B錯(cuò)誤；
街道乙的測評(píng)分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為81，故C錯(cuò)誤；
街道甲的測評(píng)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為，街道乙的測評(píng)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為,故D正確，
故選:D．
6．（2022·安徽六安·一模（文））已知某樣本的容量為100，平均數(shù)為80，方差為95.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí)，其中的兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，一個(gè)錯(cuò)將90記錄為70，另一個(gè)錯(cuò)將80記錄為100.在對(duì)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則（????）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【詳解】由題意，可得，
設(shè)收集的98個(gè)準(zhǔn)確數(shù)據(jù)分別記為，
則
，

，所以．
故選：A
7．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）在對(duì)某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)間的調(diào)查中，采用隨機(jī)數(shù)法，抽取了男生人，女生人. 已知男同學(xué)每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為小時(shí)，方差為；女同學(xué)每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為小時(shí)，方差為. 依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)本校高一年級(jí)學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)間的方差為___.
【答案】19
【詳解】根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式，全班的平均數(shù)為，
由，
設(shè)男同學(xué)為，女同學(xué)為，
則男同學(xué)的方差，從而，
則女同學(xué)的方差，從而；
所以全班同學(xué)的方差為.
故答案為：.
8．（2022·四川·石室中學(xué)三模（文））為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，在全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為10，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為______.
【答案】13
【詳解】設(shè)樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為，，，，，
記，
則，.
由于且可知，.
若，則，
得，，，中要么有1個(gè)是4其余3個(gè)是0，要么4個(gè)都是1，
這與樣本數(shù)據(jù)互不相同矛盾；
若，則，取，，，滿足題意；若，則，，，，只有，，，滿足，但此時(shí)不滿足；
若，則，，，，不滿足；綜上可知，，，即樣本數(shù)據(jù)的最大值為13.
故答案為：13
9．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差滿足如下關(guān)系式：，若已知15個(gè)數(shù)的平均數(shù)為6，方差為9；現(xiàn)從原15個(gè)數(shù)中剔除這5個(gè)數(shù)，且剔除的這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為8，方差為5，則剩余的10個(gè)數(shù)的方差為___________.
【答案】
【詳解】根據(jù)題目所給的條件，
，
所以，
所以剩余10個(gè)數(shù)的平均數(shù)為5.
，
，
所以，
所以這10個(gè)數(shù)的方差為.
故答案為：
突破五：總體百分位數(shù)
1．（2022·天津河西·三模）學(xué)校組織班級(jí)知識(shí)競賽，某班的12名學(xué)生的成績（單位：分）分別是：58、67、73、74、76、82、82、87、90、92、93、98，則這12名學(xué)生成績的第三四分位數(shù)是（????）
A．88分 B．89分 C．90分 D．91分
【答案】D
【詳解】12名學(xué)生成績由小到大排列為58、67、73、74、76、82、82、87、90、92、93、98，
， 這12名學(xué)生成績的第三四分位數(shù)是，
故選：D
2．（2022·天津市第四十七中學(xué)模擬預(yù)測）為了了解居民用電情況，通過抽樣，獲得了某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如下圖.該樣本數(shù)據(jù)的55%分位數(shù)大約是（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由直方圖的性質(zhì)可得：
，
解得，
由已知，設(shè)該樣本數(shù)據(jù)的55%分位數(shù)大約是，由
，
解得.
故選：C.
3．（2022·全國·模擬預(yù)測）據(jù)某地區(qū)氣象局發(fā)布的氣象數(shù)據(jù)，未來某十天內(nèi)該地區(qū)每天最高溫度（單位：℃）分別為：31，29，24，27，26，25，24，26，26，23，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為（????）
A．27 B．26.5 C．25.5 D．25
【答案】C
【詳解】先將這些數(shù)據(jù)按照從小到大進(jìn)行排序，分別為23，24，24，25，26，26，26，27，29，31，
又，所以該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為排序后的數(shù)列的第4個(gè)數(shù)和第5個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即，
故選：C．
4．（2022·海南華僑中學(xué)模擬預(yù)測）2022年4月24日是第七個(gè)“中國航天日”，今年的主題是“航天點(diǎn)亮夢想”.某校組織學(xué)生參與航天知識(shí)競答活動(dòng)，某班8位同學(xué)成績?nèi)缦拢?，6，8，9，8，7，10，m.若去掉m，該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)保持不變，則整數(shù)的值可以是___________（寫出一個(gè)滿足條件的m值即可）.
【答案】7或8或9或10（填上述4個(gè)數(shù)中任意一個(gè)均可）
【詳解】7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：6，7，7，8，8，9，10，則，故第25百分位數(shù)為第二個(gè)數(shù)即7，所以7，6，8，9，8，7，10，m，第25百分位數(shù)為7，而，所以7為第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，所以的值可以是7或8或9或10.
故答案為：7或8或9或10.
5．（2022·天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)模擬預(yù)測）某射擊運(yùn)動(dòng)員次的訓(xùn)練成績分別為:，則這次成績的第百分位數(shù)為__________.
【答案】
【詳解】該射擊運(yùn)動(dòng)員次的訓(xùn)練成績從小到大依次為，因?yàn)椋赃@次成績的第百分位數(shù)為.
故答案為：
突破六：回歸直線方程
1．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測（文））設(shè)某大學(xué)的女生體重（單位：）與身高（單位：）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的回歸方程為，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（????）
①與具有正的線性相關(guān)關(guān)系；
②回歸直線過樣本點(diǎn)的中心；
③若該大學(xué)某女生身高增加，則其體重約增加；
④若該大學(xué)某女生身高為，則可斷定其體重必為．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】由于線性回歸方程中x的系數(shù)為0.85，因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故①正確；
因?yàn)榛貧w直線必過樣本點(diǎn)的中心，所以②正確；
由線性回歸方程的意義知，某女生的身高增加1cm，其體重約增加0.85kg，故③正確；
當(dāng)某女生的身高為170cm時(shí)，其體重估計(jì)值是58.79kg，這不是確定值，因此④不正確．
故選：C．
2．（2022·四川·成都七中模擬預(yù)測（文））根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)這組樣本數(shù)據(jù)中有兩個(gè)樣本點(diǎn)（1.2，2.2）和（4.8，7.8）誤差較大，去除后重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線l的斜率為1.2，則（????）
A．變量x與y具有正相關(guān)關(guān)系
B．去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為
C．去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，y的估計(jì)值增加速度變快
D．去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，相應(yīng)于樣本點(diǎn)（2，3.75）的殘差為0.05
【答案】A
【詳解】解：對(duì)A：經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，，
變量與具有正相關(guān)關(guān)系，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)B：當(dāng)時(shí)，，所以樣本中心為，
去掉兩個(gè)樣本點(diǎn)為和，，，
樣本中心不變，
去除后重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率為1.2，
，解得，
故去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，重新求得的回歸方程為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)C：，
去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，的估計(jì)值增加速度變慢，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)D：，
，
去除兩個(gè)誤差較大的樣本點(diǎn)后，相應(yīng)于樣本點(diǎn)（2，3.75）的殘差為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：A．
3．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）某種活性細(xì)胞的存活率（）與存放溫度（℃）之間具有線性相關(guān)關(guān)系，樣本數(shù)據(jù)如下表所示：
存放溫度（℃）
10
4


存活率（）
20
44
56
80
經(jīng)計(jì)算，回歸直線的斜率為，若這種活性細(xì)胞的存放溫度為℃，則其存活率的預(yù)報(bào)值為（????）A．32% B．33% C．34% D．35%
【答案】C
【詳解】設(shè)回歸直線方程為，由表中數(shù)據(jù)可得，.
因?yàn)榛貧w直線經(jīng)過樣本點(diǎn)中心，則.
所以當(dāng)時(shí)，.
故選：C.
4．（2022·江西贛州·一模（理））袁隆平院士是我國的雜交水稻之父，他一生致力于雜交水稻的研究，為解決中國人民的溫飽和保障國家糧食安全做出了重大的貢獻(xiàn).某雜交水稻研究小組先培育出第一代雜交水稻，再由第一代培育出第二代，第二代培育出第三代，以此類推.已知第一代至第四代雜交水稻的每穗總粒數(shù)分別為197粒，193粒，201粒，209粒，且親代與子代的每穗總粒數(shù)成線性相關(guān).根據(jù)以上信息，預(yù)測第五代雜交水稻每穗的總粒數(shù)為（????）
（注：①親代是產(chǎn)生后一代生物的生物，對(duì)后代生物來說是親代，所產(chǎn)生的后一代叫子代：②，）
A．211 B．212 C．213 D．214
【答案】C
【詳解】由題意，設(shè)親代每穗總粒數(shù)，子代的每穗總粒數(shù)，
則，
，

所以線性回歸方程為
當(dāng)時(shí)，
預(yù)測第五代雜交水稻每穗的總粒數(shù)為213
故選：C
5．（2022·全國·模擬預(yù)測）某種新型產(chǎn)品用于推廣營銷的費(fèi)用x（單位：萬元）與該產(chǎn)品的銷售收入y（單位：萬元）在某個(gè)銷售周期內(nèi)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
推廣營銷費(fèi)用x
2
3
4
5
6
銷售收入y
14
18
32
37.5
41
根據(jù)上表可得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程，則當(dāng)該產(chǎn)品的銷售收入為80萬元時(shí)，用于推廣營銷的費(fèi)用約為______萬元．（結(jié)果精確到0.01）
【答案】11.36
【詳解】由題中統(tǒng)計(jì)數(shù)表可知，，．
因?yàn)榛貧w直線一定過樣本點(diǎn)的中心，代入可得，解得，
于是可得線性回歸方程為，
當(dāng)該產(chǎn)品的銷售收入為80萬元時(shí)，，解得．
故答案為：
6．（2022·甘肅武威·模擬預(yù)測（理））已知之間具有線性相關(guān)關(guān)系，若通過10組數(shù)據(jù)得到的回歸方程為，且，則__________.
【答案】8
【詳解】依題意知，，因?yàn)榛貧w方程為，
所以可以計(jì)算出，所以
故答案為：8
7．（2022·廣西廣西·模擬預(yù)測（理））每年的“雙十一”既是旺季來臨的標(biāo)志，也是全年?duì)I銷的大戰(zhàn)役.不管是線上，還是線下都會(huì)有各種宣傳廣告推出各類特價(jià)商品，包括日用百貨、食品、電器、服裝、生鮮等等.據(jù)一商家統(tǒng)計(jì)，某商品的廣告支出費(fèi)用x（單位：萬元）與相應(yīng)利潤y（單位：萬元）的關(guān)系如下表格（變量x、y為線性相關(guān)關(guān)系）.
x
2
4
6
8
y
20
35
61
80
(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程：
(2) 若要使利潤不少于121.1萬元，則廣告支出費(fèi)用至少要多少萬元？
參考公式與數(shù)據(jù)：，，.
【答案】(1)；
(2)12萬元.
【詳解】（1）解：由題意得：
,
.
.

所以線性回歸方程為.
（2）解：由題可得
解得
所以廣告費(fèi)用支出至少要12萬元.
8．（2022·河南省葉縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測（文））生產(chǎn)成本指數(shù)概括反映經(jīng)營生產(chǎn)活動(dòng)中單位成本水平的綜合變動(dòng)程度，它是企業(yè)或部門內(nèi)部進(jìn)行成本管理的一個(gè)有用工具，成本指數(shù)越小，意味著成本控制越好.某企業(yè)從2016年開始連續(xù)6年的生產(chǎn)成本指數(shù)如下表所示：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年數(shù)
1
2
3
4
5
6
生產(chǎn)成本指數(shù)
23
20.5
20.0
16.5
14.0
13.5
(1)由數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，根據(jù)表中前4年數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程；
【答案】(1)；
（1）
由表中的數(shù)據(jù)可得，，
，，
所以，
，所以所求線性回歸方程為；
9．（2022·寧夏·銀川一中模擬預(yù)測（文））在能源和環(huán)保的壓力下，新能源汽車無疑將成為未來汽車的發(fā)展方向．2016年4月，為促進(jìn)新能源汽車發(fā)展，實(shí)施差異化交通管理政策，公安部啟用新能源汽車專用號(hào)牌．2020年11月，國務(wù)院辦公廳印發(fā)《新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃（2021—2035年）》，要求深入實(shí)施發(fā)展新能源汽車國家戰(zhàn)略，推動(dòng)中國新能源汽車產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量可持續(xù)發(fā)展．下表是2016年至2020年新能源汽車年銷量（單位：十萬輛）情況：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份編號(hào)
1
2
3
4
5
年銷量
5
7
12
12
14
(1)試建立年銷量關(guān)于年份編號(hào)的線性回歸方程；
(2)根據(jù)（1）中的線性回歸方程預(yù)測2023年新能源汽車的年銷量．
參考公式：，．
【答案】(1)
(2)萬輛

(1)，
，
，
所以，
，
所以年銷量關(guān)于年份編號(hào)的線性回歸方程
(2)當(dāng)時(shí)，，
所以2023年新能源汽車的年銷量約為萬輛
10．（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（文））為促進(jìn)新能源汽車的推廣，某市逐漸加大充電基礎(chǔ)設(shè)施的建設(shè)，該市統(tǒng)計(jì)了近五年新能源汽車充電站的數(shù)量（單位：個(gè)），得到如下表格：
年份x
2017
2018
2019
2020
2021
新能源汽車充電站數(shù)量y/個(gè)
50
85
105
140
170
(1)若y與x成線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程
(2)預(yù)測2025年該市新能源汽車充電站的數(shù)量.
參考公式：
【答案】(1)
(2)
(1)
設(shè)年份代號(hào)為z，2017,2018,2019,2020,2021分別為1，2，3，4，5，
由已知數(shù)據(jù)得，
，
，
，
所以所求線性回歸方程為，
所以；
(2)
將代入線性回歸方程得，
故預(yù)測2025年市新能源汽車充電站的數(shù)量為287個(gè).
突破七：相關(guān)系數(shù)
1．（2022·全國·模擬預(yù)測）住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部等六部門發(fā)布通知提出，到2025年，農(nóng)村生活垃圾無害化處理水平明顯提升．我國生活垃圾主要有填埋、焚燒與堆肥三種處理方式，隨著我國垃圾處理結(jié)構(gòu)的不斷優(yōu)化調(diào)整，焚燒處理逐漸成為市場主流．根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，對(duì)2013—2020年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個(gè)數(shù)y（單位：座）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表格：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代碼x
1
2
3
4
5
6
7
8
生活垃圾焚燒無害化處理廠的個(gè)數(shù)y
166
188
220
249
286
331
389
463
(1)由表中數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；（精確到0.01）
(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測2022年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個(gè)數(shù)；
(3)對(duì)于2035年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個(gè)數(shù)，還能用所求的線性回歸方程預(yù)測嗎？請(qǐng)簡要說明理由．
參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．
參考數(shù)據(jù)：，，，，，，．
【答案】(1)0.98，可用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系；
(2)，2022年處理廠個(gè)數(shù)為513；
(3)不能用所求線性回歸方程預(yù)測，理由見解析.
【詳解】（1）由題意，，，
相關(guān)系數(shù)
，因?yàn)閥與x的相關(guān)系數(shù)，接近于1，
所以y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，可用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系；
（2）由題意，
，
，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為，
易知2022年對(duì)應(yīng)的年份代碼，
當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測2022年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個(gè)數(shù)為513；
（3）對(duì)于2035年全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個(gè)數(shù)，不能用所求線性回歸方程預(yù)測，
理由如下（說出一點(diǎn)即可）：
①線性回歸方程具有時(shí)效性，不能預(yù)測較遠(yuǎn)情況；
②全國生活垃圾焚燒無害化處理廠的個(gè)數(shù)有可能達(dá)到上限，一段時(shí)間內(nèi)不再新建；
③受國家政策的影響，可能產(chǎn)生新的生活垃圾無害化處理方式．
2．（2022·全國·模擬預(yù)測）教育部印發(fā)的《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，自2022年秋季開始，勞動(dòng)課將成為中小學(xué)一門獨(dú)立課程．消息一出，“中小學(xué)生學(xué)做飯”等相關(guān)話題引發(fā)大量網(wǎng)友關(guān)注，兒童廚具也迅速走俏．這類兒童廚具并不是指傳統(tǒng)意義上的“過家家”，而是真鍋真鏟真爐灶，能讓孩子煎炒烹炸，把飯菜做熟了吃下肚的“真煮”兒童廚具．一家廚具批發(fā)商從2022年5月22日起，每10天就對(duì)“真煮”兒童廚具的銷量統(tǒng)計(jì)一次，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示．
時(shí)間
5月22~5月31日
6月1~6月10日
6月11~6月20日
6月21~6月30日
7月1~7月10日
7月11~7月20日
7月21~7月30日
時(shí)間代碼x
1
2
3
4
5
6
7
銷量y/千件
9.4
9.6
9.9
10.1
10.6
11.1
11.4
(1)從這7次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2次，求這2次的銷量之和超過21千件的概率．
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？若具有，試求出y關(guān)于x的線性回歸方程；若不具有，請(qǐng)說明理由．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）
附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，，相關(guān)系數(shù)，．
【答案】(1)
(2)有，
【詳解】（1）從7次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任意選取2次有種選法，
其中滿足條件的有，，，，，，共6種，
所以所求概率．
（2）由表格數(shù)據(jù)，得，
，
所以
，
，
，
所以相關(guān)系數(shù)．
因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)，接近1，所以y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且正相關(guān)性很強(qiáng)．
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為．
3．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（文））2015年7月31日，在吉隆坡舉行的國際奧委會(huì)第128次全會(huì)上，北京獲得2022年冬奧會(huì)舉辦權(quán).在申冬奧過程中，中國正式向國際社會(huì)作出“帶動(dòng)三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的莊嚴(yán)承諾.這一承諾，既是我國為國際奧林匹克運(yùn)動(dòng)做出重大貢獻(xiàn)的大國擔(dān)當(dāng)展現(xiàn)，也是根據(jù)我國經(jīng)濟(jì)水平和全民健身需求做出的群眾性運(yùn)動(dòng)的戰(zhàn)略部署.從北京冬奧會(huì)申辦成功到2021年10月，全國參與冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)累計(jì)達(dá)到3.46億，實(shí)現(xiàn)了“帶動(dòng)三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的目標(biāo)，這是北京冬奧會(huì)給予全球冬季體育運(yùn)動(dòng)和奧林匹克運(yùn)動(dòng)的最為重要的遺產(chǎn)，可以說是2022年北京冬奧會(huì)的第一塊金牌.“冬奧熱”帶動(dòng)“冰雪熱”，也帶動(dòng)了冰雪經(jīng)濟(jì)，以冰雪運(yùn)動(dòng)為主要內(nèi)容的冰雪旅游近年來發(fā)展迅速，2016至2022六個(gè)冰雪季的旅游人次y（單位億）的數(shù)據(jù)如下表：
年度
2016—2017
2017—2018
2018—2019
2019—2020
2020—2021
2021—2022
年度代號(hào)t
1
2
3
4
5
6
旅游人次y
1.7
1.97
2.24
0.94
2.54
3.15
(1)求y與t的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并回答y與t的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；
(2)因受疫情影響，現(xiàn)將2019—2020年度的異常數(shù)據(jù)剔除，用剩下的5個(gè)年度數(shù)據(jù)（年度代號(hào)不變），求y關(guān)于t的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并推測沒有疫情情況下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估計(jì)值.
附注：參考數(shù)據(jù)：，，，，.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，
【答案】(1)，線性相關(guān)性不強(qiáng)
(2)，億
【詳解】（1）由參考數(shù)據(jù)計(jì)算得

所以，
因?yàn)?，所以線性相關(guān)性不強(qiáng).
（2）五組數(shù)據(jù)的均值分別為，


，

關(guān)于的線性回歸方程為
令，則，
因此，在沒有疫情情況下，2019-2020年度冰雪旅游人次的估計(jì)值為億.
4．（2022·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））應(yīng)對(duì)嚴(yán)重威脅人類生存與發(fā)展的氣候變化，其關(guān)鍵在于“控碳”，其必由之路是先實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，而后實(shí)現(xiàn)“碳中和”，2020年第七十五屆聯(lián)合國大會(huì)上，我國向世界鄭重承諾：爭在2030年前實(shí)現(xiàn)“碳達(dá)峰”，努力爭取在2060年前實(shí)現(xiàn)“碳中和”，近年來，國家積極發(fā)展新能源汽車，某品牌的新能源汽車某區(qū)域銷售在2021年11月至2022年3月這5個(gè)月的銷售量（單位：百輛）的數(shù)據(jù)如下表：
月份
2021年11月
2021年12月
2022年1月
2022年2月
2022年3月
月份代碼：
1
2
3
4
5
銷售量（單位：百輛）
45
56
64
68
72
(1)依據(jù)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，請(qǐng)判斷月份代碼與該品牌的新能源汽車區(qū)域銷售量（單位；百輛）是否具有較高的線性相關(guān)程度?（參考：若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高，計(jì)算時(shí)精確度為0.01.
(2)求銷售量與月份代碼之間的線性回歸方程，并預(yù)測2022年4月份該區(qū)域的銷售量（單位：百輛）
參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，
線性回歸方程中，，，其中，為樣本平均值.
【答案】(1)月份代碼與銷售量（單位:百輛）具有較高的線性相關(guān)程度，可用線性回歸模型擬合銷售量與月份代碼之間的關(guān)系.
(2)，預(yù)測2022年4月該品牌的新能源汽車該區(qū)域的銷售量為 百輛
（1）
由表中數(shù)據(jù)可得 ，
所以 ,又， ，
所以.
所以月份代碼與銷售量（單位: 百輛）具有較高的線性相關(guān)程度，可用線性回歸模型擬合銷售量與月份代碼之間的關(guān)系.
（2）
由表中數(shù)據(jù)可得 ，
則，所以 ，
令，可得 (百輛)，
故可預(yù)測2022年4月該品牌的新能源汽車該區(qū)域的銷售量為百輛.
5．（2022·全國·模擬預(yù)測）數(shù)字經(jīng)濟(jì)的發(fā)展需要、云計(jì)算、大數(shù)據(jù)及物聯(lián)網(wǎng)等新型基礎(chǔ)設(shè)施的支撐，作為新基建之首，對(duì)我國數(shù)字經(jīng)濟(jì)的發(fā)展有著重要的意義．技術(shù)在我國已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展階段，寬帶業(yè)務(wù)辦理量也逐漸上升．某營業(yè)廳統(tǒng)計(jì)了2021年7月至2022年1月寬帶業(yè)務(wù)辦理量（單位：單），如表所示：
時(shí)間
2021年7月
2021年8月
2021年9月
2021年10月
2021年11月
2021年12月
2022年1月
月份編號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
寬帶業(yè)務(wù)辦理量/單
290
330
360
440
480
520
590
(1)由表中數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明（結(jié)果精確到0．01）；
(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并估計(jì)該營業(yè)廳2022年4月的寬帶業(yè)務(wù)辦理量．
參考數(shù)據(jù)：，，．
參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．
【答案】(1)答案見解析；
(2)，730單.
(1)
解：由題意知，
，

∴相關(guān)系數(shù)．
∵與的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，∴與之間的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，
從而可以用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系．
(2)
解：，∴，
∴關(guān)于的線性回歸方程為，
2022年4月對(duì)應(yīng)的編號(hào)為10，將代入線性回歸方程，得，
∴估計(jì)該營業(yè)廳在2022年4月的寬帶業(yè)務(wù)辦理量為730單．
突破八：殘差（相關(guān)指數(shù)）
1．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）身高體重指數(shù)(BMI)的大小直接關(guān)系到人的健康狀況，某高中高三(1)班班主任為了解該班學(xué)生的身體健康狀況，從該班學(xué)生中隨機(jī)選取5名學(xué)生，測量其身高、體重的數(shù)據(jù)如下表.
學(xué)生編號(hào)
1
2
3
4
5
身高x/cm
l65
170
175
170
170
體重y/kg
58
67
67
65
63
(1)求體重關(guān)于身高的線性回歸方程，并預(yù)測身高為180cm的同學(xué)的體重；
(2)試分析學(xué)生的體重差異約有多少是由身高引起的？(注:結(jié)果保留兩位小數(shù))參考公式:線性回歸方程中，，，其中，為樣本平均值，.
【答案】(1)，身高為180cm的同學(xué)的體重大約為；
(2)
（1）
解：依題意可，，
，

所以，
所以回歸直線方程為，
當(dāng)時(shí)，所以身高為180cm的同學(xué)的體重大約為；
（2）
由（1）回歸方程可得，各組數(shù)據(jù)的殘差，如表所示：
學(xué)生編號(hào)
1
2
3
4
5
身高
165
170
175
170
170
體重
58
67
67
65
63
殘差






所以，
，
則，
故學(xué)生的體重差異約有是由身高引起的．
2．（2022·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）某研究所為了研究某種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度之間的關(guān)系，現(xiàn)將收集到的溫度和一組昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)的6組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．

經(jīng)計(jì)算得到以下數(shù)據(jù)：，．
(1)若用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)的變化關(guān)系，求y關(guān)于x的回歸方程（結(jié)果精確到0.1）；
(2)若用非線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)的變化關(guān)系，求得關(guān)于的回歸方程，且相關(guān)指數(shù)為．
①試與（1）中的回歸模型相比，用R2說明哪種模型的擬合效果更好；
②用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為35℃時(shí)該組昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）．
附參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線截距和斜率的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，相關(guān)系數(shù)：．參考數(shù)據(jù)：．
【答案】(1)；
(2)①用比擬合效果更好；②190個(gè)．
（1）
由題意可知，
；
∴y關(guān)于x的線性回歸方程是；
（2）
①用指數(shù)回歸模型擬合y與x的關(guān)系，相關(guān)指數(shù)，
線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，相關(guān)指數(shù)，
且，
∴用比擬合效果更好．
②中，令，
則，
故預(yù)測溫度為時(shí)該昆蟲產(chǎn)卵數(shù)約為190個(gè)．
3．（2022·重慶市涪陵高級(jí)中學(xué)校模擬預(yù)測）為響應(yīng)黨中央“扶貧攻堅(jiān)”的號(hào)召，某單位指導(dǎo)一貧困村通過種植紫甘薯來提高經(jīng)濟(jì)收入.紫甘薯對(duì)環(huán)境溫度要求較高，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，隨著溫度的升高，其死亡株數(shù)成增長的趨勢.下表給出了2021年種植的一批試驗(yàn)紫甘薯在溫度升高時(shí)6組死亡的株數(shù).
溫度/℃
21
23
24
27
29
30
死亡數(shù)/株
6
11
20
27
57
77

經(jīng)計(jì)算，，，，，
，，，其中，分別為試驗(yàn)數(shù)據(jù)中的溫度和死亡株數(shù)，.
(1)若用一元線性回歸模型，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(2)若用非線性回歸模型求得關(guān)于的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程，且相關(guān)指數(shù)為.
（?。┰嚺c（1）中的回歸模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好；
（ii）用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為35℃時(shí)該批紫甘薯的死亡株數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，；相關(guān)指數(shù)為：.
【答案】(1)；
(2)①；②192.
（1）
由題意可知，
，
∴關(guān)于的線性回歸方程是；
（2）
①用指數(shù)回歸模型擬合與的關(guān)系，相關(guān)指數(shù)，
線性回歸模型擬合與的關(guān)系，相關(guān)指數(shù)，
則，
∴用比擬合效果更好；
②中，令，
則，
故預(yù)測溫度為時(shí)該紫甘薯死亡株數(shù)約為192株.
4．（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市教育研修中心三模（文））碳中和，是指企業(yè)、團(tuán)體或個(gè)人測算在一定時(shí)間內(nèi)，直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放，實(shí)現(xiàn)二氧化碳的“零排放”.碳達(dá)峰，是指碳排放進(jìn)入平臺(tái)期后，進(jìn)入平穩(wěn)下降階段.簡單地說就是讓二氧化碳排放量“收支相抵”.中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會(huì)上提出：“中國將提高國家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，努力爭取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.”減少碳排放，實(shí)現(xiàn)碳中和，人人都可出一份力．某中學(xué)數(shù)學(xué)教師組織開展了題為“家庭燃?xì)庠钚o的最佳角度”的數(shù)學(xué)建模活動(dòng).實(shí)驗(yàn)假設(shè)：
①燒開一壺水有諸多因素，本建模的變量設(shè)定為燃?xì)庥昧颗c旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度，其他因素假設(shè)一樣；
②由生活常識(shí)知，旋轉(zhuǎn)角度很小或很大，一壺水甚至不能燒開或造成燃?xì)饫速M(fèi)，因此旋轉(zhuǎn)角度設(shè)定在10°到90°間，建模實(shí)驗(yàn)中選取5個(gè)代表性數(shù)據(jù)：18°，36°，54°，72°，90°．
某支數(shù)學(xué)建模隊(duì)收集了“燒開一壺水”的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如下表：
項(xiàng)目
旋轉(zhuǎn)角度
開始燒水時(shí)燃?xì)獗碛?jì)數(shù)/dm3
水燒開時(shí)燃?xì)獗碛?jì)數(shù)/dm3
18°
9080
9210
36°
8958
9080
54°
8819
8958
72°
8670
8819
90°
8498
8670
以x表示旋轉(zhuǎn)角度，y表示燃?xì)庥昧?
(1)用列表法整理數(shù)據(jù)（x，y）；
x（旋轉(zhuǎn)角度：度）
18
36
54
72
90
y（燃?xì)庥昧浚篸m3）





(2)假定x，y線性相關(guān)，試求回歸直線方程（注：計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后三位）
(3)有隊(duì)員用二次函數(shù)進(jìn)行模擬，得到的函數(shù)關(guān)系為．求在該模型中，燒開一壺水燃?xì)庥昧孔钌贂r(shí)的旋轉(zhuǎn)角度．請(qǐng)用相關(guān)指數(shù)R2分析二次函數(shù)模型與線性回歸模型哪種擬合效果更好？（注：計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）
參考數(shù)據(jù)：，，，，
線性回歸模型，二次函數(shù)模型．
參考公式：，，．
【答案】(1)列表見解析；
(2)；
(3)38.7°，二次函數(shù)擬合效果更好.
(1)
整理數(shù)據(jù)如圖：
x（旋轉(zhuǎn)角度：度）
18
36
54
72
90
y（燃?xì)庥昧浚篸m3）
130
122
139
149
172
(2)，，，
，
故回歸直線方程為；
(3)，即旋轉(zhuǎn)角約為38.7°時(shí)，燒開一壺水燃?xì)庥昧孔钌?
回歸直線與二次函數(shù)擬合兩者關(guān)系時(shí)，相關(guān)指數(shù)分別為，，
則，.
因?yàn)椋远魏瘮?shù)擬合效果更好.
突破九：非線性回歸
1．（2022·山東臨沂·三模）在疫情防控常態(tài)化的背景下，山東省政府各部門在保安全，保穩(wěn)定的前提下有序恢復(fù)生產(chǎn)，生活和工作秩序，五一期間，文旅部門在落實(shí)防控舉措的同時(shí)，推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費(fèi)者的積極回應(yīng)．下面是文旅部門在某地區(qū)推出六款不同價(jià)位的旅游套票，每款的套票價(jià)格x（單位：元）與購買人數(shù)y（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表：
旅游類別
城市展館科技游
鄉(xiāng)村特色游
齊魯紅色游
登山套票
游園套票
觀海套票
套票價(jià)格x（元）
39
49
58
67
77
86
購買數(shù)量y（萬人）
16.7
18.7
20.6
22.5
24.1
25.6
在分析數(shù)據(jù)、描點(diǎn)繪圖中，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)集中在一條直線附近，其中
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程；
附：①可能用到的數(shù)據(jù)；．
②對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)值分別為
【答案】(1)
(1)散點(diǎn)集中在一條直線附近，設(shè)回歸直線方程為
由，則

變量關(guān)于的回歸方程為

綜上，y關(guān)于x的回歸方程為
2．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測（理））今年全國兩會(huì)期間，習(xí)近平總書記在看望參加全國政協(xié)十三屆五次會(huì)議的農(nóng)業(yè)界?社會(huì)福利和社會(huì)保障界委員時(shí)指出“糧食安全是‘國之大者’.悠悠萬事，吃飯為大.”某校課題小組針對(duì)糧食產(chǎn)量與化肥施用量以及與化肥有效利用率間關(guān)系進(jìn)行研究，收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.每畝化肥施用量為x(單位：公斤)，糧食畝產(chǎn)量為y(單位：百公斤)．

參考數(shù)據(jù)：








650
91.5
52.5
1478.6
30.5
15
15
46.5
表中，
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，哪一個(gè)適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于每畝化肥施用量x的回歸方程(給出判斷即可，不必說明理由)；
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；并預(yù)測每畝化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量y的值；()
附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，；②若隨機(jī)變量，則有，.
【答案】(1)；
(2)；8.1百公斤；
【詳解】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x的關(guān)系不是線性的關(guān)系，則更適宜．
（2）∵，∴，令，，
則，，，
∴，，，
∴，當(dāng)時(shí)，(百公斤).
3．（2022·山東日照·二模）2018年9月10日，全國教育大會(huì)在北京召開，習(xí)近平總書記在會(huì)上提出“培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會(huì)主義建設(shè)者和接班人”.某學(xué)校貫徹大會(huì)精神，為學(xué)生開設(shè)了一門模具加工課，經(jīng)過一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，擬舉行一次模具加工大賽，學(xué)生小明?小紅打算報(bào)名參加大賽.
(1)賽前，小明進(jìn)行了一段時(shí)間的強(qiáng)化訓(xùn)練，加工完成一個(gè)模具的平均速度y(秒)與訓(xùn)練天數(shù)x(天)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下表數(shù)據(jù)：
x(天)
1
2
3
4
5
6
7
y(秒)
990
990
450
320
300
240
210
經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，可用作為回歸方程模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測小明經(jīng)過50天訓(xùn)練后，加工完成一個(gè)模具的平均速度y約為多少秒？
參考數(shù)據(jù)：(其中)



1845
0.37
0.55
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.
【答案】(1)；150；
【詳解】（1）由題意，，
令，設(shè)y關(guān)于t的線性回歸方程為，
則，
則，
∴，
∴y關(guān)于x的回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，，
∴預(yù)測小明經(jīng)過50天訓(xùn)練后，加工完成一個(gè)模具的平均速度y約為150秒；
4．（2022·江西贛州·二模（理））某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付．某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動(dòng)推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖．

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷在推廣期內(nèi)，與（c，d均為大于零的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）；
(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及題干中表格內(nèi)的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次．
參考數(shù)據(jù)：





62.14
1.54
2535
50.12
3.47
其中，．
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．
【答案】(1)適宜
(2)，活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次為347
(1)解：根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類型
(2)解：因?yàn)?，所以兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得．
設(shè)，，則
因?yàn)椋?br /> 所以．
所以
所以
故
把代入上式，得
所以y關(guān)于x的回歸方程為，
活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次為347．
5．（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）“不關(guān)注分?jǐn)?shù)，就是對(duì)學(xué)生的今天不負(fù)責(zé)：只關(guān)注分?jǐn)?shù)，就是對(duì)學(xué)生的未來不負(fù)責(zé).”為鍛煉學(xué)生的綜合實(shí)踐能力，長沙市某中學(xué)組織學(xué)生對(duì)雨花區(qū)一家奶茶店的營業(yè)情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到的數(shù)據(jù)如下：
月份x
2
4
6
8
10
12
凈利潤（萬元〕y
0.9
2.0
4.2
3.9
5.2
5.1
(1)設(shè).試建立y關(guān)于x的非線性回歸方程和（保留2位有效數(shù)字）；
(2)從相關(guān)系數(shù)的角度確定哪一個(gè)模型的擬合效果更好，并據(jù)此預(yù)測次年2月（）的凈利潤（保留1位小數(shù)）.
附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為；②參考數(shù)據(jù)：，
【答案】(1)和；
(2)模型的擬合效果更好，次年2月凈利潤為萬元
（1）
，
，
，
，
所以，，
所以模型的方程為，
，
，
，
所以，，
所以模型的方程為；
（2）

，
所以，
，
因?yàn)楦咏?，所以模型的擬合效果更好，
則次年2月凈利潤為萬元.
突破十：獨(dú)立性檢驗(yàn)
1．（2022·四川·雙流中學(xué)模擬預(yù)測（文））自《“健康中國2030”規(guī)劃綱要》頒布實(shí)施以來，越來越多的市民加入到綠色運(yùn)動(dòng)“健步走”行列以提高自身的健康水平與身體素質(zhì)． 某調(diào)查小組為了解本市不同年齡段的 市民在一周內(nèi)健步走的情況，在市民中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，部分結(jié)果如下表所示，其中一周內(nèi)健步走少于5萬步的人數(shù)占樣本總數(shù)的 歲以上（含45歲）的人數(shù)占樣本總數(shù)的．

一周內(nèi)健步走萬步
一周內(nèi)健步走萬
總計(jì)
45歲以上（含45歲）
90


45歲以下



總計(jì)


200
(1)請(qǐng)將題中表格補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步數(shù)與年齡有關(guān);
附：

0.150
0.100
0.050
0.025

2.072
2.706
3.841
5.024
，其中．
【答案】(1)表格見解析，有的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步數(shù)與年軨有關(guān)
【詳解】（1）解：由題意得，總?cè)藬?shù)為200，
45歲以上（含45歲）的人數(shù)為，
45歲以下的人數(shù)為 80．
一周內(nèi)健步走少于5萬步的人數(shù)為 ，
由此得如下列聯(lián)表：

一周內(nèi)健步走5 萬步
一周內(nèi)健步走

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