?第5節(jié)　古典概型、概率的基本性質(zhì)
考試要求　1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的樣本點(diǎn)及事件發(fā)生的概率.3.當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜時(shí)，可轉(zhuǎn)化為求幾個(gè)互斥事件的概率之和或其對(duì)立事件的概率.


1.古典概型
具有以下特征的試驗(yàn)叫做古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型.
(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；
(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.
2.古典概型的概率公式
一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).
3.概率的性質(zhì)
性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；
性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；
性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.
性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).

概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽視只有當(dāng)A∩B＝?，即A，B互斥時(shí)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時(shí)P(A∩B)＝0.

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)
(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其樣本點(diǎn)是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(　　)
(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件.(　　)
(3)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.(　　)
(4)概率為0的事件一定是不可能事件.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
解析　對(duì)于(1)，發(fā)芽與不發(fā)芽不一定是等可能，所以(1)不正確；對(duì)于(2)，三個(gè)事件不是等可能，其中“一正一反”應(yīng)包括正反與反正兩個(gè)樣本點(diǎn)，所以(2)不正確；對(duì)于(4)，概率為0的事件有可能發(fā)生，所以(4)不正確.
2.(易錯(cuò)題)安排甲、乙、丙、丁四人參加周一至周六的公益活動(dòng)，每天只需一人參加，其中甲參加三天活動(dòng)，乙、丙、丁每人參加一天，那么甲連續(xù)三天參加活動(dòng)的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由題意可得，甲連續(xù)三天參加活動(dòng)的所有情況為：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四種情況，∴所求概率P＝＝.
3.(2022·九江一模)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“— —”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，其樣本點(diǎn)總數(shù)n＝26＝64，恰有3個(gè)陽(yáng)爻的樣本點(diǎn)數(shù)為C＝20，所以在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率P＝＝.
4.(2020·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　從O，A，B，C，D這5個(gè)點(diǎn)中任取3點(diǎn)，取法有C＝10種，其中取到的3點(diǎn)共線的只有{O，A，C}，{O，B，D}這2種取法，所以所求概率為＝.故選A.
5.(2021·全國(guó)甲卷)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　法一　4個(gè)1分別設(shè)為1A，1B，1C，1D，2個(gè)0分別設(shè)為0A，0B，將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行有A種排法，將1A，1B，1C，1D排成一行有A種排法，再將0A，0B插空有A種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率P＝＝.
法二　將4個(gè)1和2個(gè)0安排在6個(gè)位置，則選擇2個(gè)位置安排0，共有C種排法，其中將4個(gè)1排成一行，把2個(gè)0插空，即在5個(gè)位置中選2個(gè)位置安排0，共有C種排法.所以2個(gè)0不相鄰的概率P＝＝.
6.(易錯(cuò)題)拋擲一枚骰子，記A為事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，B為事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”，則P(A∪B)＝________，P(A∩B)＝________.
答案　　
解析　拋擲一枚骰子，樣本空間出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是{1，2，3，4，5，6}，
事件A∪B包括出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是{1，3，5，6}這4個(gè)樣本點(diǎn)，故P(A∪B)＝；
事件A∩B包括出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是{3}這1個(gè)樣本點(diǎn)，故P(A∩B)＝.

　考點(diǎn)一　古典概型
例1 (1)生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo).若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　設(shè)5只兔子中測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)的3只為a1，a2，a3，未測(cè)量過(guò)這項(xiàng)指標(biāo)的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能.其中恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能.故恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為＝.
(2)10件產(chǎn)品中有7件正品、3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是________.
答案　
解析　從10件產(chǎn)品中取4件，共有C種取法，恰好取到1件次品的取法有CC種，由古典概型概率計(jì)算公式得P＝＝＝.
感悟提升　求樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法
(1)枚舉法：適合于給定的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問(wèn)題.
(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題，注意在確定樣本點(diǎn)時(shí)(x，y)可看成是有序的，如(1，2)與(2，1)不同，有時(shí)也可看成是無(wú)序的，如(1，2)與(2，1)相同.
(3)排列組合法：在求一些較復(fù)雜的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可利用排列或組合的知識(shí).
訓(xùn)練1 (1)(2022·濟(jì)南質(zhì)檢)在一個(gè)不透明的容器中有6個(gè)小球，其中有4個(gè)黃球，2個(gè)紅球，它們除顏色外完全相同，如果一次隨機(jī)取出2個(gè)球，那么至少有1個(gè)紅球的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　一次隨機(jī)取出2個(gè)球，樣本點(diǎn)總數(shù)為C＝15，至少有1個(gè)紅球包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為CC＋C＝9，
所以至少有1個(gè)紅球的概率P＝＝.
(2)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)排成一列一共有A＝24種方法，兩位女同學(xué)相鄰的排法有AA＝12種，
∴兩位女同學(xué)相鄰的概率P＝＝.
　考點(diǎn)二　概率基本性質(zhì)的應(yīng)用
例2 從甲地到乙地沿某條公路行駛一共200公里，遇到紅燈個(gè)數(shù)的概率如表所示：
紅燈個(gè)數(shù)
0
1
2
3
4
5
6個(gè)及6個(gè)以上
概率
0.02
0.1
a
0.35
0.2
0.1
0.03
(1)求表中字母a的值；
(2)求至少遇到4個(gè)紅燈的概率；
(3)求至多遇到5個(gè)紅燈的概率.
解　(1)由題意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2.
(2)設(shè)事件A為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為4，事件B為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為5，
事件C為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為6個(gè)及以上，
則事件“至少遇到4個(gè)紅燈”為A∪B∪C，因?yàn)槭录嗀，B，C互斥，
所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，
即至少遇到4個(gè)紅燈的概率為0.33.
(3)設(shè)事件D為遇到6個(gè)及6個(gè)以上紅燈，則至多遇到5個(gè)紅燈為事件.
則P()＝1－P(D)＝1－0.03＝0.97.
感悟提升　復(fù)雜事件概率的求解方法
(1)對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的事件，一般將其分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的事件，當(dāng)這些事件彼此互斥時(shí)，原事件的概率就是這些簡(jiǎn)單事件的概率的和.
(2)當(dāng)求解的問(wèn)題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語(yǔ)時(shí)，常?？紤]其對(duì)立事件，通過(guò)求其對(duì)立事件的概率，然后轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題.
訓(xùn)練2 (1)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則只用非現(xiàn)金支付的概率為(　　)
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
答案　B
解析　只用非現(xiàn)金支付的概率為1－(0.15＋0.45)＝0.4.
(2)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“向上的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”，則P(A∪B)等于(　　)
A. B. C. D.1
答案　B
解析　法一　A包含向上點(diǎn)數(shù)是1，3，5的情況，B包含向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3的情況，
所以A∪B包含了向上點(diǎn)數(shù)是1，2，3，5的情況，故P(A∪B)＝＝.
法二　P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝1－＝.
　考點(diǎn)三　古典概型的綜合應(yīng)用
例3 某城市100戶居民的月平均用電量(單位：千瓦時(shí))以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖.

(1)求直方圖中x的值；
(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；
(3)在月平均用電量為[240，260)，[260，280)，[280，300]的三組用戶中，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6戶居民，并從抽取的6戶中任選2戶參加一個(gè)訪談節(jié)目，求參加節(jié)目的2戶來(lái)自不同組的概率.
解　(1)由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0＋0.012 5＋x＋0.005 0＋0.002 5)×20＝1得x＝0.007 5，
所以直方圖中x的值是0.007 5.
(2)月平均用電量的眾數(shù)是＝230.
因?yàn)?0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＝0.450.5，
所以月平均用電量的中位數(shù)在[220，240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由(0.002 0＋0.009 5＋0.011 0)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，
所以月平均用電量的中位數(shù)是224.
(3)月平均用電量為[240，260)，[260，280)，[280，300]內(nèi)的用戶分別有0.007 5×20×100＝15(戶)，
0.005×20×100＝10(戶)，0.002 5×20×100＝5(戶).
抽樣方法為分層隨機(jī)抽樣，所以在[240，260)，[260，280)，[280，300]中分別抽取3戶、2戶和1戶.
設(shè)參加節(jié)目的2戶來(lái)自不同組為事件A，則P(A)＝＝.
感悟提升　有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型.概率與統(tǒng)計(jì)的結(jié)合題，無(wú)論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵.復(fù)雜事件的概率可將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或?qū)α⑹录母怕蕟?wèn)題.
訓(xùn)練3 2019年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況.
(1)應(yīng)從老、中、青員工分別抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.
　員工
項(xiàng)目　　
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
繼續(xù)教育
×
×
○
×
○
○
大病醫(yī)療
×
×
×
○
×
×
住房貸款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
贍養(yǎng)老人
○
○
×
×
×
○
①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；
②設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率.
解　(1)由已知得老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取25位員工，
因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人、9人、10人.
(2)①?gòu)囊阎?人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間為{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共15個(gè)樣本點(diǎn).
②由表格知，符合題意的樣本空間為{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共11個(gè)樣本點(diǎn)，所以事件M發(fā)生的概率P(M)＝.


1.一枚硬幣連擲2次，恰好出現(xiàn)1次正面的概率是(　　)
A. B. C. D.0
答案　A
解析　列舉出所有樣本點(diǎn)，找出“只有1次正面”包含的結(jié)果.一枚硬幣連擲2次，樣本點(diǎn)有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4個(gè)，而只有1次出現(xiàn)正面的包括(正，反)，(反，正)2個(gè)，故其概率為＝.
2.從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為(　　)
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
答案　D
解析　將2名男同學(xué)分別記為x，y，3名女同學(xué)分別記為a，b，c.設(shè)“選中的2人都是女同學(xué)”為事件A，則從5名同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)的所有可能情況有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10種，其中事件A包含的可能情況有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3種，故P(A)＝＝0.3.
3.一個(gè)袋子中裝有大小形狀完全相同的4個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中一次摸出3個(gè)球，則摸出白球個(gè)數(shù)多于黑球個(gè)數(shù)的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　一個(gè)袋子中裝有大小形狀完全相同的4個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中一次摸出3個(gè)球，
基本事件總數(shù)n＝C＝35，
摸出白球個(gè)數(shù)多于黑球個(gè)數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝CC＋CC＝22，
則摸出白球個(gè)數(shù)多于黑球個(gè)數(shù)的概率為
P＝＝.
4.(2022·廣州模擬)我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.下圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”，其中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的.我們將圖中陰影所在的四個(gè)三角形稱為“風(fēng)葉”，若從該“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，則該兩點(diǎn)取自同一片“風(fēng)葉”的概率為(　　)

A. B. C. D.
答案　A
解析　由題意，從“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)頂點(diǎn)的樣本點(diǎn)有C＝28個(gè)，其中這兩個(gè)頂點(diǎn)取自同一片“風(fēng)葉”的樣本點(diǎn)有4C＝12個(gè)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得所求概率P＝＝.
5.(多選)下列是古典概型的是(　　)
A.從6名同學(xué)中，隨機(jī)選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性的大小
B.同時(shí)擲兩顆質(zhì)地均勻地骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率
答案　ABD
解析　ABD為古典概型，因?yàn)槎歼m合古典概型的兩個(gè)特征：有限性和等可能性，而C不適合等可能性，故不為古典概型.
6.(多選)若隨機(jī)事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，則實(shí)數(shù)a的值可以是(　　)
A. B. C. D.
答案　CD
解析　由題意可知
即即
解得＜a≤.
7.(2022·武漢模擬)下課以后，教室里還剩下2位男同學(xué)和1位女同學(xué)，若他們依次走出教室，則第2位走出的是女同學(xué)的概率是________.
答案　
解析　2位男同學(xué)記為男1，男2，則三位同學(xué)依次走出教室包含的樣本點(diǎn)有：男1男2女，男1女男2，女男1男2，男2男1女，男2女男1，女男2男1，共6種，其中第2位走出的是女同學(xué)包含的樣本點(diǎn)有2種.
故第2位走出的是女同學(xué)的概率是P＝＝.
8.2020年國(guó)慶檔上映的影片有《奪冠》，《我和我的家鄉(xiāng)》，《一點(diǎn)就到家》，《急先鋒》，《木蘭·橫空出世》，《姜子牙》，其中后兩部為動(dòng)畫(huà)片.甲、乙兩位同學(xué)都跟隨家人觀影，甲觀看了六部中的兩部，乙觀看了六部中的一部，則甲、乙兩人觀看了同一部動(dòng)畫(huà)片的概率為_(kāi)_______.
答案　
解析　甲觀看了六部中的兩部共有C＝15種，乙觀看了六部中的一部共有C＝6種，則甲、乙兩人觀影共有15×6＝90種，則甲、乙兩人觀看同一部動(dòng)畫(huà)片共有C·C＝2×5＝10種，所以甲、乙兩人觀看了同一部動(dòng)畫(huà)片的概率為P＝＝.
9.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率.先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0～9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.6，故我們用0，1，2，3表示手術(shù)不成功，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功；再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為_(kāi)_______.
答案　0.2
解析　表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有569，989，所以估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為＝0.2.
10.空氣質(zhì)量指數(shù)(簡(jiǎn)稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)：0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；＞300為嚴(yán)重污染.一環(huán)保人士記錄了某地2021年某月10天的數(shù)據(jù)為45，52，74，75，103，104，117，118，199，215.
(1)利用該樣本估計(jì)該地本月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良(AQI≤100)的天數(shù)；(按這個(gè)月總共有30天計(jì)算)
(2)若從樣本中的空氣質(zhì)量不佳(AQI＞100)的這些天中，隨機(jī)地抽取兩天深入分析各種污染指標(biāo)，求該兩天的空氣質(zhì)量等級(jí)恰好不同的概率.
解　(1)從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)的天數(shù)為1，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為3，故該樣本中空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的頻率為＝，估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為，從而估計(jì)該月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為30×＝12.
(2)設(shè)抽取的兩天的空氣質(zhì)量等級(jí)恰好不同為事件A，則P(A)＝＝，
所以該兩天的空氣質(zhì)量等級(jí)恰好不同的概率為.
11.某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).
(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；
(2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，求參賽女生人數(shù)不少于2人的概率.
解　(1)由題意，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名.
參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)沒(méi)有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為＝，
因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1－＝.
(2)設(shè)“參賽的4人中女生不少于2人”為事件A，記“參賽女生有2人”為事件B，“參賽女生有3人”為事件C.則P(B)＝＝，P(C)＝＝.
由互斥事件的概率加法公式，得P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，故所求事件的概率為.

12.若A，B互為對(duì)立事件，其概率分別為P(A)＝，P(B)＝，且x＞0，y＞0，則x＋y的最小值為(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
答案　C
解析　由題意知＋＝1，則x＋y＝(x＋y)·＝5＋≥9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y時(shí)等號(hào)成立.
13.(2022·杭州質(zhì)檢)某公司安排6位員工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，則6位員工中甲不在1日值班的概率為(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　該公司安排6位員工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，基本事件總數(shù)n＝CCC，6位員工中甲不在1日值班包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝CCC，∴6位員工中甲不在1日值班的概率P＝＝＝.
14.某中學(xué)組織了一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬測(cè)試，學(xué)校從測(cè)試合格的男、女生中各隨機(jī)抽取100人的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖.


注：分組區(qū)間為[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]
(1)若得分大于或等于80認(rèn)定為優(yōu)秀，則男、女生的優(yōu)秀人數(shù)各為多少？
(2)在(1)中所述的優(yōu)秀學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人，從這5人中任意選取2人，求至少有一名男生的概率.
解　(1)由題可得，男生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.015＋0.03)×10＝45.
(2)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是＝，所以樣本中包含的男生人數(shù)為30×＝2，女生人數(shù)為45×＝3.
則從5人中任意選取2人共有C＝10種，抽取的2人中沒(méi)有一名男生有C＝3種，則至少有一名男生有C－C＝7種.故至少有一名男生的概率為P＝，即選取的2人中至少有一名男生的概率為.

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