?第3節(jié)　二項式定理
考試要求　能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.


1.二項式定理
(1)二項式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通項公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1項；
(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)C，C，…，C.
2.二項式系數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì)
性質(zhì)描述
對稱性
與首末等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即C＝C
增減性
二項式系數(shù)C
當k＜(n∈N*)時，是遞增的
當k＞(n∈N*)時，是遞減的
二項式
系數(shù)最大值
當n為偶數(shù)時，中間的一項取得最大值
當n為奇數(shù)時，中間的兩項與相等且取得最大值
3.各二項式系數(shù)和
(1)(a＋b)n展開式的各二項式系數(shù)和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

(a＋b)n的展開式形式上的特點
(1)項數(shù)為n＋1.
(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.
(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.
(4)二項式系數(shù)從C，C，一直到C，C.

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二項展開式的第k項.(　　)
(2)二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項.(　　)
(3)(a＋b)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a，b無關(guān).(　　)
(4)(a＋b)n某項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分，包括符號等，與該項的二項式系數(shù)不同.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
解析　二項展開式中Can－kbk是第k＋1項，二項式系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項，故(1)(2)均不正確.
2.(易錯題)已知(a為常數(shù))的展開式的二項式系數(shù)之和為32，常數(shù)項為80，則a的值為(　　)
A.1 B.±1 C.2 D.±2
答案　C
解析　根據(jù)題意，該二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為32，
則有2n＝32，可得n＝5，
則二項式的展開式通項為Tk＋1＝C()5－k·＝akCx，令＝0，得k＝3，
則其常數(shù)項為Ca3，
根據(jù)題意，有Ca3＝80，可得a＝2.
3.(多選)(2022·淄博調(diào)研)對于二項式(n∈N*)，以下判斷正確的有(　　)
A.存在n∈N*，展開式中有常數(shù)項
B.對任意n∈N*，展開式中沒有常數(shù)項
C.對任意n∈N*，展開式中沒有x的一次項
D.存在n∈N*，展開式中有x的一次項
答案　AD
解析　該二項展開式的通項為Tk＋1＝C(x3)k＝Cx4k－n，當n＝4k時，展開式中存在常數(shù)項，A正確，B錯誤；當n＝4k－1時，展開式中存在x的一次項，D正確，C錯誤.
4.(2020·全國Ⅰ卷)(x＋y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(　　)
A.5 B.10 C.15 D.20
答案　C
解析　法一　∵(x＋y)5＝(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，
∴x3y3的系數(shù)為10＋5＝15.
法二　當x＋中取x時，x3y3的系數(shù)為C，
當x＋中取時，x3y3的系數(shù)為C，
∴x3y3的系數(shù)為C＋C＝10＋5＝15.
5.(易錯題)在的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是32，則展開式中各項系數(shù)的和為________.
答案　1
解析　因為所有二項式系數(shù)的和是32，
所以2n＝32，解得n＝5.
在中，令x＝1可得展開式中各項系數(shù)的和為(2－1)5＝1.
6.(2021·浙江卷)已知多項式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，則a1＝________；a2＋a3＋a4＝________.
答案　5　10
解析　(x－1)3展開式的通項Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4展開式的通項Tk＋1＝Cx4－k，
則a1＝C＋C＝1＋4＝5；
a2＝C(－1)1＋C＝3；
a3＝C(－1)2＋C＝7；a4＝C(－1)3＋C＝0，
所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.

考點一　展開式中的通項問題
角度1　求二項展開式的特定項
例1 (1)(2020·全國Ⅲ卷)的展開式中常數(shù)項是________(用數(shù)字作答).
答案　240
解析　的展開式的通項為Tr＋1＝C(x2)6－r·＝C2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，得常數(shù)項為C24＝240.
(2)的展開式中所有的有理項為________.
答案　x2，－，x－2
解析　二項展開式的通項公式為
Tk＋1＝Cx.
由題意∈Z，且0≤k≤10，k∈N.
令＝r(r∈Z)，
則10－2k＝3r，k＝5－r.
∵k∈N，∴r應為偶數(shù)，
∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，
∴第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為x2，－，x－2.
角度2　兩個二項式之積、三項展開式問題
例2 (1)(1＋x)6的展開式中x2的系數(shù)為(　　)
A.15 B.20 C.30 D.35
答案　C
解析　因為(1＋x)6的通項為Cxk，所以(1＋x)6的展開式中含x2的項為
1·Cx2和·Cx4.
因為C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋x)6的展開式中x2的系數(shù)為30.
(2)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為(　　)
A.10 B.20 C.30 D.60
答案　C
解析　法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的項為T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的項為Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系數(shù)為CC＝30.
法二　(x2＋x＋y)5表示5個x2＋x＋y之積.
∴x5y2可從其中5個因式中，兩個取因式中x2，剩余的3個因式中1個取x，其余因式取y，因此x5y2的系數(shù)為CCC＝30.
感悟提升　(1)求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k＋1，代回通項公式即可.
(2)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當?shù)剡\用分類方法，以免重復或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.
(3)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.
訓練1 (1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展開式中，x3的系數(shù)為(　　)
A.－3 B.－2 C.1 D.4
答案　B
解析　(x－1)4的通項為Tk＋1＝Cx4－k(－1)k，(x2＋x＋1)(x－1)4的展開式中，x3的系數(shù)為C(－1)3＋C(－1)2＋C(－1)＝－2.
(2)的展開式中常數(shù)項是________.
答案　－1 683
解析　表示五個相乘，則展開式中的常數(shù)項由三種情況產(chǎn)生，第一種是從五個中分別抽取2x，2x，，，－3，則此時的常數(shù)項為C·C·22·(－3)＝－360；第二種情況是從五個中都抽?。?，則此時的常數(shù)項為(－3)5＝－243；第三種情況是從五個中分別抽取2x，，－3，－3，－3，則此時的常數(shù)項為C·C·21·(－3)3＝－1 080，則展開式中常數(shù)項為－360－243－1 080＝－1 683.
　考點二　二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和問題
角度1　二項式系數(shù)和與系數(shù)和
例3 (1)(2022·廣州模擬)若二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為8，則該展開式每一項的系數(shù)之和為(　　)
A.－1 B.1 C.27 D.－27
答案　A
解析　依題意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得，該二項展開式每一項的系數(shù)之和為(1－2)3＝－1.
(2)(多選)(2022·濟南調(diào)研)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.a0＝1
B.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2
C.a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35
D.a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1
答案　ACD
解析　令x＝0，則a0＝15＝1，故A正確；
令x＝1得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝－2，故B錯誤；
令x＝－1得35＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，故C正確；
因為二項式(1－2x)5的展開式的第r＋1項為Tr＋1＝C(－2)rxr，
所以當r為奇數(shù)時，C(－2)r為負數(shù)，即ai＜0(其中i為奇數(shù))，
所以a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，故D正確.
感悟提升　1.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法.
2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
角度2　展開式的逆用
例4 已知－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，則a1＋a2＋a3＋…＋a99＝(　　)
A.－1 B.－2 C.299－1 D.
答案　B
解析　記f(x)＝1－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100－1＝[1－(2－x)]100－1＝(x－1)100－1，
即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.
令x＝0，得a0＝0.
又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.
感悟提升　根據(jù)所給式子的特點結(jié)合二項式展開式的要求，使之具備二項式定理右邊的結(jié)構(gòu)，然后逆用二項式定理求解.
訓練2 (1)(2022·山西八校聯(lián)考)已知(1＋x)n的展開式中第5項和第7項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為(　　)
A.29 B.210 C.211 D.212
答案　A
解析　由題意知C＝C，由組合數(shù)性質(zhì)得n＝10，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為2n－1＝29.
(2)(多選)(2021·武漢模擬)若(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2 021x2 021(x∈R)，則(　　)
A.a0＝1
B.a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝
C.a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝
D.＋＋＋…＋＝－1
答案　ACD
解析　由題意，當x＝0時，a0＝12 021＝1；
當x＝1時，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＝(－1)2 021＝－1，
當x＝－1時，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 021，
所以a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝－，
a0＋a2＋a4＋…＋a2 020＝；
＋＋…＋＝a1×＋a2×＋…＋a2 021×，
當x＝時，0＝a0＋a1×＋a2×＋…＋a2 021×，
所以a1×＋a2×＋…＋a2 021×＝－a0＝－1.
(3)設復數(shù)x＝(i是虛數(shù)單位)，則Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 022＝(　　)
A.0 B.－2 C.－1＋i D.－1－i
答案　B
解析　x＝＝＝－1＋i，由于Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 022＝(1＋x)2 022－1＝i2 022－1＝－1－1＝－2.
　考點三　二項式系數(shù)的最值問題
例5 二項式的展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大，則展開式中x的指數(shù)為整數(shù)的項的個數(shù)為(　　)
A.3 B.5 C.6 D.7
答案　D
解析　根據(jù)的展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大，得n＝20，
∴的展開式的通項為Tk＋1＝C·(x)20－k·＝()20－k·C·x20－，要使x的指數(shù)是整數(shù)，需k是3的倍數(shù)，∴k＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指數(shù)是整數(shù)的項共有7項.
感悟提升　二項式系數(shù)最大項的確定方法：當n為偶數(shù)時，展開式中第＋1項的二項式系數(shù)最大，最大值為；當n為奇數(shù)時，展開式中第項和第項的二項式系數(shù)最大，最大值為或.
訓練3 (1)已知(3x－1)n展開式的第5項的二項式系數(shù)最大，且n為偶數(shù)，則(3x－1)n展開式中x2的系數(shù)為(　　)
A.－252 B.252 C.－28 D.28
答案　B
解析　由題意可得n＝8，則(3x－1)8的展開式的通項是Tr＋1＝C(3x)8－r·(－1)r，令8－r＝2，解得r＝6，則展開式中x2的系數(shù)為C32＝252.
(2)(2022·杭州調(diào)研)在的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最小的項的系數(shù)為(　　)
A.－126 B.－70 C.－56 D.－28
答案　C
解析　∵只有第5項的二項式系數(shù)最大，
∴n＝8，的展開式的通項為
Tk＋1＝(－1)kCx8－k(k＝0，1，2，…，8)，
∴展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)與相應奇數(shù)項的系數(shù)相等，偶數(shù)項的二項式系數(shù)與相應偶數(shù)項的系數(shù)互為相反數(shù)，而展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，因此展開式中第4項和第6項的系數(shù)相等且最小，為(－1)3C＝－56.


1.已知的展開式的第4項等于5，則x等于(　　)
A. B.－ C.7 D.－7
答案　B
解析　由T4＝Cx4＝5，得x＝－.
2.的展開式中x2y3的系數(shù)是(　　)
A.－20 B.－5 C.5 D.20
答案　A
解析　Tr＋1＝C·(－2y)r＝C··(－2)r·x5－r·yr.當r＝3時，展開式中x2y3的系數(shù)為C×(－2)3＝－20.
3.(2021·青島二模)已知(x＋1)的展開式中常數(shù)項為－40，則a的值為(　　)
A.2 B.－2 C.±2 D.4
答案　C
解析　的展開式的通項公式為Tr＋1＝C(ax)5－r·
＝(－1)ra5－rCx5－2r，
令5－2r＝－1可得r＝3，
令5－2r＝0可得r＝，不符合題意，舍去.
∴(－1)3a5－3C＝－40，即10a2＝40，
∴a＝±2.
4.C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝(　　)
A.3n B.2·3n
C.－1 D.
答案　D
解析　C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝20C＋21C＋22C＋…＋2n－1C＝(21C＋22C＋23C＋…＋2nC)＝(20C＋21C＋22C＋23C＋…＋2nC)－＝(1＋2)n－＝.
5.(多選)在二項式的展開式中，有(　　)
A.含x的項 B.含的項
C.含x4的項 D.含的項
答案　ABC
解析　二項式的展開式的通項為Tk＋1＝C·35－k·(－2)k·x10－3k，k＝0，1，2，3，4，5，結(jié)合所給的選項，知ABC的項都含有.
6.(多選)(2022·棗莊模擬)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，則(　　)
A.a0＝－32
B.a2＝－80
C.a3＋4a4＝0
D.a0＋a1＋…＋a5＝1
答案　ABC
解析　令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正確.
令x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正確.
令x＋1＝y(tǒng)，則(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就變?yōu)?y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根據(jù)二項式定理知，a2即二項式(y－2)5展開式中y2項的系數(shù)，Tk＋1＝Cy5－k(－2)k，故a2＝C·(－2)3＝－80，B正確.
a4＝C(－2)1＝－10，a3＝C(－2)2＝40，故C正確.
7.(2020·天津卷)在的展開式中，x2的系數(shù)是__________.
答案　10
解析　∵Tr＋1＝Cx5－r＝2rCx5－3r，令5－3r＝2，得r＝1，∴T2＝2Cx2＝10x2，
∴x2的系數(shù)是10.
8.在(1－)7＋的展開式中，若x2的系數(shù)為19，則a＝________.
答案　2
解析　(1－)7＋的展開式中含x2的項為C(－)6＋C()5＝Cx2＋Cx2a，則aC＋C＝19，解得a＝2.
9.(2020·浙江卷)二項展開式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a4＝__________，a1＋a3＋a5＝__________.
答案　80　122
解析　由題意，得a4＝C×24＝5×16＝80.
當x＝1時，(1＋2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，①
當x＝－1時，(1－2)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1.②
由①－②，得2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244，
可得a1＋a3＋a5＝122.
10.已知在的展開式中，第6項為常數(shù)項.
(1)求n；
(2)求含x2的項的系數(shù).
解　(1)通項公式為Tr＋1＝
Cxx－＝Cx，
∵第6項為常數(shù)項，∴r＝5時，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)
＝×(10－6)＝2，
∴含x2的項的系數(shù)為C＝.
11.(2021·重慶質(zhì)檢)在①只有第6項的二項式系數(shù)最大，②第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，③所有二項式系數(shù)的和為210，這三個條件中任選一個，補充在下面(橫線處)問題中，解決下面兩個問題.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
已知(2x－1)n＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，若(2x－1)n的展開式中，________.
(1)求n的值；
(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的值.
解　(1)選擇條件①：
若(2x－1)n的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則＝5.
所以n＝10.
選擇條件②：
若(2x－1)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等， C＝C.
所以n＝10.
選擇條件③：
若(2x－1)n的展開式中所有二項式系數(shù)的和為210，則2n＝210.
所以n＝10.
(2)由(1)知n＝10，則(2x－1)10＝a0＋a1x1＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10，
令x＝0，則a0＝1，
令x＝－1，則
310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10
＝1＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝310－1.

12.(2022·長春模擬)在的展開式中，常數(shù)項為(　　)
A.12 B.11 C.－11 D.－12
答案　C
解析　的通項為Tk＋1＝C(－1)4－k·，要求常數(shù)項，需求(k＝0，1，2，3，4)的展開式中的常數(shù)項，的展開式的通項為Tr＋1＝C·xk－r·x－2r＝C·xk－3r，令k－3r＝0?k＝3r，即k是3的倍數(shù)，所以k＝0或3.
當k＝0時，C(－1)4－0＝1；當k＝3時，r＝1，C·C·(－1)4－3＝－12，
所以原式展開后的常數(shù)項為1＋(－12)＝－11.
13.已知m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m＝(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
答案　B
解析　由題意可知，a＝C，b＝C.
∵13a＝7b，
∴13·＝7·，
即＝，解得m＝6.
14.(2022·沈陽測試)在①只有第八項的二項式系數(shù)最大；②奇數(shù)項二項式系數(shù)之和為47；③各項系數(shù)之和為414；這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的k存在，求k的值；若k不存在，說明理由.
設二項式，若其展開式中，________，是否存在整數(shù)k，使得Tk是展開式中的常數(shù)項？
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分.
解　若選填條件①，即只有第八項的二項式系數(shù)最大，則n＝14；
若選填條件③，即各項系數(shù)之和為414，則4n＝414，即n＝14.
二項式展開式的通項：
Tk＝C·()15－k·＝3k－1·C·x.
由21－7k＝0，得k＝3.
即存在整數(shù)k＝3，使得Tk是展開式中的常數(shù)項；
若選填條件②，即奇數(shù)項二項式系數(shù)之和為47，則2n－1＝47＝214，所以n＝15.
二項式展開式的通項：
Tk＝C·()16－k·
＝3k－1·C·x.
由22－7k＝0，得k＝?Z，即不存在整數(shù)k，使得Tk是展開式中的常數(shù)項.

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