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　題型一　頻率分布直方圖
例1 某鄉(xiāng)鎮(zhèn)加大投資建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，大力發(fā)展鄉(xiāng)村旅游產(chǎn)業(yè)，顯著提高了農(nóng)民收入.為了提升旅游質(zhì)量，打造特色旅游品牌，鎮(zhèn)政府聘請有關(guān)專家和環(huán)保部門工作人員50人，對A，B兩個(gè)特色旅游村進(jìn)行評價(jià)(滿分100分)，并得到A村評價(jià)分?jǐn)?shù)(單位：分)的頻數(shù)分布表和B村評價(jià)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，如下：
A村評價(jià)分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表
分?jǐn)?shù)
[60，65)
[65，70)
[70，75)
[75，80)
人數(shù)
2
5
8
10





分?jǐn)?shù)
[80，85)
[85，90)
[90，95)
[95，100]
人數(shù)
14
6
4
1
B村評價(jià)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖

有關(guān)專家與環(huán)保部門工作人員對旅游村的評價(jià)分?jǐn)?shù)的規(guī)定如下：
分?jǐn)?shù)
[60，75)
[75，90)
[90，100]
等級
Ⅰ級
Ⅱ級
Ⅲ級
等級越高旅游資源開發(fā)越好，如Ⅱ級好于Ⅰ級.
(1)估計(jì)A村評價(jià)分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，并求a的值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；
(2)從參與評價(jià)的50人中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該人對A村評價(jià)分?jǐn)?shù)等級比B村評價(jià)分?jǐn)?shù)等級高的頻率；
(3)以評價(jià)分?jǐn)?shù)為依據(jù)，比較A，B兩村旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展質(zhì)量情況.
解　(1)因?yàn)锳村評價(jià)分?jǐn)?shù)頻數(shù)最多的出現(xiàn)在[80，85)，
所以估計(jì)A村評價(jià)分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為＝82.5(分).
由5×(0.012×2＋0.020＋0.024＋2a＋0.036＋0.040)＝1，解得a＝0.028.
(2)設(shè)從參與評價(jià)的50人中隨機(jī)抽取1人，該人“對A村評價(jià)分?jǐn)?shù)等級為Ⅱ”的事件為A2，“對A村評價(jià)分?jǐn)?shù)等級為Ⅲ”的事件為A3；
“對B村評價(jià)分?jǐn)?shù)等級為Ⅰ”的事件為B1，“對B村評價(jià)分?jǐn)?shù)等級為Ⅱ”的事件為B2.
由題表可知，P(A2)＝＝0.6，P(A3)＝＝0.1.
由題圖可知，P(B1)＝(0.012＋0.020＋0.028)×5＝0.3，
P(B2)＝(0.036＋0.040＋0.024)×5＝0.5.
A村評價(jià)分?jǐn)?shù)等級比B村評價(jià)分?jǐn)?shù)等級高的概率為
P(A2B1)＋P(A3B1)＋P(A3B2)＝P(A2)P(B1)＋P(A3)·P(B1)＋P(A3)P(B2)＝0.6×0.3＋0.1×0.3＋0.1×0.5＝0.26，
所以該人對A村評價(jià)分?jǐn)?shù)等級比B村評價(jià)分?jǐn)?shù)等級高的概率估計(jì)值為0.26.
(3)A村評價(jià)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)
A＝×62.5＋×67.5＋×72.5＋×77.5＋×82.5＋×87.5＋×92.5＋×97.5＝79.3(分).
B村評價(jià)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)
B＝5×[0.012×(62.5＋97.5)＋0.020×67.5＋0.028×(72.5＋92.5)＋0.036×77.5＋0.040×82.5＋0.024×87.5]＝80.4(分).
因?yàn)锳＜B，所以從評價(jià)分?jǐn)?shù)來看，B村旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展質(zhì)量要高于A村.
感悟提升　1.頻率分布直方圖的性質(zhì).
(1)小長方形的面積＝組距×＝頻率；
(2)各小長方形的面積之和等于1；
(3)小長方形的高＝.
2.要理解并記準(zhǔn)頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的關(guān)系.
訓(xùn)練1 為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：


記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.
(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；
(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).
解　(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，
故a＝0.35，
b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.
(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為
2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.
乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為
3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
　題型二　成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析
角度1　回歸方程及其應(yīng)用
例2 下表是國際數(shù)據(jù)公司(IDC)研究的全球近6年每年數(shù)字媒體閱讀產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量(單位：ZB)及相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
序號x
1
2
3
4
5
6
年數(shù)據(jù)
量y
7
9
17
22
34
43



(xi－)2
(zi－)
(zi－)2
(xi－)(zi－)
3.5
22
2
18
14
124
9
表中zi＝ln yi，＝zi.
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)信息判斷，方程y＝c1·ec2x(e是自然對數(shù)的底數(shù))更適宜作為該公司統(tǒng)計(jì)的年數(shù)據(jù)量y關(guān)于年份序號x的回歸方程類型，試求此回歸方程；
(2)根據(jù)(1)中的回歸方程，預(yù)計(jì)2024年的全世界數(shù)字媒體閱讀產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2021年的多少倍？并說明理由.(參考數(shù)據(jù)：e≈2.718，≈1.648，結(jié)果精確到0.1)
參考公式：回歸方程＝＋x中，斜率最小二乘法公式＝＝，＝－.
解　(1)由y＝c1·ec2x，兩邊同時(shí)取自然對數(shù)得ln y＝ln(c1·ec2x)＝ln c1＋c2x，
設(shè)z＝ln y，則z＝ln c1＋c2x.
因?yàn)椋?.5，＝2， (xi－)2＝18，
(xi－)(zi－)＝9，
所以2＝＝＝，
ln 1＝－2＝2－0.5×3.5＝0.25.
所以z＝0.25＋0.5x＝ln y，所以y＝e0.25＋0.5x.
(2)令x＝7，得1＝e0.25＋0.5×7＝e3.75.
令x＝10，得2＝e5.25，
＝e1.5＝e≈4.5，預(yù)計(jì)2024年全世界產(chǎn)生的數(shù)據(jù)規(guī)模是2021年的4.5倍.
角度2　獨(dú)立性檢驗(yàn)
例3 (2020·新高考全國Ⅰ卷改編)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：
　　SO2

PM2.5　　
[0，50)
[150，475]
合計(jì)
[0，75)
64
16
80
[75，115]
10
10
20
合計(jì)
74
26
100
依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該市一天中空氣中PM2.5濃度是否和SO2濃度有關(guān)？
解　零假設(shè)為H0：該市一天中空氣中PM2.5濃度與SO2濃度無關(guān).
χ2＝
＝＝
≈7.484 4＞6.635＝x0.01，
依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以判斷H0不成立，即認(rèn)為該市一天中空氣中PM2.5濃度和SO2濃度有關(guān).
感悟提升　成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析包括：
(1)成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性，主要是建立一元線性回歸模型；
(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)：通過計(jì)算隨機(jī)變量χ2的值，推斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系.
訓(xùn)練2 (2022·濟(jì)南模擬)某創(chuàng)新公司在第1個(gè)月至第7個(gè)月的5G經(jīng)濟(jì)收入y(單位：百萬元)關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如下表：
時(shí)間(月份)
1
2
3
4
5
6
7
收入(百萬元)
6
11
21
34
66
101
196
根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖：

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝ax＋b與y＝c·dx(a，b，c，d均為大于零的常數(shù))哪一個(gè)適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月份x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)并根據(jù)你的判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程；
(2)請你預(yù)測該公司8月份的5G經(jīng)濟(jì)收入.
參考數(shù)據(jù)：
yi
vi
xiyi
xivi
100.45
100.54
462
10.78
2 711
50.12
2.82
3.47
其中設(shè)v＝lg y，vi＝lg yi.
參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(xi，vi)(i＝1，2，3，…，n)，其回歸直線＝x＋的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：＝，＝－.
解　(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝c·dx適宜作為5G經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于月代碼x的回歸方程類型.
∵y＝c·dx，兩邊同時(shí)取常用對數(shù)得lg y＝lg(c·dx)＝lg c＋lg d·x.
設(shè)lg y＝v，∴v＝lg c＋lg d·x.
∵＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝vi＝×10.78＝1.54，
x＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＝140，
∴l(xiāng)g ＝
＝＝＝0.25，
把樣本中心點(diǎn)(4，1.54)代入v＝lg c＋lg d·x，
得1.54＝lg ＋0.25×4，
∴l(xiāng)g ＝0.54，＝0.54＋0.25x，
∴l(xiāng)g ＝0.54＋0.25x，
∴y關(guān)于x的回歸方程為＝100.54＋0.25x＝3.47×100.25x.
(2)∵當(dāng)x＝8時(shí)，＝3.47×100.25×8＝347，
∴預(yù)測8月份的5G經(jīng)濟(jì)收入為347百萬元.
　題型三　概率與統(tǒng)計(jì)
角度1　離散型隨機(jī)變量及其分布列
例4 (12分)某市某超市為了回饋新老顧客，決定在2023年元旦來臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎(jiǎng)派送禮品活動.為設(shè)計(jì)一套趣味性抽獎(jiǎng)送禮品的活動方案，該超市面向該市某高中學(xué)生征集活動方案，該中學(xué)某班數(shù)學(xué)興趣小組提供的方案獲得了征用.方案如下：將一個(gè)4×4×4的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個(gè)相同的小正方體.經(jīng)過攪拌后，從中任取兩個(gè)小正方體，記它們的著色面數(shù)之和為ξ，記抽獎(jiǎng)一次中獎(jiǎng)的禮品價(jià)值為η.
(1)求P(ξ＝3)；
(2)凡是元旦當(dāng)天在該超市購買物品的顧客，均可參加抽獎(jiǎng).記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為6，設(shè)為一等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值50元的禮品；記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為5，設(shè)為二等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值30元的禮品；記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為4，設(shè)為三等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值10元的禮品，其他情況不獲獎(jiǎng).求某顧客抽獎(jiǎng)一次獲得的禮品價(jià)值的分布列與數(shù)學(xué)期望.
[規(guī)范答題]
解　(1)64個(gè)小正方體中，三面著色的有8個(gè)，兩面著色的有24個(gè)，一面著色的有24個(gè)，另外8個(gè)沒有著色，
∴P(ξ＝3)＝＝＝.……………………4分
(2)ξ的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6，η的取值為50，30，10，0，
……………………5分
P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝＝＝，……………………6分
P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝＝＝，……………………7分
P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝＝＝，……………………8分
P(η＝0)＝1－－－＝.……………………9分
所以隨機(jī)變量η的分布列為
η
50
30
10
0
P




……………………10分
∴E(η)＝50×＋30×＋10×＋0×＝.……………………12分

第一步　確定隨機(jī)變量的所有可能值
第二步　求每一個(gè)可能值所對應(yīng)的概率
第三步　列出離散型隨機(jī)變量的分布列
第四步　求均值和方差
第五步　反思回顧、查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范
角度2　概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題
例5 某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系，對該校200名學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天運(yùn)動的時(shí)間(單位：分鐘)進(jìn)行調(diào)查，將收集的數(shù)據(jù)分成[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]六組，并作出頻率分布直方圖(如圖)，將日均課外體育鍛煉時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生評價(jià)為“課外體育達(dá)標(biāo)”.

(1)請根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別是否有關(guān)？

課外體育不達(dá)標(biāo)
課外體育達(dá)標(biāo)
合計(jì)
男
60


女


110
合計(jì)



(2)現(xiàn)按照“課外體育達(dá)標(biāo)”與“課外體育不達(dá)標(biāo)”進(jìn)行分層抽樣，抽取8人，再從這8名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人參加體育知識問卷調(diào)查，記“課外體育不達(dá)標(biāo)”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解　(1)由題意得“課外體育達(dá)標(biāo)”人數(shù)為200×[(0.02＋0.005)×10]＝50，
則“課外體育不達(dá)標(biāo)”人數(shù)為150，∴列聯(lián)表如下：

課外體育不達(dá)標(biāo)
課外體育達(dá)標(biāo)
合計(jì)
男
60
30
90
女
90
20
110
合計(jì)
150
50
200
假設(shè)H0為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別無關(guān).
∴χ2＝＝≈6.061>3.841＝x0.05.
∴根據(jù)小概率α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān).
(2)由題意采用分層抽樣在“課外體育達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中抽取2人，在“課外體育不達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中抽取6人，由題意知：ξ的所有可能取值為1，2，3，
P(ξ＝1)＝＝＝；P(ξ＝2)＝＝＝；
P(ξ＝3)＝＝＝；
故ξ的分布列為
ξ
1
2
3
P



故ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
感悟提升　解決此類問題要先提取統(tǒng)計(jì)中的有用信息，用以解決概率問題.
角度3　正態(tài)分布的綜合問題
例6 (2022·保定模擬)某食品店為了了解氣溫對銷售量的影響，隨機(jī)記錄了該店1月份其中5天的日銷售量y(單位：千克)與該地當(dāng)日最低氣溫x(單位：℃)的數(shù)據(jù)，如下表：
x
2
5
8
9
11
y
12
10
8
8
7
(1)求出y與x的回歸方程＝x＋；
(2)判斷y與x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，若該地1月份某天的最低氣溫為6 ℃，請用所求回歸方程預(yù)測該店當(dāng)日的銷售量；
(3)設(shè)該地1月份的日最低氣溫X～N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2，求P(3.8≤X≤13.4).
附：①回歸方程＝x＋中，
＝，＝－.
②≈3.2，≈1.8.
若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
解　(1)＝xi＝＝7，
＝y(tǒng)i＝＝9，
xiyi－5＝2×12＋5×10＋8×8＋9×8＋11×7－5×7×9＝－28，
x－52＝22＋52＋82＋92＋112－5×72＝50，
∴＝＝－0.56.
∴＝－＝9－(－0.56)×7＝12.92.
∴所求的回歸方程是＝－0.56x＋12.92.
(2)由＝－0.56＜0知，y與x之間是負(fù)相關(guān)，
將x＝6代入回歸方程可預(yù)測該店當(dāng)日的銷售量＝－0.56×6＋12.92＝9.56(千克).
(3)由(1)知μ＝＝7，由σ2＝s2＝[(2－7)2＋(5－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2＋(11－7)2]＝10，得σ≈3.2.
從而P(3.8≤X≤13.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝P(μ－σ≤X≤μ)＋P(μ≤X≤μ＋2σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.818 6.
感悟提升　數(shù)形結(jié)合，將所求區(qū)間轉(zhuǎn)化為三個(gè)特殊區(qū)間求解.
訓(xùn)練3 (2022·廣州調(diào)研)某城市A公司外賣配送員底薪是每月1 800元，設(shè)一人每月配送的單數(shù)為X，若X∈[1，300]，每單提成3元，若X∈(300，600]，每單提成4元，若X∈(600，＋∞)，每單提成4.5元.B公司外賣配送員底薪是每月2 100元，設(shè)一人每月配送單數(shù)為Y，若Y∈[1，400]，每單提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每單提成4元.小王想在A公司和B公司之間選擇一份外賣配送員工作，他隨機(jī)調(diào)查了A公司外賣配送員甲和B公司外賣配送員乙在2022年4月份(30天)的送餐量數(shù)據(jù)，如下表：
表1　A公司外賣配送員甲送餐量統(tǒng)計(jì)
日送餐量x/單
13
14
16
17
18
20
天數(shù)
2
6
12
6
2
2
表2　B公司外賣配送員乙送餐量統(tǒng)計(jì)
日送餐量y/單
11
13
14
15
16
18
天數(shù)
4
5
12
3
5
1
(1)設(shè)A公司外賣配送員月工資(單位：元)為f(X)，B公司外賣配送員月工資(單位：元)為g(Y)，當(dāng)X＝Y(jié)且X，Y∈(300，600]時(shí)，比較f(X)與g(Y)的大小關(guān)系；
(2)將甲、乙4月份的日送餐量的頻率視為對應(yīng)公司的外賣配送員日送餐量的概率.
①計(jì)算外賣配送員甲和乙的日送餐量的數(shù)學(xué)期望E(x)和E(y)；
②請利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識為小王做出選擇，并說明理由.
解　(1)當(dāng)X＝Y(jié)且X，Y∈(300，600]時(shí)，g(Y)＝g(X)；
當(dāng)X∈(300，400]時(shí)，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋3X)＝X－300>0；
當(dāng)X∈(400，600]時(shí)，f(X)－g(Y)＝f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋4X)＝－300g(Y)；
當(dāng)X∈(400，600]時(shí)，f(X)E(X)，所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.
2.某企業(yè)對設(shè)備進(jìn)行升級改造，現(xiàn)從設(shè)備改造前、后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在[20，40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖如圖所示.

下表是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表：
質(zhì)量指
標(biāo)值
[15，
20)
[20，
25)
[25，
30)
[30，
35)
[35，
40)
[40，
45]
頻數(shù)
2
18
48
14
16
2
(1)請估計(jì)該企業(yè)在設(shè)備改造前的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值表示)；
(2)設(shè)備改造后，企業(yè)將不合格品全部銷毀，并對合格品進(jìn)行等級細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在[25，30)內(nèi)的定為一等品，每件售價(jià)240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在[20，25)或[30，35)內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià)180元；其他的合格品定為三等品，每件售價(jià)120元.根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，用該樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有合格產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率.現(xiàn)有一名顧客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費(fèi)用為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解　(1)根據(jù)題圖可知，設(shè)備改造前樣本的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為5×(0.008×17.5＋0.032×22.5＋0.080×27.5＋0.024×32.5＋0.036×37.5＋0.020×42.5)＝30.2.
根據(jù)設(shè)備改造前樣本的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)估計(jì)設(shè)備改造前總體的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為30.2.
(2)根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)總體的概率分布，合格的樣本中一、二、三等品的頻率分別為，，，故從所有合格產(chǎn)品中隨機(jī)抽一件，抽到一、二、三等品的概率分別為，，.
易知隨機(jī)變量X的取值為240，300，360，420，480，
則P(X＝240)＝×＝，P(X＝300)＝C××＝，
P(X＝360)＝C××＋×＝，
P(X＝420)＝C××＝，
P(X＝480)＝×＝.
所以隨機(jī)變量X的分布列為
X
240
300
360
420
480
P





所以E(X)＝240×＋300×＋360×＋420×＋480×＝400.
3.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：
支付金額(元)
支付方式　　
(0，1 000]
(1 000，2 000]
大于2 000
僅使用A
18人
9人
3人
僅使用B
10人
14人
1人
(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；
(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1 000元的人數(shù)，求X的分布列和均值；
(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2 000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？說明理由.
解　(1)由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18＋9＋3＝30(人)，僅使用B的學(xué)生有10＋14＋1＝25(人)，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人，
故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100－30－25－5＝40(人).
所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率為＝0.4.
(2)X的所有可能值為0，1，2.
記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1 000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1 000元”.
由題設(shè)知，事件C，D相互獨(dú)立，
且P(C)＝＝0.4，P(D)＝＝0.6，
所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24.
P(X＝1)＝P(C∪D)＝P(C)P()＋P()P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，
P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.24.
所以X的分布列為
X
0
1
2
P
0.24
0.52
0.24
故X的均值E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.0.
(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額大于2 000元”.
假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2 000元的人數(shù)沒有變化，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)＝＝.
答案示例1：可以認(rèn)為有變化.理由如下：
P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.
一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2 000元的人數(shù)發(fā)生了變化，所以可以認(rèn)為有變化.
答案示例2：無法確定有沒有變化.理由如下：
事件E是隨機(jī)事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還有是可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化.
4.某土特產(chǎn)超市為預(yù)估2023年元旦期間游客購買土特產(chǎn)的情況，于2022年元旦期間90位游客的購買情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下人數(shù)分布表.
購買金額/元
[0，15)
[15，30)
[30，45)
[45，60)
[60，75)
[75，90]
人數(shù)
10
15
20
15
20
10
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的情況下認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).

不少于60元
少于60元
總計(jì)
男

40

女
18


總計(jì)



(2)為吸引游客，該超市推出一種優(yōu)惠方案：購買金額不少于60元可抽獎(jiǎng)3次，每次中獎(jiǎng)的概率為p(每次抽獎(jiǎng)互不影響，且p的值等于人數(shù)分布表中購買金額不少于60元的頻率)，中獎(jiǎng)1次減5元，中獎(jiǎng)2次減10元，中獎(jiǎng)3次減15元.若游客甲計(jì)劃購買80元的土特產(chǎn)，請列出實(shí)際付款數(shù)X(元)的分布列并求其數(shù)學(xué)期望.
附參考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
附表：
α
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
xα
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
解　(1)2×2列聯(lián)表如下：

不少于60元
少于60元
總計(jì)
男
12
40
52
女
18
20
38
總計(jì)
30
60
90
零假設(shè)為H0：購買金額是否少于60元與性別無關(guān).
χ2＝＝≈5.83>3.841＝x0.05，
根據(jù)小概率值α＝0.05的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，因此能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的情況下認(rèn)為購買金額是否少于60元與性別有關(guān).
(2)X的所有可能取值為65，70，75，80，
且p＝＝.
P(X＝65)＝C＝，
P(X＝70)＝C×＝，
P(X＝75)＝C××＝，
P(X＝80)＝C＝，
X的分布列為
X
65
70
75
80
P




E(X)＝65×＋70×＋75×＋80×＝75.

5.(2022·福州模擬)某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量y(g)與尺寸x(mm)之間近似滿足關(guān)系式y(tǒng)＝c·xb(b，c為大于0的常數(shù)).按照某指標(biāo)測定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間(0.302，0.388)內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下：
尺寸x(mm)
38
48
58
68
78
88
質(zhì)量y(g)
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
質(zhì)量與尺寸的比
0.442
0.392
0.357
0.329
0.308
0.290
(1)現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選2件，求選中的2件均為優(yōu)等品的概率；
(2)根據(jù)測得的數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值為下表：
(ln xi·ln yi)
(ln xi)
(ln yi)
(ln xi)2
75.3
24.6
18.3
101.4
根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量，求y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程.
附：對于樣本(vi，ui)(i＝1，2，…，6)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線＝·v＋的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：
＝＝，＝－.
解　(1)由已知，優(yōu)等品的質(zhì)量與尺寸的比
∈(0.302，0.388)，
則隨機(jī)抽取的6件合格產(chǎn)品中，有3件為優(yōu)等品，記為a，b，c，
有3件為非優(yōu)等品，記為d，e，f，
現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選2件，樣本點(diǎn)為：
(a，b)，(a，c)，(c，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，
選中的兩件均為優(yōu)等品的樣本點(diǎn)為(a，b)，(a，c)，(b，c)，所以所求概率為＝.
(2)對y＝c·xb兩邊取自然對數(shù)得
ln y＝ln c＋bln x，
令vi＝ln xi，ui＝ln yi，則＝·v＋，
且＝ln c，
由所給統(tǒng)計(jì)量及最小二乘估計(jì)公式有：
＝＝＝＝，
＝－＝＝1，
由＝ln c得c＝e，
所以y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為
＝ex0.5.
6.(2021·重慶診斷)水污染現(xiàn)狀與工業(yè)廢水排放密切相關(guān).某工廠深入貫徹科學(xué)發(fā)展觀，努力提高污水收集處理水平，其污水處理程序如下：原始污水必先經(jīng)過A系統(tǒng)處理，處理后的污水(A級水)達(dá)到環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)(簡稱達(dá)標(biāo))的概率為p(0

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