?2023-2024學(xué)年廣東省廣州大學(xué)附中九年級(jí)上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）下列二次根式中屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（　?。?br /> A． B． C． D．
2．（3分）下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（　?。?br /> A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52
C．，， D．30，40，50
3．（3分）如圖，在?ABCD 中，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，若DE：DF＝2：3，?ABCD的周長(zhǎng)為10，則AB的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．2 B． C．3 D．
4．（3分）下列各圖象中，y不是x的函數(shù)的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
5．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的最大值和最小值分別是（　　）
A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．1，﹣4
6．（3分）如圖，四邊形ABCD是一個(gè)由5張紙片拼成的菱形（相鄰紙片之間互不重疊），其中四張紙片為大小形狀相同的平行四邊形，連結(jié)BE，ED，DG，GB．記S四邊形EFGH＝S1，S四邊形EDGB＝S2，若，則平行四邊形紙片長(zhǎng)與寬的比值為（　?。?br />
A．3 B．4 C． D．
7．（3分）下列運(yùn)算中，錯(cuò)誤的有（　　）
①＝，②＝±4，③＝2，④＝+＝．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
8．（3分）函數(shù)y＝2x+2的圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（　　）

A．當(dāng)x＞0時(shí)，y＞2 B．當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0
C．當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0 D．當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y＞2
9．（3分）一組數(shù)據(jù)的方差計(jì)算公式為：，下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）
A．平均數(shù)是7 B．中位數(shù)是6.5
C．眾數(shù)是6 D．方差是1
10．（3分）將四個(gè)圖1中的直角三角形，分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，則圖2中陰影部分的面積為（　?。?br />
A．11 B．12 C．13 D．14
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（3分）當(dāng)x　 　時(shí)，二次根式有意義．
12．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB交y軸于點(diǎn)B（0，2），現(xiàn)將直線AB繞點(diǎn)A（1，﹣1）按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°交x軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 　 ?。?br />
13．（3分）某商貿(mào)公司2017年盈利100萬(wàn)元，2019年盈利144萬(wàn)元，且2017年到2019年每年盈利的增長(zhǎng)率相同，則該公司2018年盈利　 　萬(wàn)元．
14．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則﹣2x1+x2的值為 　 ?。?br /> 15．（3分）直線y＝﹣2x+2交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD，點(diǎn)P在x軸上，使S△PCD＝S△ACB，則點(diǎn)P坐標(biāo)為 　 ?。?br /> 16．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，且AE＝1，F(xiàn)是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，以EF為邊作矩形EFGH，使EH＝EF，矩形E'F'G'H'是矩形EFGH關(guān)于對(duì)角線BD的軸對(duì)稱圖形．
（1）當(dāng)點(diǎn)G'落在BD上時(shí)，tan∠GFB＝　 ??；
（2）在F從A到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中當(dāng)矩形E'F'G'H'與矩形ABCD的邊只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，AF的取值范圍是 　 　．

三．解答題（共9小題，滿分72分）
17．（6分）（1）計(jì)算：（）2﹣（2018﹣2019）0+（+1）（﹣1）+tan30°；
（2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
18．（4分）二次函數(shù)y＝x2+bx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0）．請(qǐng)用配方法求出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
19．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＞AB．
（1）作出∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：AB＝AE．

20．（6分）如圖，直角坐標(biāo)系中的網(wǎng)格由單位正方形構(gòu)成，△ABC中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1）．
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）求證：AC⊥BC．

21．（8分）2月20日，北京冬奧會(huì)圓滿落幕．在這屆舉世矚目的冬奧會(huì)中，谷愛(ài)凌“一飛沖天”，蘇翊鳴“一鳴驚人”，短道速滑夢(mèng)之隊(duì)“一往無(wú)前”，……運(yùn)動(dòng)健兒們挑戰(zhàn)極限、攀登頂峰的精神鼓舞著無(wú)數(shù)人．為弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)體育的熱愛(ài)，某校隨機(jī)抽取20名學(xué)生，進(jìn)行“奧運(yùn)知識(shí)知多少”的測(cè)試，滿分10分，并繪制如圖統(tǒng)計(jì)圖：
（1）這20名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是 　 　，眾數(shù)是 　 ??；
（2）求這20名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)；
（3）若成績(jī)?cè)?分及以上為優(yōu)秀，請(qǐng)你估計(jì)該校120名學(xué)生中，成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生有多少名？

22．（10分）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OD的中點(diǎn)，DF∥AC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．
（1）求證：四邊形AODF是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求CF的長(zhǎng)．

23．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x+m與直線l2交于點(diǎn)A（﹣2，3），直線l2與x軸交于點(diǎn)C（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，將直線l2向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l3，l3與y軸交于點(diǎn)D，與l1交于點(diǎn)E，連接AD．
（1）求直線l2的解析式；
（2）求△ADE的面積；
（3）在平面直角坐標(biāo)系中存在點(diǎn)P，使得以A、E、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸，交拋物線于點(diǎn)D，連接AD．
（1）點(diǎn)P為線段AD上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PD，PE，當(dāng)△PAD面積最大時(shí)，求PE+AE的最小值；
（2）在（1）中，PE+AE取得最小值時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，將△AEF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′E′F，點(diǎn)A、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、E′，在直線AD上是否存在一點(diǎn)Q，使得△DE′Q為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

25．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝12cm，CD＝14cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)四邊形APQD是矩形時(shí)，直接寫出t的值為 　 ??；
（2）當(dāng)PQ＝BC時(shí)，求t的值；
（3）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若四邊形BPDQ能夠成為菱形，求AD的長(zhǎng)．


2023-2024學(xué)年廣東省廣州大學(xué)附中九年級(jí)上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）下列二次根式中屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、＝2，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式；
B、，是最簡(jiǎn)二次根式；
C、，被開方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式；
D、＝2，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式；
故選：B．
2．（3分）下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（　?。?br /> A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52
C．，， D．30，40，50
【答案】D
【解答】解：A、0.32+0.42＝0.52，但0.3，0.4，0.5不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；
B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股數(shù)，不符合題意；
C、（）2+（）2≠（）2，不是勾股數(shù)，不符合題意；
D、302+402＝502，是勾股數(shù)，符合題意．
故選：D．
3．（3分）如圖，在?ABCD 中，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，若DE：DF＝2：3，?ABCD的周長(zhǎng)為10，則AB的長(zhǎng)為（　　）

A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，DC＝AB，
∵?ABCD的周長(zhǎng)是10，
∴AB+BC＝5，
∵S平行四邊形ABCD＝AB?DE＝BC?DF，
∵DE：DF＝2：3，
∴AB：BC＝3：2，
∴AB＝5×＝3，
故選：C．
4．（3分）下列各圖象中，y不是x的函數(shù)的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：選項(xiàng)A，根據(jù)圖象，當(dāng)x＝0時(shí)，y有兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，因此不是函數(shù)，符合題目要求．
選項(xiàng)B、C、D，根據(jù)圖象，每一個(gè)x的值，都有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，因此是函數(shù)，不符合題目要求．
故選：A．
5．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的最大值和最小值分別是（　?。?br /> A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．1，﹣4
【答案】A
【解答】解：將y＝x2﹣2x﹣3配方，得y＝（x﹣1）2﹣4，
由二次項(xiàng)系數(shù)1＞0可知拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x＝1．
由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可得，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y隨x的增大而增大．
故當(dāng)x＝1時(shí)，存在最小值且最小值為﹣4，當(dāng)x＝3時(shí)，存在最大值且最大值為0．
故選：A．
6．（3分）如圖，四邊形ABCD是一個(gè)由5張紙片拼成的菱形（相鄰紙片之間互不重疊），其中四張紙片為大小形狀相同的平行四邊形，連結(jié)BE，ED，DG，GB．記S四邊形EFGH＝S1，S四邊形EDGB＝S2，若，則平行四邊形紙片長(zhǎng)與寬的比值為（　?。?br />
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于P，交MG的延長(zhǎng)線于Q，

設(shè)小平行四邊形的寬是x，長(zhǎng)是y，DQ＝h，PQ＝h1，
∵周圍四張小平行四邊形紙片都全等，
∵EH＝GH＝FG＝EF＝y(tǒng)﹣x，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝．
即平行四邊形紙片長(zhǎng)與寬的比值為4．
故選：B．
7．（3分）下列運(yùn)算中，錯(cuò)誤的有（　?。?br /> ①＝，②＝±4，③＝2，④＝+＝．
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【解答】解：①＝＝，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
②＝4，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
③＝2，故此選項(xiàng)正確，不合題意；
④＝＝＝，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．
故選：C．
8．（3分）函數(shù)y＝2x+2的圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（　?。?br />
A．當(dāng)x＞0時(shí)，y＞2 B．當(dāng)x＜0時(shí)，y＜0
C．當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0 D．當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y＞2
【答案】A
【解答】解：在y＝2x+2中，令x＝0時(shí)，y＝2，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，y＞2，
故選：A．
9．（3分）一組數(shù)據(jù)的方差計(jì)算公式為：，下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．平均數(shù)是7 B．中位數(shù)是6.5
C．眾數(shù)是6 D．方差是1
【答案】D
【解答】解：由方差的計(jì)算公式知，這組數(shù)據(jù)為6、6、7、9，
所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為＝7，故選項(xiàng)A不符合題意；
中位數(shù)是＝6.5，故選項(xiàng)B不符合題意；
眾數(shù)是6，故選項(xiàng)C不符合題意；
方差是[2×（6﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2]＝1.5，故選項(xiàng)D符合題意．
故選：D．
10．（3分）將四個(gè)圖1中的直角三角形，分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，則圖2中陰影部分的面積為（　?。?br />
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解答】解：由圖2可知，大正方形的面積＝5×5＝25，圖3中小正方形的面積＝1×1＝1，
設(shè)直角三角形的較長(zhǎng)邊為a，較短邊為b，
則由圖2可得a2+b2+4×＝25，
即a2+b2+2ab＝25①，
由圖3可得（a﹣b）2＝1，
即a2+b2﹣2ab＝1②，
聯(lián)立①和②可得a2+b2＝13，
即圖2中陰影部分的面積為13，
故選：C．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（3分）當(dāng)x　≥2或＜0　時(shí)，二次根式有意義．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：根據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)≥0；
根據(jù)分式有意義的條件，x≠0，
可得或，
解得x≥2或x＜0．
所以自變量x的取值范圍是x≥2或x＜0．
故答案為x≥2或x＜0．
12．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB交y軸于點(diǎn)B（0，2），現(xiàn)將直線AB繞點(diǎn)A（1，﹣1）按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°交x軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 　（﹣1，0）?。?br />
【答案】（﹣1，0）．
【解答】解：過(guò)A作AF⊥y軸于F，過(guò)B作BD⊥AB，交直線AC于D，作DE⊥y軸于E，
∵A（1，﹣1），B（0，2），
∴AF＝1，OF＝1，OB＝2，
∴BF＝3，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，
∵∠ABF+∠DBE＝∠DBE+∠BDE＝90°，
∴∠ABF＝∠BDE，
∴△ABF≌△BDE（AAS），
∴AF＝BE＝1，BF＝DE＝3，
∴OE＝OB﹣BE＝2﹣1＝1，
∴D（﹣3，1），
設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝kx+b，
把A（1，﹣1），D（﹣3，1）代入得，
解得，
∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x﹣，
令y＝0，則x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
故答案為：（﹣1，0）．

13．（3分）某商貿(mào)公司2017年盈利100萬(wàn)元，2019年盈利144萬(wàn)元，且2017年到2019年每年盈利的增長(zhǎng)率相同，則該公司2018年盈利　120　萬(wàn)元．
【答案】120．
【解答】解：設(shè)平均年增長(zhǎng)率為x，
根據(jù)題意得：100（1+x）2＝144，
整理得：（1+x）2＝1.44，
開方得：1+x＝±1.2，
解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去），
則平均年增長(zhǎng)率為20%，
∴該公司2018年盈利100（1+20%）＝120（萬(wàn)元）．
故答案為：120．
14．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則﹣2x1+x2的值為 　8　．
【答案】8．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x12﹣3x1＝5，x1+x2＝3，
∴﹣2x1+x2＝（x12﹣3x1）+（x1+x2）＝5+3＝8．
故答案為：8．
15．（3分）直線y＝﹣2x+2交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD，點(diǎn)P在x軸上，使S△PCD＝S△ACB，則點(diǎn)P坐標(biāo)為 　P（1，0）或P（6，0）?。?br /> 【答案】（1，0）或（6，0）．
【解答】解：令y＝﹣2x+2＝0，解得：x＝1，
令x＝0，y＝2，
∴點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（1，0），
∴AB＝＝，
如圖，作CE⊥x軸與E點(diǎn)，

∵∠CBE+∠ECB＝90°，∠CBE+∠ABO＝90°，
∴∠ECB＝∠ABO，
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴EB＝AO＝2，EC＝BO＝1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，1），
同理得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，3），
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0）（x＞0），
分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴S△BCD＝S△ACB＝S正方形ABCD＝××＝，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)S△PCD＝S△ACB，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，0）；
②如圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)P2處時(shí)，
S△PCD＝S△DBP﹣S△DBC﹣S△PCB，
∵S△BCD＝S△ACB＝S正方形ABCD＝××＝，
∴PB×3﹣PB×1﹣＝，
解得：x＝6，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（6，0）；
故答案為：（1，0）或（6，0）．
16．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，且AE＝1，F(xiàn)是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，以EF為邊作矩形EFGH，使EH＝EF，矩形E'F'G'H'是矩形EFGH關(guān)于對(duì)角線BD的軸對(duì)稱圖形．
（1）當(dāng)點(diǎn)G'落在BD上時(shí)，tan∠GFB＝　??；
（2）在F從A到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中當(dāng)矩形E'F'G'H'與矩形ABCD的邊只有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，AF的取值范圍是 ?。糀F＜?。?br />
【答案】（1）．
（2）＜AF＜．
【解答】解：（1）如圖，作GK⊥AB于點(diǎn)K，則∠FKG＝∠BKG＝90°，GK∥AD，

∵點(diǎn)G′與點(diǎn)G關(guān)于直線BD對(duì)稱，且點(diǎn)G′在BD上，
∴點(diǎn)G在BD上，
∴＝2，
∴BK＝2GK，
∵四邊形EFGH是矩形，
∴∠EFG＝90°，F(xiàn)G＝EH，
∴∠KFG＝90°﹣∠AFE＝∠AEF，
∵∠FKG＝∠A＝90°，
∴△KFG∽△AEF，
∴＝＝＝，
∴FA＝2GK，KF＝AE＝，
∴2GK+2GK+＝8，
∴GK＝，
∴tan∠GFB＝＝＝．
故答案為：；
（2）作△A′BD與△ABD關(guān)于直線BD對(duì)稱，設(shè)A′B交CD于點(diǎn)L，
∴∠A′＝∠A＝90°，A′D＝AD＝4，A′B＝AB＝8，點(diǎn)E′、F′分別在A′D、A′B上，
∴A′F′＝AF，A′E′＝AE＝1，
∵CD∥AB，
∴∠LDB＝∠ABD，
∵∠ABD＝∠LBD，
∴∠LDB＝∠LBD，
∴LB＝LD，
∵A′B＝AB＝CD＝8，
∴A′L＝8﹣LB＝8﹣LD，
∵LD2＝A′L2+A′D2，
∴LD2＝（8﹣LD）2+42，
∴LD＝5，
∴A′L＝8﹣5＝3．
①當(dāng)點(diǎn)G′落在邊CD上時(shí)，如圖3，作G′M⊥A′B于點(diǎn)M，
則∠G′ML＝∠G′MF′＝∠A′＝90°，
∵矩形E'F'G'H'與矩形EFGH關(guān)于直線BD對(duì)稱，
∴∠E′F′G′＝∠EFG＝90°，
∴∠MG′F′＝90°﹣∠MF′G′＝∠A′F′E′，
∴△MG′F′∽△A′F′E′，
∴＝＝＝＝，
∴MG′＝A′F′，MF′＝A′E′＝，
∵＝＝tan∠A′LD＝，
∴ML＝MG′＝×A′F′＝A′F′，
∴A′F′++A′F′＝3，
∴A′F′＝．
∴AF＝．
②從點(diǎn)G′落在CD邊上之后到點(diǎn)G′落在AB邊上之前，矩形E'F'G'H'與矩形ABCD的邊只有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)G′落在CD邊上，如圖3，由①得AF＝；
當(dāng)點(diǎn)G′落在AB邊上，如圖4，作G′N⊥A′B于點(diǎn)N，∠G′NB＝∠G′NF′＝∠A′＝90°，
同理可得△NG′F′∽△A′F′E′，
∴＝＝＝＝，
∴NG′＝A′F′，NF′＝A′E′＝，
∵∠NBG′＝∠A′LD，
∴＝＝tan∠NBG′＝tan∠A′LD＝，
∴NB＝NG＝×A′F′＝A′F′，
∴A′F′++A′F′＝8，
∴A′F′＝，
∴AF＝，
∴AF的取值范圍是＜AF＜．
故答案為：＜AF＜．


三．解答題（共9小題，滿分72分）
17．（6分）（1）計(jì)算：（）2﹣（2018﹣2019）0+（+1）（﹣1）+tan30°；
（2）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【答案】（1）；
（2）x1＝5，x2＝﹣1．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+2﹣1+×
＝﹣1+2﹣1+1
＝；
（2）（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1．
18．（4分）二次函數(shù)y＝x2+bx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0）．請(qǐng)用配方法求出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】（2，﹣1）．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+bx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0），
∴0＝9+3b+3，
∴b＝﹣4．
∴y＝x2﹣4x+3
＝（x﹣2）2﹣1．
∴該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）．
19．（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＞AB．
（1）作出∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：AB＝AE．

【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）見(jiàn)解析．
【解答】（1）解：如圖所示：BE即為∠ABC 的平分線；

（2）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EAF．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB．
∴AB＝AE．

20．（6分）如圖，直角坐標(biāo)系中的網(wǎng)格由單位正方形構(gòu)成，△ABC中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1）．
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）求證：AC⊥BC．

【答案】（1）2．
（2）證明見(jiàn)解析部分．
【解答】解：（1）根據(jù)勾股定理，得
AC＝＝2．

（2）同理BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，
AC2＝20，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
∴AC⊥BC．
21．（8分）2月20日，北京冬奧會(huì)圓滿落幕．在這屆舉世矚目的冬奧會(huì)中，谷愛(ài)凌“一飛沖天”，蘇翊鳴“一鳴驚人”，短道速滑夢(mèng)之隊(duì)“一往無(wú)前”，……運(yùn)動(dòng)健兒們挑戰(zhàn)極限、攀登頂峰的精神鼓舞著無(wú)數(shù)人．為弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)體育的熱愛(ài)，某校隨機(jī)抽取20名學(xué)生，進(jìn)行“奧運(yùn)知識(shí)知多少”的測(cè)試，滿分10分，并繪制如圖統(tǒng)計(jì)圖：
（1）這20名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是 　8　，眾數(shù)是 　9??；
（2）求這20名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)；
（3）若成績(jī)?cè)?分及以上為優(yōu)秀，請(qǐng)你估計(jì)該校120名學(xué)生中，成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生有多少名？

【答案】（1）8，9；
（2）8.4分；
（3）54名．
【解答】解：（1）七這20名學(xué)生成績(jī)出現(xiàn)次數(shù)最多的是9，共出現(xiàn)6次，因此這20名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)為9，
這20名學(xué)生的成績(jī)，從小到大排列后處在中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為（8+8）÷2＝8，因此這20名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是8，
故答案為：8，9；
（2）這20名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為×（6×2+7×4+8×5+9×6+10×3）＝8.4（分）；
（3）120×＝54（名），
答：估計(jì)該校120名學(xué)生中，成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生有54名．
22．（10分）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OD的中點(diǎn)，DF∥AC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF．
（1）求證：四邊形AODF是菱形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求CF的長(zhǎng)．

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；
（2）2．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝OD＝OB，
∵DF∥AC，
∴∠FDE＝∠COE，
∵點(diǎn)E是OD的中點(diǎn)，
∴DE＝OE，
在△FED和△CEO中，
，
∴△FED≌△CEO（ASA），
∴DF＝OC，
∵OA＝OC，
∴DF＝AO，
∵DF∥AC，
∴四邊形AODF是平行四邊形，
∵AO＝OD，
∴四邊形AODF是菱形；

（2）解：∵∠AOB＝60°，
∴∠DOC＝∠AOB＝60°，
∵OD＝OC，
∴△DOC是等邊三角形，
∵AB＝CD＝2，
∴AO＝CO＝DC＝2，
∵四邊形AODF是菱形，
∴AF＝OD＝2，
∵E為OD中點(diǎn)，
∴∠CEO＝90°，
∴∠FCA＝90°﹣∠DOC＝30°，
∵DF∥AC，
∴∠DFC＝∠FCA＝30°，
∵∠DOC＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣60°＝120°，
∵四邊形AODF是菱形，
∴∠AFD＝∠AOD＝120°，
∴∠AFC＝120°﹣30°＝90°，
由勾股定理得：CF＝＝＝2．
23．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x+m與直線l2交于點(diǎn)A（﹣2，3），直線l2與x軸交于點(diǎn)C（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，將直線l2向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l3，l3與y軸交于點(diǎn)D，與l1交于點(diǎn)E，連接AD．
（1）求直線l2的解析式；
（2）求△ADE的面積；
（3）在平面直角坐標(biāo)系中存在點(diǎn)P，使得以A、E、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝﹣x+2；
（2）24；
（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣12）或（﹣8，6）或（4，0）．
【解答】解：（1）設(shè)直線l2的解析式為y＝kx+b，
∵直線l2與x軸交于點(diǎn)C（4，0），過(guò)點(diǎn)A（﹣2，3），
∴，
∴，
∴直線l2的解析式為y＝﹣x+2；

（2）連接BE，

∵直線l1：y＝x+m與直線l2交于點(diǎn)A（﹣2，3），
∴﹣3+m＝3，
∴m＝6，
∴直線l1的解析式為y＝x+6，
∵將直線l2向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l3，
∴直線l3的解析式為y＝﹣x﹣6，
∵l3與y軸交于點(diǎn)D，
∴x＝0時(shí)，y＝﹣3，
∴D（0，﹣6），
∵直線l2與y軸交于點(diǎn)B，
∴B（0，2），
∴BD＝8，
由，解得，
∴E（﹣6，﹣3），
∵l2∥l3，
∴S△ADE＝S△BDE＝×BD×6＝×8×6＝24；

（3）由（1）（2）可知A（﹣2，3），E（﹣6，﹣3），D（0，﹣6），
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），
當(dāng)AD是邊時(shí)，

則點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位向下平移9個(gè)單位得到點(diǎn)D，同樣點(diǎn)E（P）向右平移2個(gè)單位向下平移9個(gè)單位得到點(diǎn)P（E），
即﹣6+2＝a，﹣3﹣9＝b或﹣6﹣2＝a，﹣3+9＝b，
解得或，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣12）或（﹣8，6）；
當(dāng)AD是對(duì)角線時(shí)，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：﹣2+0＝a﹣6，3﹣6＝b﹣3，解得，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣12）或（﹣8，6）或（4，0）．
24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸，交拋物線于點(diǎn)D，連接AD．
（1）點(diǎn)P為線段AD上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PD，PE，當(dāng)△PAD面積最大時(shí)，求PE+AE的最小值；
（2）在（1）中，PE+AE取得最小值時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，將△AEF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′E′F，點(diǎn)A、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、E′，在直線AD上是否存在一點(diǎn)Q，使得△DE′Q為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）如圖1，針對(duì)于拋物線y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，則y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵CD⊥y軸，
∴D（2，3），
∴直線AD的解析式為y＝x+1，
設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+2m+3），
過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交AD于H，則Q（m，m+1），
∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2，
∴S△PAD＝PQ（xD﹣xA）＝（﹣m2+m+2）×（2+1）＝﹣（x﹣）2+，
∴當(dāng)x＝時(shí)，△PAD的面積最大，
∴P（，），
過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于G，
∴DG＝3，OG＝2，
∴AG＝3，
∴AG＝DG，
∴∠DAG＝45°，
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，則EF＝AE，
要PE+AE最小，則PE+EF最小，
∴點(diǎn)P，E，F(xiàn)在同一條線上時(shí)，
∴PE+EF最小值＝y(tǒng)P＝，
即PE+AE最小值為；

（2）如圖2，
由（1）知，點(diǎn)P，E，F(xiàn)在同一條線上，
∵EF⊥x軸，
∴F（，0），
∴EF＝AF＝﹣（﹣1）＝，
由旋轉(zhuǎn)知，E'F＝EF＝，
∴OE'＝OF+E'F＝2，
∴E'（2，0），∵D（2，3），
∴DE'⊥x軸，
∵△DE′Q為等腰三角形，
∴①當(dāng)QD＝QE'時(shí)，
由旋轉(zhuǎn)知，∠AEF＝∠E'EF＝45°，
∴∠DEE'＝90°，
∵∠ADE'＝45°，
∴DE＝EE'，
∴點(diǎn)P和點(diǎn)E重合，
∵E（，），
∴Q（，），
②當(dāng)DE'＝QE'時(shí)，由（1）知，AE'＝DE'，
∴點(diǎn)Q和點(diǎn)A重合，
∴Q（﹣1，0），
③當(dāng)DQ＝DE'時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q（n，n+1），
∴＝3，
∴n＝2±，
∴Q（2﹣，3﹣）或（2+，3+），
即滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（﹣1，0）或（2﹣，3﹣）或（2+，3+）．


25．（12分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝12cm，CD＝14cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)四邊形APQD是矩形時(shí)，直接寫出t的值為 　　；
（2）當(dāng)PQ＝BC時(shí)，求t的值；
（3）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若四邊形BPDQ能夠成為菱形，求AD的長(zhǎng)．

【答案】（1）；
（2）4或；
（3）4cm．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D＝90°，
由題意得，CQ＝2tcm，AP＝tcm，
∴DQ＝（14﹣2t）cm，BP＝（12﹣t）cm，
∵四邊形APQD為矩形，
∴AP＝DQ，
∴t＝14﹣2t，
∴t＝，
故答案為：；
（2）如圖，作QN⊥AB于點(diǎn)N，作BH⊥CD于點(diǎn)H，

則四邊形BHQN為矩形，四邊形ADHB為矩形，
∴CH＝CD﹣AB＝14﹣12＝2cm，
∴BC2＝BH2+CH2＝BH2+4，
則PN＝AB﹣AP﹣BN＝AB﹣AP﹣QH＝12﹣t﹣（2t﹣2）＝（14﹣3t）cm，
∴PQ2＝PN2+QN2＝（14﹣3t）2+BH2，
∵PQ＝BC，
∴（14﹣3t）2＝4，
∴t＝4或；
（3）∵四邊形PBQD是菱形，

∴BP＝DP＝DQ，
即12﹣t＝14﹣2t，
∴t＝2，
∴AP＝2cm，DP＝14﹣2t＝10cm，
∴AD＝＝＝4（cm）．


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