2023-2024學(xué)年廣東省廣州大學(xué)附中九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列圖形中，是中心對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.將一元二次方程化成一般形式后，二次項(xiàng)的系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，3.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(    )A.  B.  C.  D. 4.參加足球聯(lián)賽的每兩隊(duì)之間都進(jìn)行兩場比賽，共要比賽場，設(shè)共有個隊(duì)參加比賽，則下列方程符合題意的是(    )A.  B.  C.  D. 5.若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則的值必為 
(    )A. 或 B.  C.  D. 6.若關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是(    )A.  B. 且 C.  D. 且7.如圖，在中，，，點(diǎn)，分別是圖中所作直線和射線與，的交點(diǎn)根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，以下結(jié)論錯誤的是(    )
 
 A.
B.
C.
D.
 8.已知一元二次方程的兩根為，，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 9.某餐廳主營盒飯業(yè)務(wù)，每份盒飯的成本為元．若每份盒飯的售價為元，每天可賣出份．市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價元，每天要少賣出份．若該餐廳想讓每天盒飯業(yè)務(wù)的利潤達(dá)到元，設(shè)每份盒飯漲價元，則符合題意的方程是(    )A.
B.
C.
D. 10.拋物線上有兩點(diǎn)、，且，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.一元二次方程根的判別式 ______ ．12.在函數(shù)中，自變量的取值范圍是______．13.若二次函數(shù)經(jīng)過，則的值為        ．14.化簡：______．15.如圖，四邊形中的兩條對角線，互相垂直，，當(dāng)為______時．四邊形的面積最大．
 16.如圖，平面內(nèi)三點(diǎn)、、，，，以為對角線作正方形，連接，則的最大值是______ ．
 三、計(jì)算題（本大題共1小題，共4.0分）17.用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?/span>
．
．四、解答題（本大題共8小題，共68.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.本小題分

如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長為，寬為，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周的寬度結(jié)果保留根號？
19.本小題分
一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度單位：與水平距離單位：之間的函數(shù)關(guān)系是如圖，，是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)．
畫出該函數(shù)的大致圖象；
請判斷鉛球推出的距離能否達(dá)到，并說明理由．
 
 20.本小題分
已知：是不等式的最小整數(shù)解，請用配方法解關(guān)于的方程．21.本小題分
已知關(guān)于的一元二次方程．
求證：該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；
若，且該方程的兩個實(shí)數(shù)根的差為，求的值．22.本小題分
如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)
和，與軸交于．
求拋物線的解析式，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
觀察圖象，直接寫出一元二次不等式：解集為：______
若拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)，求四邊形的面積．

 23.本小題分

如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，且．
求拋物線的解析式；
若點(diǎn)是該拋物線上、兩點(diǎn)之間的一點(diǎn)，求最大時，點(diǎn)的坐標(biāo)．
24.本小題分
小愛同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對函數(shù)進(jìn)行了探究．在經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象．請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：

觀察探究：
寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：______；
方程的解為：______；
若方程有四個實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是______．
延伸思考：
將函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當(dāng)時，自變量的取值范圍．25.本小題分
問題背景：如圖，和都是等腰直角三角形，點(diǎn)在上，連，求證：；
遷移運(yùn)用：如圖，在中，，，點(diǎn)在外，，，，求的長；
拓展提升：如圖，在等腰中，，，點(diǎn)、在外，，，直接寫出線段、、之間的關(guān)系．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)A、、的圖形不都能找到一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)度后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．
選項(xiàng)B的圖形能找到一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)度后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．2.【答案】 【解析】解：，
，
二次項(xiàng)的系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別是、，
故選：．
先化成一般形式，即可得出答案．
本題考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，注意：說項(xiàng)的系數(shù)帶著前面的符號．3.【答案】 【解析】解：拋物線的解析式為：，
其頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
故選B．
直接根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式進(jìn)行解答即可．
本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解答此題的關(guān)鍵．4.【答案】 【解析】解：由題意可知：
．
故選：．
設(shè)有個隊(duì)參賽，根據(jù)參加一次足球聯(lián)賽的每兩隊(duì)之間都進(jìn)行兩場比賽，共要比賽場，可列出方程．
本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是根據(jù)總比賽場數(shù)作為等量關(guān)系列方程求解．5.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)、、為常數(shù)，圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式，同時考查了二次函數(shù)的定義．
先把原點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得到的方程，解方程得到或，根據(jù)二次函數(shù)的定義可判斷．
【解答】
解：把代入，
得，解得或，
因?yàn)?/span>，
所以，即．
故選：．6.【答案】 【解析】解：關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得：且．
故選：．
利用二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍．
本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，利用二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式，找出關(guān)于的一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．7.【答案】 【解析】【分析】
本題考查等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考常考題型．
利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理一一判斷即可．
【解答】
解：、由作圖可知，點(diǎn)在的垂直平分線上，
，故選項(xiàng)A正確；
B、由作圖可知，平分，
，故選項(xiàng)B正確；
C、，，
，
，
，
，，
，故選項(xiàng)C正確；
D、由上，，，則，故選項(xiàng)D錯誤．
故選：．8.【答案】 【解析】解：一元二次方程的兩根為，，
，，
．
故選：．
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解，可得出，，將其代入變形后的代數(shù)式中即可求出結(jié)論．
本題考查了一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解，找出，是解題的關(guān)鍵．9.【答案】 【解析】解：設(shè)每份盒飯漲價元，
則，
故選A．
設(shè)每份盒飯漲價元，利用每一份的利潤售出的份數(shù)總利潤，列出方程即可．
本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．10.【答案】 【解析】解：、在拋物線上，
，，
，
，
，
故選：．
把、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式可用分別表示出和，利用條件可得到的不等式，可求得的取值范圍．
本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．11.【答案】 【解析】解：，，，
．
故答案為：．
根的判別式，把相應(yīng)值代入求值即可．
本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12.【答案】且 【解析】解：由題意得：，
解得：且，
故答案為：且．
讓二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，分式的分母不為列式求值即可．
考查求函數(shù)自變量的取值范圍；用到的知識點(diǎn)為：二次根式有意義，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；分式有意義，分母不為．13.【答案】 【解析】解：把代入，得，
即，
則，
故答案為：．
把代入，即可得出代數(shù)式的值，，代入即可得到結(jié)論．
本題考查了二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．14.【答案】 【解析】解：原式
，
故答案為：．
根據(jù)分式乘除法的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查分式的乘除法，掌握分式乘除法的計(jì)算方法是正確計(jì)算的前提，將分子分母分別進(jìn)行因式分解是正確解答的關(guān)鍵．15.【答案】 【解析】解：設(shè)，四邊形面積為，則，
則：，
，
有最大值，
當(dāng)時，四邊形的面積最大，
即當(dāng)時，四邊形面積最大，
故答案為．
根據(jù)已知設(shè)四邊形面積為，為，則，進(jìn)而求出，再求出最值即可．
本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知正確得出二次函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．16.【答案】 【解析】解：將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得，如圖：

由旋轉(zhuǎn)不變性可得：，，
且，
是等腰直角三角形，
，
最大，只需最大，而在中，，
當(dāng)且僅當(dāng)、、在一條直線上，即不能構(gòu)成時，最大，且最大值為，
此時，
故答案為：．
將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到由旋轉(zhuǎn)不變性可知：，，推出是等腰直角三角形，推出，推出當(dāng)的值最大時，的值最大，利用三角形的三邊關(guān)系求出的最大值即可解決問題．
本題考查正方形的性質(zhì)，動點(diǎn)問題，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．17.【答案】解：，
，
，
，．
，
，
，即，
，
． 【解析】應(yīng)用直接開方法解一元二次方程即可．
應(yīng)用配方法解一元二次方程即可．
本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡便的方法．18.【答案】解：設(shè)上下邊襯的寬均為，則左右邊襯均為．
一本書的封面長為，寬為，
中央矩形的長為，寬為，中央矩形的面積為．
由題意，得，
解得，不合題意舍去．
則，．
答：上下邊襯的寬為，左右邊襯的寬為． 【解析】設(shè)上下邊襯的寬均為，則左右邊襯均為由題意：使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的，列出一元二次方程，解方程，即可解決問題．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．19.【答案】解：，
拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
對稱軸為直線，
當(dāng)時，，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)也在拋物線上，
當(dāng)時，，
解得，，
拋物線與軸正半軸的交點(diǎn)為，
故函數(shù)的大致圖象如圖所示，

不能，理由如下：
令時，，
即，
解得：，舍去，
，
鉛球推出的距離不能達(dá)到． 【解析】本題考查二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用．
根據(jù)二次函數(shù)的解析式確定出頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，在直角坐標(biāo)系中描出這些點(diǎn)，從而畫出二次函數(shù)的大致圖象；
令，解關(guān)于的一元二次方程，求出方程的正數(shù)解，即可判斷鉛球推出的最大距離．20.【答案】解：解不等式，得，
最小整數(shù)解為，
將代入方程，得，
配方，得．
直接開平方，得．
解得，． 【解析】本題主要考查了配方法解一元二次方程和一元一次不等式的整數(shù)解．
配方法的一般步驟：
把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊；
把二次項(xiàng)的系數(shù)化為；
等式兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為，一次項(xiàng)的系數(shù)是的倍數(shù)．
先解不等式，得，所以最小整數(shù)解為，于是將代入方程得利用配方法解方程即可．21.【答案】證明：，，，
．
無論取何值時，，即，
原方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

解：，即，
，．
，且該方程的兩個實(shí)數(shù)根的差為，
，
． 【解析】根據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式可得出，利用偶次方的非負(fù)性可得出，即，再利用“當(dāng)時，方程有兩個實(shí)數(shù)根”即可證出結(jié)論；
利用因式分解法求出，由題意得出的方程，解方程則可得出答案．
本題考查了根的判別式、以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：牢記“當(dāng)時，方程有兩個實(shí)數(shù)根”；利用因式分解法求出方程的解．22.【答案】解：拋物線與軸交于，
，
，
把、代入中，得
，
解得，
二次函數(shù)的解析式是，也即，
其頂點(diǎn)的坐標(biāo)是；
或；
． 【解析】【分析】
本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握解方程組，以及二次函數(shù)頂點(diǎn)的計(jì)算公式、三角形面積計(jì)算公式．
已知拋物線與軸交于，易知，再把、代入中，可得關(guān)于、的二元一次方程組，解即可求、，從而可得二次函數(shù)解析式；
在點(diǎn)以外的的取值都能使，即或；
觀察可知，再根據(jù)三角形的面積公式可求其面積．
【解答】
解：見答案；
據(jù)圖可知：解集為或；
見答案．23.【答案】解：由題意得：，，
，，
．
，
解得，，
拋物線的解析式為；
，，
直線為，
過作軸垂線，交直線于點(diǎn)，連接、，

設(shè)，則，
，
，
，
，
當(dāng)時，的面積最大，
將代入，得，
最大時，點(diǎn)的坐標(biāo)為 【解析】由拋物線解析式確定出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)確定出的值，即可確定出解析式；
過作軸，交直線于點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)表示出的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得．
此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形面積等，表示出、的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．24.【答案】解：函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱答案不唯一；
或或；
；
如圖，將函數(shù)的圖象向右平移個單位，向上平移個單位可得到函數(shù)的圖象，

有圖可知：當(dāng)時，自變量的取值范圍是且． 【解析】【分析】
本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)圖象即可求得；
根據(jù)“左加右減，上加下減”的圖象平移規(guī)律，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象即可得到結(jié)論．
【解答】
解：觀察探究：
該函數(shù)的一條性質(zhì)為：函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱；
方程的解為：或或；
若方程有四個實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．
故答案為：函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱；或或；．
見答案．25.【答案】證明：和都是等腰直角三角形，
，，，，
，
≌，
，
，
；
解：如圖，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點(diǎn)作于，

將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
≌，，
，，，
，
，
，，
，
，
；
如圖，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，

，，
，
，
，
，
將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，
≌，
，，，，
，
，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，
． 【解析】由“”可證≌，可得，可得結(jié)論；
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，由勾股定理可求解；
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，可求，由“”可證≌，可得，由勾股定理可求解．
本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．

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