1.理解空間向量基本定理,掌握空間向量正交分解的原理及坐標(biāo)表示;2.能用空間向量的坐標(biāo),進行向量的線性運算與數(shù)量積運算;3.能用坐標(biāo)的方法解決立體幾何中的簡單幾何問題.
基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗收·課堂達標(biāo)檢測
(1)一般地,如果空間向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是單位向量,而且這三個向量兩兩垂直,就稱這組基底為單位正交基底;在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解,而且,如果p=xe1+ye2+ze3,則稱有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)為向量p的坐標(biāo),記作p=(x,y,z),其中x,y,z都稱為p的坐標(biāo)分量
(2)空間向量的運算與坐標(biāo)的關(guān)系空間向量a,b,其坐標(biāo)形式為a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
體會坐標(biāo)運算從平面到空間的推廣
(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
(λx1,λy1,λz1)　
x1x2+y1y2+z1z2
特別地,①如果μ,v是兩個實數(shù),那么μa+vb=(μx1+vx2,μy1+vy2,μz1+vz2);
(3)空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行、垂直設(shè)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則有a∥b? (其中x1,y1,z1均不為0);a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0.
名師點睛1.若不明確x1y1z1≠0,則可以用以下結(jié)論進行求解,即
2.空間向量的坐標(biāo)運算可類比平面向量的坐標(biāo)運算進行記憶.
過關(guān)自診1.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),則4a+2b等于(　　)A.(16,0,4)B.(8,-16,4)C.(8,16,4)D.(8,0,4)
解析 4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).
2.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,則(　　)
3.向量a=(2,-3, ),b=(1,0,0),則cs=　　　　　.?
4.已知向量a=(1,-2,-1),b=(3,m,-1),若a⊥b,則m=　　　　　.
解析 ∵a⊥b,∴a·b=3-2m+1=0,∴m=2.
為了刻畫空間中點的位置,按照如下方式建立空間直角坐標(biāo)系:在空間中任意選定一點O作為坐標(biāo)原點,選擇合適的平面先建立平面直角坐標(biāo)系xOy,然后過O作一條與xOy平面　　　　的數(shù)軸z軸.這樣建立的空間直角坐標(biāo)系記作Oxyz.?在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,x軸、y軸、z軸是兩兩互相垂直的,它們都稱為坐標(biāo)軸;通過每兩個坐標(biāo)軸的平面都稱為坐標(biāo)平面,分別記為xOy平面、yOz平面、zOx平面.z軸的正方向一般按照如下方式確定:在z軸的正半軸看xOy平面,x軸的正半軸繞O點沿　　　時針方向旋轉(zhuǎn)90°能與y軸的正半軸重合.?
空間中建立了空間直角坐標(biāo)系之后,三個坐標(biāo)平面將不在坐標(biāo)平面內(nèi)的點分成了八個部分,如圖.每一部分都稱為一個卦限.
命名體會傳統(tǒng)文化,四象生八卦
名師點睛1.空間中的點與三個實數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)組之間,有了一一對應(yīng)關(guān)系,空間一點M的位置完全由有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)確定,因此將(x,y,z)稱為點M的坐標(biāo),記作M(x,y,z).此時,x,y,z都稱為點M的坐標(biāo)分量,且x稱為點M的橫坐標(biāo)(或x坐標(biāo)),y稱為點M的縱坐標(biāo)(或y坐標(biāo)),z稱為點M的豎坐標(biāo)(或z坐標(biāo)).2.八個卦限中的點的坐標(biāo)符號也有一定的特點:Ⅰ:(+,+,+);Ⅱ:(-,+,+);Ⅲ:(-,-,+);Ⅳ:(+,-,+);Ⅴ:(+,+,-);Ⅵ:(-,+,-);Ⅶ:(-,-,-);Ⅷ:(+,-,-).
過關(guān)自診1.點P(1,2,1)關(guān)于xOz平面的對稱點的坐標(biāo)是(　　)A.(1,-2,1)B.(-1,-2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,-2,-1)
2.點A(0,-2,3)在空間直角坐標(biāo)系中的位置是(　　)A.在x軸上B.在xOy平面內(nèi)C.在yOz平面內(nèi)D.在xOz平面內(nèi)
解析 ∵點A的橫坐標(biāo)為0,∴點A(0,-2,3)在yOz平面內(nèi).故選C.
空間直角坐標(biāo)系中兩點之間的距離公式及中點坐標(biāo)
設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)為空間直角坐標(biāo)系中的兩點,則
過關(guān)自診1.已知點A(-3,1,5)與點B(4,3,1),則AB的中點坐標(biāo)是(　　)
2.[2023湖南祁東高二階段練習(xí)]已知點A(3,-1,0),若向量 =(2,5,-3),則點B的坐標(biāo)是(　　)A.(1,-6,3)B.(5,4,-3)C.(-1,6,-3)D.(2,5,-3)
探究點一　空間向量坐標(biāo)的計算
【例1】 [北師大版教材例題]已知向量a=(-1,-3,2),b=(1,2,0),求:(1)2a;(2)(a+2b)·(-2a+b).
解 (1)2a=2(-1,-3,2)=(-2,-6,4).(2)因為a+2b=(-1,-3,2)+2(1,2,0)=(-1,-3,2)+(2,4,0)=(1,1,2),-2a+b=-2(-1,-3,2)+(1,2,0)=(2,6,-4)+(1,2,0)=(3,8,-4),所以(a+2b)·(-2a+b)=(1,1,2)·(3,8,-4)=1×3+1×8+2×(-4)=3.
規(guī)律方法　空間向量坐標(biāo)的計算技巧(1)直接代入公式計算首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來,然后準(zhǔn)確運用空間向量坐標(biāo)運算公式計算.(2)由條件求向量或點的坐標(biāo)首先把向量按坐標(biāo)形式設(shè)出來,然后通過建立方程組,解方程組求出其坐標(biāo).變式中的求參問題便屬于這一類型題目.
變式訓(xùn)練1若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且滿足條件(c-a)·(2b)=-2,則x=　　　　.?
解析 據(jù)題意,有c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),故(c-a)·2b=2(1-x)=-2,解得x=2.
探究點二　空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示
(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k.
所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).又因為(ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)
變式探究若將本例改為“若ka-b與ka+2b互相垂直”,求k的值.
解 由題意知ka-b=(k+1,k,-2),ka+2b=(k-2,k,4).∵(ka-b)⊥(ka+2b),∴(ka-b)·(ka+2b)=0,
規(guī)律方法　1.判斷空間向量垂直或平行的步驟
2.求出參數(shù)值后還要再回歸到原題檢驗解的可行性,解決平行或垂直時用的坐標(biāo),若含參數(shù)還要注意分類討論思想的應(yīng)用.
變式訓(xùn)練2[2023河南高二階段練習(xí)]已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2).(1)若a∥b,求x的值;(2)若(a+b)⊥c,求x的值.
解 (1)∵a∥b,∴b=λa,
(2)a+b=(-2,1,3+x).∵(a+b)⊥c,∴(a+b)·c=0,∴-2-x+2(3+x)=0,∴x=-4.
探究點三　空間向量的夾角與長度的計算
【例3】 [2023安徽高二階段練習(xí)]棱長為2的正方體中,E,F分別是DD1,DB的中點,G在棱CD上,且CG= CD,H是C1G的中點.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,解決下列問題:(1)求證:EF⊥B1C;
(1)證明 如圖,以D為原點,DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,
規(guī)律方法　通過分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,使盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上,以便寫點的坐標(biāo)時便捷.對于正方體載體常用的建系方法一般如例題中所述.建立坐標(biāo)系后,寫出相關(guān)點的坐標(biāo),然后再寫出相應(yīng)向量的坐標(biāo),把向量坐標(biāo)化,然后再利用向量的坐標(biāo)運算求解夾角和距離問題.
變式訓(xùn)練3如圖,在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N為A1A的中點.(1)求BN的長;
解 已知∠BCA=90°,如圖,以C為坐標(biāo)原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.(1)依題意得B(0,1,0),N(1,0,1),
1.已知M(5,-1,2),A(4,2,-1),O為坐標(biāo)原點,若 ,則點B的坐標(biāo)為(　　)A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)
因為O為坐標(biāo)原點,則點B坐標(biāo)為(9,1,1).
2.在空間直角坐標(biāo)系中,點P(-2,1,4)關(guān)于點M(2,-1,-4)的對稱點的坐標(biāo)是(　　)A.(0,0,0)B.(2,-1,-4)C.(6,-3,-12)D.(-2,3,12)
解析 設(shè)對稱點為P3,則點M為線段PP3的中點,設(shè)P3(x,y,z),由中點坐標(biāo)公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).
3.(多選題)已知a=(2,-3,1),則下列向量中不與a平行的是( 　　)A.(1,1,1)B.(-4,6,-2)C.(2,-3,5)D.(-2,-3,5)
解析 若a∥b,b≠0,必有b=λa.當(dāng)b=(-4,6,-2)時,b=-2(2,-3,1)=-2a,所以a∥b.經(jīng)檢驗,其他向量均不與a平行.
4.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b與2a-b互相垂直,則k的值是　　　.?
解析 依題意得(ka+b)·(2a-b)=0,所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,而|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,

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1.1.3 空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系

版本： 人教B版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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