綿陽南山中學(xué)2023年高考仿真考試數(shù)學(xué)試題（理科）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知集，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】解出集合B中的不等式，得到集合B，由交集的定義求.【詳解】由，不等式解得，則，又，所以.故選：A2. 已知（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知等式求出復(fù)數(shù)，得到復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)的幾何意義得在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】由，得，則，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B3. 若向量，，且，則（    ）A.  B. 4 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求，再由向量的模的坐標(biāo)表示即得.【詳解】由，可得，所以，，.故選：D.4. 不等式“”是“”成立（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解對數(shù)不等式和指數(shù)不等式，求出解集，進(jìn)而判斷出答案.【詳解】，解得，，解得，因?yàn)?/span>，但，故“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A5. 某電影制片廠從2013年至2022年生產(chǎn)的紀(jì)錄影片、科教影片的時(shí)長（單位；分鐘）如圖所示，則（    ）A. 該電影制片廠2013年至2022年生產(chǎn)的紀(jì)錄影片時(shí)長的中位數(shù)為270分鐘B. 該電影制片廠2013年至2022年生產(chǎn)的科教影片時(shí)長的平均數(shù)小于660分鐘C. 該電影制片廠2013年至2022年生產(chǎn)的科教影片時(shí)長的標(biāo)準(zhǔn)差大于紀(jì)錄影片時(shí)長的標(biāo)準(zhǔn)差D. 該電影制片廠2013年至2022年生產(chǎn)的科教影片時(shí)長的極差是紀(jì)錄影片時(shí)長的極差的4倍【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對圖中數(shù)據(jù)的分析，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的意義和極差的定義與計(jì)算方法，依次求解即可.【詳解】A：該廠2013年至2022年生產(chǎn)的紀(jì)錄影片時(shí)長從小到大排列為：150，180，200，240，260，290，320，350，380，430，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；B：該廠2013年至2022年科教影片時(shí)長的平均數(shù)為：，故B錯(cuò)誤；C：由圖可知，科教影片時(shí)長的數(shù)據(jù)波動(dòng)程度比紀(jì)錄影片時(shí)長的大，所以科教影片時(shí)長的標(biāo)準(zhǔn)差大于記錄影片時(shí)長的標(biāo)準(zhǔn)差，故C正確；D：科教影片時(shí)長的極差為，記錄影片時(shí)長的極差為，有，故D錯(cuò)誤.故選：C.6. 在中，，，，則的面積為A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件可利用余弦定理將邊求出，再將求出，利用三角形面積公式求出答案.【詳解】在中，由余弦定理得,,整理得解得（舍）由,可得故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，三角形面積公式，屬于簡單題.7. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖是直角邊長分別為2和4的兩個(gè)全等的直角三角形，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】講立方體放在長方體中進(jìn)行還原，根據(jù)體對角線得出外接球半徑，最后算出外接球表面積.【詳解】在長為4、寬為2、高為2 的正方體還原上述幾何體如下圖所示：該幾何體為一個(gè)三角錐形，外接球半徑為，該外接球表面積為：.故選：D8. 記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為（    ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】【分析】由題意，結(jié)合余弦函數(shù)的周期和零點(diǎn)，建立相關(guān)的方程求解即可．【詳解】函數(shù)的最小正周期為，若，由，得，所以，因?yàn)?/span>為的零點(diǎn)，所以，故所以，因?yàn)?/span>，則的最小值為3.故選：B.9. 已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義得到，將整理為，然后根據(jù)范圍求得范圍即可.【詳解】設(shè)，，則，，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故選：C.10. 已知定義在R上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，則滿足的x的取值范圍為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由平移法則確定函數(shù)關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)對稱性和單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又在上單調(diào)遞增， 由，得，即，平方并化簡，得，解得，即x的取值范圍為.故選：C11. 擲鐵餅是一項(xiàng)體育競技活動(dòng)．如圖，這是一位擲鐵餅運(yùn)動(dòng)員在準(zhǔn)備擲出鐵餅的瞬間，張開的雙臂及肩部近似看成一張拉滿弦的“弓”．經(jīng)測量，此時(shí)兩手掌心之間的弧長是，“弓”所在圓的半徑為米，則這位擲鐵餅運(yùn)動(dòng)員兩手掌心之間的距離約為（參考數(shù)據(jù)：，）（    ）A. 米 B. 米C. 米 D. 米【答案】A【解析】【分析】由扇形弧長公式可求得圓心角，根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意作圖如下，由題意知：的長為，為的中點(diǎn)，，，即所求距離約為米.故選：A.12. 已知函數(shù)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)、且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】有兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，作出函數(shù)圖像，可知，，隨a的減小而增大，當(dāng)時(shí)解得，可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】，有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)實(shí)根，也即方程有兩個(gè)實(shí)根，令，則，所以解得，解得，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)；時(shí)，，據(jù)此可作出函數(shù)的圖像如下：  首先當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其次，由圖可知，且當(dāng)時(shí)，隨a的減小而增大，不妨考慮的情形，此時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，將代入得：，兩式相除得，故，即．所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)、且．故選：A二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13. （x﹣）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_____.【答案】6；【解析】【分析】先得出二項(xiàng)式的展開式中的通項(xiàng)，令，可得答案.【詳解】因?yàn)椋?/span>x﹣）4的展開式中的通項(xiàng)為：，令，得，所以（x﹣）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，求二項(xiàng)式展開式中的特定項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.14. 雙曲線的離心率為2，則右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為______．【答案】【解析】【分析】由雙曲線離心率結(jié)合方程求出，得到右焦點(diǎn)的坐標(biāo)和雙曲線漸近線方程，利用公式求點(diǎn)到直線的距離.【詳解】雙曲線的離心率為2，由得，則，右焦點(diǎn)，漸近線方程為，到漸近線的距離為.故答案為：15. 已知 的圖象在處的切線與與函數(shù)的圖象也相切，則該切線的斜率 __________.【答案】【解析】【分析】分別求兩條曲線的切線方程，比較系數(shù)得a的值.【詳解】函數(shù)的圖象在處的切線的切點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，所以切線斜率為，切線方程為，即，設(shè)的圖象的切線的切點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，所以切線斜率為，切線方程為，即，由題，解得，，斜率為.故答案為：.16. 如圖，在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，記平面與平面ABCD的交線，平面與平面的交線，若直線AB與所成角為，直線AB與所成角為，則的值是______．  【答案】【解析】【分析】作出輔助線，得到為直線，故，利用邊長關(guān)系求出，再得到，，由三角形全等得到，從而計(jì)算出的值.【詳解】延長與直線CD相交于F，連接AF，則平面與平面ABCD的交線為AF，即為直線，故即為，又∵，∴，∵E是棱的中點(diǎn)，且，∴，∴，又為銳角，且，，則，  又∵平面平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，又∵，故直線AB與所成角為，又，故，所以，故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17－21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17. “體育強(qiáng)則國家強(qiáng)，國運(yùn)興則體育興”，多參加體育運(yùn)動(dòng)能有效增強(qiáng)中學(xué)生的身體素質(zhì).籃球和排球是我校學(xué)生最為喜愛的兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，為調(diào)查喜愛運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目與性別之間的關(guān)系，某調(diào)研組在校內(nèi)隨機(jī)采訪男生、女生各50人，每人必須從籃球和排球中選擇最喜愛的一項(xiàng)，其中喜愛排球的歸為甲組，喜愛籃球的歸為乙組，調(diào)查發(fā)現(xiàn)甲組成員48人，其中男生18人.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，填空下述列聯(lián)表： 甲組乙組合計(jì)男生   女生   合計(jì)    （2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生喜歡排球還是籃球與“性別”有關(guān)?（3）現(xiàn)從調(diào)查的女生中按分層抽樣的方法選出5人組成一個(gè)小組，抽取的5人中再隨機(jī)抽取3人發(fā)放禮品，求這3人中在甲組中的人數(shù)的概率分布列及其數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中為樣本容量.參考數(shù)據(jù)：0.500.050.010.4553.8416.635 【答案】（1）列聯(lián)表見解析    （2）有95%的把握    （3）分布列見解析，【解析】【分析】(1) 根據(jù)已知條件填列聯(lián)表;(2) 計(jì)算,與表格數(shù)據(jù)比較,判斷即可;(3) 先應(yīng)用分層抽樣確定男女生人數(shù)，再應(yīng)用古典概型計(jì)算概率，列出分布列，再求出數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】列聯(lián)表 甲組乙組合計(jì)男生183250女生302050合計(jì)4852100【小問2詳解】零假設(shè)為：學(xué)生選排球還是籃球與性別無關(guān)由列聯(lián)表可得；有95%的把握認(rèn)為學(xué)生喜歡排球還是籃球與“性別”有關(guān).【小問3詳解】按分層抽樣，甲組中女生3人，乙組中女生2人，，∴概率分布列為123數(shù)學(xué)期望.18. 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）若數(shù)列的前m項(xiàng)和，求m的值，【答案】（1）證明見解析，    （2）7【解析】【分析】（1）利用數(shù)列中與的關(guān)系，得，可證明數(shù)列為等比數(shù)列，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）利用裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前m項(xiàng)和，由求m的值.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，則，整理得，故，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以．所以【小問2詳解】，數(shù)列的前m項(xiàng)和，則，則，則，解得，故m的值為7．19. 如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形與均為直角梯形，平面，．（1）已知點(diǎn)G為AF上一點(diǎn)，且，求證：BG與平面DCE不平行；（2）已知直線BF與平面DCE所成角的正弦值為，求AF的長及四棱錐D－ABEF的體積．【答案】（1）證明見解析    （2）AF的長為4；．【解析】【分析】（1）證明出兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面DCE的法向量，計(jì)算出，證明出BG與平面DCE不平行；（2）由BF與平面DCE所成角的正弦值計(jì)算出AF的長，從而求出梯形ABEF的面積，計(jì)算出四棱錐的體積.【小問1詳解】證明：因?yàn)?/span>平面ABEF，AB，平面ABEF，所以，，又，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，所以，，，設(shè)平面DCE的法向量為，則，令，則，所以，因?yàn)?/span>，且不存在使得與垂直，所以BG與平面DCE不平行；【小問2詳解】設(shè)（且），則，所以，∵直線BF與平面DCE所成角的正弦值為，∴，化簡得，解得或（舍去）；故．此時(shí)梯形ABEF的面積，故．20. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)位于第一象限），設(shè)點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且滿足，連接，.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；（2）記，的面積分別為，，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1），    （2），【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)直接可得拋物線方程；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程組可得，再根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)確定點(diǎn)及點(diǎn)到直線的距離，可求，，結(jié)合基本不等式，可得的最小值與點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】由拋物線焦點(diǎn)，可得，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為，【小問2詳解】設(shè)直線，點(diǎn)，，聯(lián)立，得，即，所以，且，又，，的方程為，即點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離，又，，，所以，，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，此時(shí)點(diǎn)為，即的最小值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．21. 已知函數(shù)，且．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）已知，證明：．【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）由恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求最小值，利用不等式求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）由恒成立，通過換元可得，構(gòu)造函數(shù)證明，可證問題中的不等式.小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?/span>R，，由解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，由解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故的最小值是，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【小問2詳解】在（1）中，令時(shí)，，令，得，即，令，則，所以，，令，則．且不恒為零．所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則．所以，，所以，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1. 導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題做答．如果多做，則按所做的第一題記分．［選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）22. 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求直線和曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線交曲線于兩點(diǎn)A，B，求的大小.【答案】（1），    （2）【解析】分析】（1）代入，即可求解；（2）聯(lián)立直線和曲線的極坐標(biāo)方程，根據(jù)極角的定義利用和差的正切公式即可求解.【小問1詳解】依題意，把，代入，得直線極坐標(biāo)方程為；把，代入，得，即曲線的極坐標(biāo)方程為.【小問2詳解】聯(lián)立和，得，即，，，，所以或，即A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的極角的正切值分別是和3，于是，所以.［選修4－5：不等式選講］（10分）23. 已知均為正實(shí)數(shù)，且.（1）求的最小值;（2）證明: .【答案】（1）6    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用三元基本不等式求解即可.（2）利用基本不等式證明即可得到答案.【小問1詳解】由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號成立，所以的最小值為 6 .【小問2詳解】因?yàn)?/span>，所以..同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以，即

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