?2022-2023學(xué)年四川省綿陽市涪城區(qū)南山中學(xué)高二（下）第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（文科）
一、單項(xiàng)選擇題。（每題5分，12道小題，共計(jì)60分）
1．已知集合M＝{3，4，5}，則M的非空子集有（　　）
A．3個(gè) B．4個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)
2．已知，則的模＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣2x，則f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的傾斜角為（　?。?br /> A． B． C． D．
4．的化簡結(jié)果為（　　）
A． B． C． D．
5．若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9＝24，則a8＝（　　）
A．3 B．6 C．8 D．12
6．若關(guān)于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a≤0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．{a|a≥﹣2} B．{a|a≤﹣2} C．{a|a≥﹣6} D．{a|a≤﹣6}
7．設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f（x）＝x2+2x?f′（1），則f′（1）＝（　　）
A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．2
8．設(shè)a∈R，則“a＝﹣2”是“直線l1：ax+2y﹣1＝0與直線l2：x+（a+1）y﹣a2＝0”平行的（　?。?br /> A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
9．方程x4﹣y4﹣4x2+4y2＝0所表示的曲線是（　　）
A．兩條相交的直線
B．兩條相交直線和兩條平行直線
C．兩條平行直線和一個(gè)圓
D．兩條相交直線和一個(gè)圓
10．已知橢圓C：+＝1的離心率為，則C的長軸長為（　?。?br /> A．8 B．4 C．2 D．4
11．若函數(shù)f（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣a存在零點(diǎn)，則a的取值范圍為（　?。?br /> A．（0，1） B．[1，+∞） C． D．
12．已知函數(shù)f（x）＝x3+ax2﹣bx（a＞0，b＞0）在x＝﹣1處有極值，則的最小值為（　?。?br /> A．2 B． C． D．4
二、填空題。（每題5分，共4道小題，共計(jì)20分）
13．若橢圓的離心率為，短半軸長為2，則該橢圓的長半軸長為 　 ?。?br /> 14．雙曲線x2﹣2y2＝6的右焦點(diǎn)坐標(biāo)是　 　．
15．函數(shù)y＝2cosx﹣sinx的最小值為 　 ?。?br /> 16．已知函數(shù)f（x）＝ax3﹣3x+1存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 　 　．
三、解答題。（6道小題，共計(jì)70，寫出必要的計(jì)算過程，演算步驟和文字說明）
17．已知函數(shù)f（x）＝sin．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．
18．已知函數(shù)．
（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．
19．第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月在北京舉辦，為了普及冬奧知識(shí)，某校組織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識(shí)答題比賽，從全校眾多學(xué)生中隨機(jī)選取了10名學(xué)生，得到他們的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如下表：
分?jǐn)?shù)段
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，1000）
人數(shù)
1
1
1
2
2
2
1
規(guī)定60分以下為不及格；60分及以上至70分以下為及格；70分及以上至80分以下為良好；80分及以上為優(yōu)秀，將頻率視為概率．
（1）此次比賽中該校學(xué)生成績的優(yōu)秀率是多少？
（2）在全校學(xué)生成績?yōu)榱己煤蛢?yōu)秀的學(xué)生中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行冬奧知識(shí)演講，求良好和優(yōu)秀各1人的概率．
20．如圖，在直三棱柱ABC﹣DEF中，AC＝BC＝2，，，AD＝4，M、N分別為AD、CF的中點(diǎn)．
（1）求證：AN⊥平面BCM；
（2）設(shè)G為BE上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)G到平面BCM的距離．

21．已知拋物線C：y2＝2px（p＜0）過點(diǎn)A（﹣2，﹣4）．
（1）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
（2）過該拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為60°的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長度．
22．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣x2，求證：
（1）f（x）存在唯一零點(diǎn)；
（2）不等式ex﹣1﹣x2+x﹣1+（lnx）2≥0恒成立．


參考答案
一、單項(xiàng)選擇題。（每題5分，12道小題，共計(jì)60分）
1．已知集合M＝{3，4，5}，則M的非空子集有（　　）
A．3個(gè) B．4個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)
【分析】根據(jù)集合子集個(gè)數(shù)的公式求解．
解：∵集合M＝{3，4，5}，∴M的非空子集有23﹣1＝7個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查非空子集個(gè)數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題．
2．已知，則的模＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根據(jù)向量模的坐標(biāo)運(yùn)算公式，即可求解．
解：∵向量，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量模的坐標(biāo)運(yùn)算公式，屬于基礎(chǔ)題．
3．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣2x，則f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的傾斜角為（　　）
A． B． C． D．
【分析】設(shè)切線的斜率為k，其傾斜角是θ，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得k＝f′（1），即tanθ，結(jié)合θ的范圍，分析可得答案．
解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝x3﹣2x，設(shè)切線的斜率為k，其傾斜角是θ，
函數(shù)f（x）＝x3﹣2x，則f′（x）＝3x2﹣2，
則有k＝f′（1）＝1，
則tanθ＝1，
又由0≤θ＜π，則θ＝，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析切線的方程，關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
4．的化簡結(jié)果為（　　）
A． B． C． D．
【分析】由平面向量的線性運(yùn)算法則即可求得答案．
解：＝6﹣3﹣2﹣6＝4﹣9．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
5．若等差數(shù)列{an}滿足a7+a8+a9＝24，則a8＝（　?。?br /> A．3 B．6 C．8 D．12
【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)即可求解．
解：根據(jù)等差中項(xiàng)，可知a7+a9＝2a8，
因?yàn)閍7+a8+a9＝3a8＝24，所以a8＝8．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
6．若關(guān)于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a≤0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?br /> A．{a|a≥﹣2} B．{a|a≤﹣2} C．{a|a≥﹣6} D．{a|a≤﹣6}
【分析】直接利用判別式即可研究不等式的解的情況．
解：若關(guān)于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a≤0有解，
則Δ＝16+4（2+a）≥0，
解得a≥﹣6，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣6，+∞）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．
7．設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f（x）＝x2+2x?f′（1），則f′（1）＝（　?。?br /> A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【分析】根據(jù)f′（1）是一個(gè)常數(shù)，直接對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令x＝1，建立關(guān)于f′（1）的方程求解即可．
解：∵f（x）＝x2+2x?f′（1），
∴f′（x）＝2x+2f′（1），
∴f′（1）＝2×1+2f′（1），
解得f′（1）＝﹣2．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，計(jì)算公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．解題的關(guān)鍵是對(duì)f′（1）的理解．
8．設(shè)a∈R，則“a＝﹣2”是“直線l1：ax+2y﹣1＝0與直線l2：x+（a+1）y﹣a2＝0”平行的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】化簡求出直線l1：ax+2y﹣1＝0與直線l2x+（a+1）y﹣a2＝0平行的充要條件，注意重合的情況，即可求解．
解：∵直線l1：ax+2y﹣1＝0與直線l2：x+（a+1）y﹣a2＝0平行，
∴a（a+1）﹣2×1＝0；∴a＝﹣2或a＝1；
當(dāng)a＝1時(shí)，直線l1：ax+2y﹣1＝0與直線重合，故a＝1不符合題意，∴a＝﹣2，
則“a＝﹣2”是“直線l1：ax+2y﹣1＝0與直線l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的充分必要條件．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．
9．方程x4﹣y4﹣4x2+4y2＝0所表示的曲線是（　　）
A．兩條相交的直線
B．兩條相交直線和兩條平行直線
C．兩條平行直線和一個(gè)圓
D．兩條相交直線和一個(gè)圓
【分析】將原方程分解因式，結(jié)合直線方程和圓方程，可得所求曲線形狀．
解：方程x4﹣y4﹣4x2+4y2＝0，
即（x2﹣y2）（x2+y2）﹣4（x2﹣y2）＝0，
可得（x2﹣y2）（x2+y2﹣4）＝0，
即為y2＝x2或x2+y2＝4，
即y＝x或y＝﹣x或x2+y2＝4，
則方程表示兩條相交直線和一個(gè)圓，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查方程表示的曲線，注意運(yùn)用因式分解和直線方程、圓方程，考查化簡能力，屬于基礎(chǔ)題．
10．已知橢圓C：+＝1的離心率為，則C的長軸長為（　?。?br /> A．8 B．4 C．2 D．4
【分析】根據(jù)橢圓的方程，即可得出答案．
解：∵橢圓C的離心率為，
∴＝，解得m＝2，
故橢圓C：+＝1的長軸長為2＝4，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，考查對(duì)應(yīng)思想，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
11．若函數(shù)f（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣a存在零點(diǎn)，則a的取值范圍為（　?。?br /> A．（0，1） B．[1，+∞） C． D．
【分析】對(duì)f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可求出f（x）的單調(diào)性與最值，結(jié)合題意可求得a的取值范圍．
解：．
因?yàn)閤＞0，所以x+1＞0．
令，因?yàn)間（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
g（）＝﹣2＜0，g（1）＝e﹣1＞0，
所以?x0∈（0，+∞），使得g（x0）＝0，即﹣＝0，可得x0+lnx0＝0．
當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
所以f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以．
要使f（x）存在零點(diǎn)，只需f（x）min≤0，即a≥1，
故a的取值范圍是[1，+∞）．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．
12．已知函數(shù)f（x）＝x3+ax2﹣bx（a＞0，b＞0）在x＝﹣1處有極值，則的最小值為（　　）
A．2 B． C． D．4
【分析】由題可得2a+b＝3，然后利用基本不等式即得．
解：由f（x）＝x3+ax2﹣bx，得f'（x）＝3x2+2ax﹣b，
所以f'（﹣1）＝3﹣2a﹣b＝0，即2a+b＝3，
由題意，得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號(hào)．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
二、填空題。（每題5分，共4道小題，共計(jì)20分）
13．若橢圓的離心率為，短半軸長為2，則該橢圓的長半軸長為 　4?。?br /> 【分析】由題意可得關(guān)于a，b，c的方程組，求解得答案．
解：由題意得，b＝2，，又a2＝b2+c2，
解得a2＝16，則a＝4，∴橢圓的長半軸長為4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．
14．雙曲線x2﹣2y2＝6的右焦點(diǎn)坐標(biāo)是?。?，0）?。?br /> 【分析】化雙曲線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a，b，c，可得右焦點(diǎn)坐標(biāo)．
解：雙曲線x2﹣2y2＝6化為：，
可得a＝，b＝，c＝＝3，
可得右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．
故答案為：（3，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，把雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
15．函數(shù)y＝2cosx﹣sinx的最小值為 　?。?br /> 【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求得答案．
解：∵y＝2cosx﹣sinx＝cos（x+?），其中，
∴函數(shù)y＝2cosx﹣sinx的最小值為，
當(dāng)且僅當(dāng)x+?＝π+2kπ，k∈Z，即x＝π﹣?+2kπ，k∈Z時(shí)取到最小值．
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．
16．已知函數(shù)f（x）＝ax3﹣3x+1存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 　（﹣∞，0]∪（4，+∞）?。?br /> 【分析】求定義域，求導(dǎo)，分a≤0與a＞0兩種情況，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理和極值情況，列出不等式，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：f（x）＝ax3﹣3x+1定義域?yàn)镽，f'（x）＝3ax2﹣3，
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＝3ax2﹣3＜0恒成立，故f（x）＝ax3﹣3x+1在R上單調(diào)遞減，
又f（0）＝1＞0，f（1）＝a﹣2＜0，
由零點(diǎn)存在性定理得：存在唯一的x0∈（0，1）使得：f（x0）＝0，故滿足要求，
當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）＝3ax2﹣3＞0得或，
由f'（x）＝3ax2﹣3＜0得，
故f（x）在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
當(dāng)x→﹣∞時(shí)，f（x）→﹣∞，
所以函數(shù)f（x）＝ax3﹣3x+1存在唯一的零點(diǎn)，只需，
解得：a＞4，與a＞0取交集后得到a＞4，
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0]∪（4，+∞）．
故答案為：（﹣∞，0]∪（4，+∞）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于中檔題．
三、解答題。（6道小題，共計(jì)70，寫出必要的計(jì)算過程，演算步驟和文字說明）
17．已知函數(shù)f（x）＝sin．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．
【分析】（1）利用正弦型函數(shù)周期公式求解即可．
（2）求出函數(shù)f（x）相位的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝sin，所以最小正周期．
（2）當(dāng)時(shí)，，
而正弦函數(shù)y＝sinx 在[上單調(diào)遞增，在[上單調(diào)遞減，
因此當(dāng)，即時(shí)，f（x）＝sin取最大值1，
當(dāng)，即 時(shí)，f（x）＝sin取最小值，
所以f（x）的最大值為1，最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
18．已知函數(shù)．
（1）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．
【分析】（1）求導(dǎo)，求出f'（1）＝﹣1+2＝1即為切線斜率，然后求出切線方程即可；
（2）求導(dǎo)，列出表格，得到單調(diào)區(qū)間和極值．
解：（1）因?yàn)閒'（x）＝﹣x2+2x，所以f'（1）＝﹣1+2＝1，
因此曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，）處的切線的斜率為1；
（2）令f'（x）＝﹣x2+2x＝0，解得x＝0或2．
x
（﹣∞，0）
0
（0，2）
2
（2，+∞）
f'（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
↘
極小值
↗
極大值
↘
所以 f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，在（0，2）內(nèi)是增函數(shù)．
因此函數(shù)f（x）在x＝0處取得極小值f（0），且f（0）＝0，
函數(shù)f（x）在x＝2處取得極大值，且f（2）＝；
綜上，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2），
單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，0），（2，+∞），極小值為0，極大值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬中檔題．
19．第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月在北京舉辦，為了普及冬奧知識(shí)，某校組織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識(shí)答題比賽，從全校眾多學(xué)生中隨機(jī)選取了10名學(xué)生，得到他們的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如下表：
分?jǐn)?shù)段
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，1000）
人數(shù)
1
1
1
2
2
2
1
規(guī)定60分以下為不及格；60分及以上至70分以下為及格；70分及以上至80分以下為良好；80分及以上為優(yōu)秀，將頻率視為概率．
（1）此次比賽中該校學(xué)生成績的優(yōu)秀率是多少？
（2）在全校學(xué)生成績?yōu)榱己煤蛢?yōu)秀的學(xué)生中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行冬奧知識(shí)演講，求良好和優(yōu)秀各1人的概率．
【分析】（1）根據(jù)分層抽樣，列式計(jì)算即可；
（2）采用列舉法，寫出從a，b，C，D，E中隨機(jī)抽取 2 人的所有基本事件和良好和優(yōu)秀各 1 人的事件數(shù)，結(jié)合古典概型概率公式計(jì)算即可．
解：（1）∵80分及以上為優(yōu)秀，
∴，
故此次比賽中該校學(xué)生成績的優(yōu)秀率是 0.3．
（2）∵成績良好的學(xué)生人數(shù)與成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)之比為2：（2+1）＝2：3，
∴在成績良好的學(xué)生中抽取 2 人，記為a，b，在成績優(yōu)秀的學(xué)生中抽取 3 人，記為C，D，E．
從a，b，C，D，E中隨機(jī)抽取 2 人的所有基本事件為：（a，b），（a，C），（a，D），（a，E），（b，C），（b，D），（b，E），（C，D），（C，E），（D，E），共 10 種，
其中良好和優(yōu)秀各 1 人的有：（a，C），（a，D），（a，E），（b，C），（b，D），（b，E），共 6 種．
根據(jù)古典概型概率公式可知，良好和優(yōu)秀各 1 人的概率為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡單的隨機(jī)抽樣，概率的求法，屬于基礎(chǔ)題．
20．如圖，在直三棱柱ABC﹣DEF中，AC＝BC＝2，，，AD＝4，M、N分別為AD、CF的中點(diǎn)．
（1）求證：AN⊥平面BCM；
（2）設(shè)G為BE上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)G到平面BCM的距離．

【分析】（1）根據(jù)AC2+BC2＝AB2得AC⊥BC，并且得出四邊形ACMN為正方形，進(jìn)而即可求證；
（2）先算出點(diǎn)M到平面GBC的距離即為AC＝2，由，可求出，設(shè)點(diǎn)G到平面BCM的距離為h，則，進(jìn)而求出點(diǎn)G到平面BCM的距離．
解：（1）證明：在直三棱柱ABC﹣DEF中，AC＝BC＝2，，AD＝4，M、N分別為AD、CF的中點(diǎn)，
∵AC＝BC＝2，，
∴AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，
又ABC﹣DEF是直三棱柱，∴BC⊥平面ACFD，則BC⊥AN，
∵M(jìn)、N分別為AD、CF的中點(diǎn)，且AD＝4，AC＝2，
∴四邊形ACNM為正方形，則CM⊥AN，
又BC∩CM＝C，∴AN⊥平面BCM；
（2）由（1）知，即AC⊥BC，
又ABC﹣DEF是直三棱柱，∴AC⊥平面BCFE，∴MA∥FC，
則點(diǎn)M到平面GBC的距離即為AC＝2，∴＝，
由（1）知，BC⊥CM，且，∴，
設(shè)點(diǎn)G到平面BCM的距離為h，
則，∴，則，
即點(diǎn)G到平面BCM的距離為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的證明和點(diǎn)到平面的距離計(jì)算，屬于中檔題．
21．已知拋物線C：y2＝2px（p＜0）過點(diǎn)A（﹣2，﹣4）．
（1）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
（2）過該拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為60°的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長度．
【分析】（1）將A點(diǎn)代入拋物線方程即可求得C的方程，由拋物線方程可得準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理形式，利用拋物線焦點(diǎn)弦長公式可直接得到結(jié)果．
解：（1）∵y2＝2px（p＜0）過點(diǎn)A（﹣2，﹣4），
∴﹣4p＝16，解得：p＝﹣4，
∴拋物線C：y2＝﹣8x，準(zhǔn)線方程為：x＝2；
（2）由（1）知：拋物線焦點(diǎn)為（﹣2，0），
因?yàn)橹本€傾斜角為60°，
所以設(shè)直線，A（x1，y1），B（x2，y2），
由得：3x2+20x+12＝0，
∴，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題，
22．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣x2，求證：
（1）f（x）存在唯一零點(diǎn)；
（2）不等式ex﹣1﹣x2+x﹣1+（lnx）2≥0恒成立．
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)得出f（x）的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可；
（2）先證明lnx≤x﹣1，再由f（x）的單調(diào)性，證明不等式即可．
【解答】證明：（1）f'（x）＝ex﹣2x＝g（x），g'（x）＝ex﹣2，
當(dāng)x＞ln2時(shí)，g'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＜ln2時(shí)，g'（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；
所以g（ln2）＝eln2﹣2ln2＝2﹣ln4＞0，即g（x）＞0，f'（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，，
則在（﹣1，0）上，存在x0，使得f（x0）＝0，即f（x）存在唯一零點(diǎn)．
（2）f（lnx）＝elnx﹣（lnx）2＝x﹣（lnx）2，f（x﹣1）＝ex﹣1﹣（x﹣1）2＝ex﹣1﹣x2+2x﹣1，
令h（x）＝lnx﹣x+1（x＞0），，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＜0，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；
即h（x）≤h（1）＝0，故lnx≤x﹣1．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（lnx）≤f（x﹣1），
即ex﹣1﹣x2+2x﹣1﹣x+（lnx）2≥0，
故不等式ex﹣1﹣x2+x﹣1+（lnx）2≥0恒成立．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)零點(diǎn)問題以及不等式的證明，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．

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