綿陽(yáng)南山中學(xué)2023年春綿陽(yáng)三診熱身考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 已知集合，，若，則（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)?/span>,所以,所以或 . 若，則,滿足 .若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B. 2. 已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】將原式分母實(shí)數(shù)化得到復(fù)數(shù)代數(shù)形式后求出其共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)實(shí)部與虛部的符號(hào)即可判斷所在象限.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限.故選：C3. 設(shè)，則“”是“”的（    ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解集，根據(jù)解集的包含關(guān)系即可判斷充分、必要關(guān)系.【詳解】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A 4. 拋物線上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（    ）A.  B.  C.  D. 0【答案】B【解析】【分析】利用拋物線定義即可求解.【詳解】拋物線可化為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,由拋物線定義知：，解得：.故選：B5. 已知，為鈍角，，則（    ）A. 1 B.  C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出，從而求出，再根據(jù)利用兩角差的正切公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>為鈍角，所以，則，所以.故選：B6. 已知不重合的兩條直線，，平面，，且，，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的命題是（    ）.A. ①④ B. ③④ C. ①② D. ①③【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圖像，逐一判斷四個(gè)命題的正確性.【詳解】對(duì)于①，畫出圖像如下圖所示，由圖可知①正確. 證明如下：由于，所以，由于，所以.對(duì)于②，畫出圖像如下圖所示，由圖可知②錯(cuò)誤.對(duì)于③，畫出圖像如下圖所示，由圖可知③錯(cuò)誤.（和①圖像相同）對(duì)于④，畫出圖像如下圖所示，由圖可知④正確.證明如下：由于，所以，由于，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間點(diǎn)線面位置關(guān)系有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.7. 函數(shù)的圖象大致為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用的奇偶性和特殊值，，即得解【詳解】由題意，的定義域?yàn)?/span>，，故為奇函數(shù)，排除C；，排除A，，排除B.故選：8. 在中，，，，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且，則A.  B.  C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】用 , 表示出，再利用數(shù)量積定義計(jì)算可得．【詳解】由題意可知D為BC的靠近C的三等分點(diǎn)，∴===，∴= = =3+×2×cos120°=1．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的三角形法則、數(shù)量積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題9. 已知函數(shù)（為常數(shù)，）的部分圖像如圖所示，若將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則的解析式可以為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件得到，再根據(jù)三角函數(shù)平移變換求解即可。【詳解】由題意得，所以，故，因?yàn)?/span>，，所以，，即 .又因?yàn)?/span>，解得.即.將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù).故選：A10. 芻甍（chú méng）是中國(guó)古代算術(shù)中的一種幾何形體，《九章算術(shù)》中記載“芻甍者，下有褒有廣，而上有褒無(wú)廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒有寬為一條棱，芻甍字面意思為茅草屋頂．”已知圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為，其中的粗線部分是某個(gè)芻甍的三視圖，則該芻甍的表面積為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由三視圖還原幾何體，依次求解幾何體各個(gè)面的面積，加和即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖還原該幾何體如圖所示，則，，，為等腰三角形，由主視圖可知邊的高為，，由此可求得梯形的高為，，，，該幾何體的表面積為.故選：D．11. 已知為雙曲線左支上的一點(diǎn)，雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、，直線交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)，直線、的斜率為、，若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，可得出，利用圓的幾何性質(zhì)可得，由，即可得出的值，由此可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，即有，①由、以及以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)可知， 所以，又，，所以，， 由題意知，所以 ，② 由①和②得，由得．故選：D.12. 已知，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，從而可比較的大小，設(shè)，由冪函數(shù)的單調(diào)性即可比較的大小，從而可得結(jié)論.【詳解】解：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，所以，所以，則，即.設(shè)，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，所以，即，所以.故選：D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上）13. 的展開式中，的系數(shù)為___________.(用數(shù)字作答)【答案】9【解析】【分析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求出的系數(shù)．【詳解】的展開式中，的系數(shù)為，故答案：9.14. 從5名男醫(yī)生名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有______種 數(shù)字回答．【答案】70【解析】【分析】先分兩類，一類是：一男二女，另一類是：兩男一女；在每一類中再用分步計(jì)數(shù)原理解答．【詳解】解：直接法：一男兩女，有種，兩男一女，有種，共計(jì)70種間接法：任意選取種，其中都是男醫(yī)生有種，都是女醫(yī)生有種，于是符合條件的有種．故答案為70．【點(diǎn)睛】直接法：先分類后分步；間接法：總數(shù)中剔除不合要求的方法，這種問題是排列組合中典型的問題，注意表示過程中數(shù)字不要弄混．15. 針對(duì)“中學(xué)生追星問題”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，調(diào)查樣本中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生追星人數(shù)占男生人數(shù)的，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有95%的把握認(rèn)為是否追星和性別有關(guān)，則調(diào)查樣本中男生至少有________人.參考數(shù)據(jù)及公式如下：0.0500.0100.0013.8416.63510.828 【答案】12【解析】【分析】設(shè)男生人數(shù)為，得到列聯(lián)表，根據(jù)題意得到，列出不等式，求得的取值范圍，結(jié)合，為整數(shù)，即可求解.【詳解】設(shè)男生人數(shù)為，依題 意可得列聯(lián)表如下： 喜歡追星不喜歡追星總計(jì)男生女生總計(jì)若在犯錯(cuò)誤的概率不超過95%的前提下認(rèn)為是否喜歡追星和性別有關(guān)，則，由，解得，因?yàn)?/span>，為整數(shù)，所以若在犯錯(cuò)誤的概率不超過95%的前提下認(rèn)為是否喜歡追星和性別有關(guān)，則男生至少有12人.故答案為：.16. 如圖，在平面四邊形中，，，，，，.則______，的長(zhǎng)為______.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】由余弦定理得出，再結(jié)合正弦定理得出，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及誘導(dǎo)公式得出，最后由直角三角形的邊角關(guān)系得出.【詳解】由余弦定理可得即，解得或（舍）在中，由正弦定理得，即則為銳角，在直角三角形中故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：（共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）（一）必考題：共60分.17. 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足：.（1）設(shè)，證明是等比數(shù)列；（2）求.【答案】（1）證明見解析；    （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定遞推公式，結(jié)合及等比數(shù)列的定義推理作答.（2）利用并項(xiàng)求和法，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解作答.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，，則，兩式相減得：，整理可得，即，于是，，所以數(shù)列是等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，，又，則所以.18. 如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，，，是上的一點(diǎn)，．（1）證明平面；（2）設(shè)二面角為，求與平面所成角的大小【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）先由已知建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，從而寫出相關(guān)點(diǎn)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件，證明，，從而利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論即可；（2）先求平面的法向量，再求平面的法向量，利用兩平面垂直的性質(zhì)，即可求得的值，最后利用空間向量夾角公式即可求得線面角的正弦值，進(jìn)而求得線面角【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，∴，，，∴，，∴，，，∴平面.（2），，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，∵平面平面，∴，故，∴，，∴，設(shè)與平面所成角為，，則，∴，∴與平面所成角的大小為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量解決立體幾何問題的一般方法，線面垂直的判定定理，空間線面角的求法，屬于中檔題.19. 北京冬奧會(huì)的舉辦使得人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的關(guān)注度和參與度持續(xù)提高.某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會(huì)賽事的活動(dòng)，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)的參與情況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：（1）從這10所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所，在抽取的2所學(xué)校參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的條件下，求這2所學(xué)校參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人的概率；（2）現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營(yíng)，對(duì)“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測(cè)試.規(guī)定：在一輪測(cè)試中，這3個(gè)動(dòng)作至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測(cè)試記為“優(yōu)秀”.已知在一輪集訓(xùn)測(cè)試的3個(gè)動(dòng)作中，甲同學(xué)每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個(gè)動(dòng)作互不影響且每輪測(cè)試互不影響.如果甲同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中獲得“優(yōu)秀”次數(shù)的平均值不低于8次，那么至少要進(jìn)行多少輪測(cè)試？【答案】（1）    （2）11輪【解析】【分析】（1）由已知條件，記“這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人”為事件A，“這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人”為事件B，根據(jù)條件概率公式求解即可；（2）記“甲同學(xué)在一輪測(cè)試中獲得“優(yōu)秀””為事件C，求出事件C發(fā)生的概率，由題意，甲同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，根據(jù)期望公式求出平均值，解不等式即可分析出測(cè)試次數(shù)最小值.【小問1詳解】由題可知10個(gè)學(xué)校，參與“自由式滑雪”的人數(shù)依次為27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，參與“單板滑雪”的人數(shù)依次為46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的學(xué)校有6個(gè)，參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人，且“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人的學(xué)校有4人，記“這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人”為事件A，“這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人”為事件B，則，，所以，.【小問2詳解】記“甲同學(xué)在一輪測(cè)試中獲得“優(yōu)秀””為事件C，則，由題意，甲同學(xué)在集訓(xùn)測(cè)試中獲得“優(yōu)秀”次數(shù)服從二項(xiàng)分布，由題意列式，得，因?yàn)?/span>，所以的最小值為11，故至少要進(jìn)行11輪測(cè)試.20. 如圖，線段的兩個(gè)端點(diǎn)、分別在軸、軸上滑動(dòng)，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，點(diǎn)隨線段的運(yùn)動(dòng)而變化.  （1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)為點(diǎn)的軌跡的左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，過的直線交的軌跡于，兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.【答案】（1）    （2）的最大值為6；直線的方程為或【解析】【分析】（1）設(shè)，，，由和，利用代入法，即可求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，可得，換元，利用基本不等式，即可求面積的最大值，從而求此時(shí)直線PQ的方程．【小問1詳解】由題可知點(diǎn)，且可設(shè)，，，則可得，又，即.∴，這就是點(diǎn)的軌跡方程.【小問2詳解】由（1）知為，為，由題意直線斜率不為0，設(shè)直線為，由有，    設(shè)，，則恒成立，且，∴
 ，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，∴的最大值為6，此時(shí)的方程為或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．21. 函數(shù).（1）求在處的切線方程（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；（2）設(shè)，若，滿足，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，切線方程為，化簡(jiǎn)即可；（2）先由導(dǎo)數(shù)確定在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則，又，，則，于是，這是重要的一個(gè)結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，求出，可確定在上遞減，于是，于是，下面只要證明即可。【詳解】（1），則， 故在處的切線方程為即；（2）證明：由題可得，，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù).設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則，在上遞減.不妨設(shè)，由于在上是增函數(shù)，則，又，，則，于是，由，在上遞減，則，所以，則，又，在上是增函數(shù)，所以，，即.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)證明不等式。本題不等式證明難度很大，首先不妨設(shè)，由的單調(diào)性得，因此要證題設(shè)不等式只要證，為此構(gòu)造新函數(shù)，利用它在上的單調(diào)性完成證明。構(gòu)造新函數(shù)學(xué)生難以想到，需要學(xué)生反復(fù)學(xué)習(xí)、練習(xí)，不斷歸納總結(jié)，都有可能獨(dú)立完成。（二）選考題（共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分）【選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22. 已知為橢圓任意一點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，為上任意一點(diǎn).（1）寫出的參數(shù)方程和的普通方程；（2）求的最大值和最小值.【答案】（1），；（2）；.【解析】【分析】（1）根據(jù)轉(zhuǎn)化公式直接寫成曲線的參數(shù)方程，根據(jù)公式，，代入得到曲線的普通方程；（2）首先設(shè)橢圓上任一點(diǎn)，先求點(diǎn)和圓心距離的最大值和最小值，再求的最大值和最小值.【詳解】（1）由題意可得的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），又∵，且，∴的普通方程為，即. （2）由（1）得，設(shè)，圓圓心，則，∵，∴當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，|.∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，以及參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.【選修4—5：不等式選講】23. 選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，，.（1）解不等式；（2）任意，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）由于不等式可，可平方后求解；（2）不等式可化為，利用不等式的三角不等式求得的最小值，然后解不等式可得的范圍．【詳解】（1）不等式即，兩邊平方得，解得，所以原不等式的解集為.（2）不等式可化為，又，所以，解得，所以的取值范圍為.

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