綿陽南山中學(xué)2023年春高三入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（文科）第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分．）1. 已知集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合后再逐項計算，從而可得正確的選項.【詳解】集合，，，故A錯誤，D正確；，故B，C錯誤．故選：D．2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為，則（    ）A. i B. －i C. 2i D. －2i【答案】B【解析】【分析】由題可得，再由復(fù)數(shù)除法法則即可求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的坐標為，所以，所以.故選：B.3. 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直觀，形無數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．函數(shù)的圖象大致形狀是（    ）A.    B.   C.    D.   【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再由函數(shù)在上的取值情況，利用排除法即可判斷.【詳解】因為，定義域為，又，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故排除C、D，又當(dāng)時，，，故排除B．故選：A．4. 中國古典樂器一般按“八音”分類，這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行分類的方法，最早見于《周禮·春官·大師》，八音分為“金、石、土、革、絲、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器.某同學(xué)計劃從“金、石、匏、竹、絲5種課程中選2種作興趣班課程進行學(xué)習(xí)，則恰安排了1個課程為吹奏樂器、1個課程為打擊樂器的概率為（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題目首先列出總的事件數(shù)，再列出滿足條件的基本事件數(shù)，進一步求出答案.【詳解】“金、石”為打擊樂器共2種，“匏、竹”為吹奏樂器共2種，“絲”為彈撥樂器，共1種，5選2的基本事件有（金、石）（金、匏）（金、竹）（金、絲）（石、匏）（石、竹）（石、絲）（匏、竹）（匏、絲）（竹、絲），共10種情況，其中恰安排了1個課程為吹奏樂器、1個課程為打擊樂器的基本事件為（金、匏）（金、竹）（石、匏）（石、竹），共4種，故所求概率為.故選：B.5. 設(shè)，，則“”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由得到，舉出反例，得到充分性不成立，由推出，必要性成立，得到答案.【詳解】，則，當(dāng)時，滿足，但此時無意義，故充分性不成立，若，則，故必要性成立，則“”是“”的必要不充分條件.故選：B6. 已知，，，若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)平面向量平行的坐標表示可知，再根據(jù)余弦二倍角公式化簡、解方程可得,進而可得，再根據(jù)兩角差的正切公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，，所以或，又，所以，所以，所以，故選：B.7. 若函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于敘述正確的是（    ）A. 的最小正周期為B. 在內(nèi)單調(diào)遞增C. 的圖象關(guān)于對稱D. 的圖象關(guān)于對稱【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡為標準型，結(jié)合函數(shù)圖象變換求得，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】，將其圖象向左平移個單位得到的圖象；對A：的最小正周期，故A錯誤；對B：當(dāng)時，，此時不是單調(diào)函數(shù)，故B錯誤；對C：為函數(shù)最小值，故是的對稱軸，C正確；對D：，故不是的對稱中心，D錯誤.故選：C.8. 美國生物學(xué)家和人口統(tǒng)計學(xué)家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長規(guī)律的生長曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析式可以簡化為的形式．已知描述的是一種果樹的高度隨著栽種時間x（單位：年）變化的規(guī)律，若剛栽種（x＝0）時該果樹的高為1.5m，經(jīng)過2年，該果樹的高為4.5m，則該果樹的高度不低于5.4m，至少需要（    ）A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)模型解析式，代入值得到方程組，解出，則得到函數(shù)解析式，代入或列不等式均可.【詳解】由題意可得,,則,解得,所以,，由函數(shù)的解析式可得,在上單調(diào)遞增,且,故該果樹的高度不低于,至少需要3年.故選：A.9. 已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面．下列說法中不正確的是（    ）A. 若 ，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中的線面、面面關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】由線面平行的性質(zhì)定理可知A正確；若，，則或，故B錯誤；因為，所以由面面垂直的性質(zhì)定理可知，必有，使得，同理，由得必有，使得，從而有，若與是相同直線，則由得；若與是不同直線，則由，，可得，因為，，則由線面平行的性質(zhì)定理可得，故，故C正確；若，則，又，則，故D正確．故選：B.10. 設(shè)拋物線的焦點為F，過點的直線與E相交于A，B兩點，與E的準線相交于點C，點B在線段AC上，，則與的面積之比（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式得到B點橫坐標，進而利用拋物線方程求出B點縱坐標，直線AB的方程，求出C點坐標，聯(lián)立直線與拋物線，求出A點縱坐標，利用求出答案.【詳解】如圖，過點B作BD垂直準線于點D，則由拋物線定義可知：，設(shè)直線AB為， ，，，不妨設(shè)，則，所以，解得：，則，解得：，則，所以，解得：，則直線AB為，所以當(dāng)時，即，解得：，則，聯(lián)立與得：，則，所以，其中.故選：C11. 設(shè)，分別為雙曲線：的左?右焦點，為雙曲線的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線的某條漸近線于，兩點，且，（如圖），則該雙曲線的離心率為（    ）A.  B.  C. 2 D. 【答案】D【解析】【分析】聯(lián)立與求出，進而的正切可求，得出的關(guān)系，從而進一步解出答案.【詳解】依題意得, 以線段 為直徑的圓的方程為 , 雙曲線 的一條漸近線的方程為 . 由 以及解得 或 不妨取 , 則 . 因為 , 所以 , 又 所以 , 所以 , 所以該雙曲線的離心率 .故選：D.12. 已知，，，則，，的大小關(guān)系是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】令函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到，再根據(jù)，，，結(jié)合題意，，，得到，分別求得，，，即可求解.【詳解】令函數(shù)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以，因為，，，所以，，，所以，即，因為，可得，又因為，則，同理，，所以，，因為當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以．故選：C．【點睛】方法點撥：設(shè)函數(shù)，求得當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，得到，得出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行比較是解答的關(guān)鍵.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13. 已知函數(shù)，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式求得正確答案.【詳解】.故答案為：14. 若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．【答案】【解析】【分析】設(shè)出切點橫坐標，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個不同的實數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為： 15. 已知四棱錐P﹣ABCD的頂點都在球O的球面上，底面ABCD是邊長為2的正方形，且PA⊥平面ABCD.若四棱錐P﹣ABCD的體積為，則球O的表面積為___________.【答案】【解析】【分析】由題意，畫出示意圖，四棱錐P﹣ABCD的體積，，，，球O的半徑，進而求解.【詳解】解：由題意，畫出示意圖如圖：則正方形ABCD面積S=4，∵ 四棱錐P﹣ABCD的體積，∴ ，，球O的半徑球O的表面積：.故答案為：16. 設(shè)，過定點的動直線，和過定點的動直線交于點，圓，則下列說法正確的有______________．①直線過定點；                  ②直線與圓相交最短弦長為2；③動點的曲線與圓相交；             ④最大值為5．【答案】①②③【解析】【分析】根據(jù)直線系求直線過定點判斷①，根據(jù)半弦長、半徑、圓心距關(guān)系求弦長判斷②，由圓心距判斷兩圓的關(guān)系判斷③，根據(jù)，設(shè)，利用三角函數(shù)求最值判斷④.【詳解】①：由，有，所以直線過的定點為，故①正確；②：由圓的標準方可得圖心為，半徑，直線過的定點為，當(dāng)時所得弦長最短．則，又，所以，得，則圓心到直線的距離為，所以弦長為：，故②正確；③：當(dāng)時，，則點，此時點在圓外：當(dāng)時，由直線得，代入直線中得點的方程為圓也適合，得．半徑為，所以圓心距．所以兩圓相交．故③正確；④：由．當(dāng)時，，有，當(dāng)時．，則，所以，又點是兩直線的交點，所以，所以，設(shè)，則，因為，，所以，所以，故④錯誤．故答案為：①②③．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）（一）必考題：共60分．17. 已知數(shù)列滿足（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列：（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）對進行整理得到，即可說明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）將變形為或，然后求和即可.【小問1詳解】法1：由，兩邊同除以得，，（）為常數(shù)，∴數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差為1，法2：由得，∴（）為常數(shù)，∴數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差為1.【小問2詳解】由，∴，法1：，則.法2：，則.18. 在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．（1）求角B的大??；（2）若，D為AC邊上的一點，，且______，求的面積．①BD是平分線；②D為線段AC的中點．（從①，②兩個條件中任選一個，補充在上面的橫線上并作答）．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡，再根據(jù)三角形中角的范圍可求得；（2）若選①：利用三角形面積關(guān)系和余弦定理求得，然后根據(jù)面積公式即可；若選②：根據(jù)中點的向量關(guān)系式并同時平方，結(jié)合余弦定理求得，然后根據(jù)面積公式即可.【小問1詳解】由正弦定理知：又：代入上式可得：，則故有：又，則故的大小為：【小問2詳解】若選①：由BD平分得：則有：，即在中，由余弦定理可得：又，則有：聯(lián)立可得：解得：（舍去）故若選②：可得：，，可得：在中，由余弦定理可得：，即聯(lián)立解得：故19. 每年10月中上旬是小麥的最佳種植時間，但小麥的發(fā)芽會受到土壤、氣候等多方面因素的影響.某科技小組為了解晝夜溫差的大小與小麥發(fā)芽的多少之間的關(guān)系，在不同的溫差下統(tǒng)計了100顆小麥種子的發(fā)芽數(shù)，得到了如下數(shù)據(jù)：溫差810111213發(fā)芽數(shù)（顆）7981858690（1）請根據(jù)統(tǒng)計的最后三組數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）若由（1）中的線性回歸方程得到的估計值與前兩組數(shù)據(jù)的實際值誤差均不超過兩顆，則認為線性回歸方程是可靠的，試判斷（1）中得到的線性回歸方程是否可靠；（3）若100顆小麥種子的發(fā)芽率為顆，則記為的發(fā)芽率，當(dāng)發(fā)芽率為時，平均每畝地的收益為元，某農(nóng)場有土地10萬畝，小麥種植期間晝夜溫差大約為，根據(jù)（1）中得到的線性回歸方程估計該農(nóng)場種植小麥所獲得的收益.附：在線性回歸方程中，.【答案】（1）（2）見解析（3）7950萬元【解析】【分析】（1）先進行數(shù)據(jù)處理：每個溫差值減去12，每個發(fā)芽數(shù)減去86，得到新的數(shù)據(jù)表格，求出的值，最后求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）根據(jù)線回歸方程，分別計算當(dāng)時，當(dāng)時，它們的估計值，然后判斷（1）中得到的線性回歸方程是否可靠；（3）當(dāng)時，根據(jù)線性回歸方程計算出的值，然后計算出發(fā)芽率以及收益.【詳解】數(shù)據(jù)處理；.（1）-101-104  此時：，，，，∴，∴.（2）當(dāng)時：，符合，當(dāng)時：，符合，前兩組數(shù)據(jù)均符合題意，該回歸直線方程可靠.（3）當(dāng)時，發(fā)芽率，∴.收益：（萬畝）（萬元）.種植小麥收益為7950萬元.【點睛】本題考查了求線性回歸方程，以及用數(shù)據(jù)檢驗線性回歸方程是否可靠，考查了應(yīng)用線性回歸方程估計收益問題，考查了數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.20. 如圖.矩形ABCD的長，寬，以A?B為左右焦點的橢圓恰好過C?D兩點，點P為橢圓M上的動點.（1）求橢圓M的方程，并求的取值范圍；（2）若過點B且斜率為k的直線交橢圓于M?N兩點（點C與M?N兩點不重合），且直線CM?CN的斜率分別為，試證明為定值.【答案】（1），    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）由，把點的坐標代入橢圓方程，結(jié)合可求得得橢圓方程，設(shè)點，求出，根據(jù)橢圓的范圍得數(shù)量積的范圍；（2）設(shè)兩點M?N，直線方程代入橢圓方程，應(yīng)用韋達定理得，再代入化簡可得．【小問1詳解】由題意得.又點在橢圓上，所以，且，所以，，故橢圓的方程為.設(shè)點，由，得.又，所以.【小問2詳解】設(shè)過點且斜率為的直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得.設(shè)兩點M?N，故，.因為，其中，，故所以為定值．21. 已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，使得，對恒成立？若存在，請求出的所有值；若不存在，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）答案見解析    （2）存在，整數(shù)的所有值為【解析】【分析】（1）令，求導(dǎo)后，分別在和的情況下，由的正負可確定所求的單調(diào)性；（2）將恒成立的不等式化為，求導(dǎo)后，分別在且、和且的情況下，得到的單調(diào)性，進而確定，由可求得的范圍，結(jié)合可求得所有滿足題意的值.【小問1詳解】由題意知：定義域為，，令，則；當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，；若，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由（1）知：對恒成立，即對恒成立；令，則；①當(dāng)且時，，在上單調(diào)遞增，，解得：（舍）；②當(dāng)且，即時，，不合題意；③當(dāng)且時，若，；若，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又，，，，滿足且，所有整數(shù)為；綜上所述：的所有值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查含參函數(shù)單調(diào)性的討論、恒成立問題的求解；求解恒成立問題的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為恒成立，進而通過對于參數(shù)范圍的討論，確定，結(jié)合得到不等式的所有整數(shù)解.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分．如果多做，則按所做的第一題計分．22. 在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標方程；（2）已知點，若直線l與曲線C交于A，B兩點，求的值．【答案】（1）直線l：， C：；    （2）【解析】【分析】(1)直接將參數(shù)方程中的t消去即可得出直線的普通方程，結(jié)合公式，計算即可得出曲線的直角坐標方程；(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程可得關(guān)于t的一元二次方程，結(jié)合t的幾何意義化簡計算即可求解.【小問1詳解】將直線l的參數(shù)方程中的參數(shù)t消去，得；即為，把，代入，得，即曲線C的直角坐標方程為．所以直線l：，C：；【小問2詳解】易知點在直線上，把直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)），代入，整理得．，設(shè)直線l與曲線C的交點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，得同號，所以．23. 已知，，且．（1）證明：；（2）若不等式對任意恒成立，求m的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，代入運算整理，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性求最值；（2）根據(jù)題意分析可得，結(jié)合和運算求解.【小問1詳解】∵，則，可得，∴，又∵開口向上，對稱軸為，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，故.【小問2詳解】∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立；∴，又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，解得或，故m的取值范圍為.

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