綿陽南山中學(xué)2023年高考熱身考試數(shù)學(xué)試題（文科） 本試卷分為試題卷和答題卷兩部分，其中試題卷由第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）組成，共6頁；答題卷共 6頁，滿分150分.注意事項： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡相應(yīng)位置上. 2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案；答案不能答在試題卷上. 第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1. 已知集合，則（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先化簡集合，再由交集的定義求解即可.【詳解】因為集合，集合，所以．故選：D．2. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示出，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算法則計算可得.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則，所以.故選：C．3. 已知命題，使得，則為（    ）A. ，使得 B. ，使得C. ，使得 D. ，使得【答案】B【解析】【分析】根據(jù)命題的否定的定義求解.【詳解】根據(jù)命題的否定的定義，因為命題，使得，所以為，使得，故選:B.4. 大年除夕吃年夜飯是中國古老的民俗傳統(tǒng)，唐朝詩人孟浩然曾寫下“續(xù)明催畫燭，守歲接長筵”這樣的詩句．為了解某地區(qū)居民的年夜飯消費金額，研究人員隨機調(diào)查了該地區(qū)100個家庭，所得金額統(tǒng)計如圖所示，則下列說法中不正確的是（    ）    A. 可以估計，該地區(qū)年夜飯消費金額在家庭數(shù)量超過總數(shù)的三分之一B. 若該地區(qū)有2000個家庭，可以估計年夜飯消費金額超過2400元的有940個C. 可以估計，該地區(qū)家庭年夜飯消費金額的平均數(shù)不足2100元D. 可以估計，該地區(qū)家庭年夜飯消費金額的中位數(shù)超過2200元【答案】C【解析】【分析】利用頻率，頻數(shù)，平均數(shù)和中位數(shù)的定義對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】由題意得，年夜飯消費金額在的頻率為，故A正確；若該地區(qū)有2000個家庭，可以估計年夜飯超過2400元的家庭個數(shù)為，故B正確；可以估計，平均數(shù)為（元），故C錯誤；可以估計，中位數(shù)為（元），故D正確．故選：C．5. 如圖所示，點為的邊的中點，為線段上靠近點B的三等分點，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運算結(jié)合圖像將用、表示，即可得出答案.【詳解】解：.故選：C.6. 某幾何體的三視圖如圖所示（小正方形的邊長為），則該幾何體的體積為（    ）A  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖作出幾何體的實物圖，確定幾何體的構(gòu)成，由此可計算出幾何體的體積.【詳解】原幾何體的實物圖如下圖所示，幾何體是長方體去掉一個小三棱錐，由三視圖數(shù)據(jù)可知該幾何體的體積為.故選：A.【點睛】本題考查利用三視圖計算幾何體的體積，考查空間想象能力與計算能力，屬于中等題.7. 函數(shù)的部分圖象大致為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先判斷的奇偶性，再根據(jù)時的函數(shù)值的符號判斷圖象.【詳解】因為，，所以，故函數(shù)的為奇函數(shù)，排除BD；又 所以，故A錯誤.故選：C8. 將函數(shù)（）的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)）的一個極值點是，且在上單調(diào)遞增，則ω的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先由函數(shù)的圖像平移變換得到函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)得到是函數(shù)一條對稱軸，從而得出（），結(jié)合正弦函數(shù)的周期與單調(diào)性的關(guān)系得到，即可得到答案.【詳解】由題意得：，又函數(shù)）的一個極值點是，即是函數(shù)一條對稱軸，所以，則（），函數(shù) 在上單調(diào)遞增，則函數(shù)周期，解得，則，，故選：A.9. 已知，，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，得到，設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，得到，得到答案.【詳解】設(shè)，求導(dǎo)，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故，即，所以；設(shè)，求導(dǎo)，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，所以，故.故選：C10. 數(shù)列中，，定義：使為整數(shù)的數(shù)叫做期盼數(shù)，則區(qū)間內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用換底公式與累乘法把化為，然后根據(jù)為整數(shù)，可得，最后由等比數(shù)列前項和公式求解．【詳解】解：，，，又為整數(shù)，必須是2的次冪，即．內(nèi)所有的“幸運數(shù)”的和：，故選：D．11. 雙曲線的左?右焦點分別為，以的實軸為直徑的圓記為，過作的切線與曲線在第一象限交于點，且，則曲線的離心率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)，求出及，由三角形面積及三角函數(shù)值得到，由雙曲線定義得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到離心率.【詳解】設(shè)切點為，，連接，則，，過點作⊥軸于點E，則，故，因為，解得，由雙曲線定義得，所以，在中，由余弦定理得，化簡得，又，所以，方程兩邊同時除以得，解得，所以離心率.故選：A【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，對于雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率或離心率的取值范圍).12. 函數(shù)的定義域為，滿足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則的最大值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件分段求解析式及對應(yīng)函數(shù)值集合，再利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】因，又當(dāng)時，，當(dāng)，，時，，則，，當(dāng)，，時，，則，，作出函數(shù)的大致圖象，對任意，都有，設(shè)的最大值為，則，且所以，解得所以m的最大值為.故選：A.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 寫出一個具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列的通項公式______．①；②數(shù)列的前n項和存在最小值．【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根據(jù)判斷數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)存在最小值可知等差數(shù)列首項為負(fù)數(shù)，公差為正數(shù)，從而可寫出滿足條件的等差數(shù)列．【詳解】∵，∴數(shù)列是等差數(shù)列，∵數(shù)列的前n項和存在最小值，∴等差數(shù)列的公差，，顯然滿足題意．故答案為：．14. 已知曲線在點處的切線被圓所截弦長最短，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，則該切線恒過定點，在圓內(nèi).由圓的一般方程確定圓心，當(dāng)定點與圓心的連線與切線垂直時所截得弦長最短，利用兩直線的位置關(guān)系計算即可求解.【詳解】若，則函數(shù)是一條直線，不符合題意，故.，則，又，所以曲線在處的切線方程為，則直線恒過定點.，得圓心坐標(biāo)為，半徑為，且定點在圓內(nèi).因為切線被該圓所截的弦長最短，所以定點與圓心的連線與切線垂直，則，解得.故答案為：.15. 一封閉圓臺上、下底面半徑分別為1，4，母線長為6．該圓臺內(nèi)有一個球，則這個球表面積的最大值為______．【答案】【解析】【分析】將圓臺補體為圓錐并作出其軸截面，分析圓錐的內(nèi)切球，可判斷出圓錐內(nèi)切球能包含在圓臺內(nèi)，進(jìn)而可得最大球半徑與表面積.【詳解】將圓臺補體為圓錐并作出其軸截面如圖，圓錐頂點為，圓臺上下圓圓心分別為，根據(jù)截面性質(zhì)，易得，又，所以，，，則.故該軸截面是邊長為8的正三角形，高，由正三角形內(nèi)心也是重心，可得內(nèi)切圓的半徑，又圓臺高為，所以圓錐內(nèi)切球半徑即為內(nèi)切圓的半徑，所以該圓臺內(nèi)切球半徑最大值為.故球表面積的最大值為．  故答案：16. 已知拋物線C：，O為坐標(biāo)原點，過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點（點A在第一象限），且，直線AO交拋物線的準(zhǔn)線于點C，△AOF與△ACB的面積之比為4：9，則p的值為________．【答案】4【解析】【分析】首先證明，求出，則，再利用證明的結(jié)論，得到，利用焦點弦公式求出值即可.【詳解】設(shè)，，則，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程有，，，則，直線的方程為，令，則，則，則得，∴，∴，，又，則，∴點，，解得．故答案為：4.三、解答題：（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生必須作答，第22-23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）17. 的內(nèi)角的對邊分別為，，且______．在①，②，這兩個條件中任選一個，補充在橫線中，并解答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．（1）求的面積；（2）若，求．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）若選①則根據(jù)余弦定理得，且，于是利用平方公式得，即可得的值，再根據(jù)面積公式即可得的面積；若選②根據(jù)向量數(shù)量積定義得，且，于是利用同角的平方關(guān)系公式得，即可得的值，再根據(jù)面積公式即可得的面積；（2）由正弦定理得即可求得的值，開方可求的值，從而得到的值.【小問1詳解】若選①:因為，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；若選②:因為，即，則，又，則，又，得，則；【小問2詳解】由正弦定理得：，則，則，．18. 2021年6月17日9時22分，我國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征遙十二運載火箭，成功將神舟十二號載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪波3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國人首次進(jìn)入自己的空間站．某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛．該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造、根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x(億元)與產(chǎn)品的直接收益y(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：序號123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665當(dāng)時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：，模型②：；當(dāng)時，確定y與x滿足的線性回歸方程為．（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測對A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時的直接收益；回歸模型模型①模型②回歸方程79.1320.2 （2）為鼓勵科技創(chuàng)新，當(dāng)應(yīng)用改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼5億元，以回歸方程為預(yù)測依據(jù)，根據(jù)(1)中選擇的擬合精度更高更可靠的模型，比較投入17億元與20億元時公司收益(直接收益＋國家補貼)的大?。?/span>附： 刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，且當(dāng)越大時，回歸方程的擬合效果越好．用最小二乘法求線性回歸方程的截距：．【答案】（1）對A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時的直接收益為(億元)；    （2）投入17億元比投入20億元時收益小.【解析】【分析】(1)根據(jù)模型和相關(guān)系數(shù)公式計算比較即可，然后將x＝17代入較好的模型即可預(yù)測直接收益；(2)根據(jù)回歸方程過樣本中心點()求出，再令x＝20算出預(yù)測的直接收益，即可算出投入20億元時的總收益，與(1)中的投入17億元的直接收益比較即可.【小問1詳解】對于模型①，對應(yīng)的，故對應(yīng)的，故對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，對于模型②，同理對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)，故模型②擬合精度更高、更可靠.故對A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造的投入為17億元時的直接收益為(億元).另解：本題也可以根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式，直接比較79.13和20.2的大小，從而說明模型②擬合精度更高、更可靠.【小問2詳解】當(dāng)時，后五組的，，由最小二乘法可得，故當(dāng)投入20億元時公司收益(直接收益＋國家補貼)的大小為：，故投入17億元比投入20億元時收益小.19. 如圖，已知正方體的棱長為分別為的中點.（1）已知點滿足，求證四點共面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）作中點，連接，根據(jù)是平行四邊形和為中位線，得到證明；（2）設(shè)到平面的距離為和到平面的距離為，利用求解.【小問1詳解】證明：如圖，作中點，連接，因為是平行四邊形，所以，在中，為中位線，故，所以，故四點共面．【小問2詳解】設(shè)到平面的距離為，點到平面的距離為，在中，．故的面積．同理，由三棱錐的體積，所以，得．故到平面的距離為．20. 已知函數(shù)，．（1）若，求函數(shù)的最小值及取得最小值時的值；（2）若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）在處取得最小值，    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)最值即可；（2）由題知對恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，分當(dāng)，，時三種情況討論求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，定義域為，所以，令得，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在處取得最小值，.【小問2詳解】因為函數(shù)對恒成立所以對恒成立，令，則，①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增， 所以，由可得，即滿足對恒成立；②當(dāng)時，則，，在上單調(diào)遞增， 因為當(dāng)趨近于時，趨近于負(fù)無窮，不成立，故不滿足題意；③當(dāng)時，令得令，恒成立，故在上單調(diào)遞增，因為當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于正無窮，當(dāng)趨近于時，趨近于負(fù)無窮，所以，使得，，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，只需即可；所以，，，因為，所以，所以，解得，所以，，   綜上所解，實數(shù)a的取值范圍為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于討論當(dāng)時，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)得，使得，，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解.21. 已知橢圓的左、右頂點分別為、，短軸長為，點上的點滿足直線、的斜率之積為．（1）求的方程；（2）若過點且不與軸垂直的直線與交于、兩點，記直線、交于點．探究：點是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．【答案】（1）    （2）點在定直線上【解析】【分析】（1）設(shè)點，則，可得出，利用斜率公式結(jié)合已知條件可得出，再利用橢圓的短軸長可得出、的值，即可得出橢圓的方程；（2）設(shè)的方程為，設(shè)點、，設(shè)點，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫出直線、的方程，聯(lián)立這兩條直線方程，可得出點的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)，則，且，所以，，則，故①，又②，                        聯(lián)立①②，解得，，故橢圓的方程為．【小問2詳解】解：結(jié)論：點在定直線上．                      由（1）得，、，設(shè)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，整理得，，，      直線的方程為，直線的方程為，所以，，可得    ，解得，因此，點在直線上.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.選考題：（共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22. 在直角坐標(biāo)系中，曲線M的方程為，曲線N的方程為，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線M，N的極坐標(biāo)方程；（2）若射線與曲線M交于點A（異于極點），與曲線N交于點B，且，求．【答案】（1）；    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求解曲線和的極坐標(biāo)方程；（2）將代入曲線和的方程，求得和 ，結(jié)合題意求得，即可求解.【小問1詳解】解：由，可得，即，又由，可得，所以曲線M的極坐標(biāo)方程為．由，可得，即，即曲線N的極坐標(biāo)方程為.【小問2詳解】解：將代入，可得，將代入，可得，則，因為，所以，又因為，所以．選修4-5：不等式選講23. 已知定義在上函數(shù)的最大值為．（1）求的值；（2）設(shè)，求證：．【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)絕對值三角不等式求解即可；（2）根據(jù)柯西不等式求解即可.【小問1詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．∴，即．【小問2詳解】依題意可知，則由柯西不等式得，，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立． 
 

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