2022—2023學(xué)年度第二學(xué)期第二學(xué)段模塊檢測高一數(shù)學(xué)試題2023.07本試卷共6頁，22題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，請將答題卡上交.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題．每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知，是空間直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，則兩點(diǎn)間的距離為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后直接利用空間兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，所以.故選：D.2. 已知，，則=（    ）A.  B. 2 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件求出，再用模的公式求.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，由已知得，解得，則有，，得.故選：A3. 已知非零向量，滿足，，若，則（    ）A. 1 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)列式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以.故選：D.4. 已知圓錐母線與底面所成角為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由給定條件可得圓錐軸截面是正三角形，再由側(cè)面積求出底面圓半徑及高即可求解作答.【詳解】因?yàn)閳A錐的母線與底面所成角為，則該圓錐的軸截面是正三角形，令圓錐底面圓半徑為，則母線，圓錐側(cè)面積，解得，圓錐的高，所以該圓錐的體積為.故選：B5. 記的三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，，則的面積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求出的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】因?yàn)?/span>，，，由余弦定理可得，可得，由三角形的面積公式可得.故選：B.6. 為測量山高，選擇點(diǎn)和另一座山的山頂為測量點(diǎn)，若點(diǎn)，，在同一水平面上，從點(diǎn)測得的仰角為60°，的仰角為45°，，從點(diǎn)測得．已知山高，則山高為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角形中內(nèi)角和為，利用三角函數(shù)和正弦定理，即可求解．【詳解】如圖所示，  在中，∵，，∴，在中，， ，∴，由正弦定理，可得，，在中，，.故選：C7. 在正三棱柱中，，，分別是，中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn),可得異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，利用余弦定理即可求解.【詳解】設(shè)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn),      易知,,所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角.由正三棱柱的幾何特征可得.,,,，,在中，由余弦定理可得,所以異面直線與所成角的余弦值為.故選:A.8. 已知，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出，，從而求出，進(jìn)而利用二倍角的余弦公式求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又，所以，，所以，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 已知向量，，，則（    ）A. B. C. 若，∥，則D. 在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】BCD【解析】【分析】先由，得，從而可求出的坐標(biāo)，然后逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，，所以，得，所以，，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?/span>，∥，，所以，所以，所以，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?/span>，，所以在上的投影向量的坐標(biāo)為，所以D正確，故選：BCD10. 已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下述正確的是（    ）A. 若，，則B. 若，，則C. 若，，，則D. 若，，，、則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若，，則與相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，故B正確；對(duì)于C，若，，則,若，則，故C正確；對(duì)于D，若，則，可能相交，故D錯(cuò)誤.故選:BC.11. 已知函數(shù)，，的最小值為，則（    ）A. B. ，都有C. ，，則m的最大值為D. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】AD【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，由已知求出周期判斷A；代入驗(yàn)證對(duì)稱軸判斷B；求出函數(shù)在區(qū)間上的值域判斷C；平移求出解析式判斷D作答.【詳解】依題意，，顯然函數(shù)的最大值、最小值分別為，因?yàn)?/span>，則與中一個(gè)取2，另一個(gè)取，又的最小值為，于是的半周期，即周期，，解得，A正確；于是，而，則直線不是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，即，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，則，因?yàn)?/span>，，因此，的最大值為2，C錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，D正確.故選：AD12. 如圖甲，在梯形中，∥，，，，，分別為，的中點(diǎn)，將沿折起（如圖乙），使得，則（    ）  A. 直線∥平面B. 三棱錐的體積為C. 直線與平面所成角的正弦值為D. 若四棱錐的各頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，可證得四邊形為平行四邊形，則∥，然后由線面平行的判定定理分析判斷，對(duì)于B，由題意可證得平面，然后利用求解判斷，對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，可證得為直線與平面所成角，然后在中求解，對(duì)于D，連接交于點(diǎn)，過作直線平面，則外接球的球心在直線上，然后可求出其半徑，從而可求出球的表面積.【詳解】因在梯形中，∥，，，，所以，四邊形為正方形，對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以∥，，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因?yàn)?/span>平面，平面，所以直線∥平面，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)?/span>，，，平面，所以平面，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，則∥，因?yàn)?/span>，，所以，，因?yàn)?/span>，平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，在中，，則，所以，所以C正確，對(duì)于D，連接交于點(diǎn)，過作直線平面，因?yàn)?/span>平面，四邊形為正方形，所以四棱錐外接球的球心在直線上，設(shè)外接球的半徑為，則，所以四棱錐外接球的表面積為，所以D正確，故選：ACD  【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線面平行的判斷，考查線面角的求法，考查棱錐的外接球問題，解題的關(guān)鍵是將平面圖形折成空間圖形過程中，弄清線面之間的關(guān)系，考查空間想象能力，屬于較難題.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13. 若非零向量、滿足，，則向量、的夾角為____________．【答案】【解析】【分析】由平面向量的數(shù)量積可求出，結(jié)合向量夾角的取值范圍可得出向量、的夾角.【詳解】因?yàn)榉橇阆蛄?/span>、滿足，，則，即，即，即，所以，，因?yàn)?/span>，故，即向量、的夾角為.故答案為：.14. 在正四棱錐中，，用平行于正四棱錐底面的平面截去一個(gè)高為的四棱錐后，所得棱臺(tái)的體積為____________．【答案】##【解析】【分析】先利用勾股定理求出正四棱錐的高，再利用相似比求出截去的高為的四棱錐的底面邊長，在求出兩個(gè)棱錐的體積即可.【詳解】如圖，為底面四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，則為正四棱錐的高，，則，設(shè)截去的高為的四棱錐的底面邊長為，則，解得，所以棱臺(tái)的體積為.故答案為：.  15. 記的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且，，若是的外心，則____________．【答案】【解析】【分析】作于，于，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，，即可得到答案.詳解】如圖： 
作于，于，
∵圓中，，∴，
因此，
同理可得，
∴.故答案為:.16. 棱長為的正四面體的各頂點(diǎn)都在球心為的球面上，則過點(diǎn)，，的平面截四面體所得截面圖形的面積為____________；球的體積為____________．【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】將正四面體放到正方體中，則正方體的外接球即為正四面體的外接球，求出正方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，即可求出外接球的體積，取的中點(diǎn)，連接、，則即為過點(diǎn)，，的平面截四面體所得截面圖形，求出截面面積即可.【詳解】如圖將棱長為的正四面體放到正方體中，則正方體的外接球即為正四面體的外接球，正方體外接球的球心在體對(duì)角線的交點(diǎn)，體對(duì)角線即為外接球的直徑，設(shè)正方體的棱長為，由已知可得，解得，設(shè)正方體外接球的半徑為，則，即，所以外接球的體積，取的中點(diǎn)，連接、，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知即為過點(diǎn)，，的平面截四面體所得截面圖形，又，，所以，即過點(diǎn)，，的平面截四面體所得截面圖形的面積為.故答案為：；四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 已知，，且，．（1）求；（2）求．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)求出，然后對(duì)待求式變形即可得出結(jié)論；（2）利用兩角差的正弦公式可直接求解.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以由，解得，所以.【小問2詳解】因?yàn)?/span>，，所以，又因?yàn)?/span>，，所以，所以.18. 如圖，平行六面體的底面是菱形，，且．  （1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，，利用空間向量的數(shù)量積證明出，，結(jié)合線面垂直的判定定理可證等價(jià)結(jié)論成立；（2）分析可知平面的一個(gè)法向量為，計(jì)算出、、的值，利用空間向量法可得出與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】證明：設(shè)，，，則，，，，，因?yàn)?/span>，所以，因為，所以，又因?yàn)?/span>，、平面，所以平面.【小問2詳解】解：設(shè)與平面所成角為，因?yàn)?/span>平面，則平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?/span>，，，所以，，所以，即與平面所成角的正弦值為.19. 已知，，．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，邊上的高，求的面積．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與輔助角公式化簡，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）先由求得角，再利用三角形面積公式與余弦定理得到的關(guān)系式，從而得解.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，由，得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】因?yàn)?/span>，即，又，則，所以，故，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，，所以，所以由，，，得，，，所以.20. 如圖，在正四梭柱中，已知，三棱錐體積為．  （1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)棱錐的體積公式求出正四梭柱的高，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可；（2）利用向量法求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?/span>為正四棱柱，，所以平面，，所以，所以，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，則點(diǎn)到平面的距離；【小問2詳解】因?yàn)?/span>且，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，又平面，所以平面平面，所以是平面的法向量，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.  21. 的三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若．（1）求角；（2）若，，，求、．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）由可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)以及余弦定理可得出關(guān)于、的方程組，即可解得、的值.【小問1詳解】解：因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，即，即，因?yàn)?/span>，則，所以，，解得，故.【小問2詳解】解：因?yàn)?/span>，則，可得，所以，，所以，，①由余弦定理可得，②聯(lián)立①②可解得.22. 如圖，四邊形與均為菱形，，，，記平面與平面的交線為．  （1）證明：；（2）證明：平面平面；（3）記平面與平面夾角為，若正實(shí)數(shù)，滿足，，證明：．【答案】（1）證明見解析    （2）證明見解析    （3）證明見解析【解析】【分析】（1）通過線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可；（2）通過圖形關(guān)系證明，，然后得到線面垂直，再證明面面垂直即可；（3）首先通過幾何圖形關(guān)系得到即為平面與平面的夾角，得到角度后，通過基本不等式或三元均值不等式轉(zhuǎn)化證明即可.【小問1詳解】因?yàn)?/span>為菱形，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，平面平面，所以.【小問2詳解】連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>為菱形，所以，為中點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>平面，，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面平面  【小問3詳解】因?yàn)?/span>為菱形，，，所以，，又因?yàn)?/span>為菱形，所以，因?yàn)?/span>，，所以，所以，所以，即，又因?yàn)?/span>，平面，，所以平面，又由（1）知，所以平面，所以即為平面與平面的夾角，在直角中，，所以，所以平面與平面夾角的大小為，因?yàn)?/span>，所以，兩式相加得，，下面證明：①；②；且等號(hào)不同時(shí)取；法一：基本不等式因?yàn)?/span>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，同理（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)）所以，即，所以法二：三元均值不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，同理（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)）所以，即，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查立體幾何與基本不等式的綜合問題.立體幾何要通過性質(zhì)定理和判定定理進(jìn)行圖形關(guān)系的轉(zhuǎn)化，不等式證明問題需要聯(lián)系常用的基本不等式，將形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)而求解. 

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