?2022-2023學(xué)年山東省青島市平度市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
第I卷（選擇題）
一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1. 已知A(2,3,5)，B(3,?1,?4)是空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為B′，則A，B′兩點(diǎn)間的距離為(????)
A. 122 B. 86 C. 3 2 D. 6
2. 已知z+z?=4，(z?z?)i=?2，則|z?|(????)
A. 5 B. 2 C. 3 D. 2
3. 已知非零向量a，b滿足3|a|=2|b|，cos=23，若a⊥(kb+a)，則k=(????)
A. 1 B. 23 C. ?23 D. ?1
4. 已知圓錐的母線與底面所成角為π3，側(cè)面積為2π，則該圓錐的體積為(????)
A. 3π B. 33π C. 32π D. 36π
5. 記△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若B=60°，b=2 2，a+c=2 5，則△ABC的面積為(????)
A. 32 B. 3 C. 2 3 D. 3 3
6. 為測(cè)量山高BD，選擇點(diǎn)A和另一座山CE的山頂E為測(cè)量點(diǎn)，若點(diǎn)A，B，C在同一水平面上，從點(diǎn)A測(cè)得E的仰角為60°，D的仰角為45°，∠EAD=75°，從點(diǎn)E測(cè)得∠DEA=45°.已知山高CE=100 3m，則山高BD為(????)
A. 50 33?m B. 100 33?m C. 200 33?m D. 100 3?m
7. 在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1，D，E分別是A1B1，CC1中點(diǎn)，則異面直線BD與AE所成角的余弦值為(????)
A. 15 B. ?15 C. 2 65 D. ?2 65
8. 已知cos(α?β)=13，tanαtanβ=13，則cos(2α+2β)=(????)
A. 1718 B. 79 C. ?1718 D. ?79
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）
9. 已知向量a=(2,?1)，a+b=(m,2)，(a+b)⊥a，則(????)
A. b=(3,1)
B. =34π
C. 若c=(3,t)，c//b，則|c|=3 10
D. a在b上的投影向量的坐標(biāo)為(12,?32)
10. 已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下述正確的是(????)
A. 若m//α，n//α，則m//n
B. 若m⊥α，m⊥β，則α//β
C. 若m⊥α，m//n，n?β，則α⊥β
D. 若m//α，n//α，m?β，n?β、則α//β
11. 已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+ 3cos2ωx(ω>0)，|f(x1)?f(x2)|=4，|x1?x2|的最小值為π2，則(????)
A. ω=1
B. ?x∈R，都有f(π6+x)=f(π6?x)
C. ?x∈[?π6,π6]，f(x)≥m，則m的最大值為 3
D. 將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
12. 如圖甲，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=BC=12CD=2，∠ABC=90°，AE⊥CD，M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，將△AED沿AE折起(如圖乙)，使得DE⊥EC，則(????)

A. 直線MN//平面DEC
B. 三棱錐E?ACD的體積為83
C. 直線MN與平面ABCE所成角的正弦值為 55
D. 若四棱錐D?ABCE的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為12π
第II卷（非選擇題）
三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 若向量a，b滿足|b|=2|a|，|2a?b|= 3|b|，則向量a，b的夾角為______ ．
14. 在正四棱錐P?ABCD中，AB=PA=6，用平行于正四棱錐底面的平面截去一個(gè)高為 2的四棱錐后，所得棱臺(tái)的體積為______ ．
15. △ABC的三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中b=3，c=2，O為△ABC的外心，則AO?BC=______．
16. 棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD的各頂點(diǎn)都在球心為O的球面上，則過點(diǎn)A，B，O的平面截四面體ABCD所得截面圖形的面積為______ ；球O的體積為______ ．
四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. (本小題10.0分)
已知α∈(0,π)，β∈(0,π2)，且cosα=?1213，tan2β=43．
(1)求cos4β?sin4β；
(2)求sin(α?2β)．
18. (本小題12.0分)
如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，AB=AA1=2，且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°．
(1)證明：AC1⊥平面A1BD；
(2)求AD與平面A1BD所成角的正弦值．

19. (本小題12.0分)
已知a=(cosx,sin2x)，b=(cosx, 32)，f(x)=a?b．
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=2c，f(B)=1，AC邊上的高BD= 3，求△ABC的面積．
20. (本小題12.0分)
如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=2，三棱錐C?BDC1的體積為83．
(1)求點(diǎn)C到平面AB1D1的距離；
(2)求CB1與平面BDC1所成角的正弦值．

21. (本小題12.0分)
△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若acosC+ccosA+2bcosB=0．
(1)求角B；
(2)若b=3，AD=2DC，|BD|=1，求a，c．
22. (本小題12.0分)
如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，AB=2，∠DAB=π3，F(xiàn)A=FC= 6，記平面AEF與平面ABCD的交線為l．
(1)證明：BD//l；
(2)證明：平面BDEF⊥平面ABCD；
(3)記平面AEF與平面ABCD夾角為α，若正實(shí)數(shù)m，n滿足mcos2θ=sinθ?tcosθnsin2θ=cosθ+tsinθ，00，解得ω=1，所以A正確；
所以f(x)=2sin(2x+π3)，
B中，f(x+π6)=2sin[2(x+π6)+π3]=2sin(2x+23π)，f(π6?x)=2sin[2(π6?x)+π3]=2sin(23π?2x)，
顯然f(x+π6)≠f(π6?x)，所以B不正確；
C中，?x∈[?π6,π6]，所以2x+π3∈[0,23π]，所以f(x)∈[0,2]，
所以?x∈[?π6,π6]，f(x)≥m成立的m的最大值為2，所以C不正確；
D中，將f(x)向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得g(x)=f(x?π6)=2sin[2(x?π6)+π3]=2sin2x，顯然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以D正確；
故選：AD．
由輔助角公式及題意可得f(x)的解析式，分別對(duì)所給的命題分別判斷，可得正確的命題．
本題考查輔助角公式的應(yīng)用及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

12.【答案】ACD?
【解析】解：因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，AB//CD,AB=BC=12CD=2,∠ABC=90°,AE⊥CD，
所以DE=CE=2，四邊形ABCE為正方形，
對(duì)于A，取DE的中點(diǎn)F，連接MF，CF，
因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，所以MF//AE,MF=12AE，
因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，所以CN=12BC，
因?yàn)锳E//BC，AE=BC，所以MF//CN，MF=CN，
所以四邊形MNCF為平行四邊形，所以MN//CF，
因?yàn)镸N?平面DEC，CF?平面DEC，所以直線MN//平面DEC，所以A正確；
對(duì)于B，因?yàn)镈E⊥EC，DE⊥AE，CE∩AE=E，CE，AE?平面ABCE，
所以DE⊥平面ABCE，所以VE?ACD=VD?ACE=13×12×2×2×2=43，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，取AE的中點(diǎn)G，連接MG，NG，則MG//DE,MG=12DE=1，
因?yàn)镈E⊥EC，DE⊥AE，所以MG⊥EC，MG⊥AE，
因?yàn)镃E∩AE=E，CE，AE?平面ABCE，所以MG⊥平面ABCE，
所以∠MNG為直線MN與平面ABCE所成角，
在Rt△MNG中，NG=AB=2，MG=1，則MN= MG2+NG2= 5，
所以sin∠MNG=MGMN=1 5= 55，所以C正確；
對(duì)于D，連接AC，BE交于點(diǎn)H，過H作直線l⊥平面ABCE，

因?yàn)镈E⊥平面ABCE，四邊形ABCE為正方形，
所以四棱錐D?ABCE外接球的球心O在直線l上，設(shè)外接球的半徑為R，
則R= CH2+(12DE)2= (12AC)2+1= 3．
所以四棱錐D?ABCE外接球的表面積為4πR2=4π×3=12π，所以D正確．
故選：ACD．
對(duì)于A，取DE的中點(diǎn)F，連接MF，CF，可證得四邊形MNCF為平行四邊形，則MN//CF，然后由線面平行的判定定理分析判斷；對(duì)于B，由題意可證得DE⊥平面ABCE，然后利用VE?ACD=VD?ACE求解判斷；對(duì)于C，取AE的中點(diǎn)G，連接MG，NG，可證得∠MNG為直線MN與平面ABCE所成角，然后在Rt△MNG中求解；對(duì)于D，連接AC，BE交于點(diǎn)H，過H作直線l⊥平面ABCE，則外接球的球心O在直線l上，然后可求出其半徑，從而可求出球的表面積．
本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．

13.【答案】2π3?
【解析】解：∵|b|=2|a|，|2a?b|= 3|b|，
∴4a2+b2?4a?b=3b2，
∴4a?b=4a2?2b2=4a2?8a2=?4a2，∴a?b=?a2，
∴cos=a?b|a||b|=?a22a2=?12，且∈[0,π]，
∴=2π3．
故答案為：2π3．
根據(jù)|b|=2|a|，對(duì)|2a?b|= 3|b|兩邊平方進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可得出a?b=?a2，然后可求出cos的值，從而可得出a,b的夾角．
本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量夾角的余弦公式，向量夾角的范圍，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】104 23?
【解析】解：如圖，

在正四棱錐P?ABCD中，∵AB=PA=6，∴PO= 62?(3 2)2=3 2，
已知PO1= 2，∴S四邊形A1B1C1D1S四邊形ABCD=19，
S四邊形ABCD=36，則S四邊形A1B1C1D1=4．
∴所得棱臺(tái)的體積為13×36×3 2?13×4× 2=104 23．
故答案為：104 23．
由題意畫出圖形，求出棱臺(tái)上底面的面積，再由兩棱錐體積作差得答案．
本題考查棱臺(tái)體積的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

15.【答案】52?
【解析】解：如圖所示，
△ABC中，b=3，c=2，O為△ABC的外心，
|OA|=|OB|=|OC|=r；
∴AO?BC=AO?(OC?OB)=OA?OB?OA?OC
=|OA||OB|cosθ1?|OA||OC|cosθ2
=r2?2r2?c22r2?r2?2r2?b22r2
=b2?a22
=52．
故答案為：52．
根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形表示出向量OA、OB、OC，
再由平面向量的數(shù)量積和余弦定理求出AO?BC的值．
本題考查了平面向量的數(shù)量積與解三角形的應(yīng)用問題，是中檔題．

16.【答案】 2? 6π?
【解析】解：將四面體ABCD放置在正方體中，如圖，

則棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD的外接球的球心O，即正方體外接球的球心．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則AB= 2a=2，∴a= 2，
取CD中點(diǎn)M，連接AM、BM，
則△ABM為過點(diǎn)A，B，O的平面截四面體ABCD所得截面，
由題意，截面積為12×AB×a=12×2× 2= 2；
又2R= a2+a2+a2，所以R= 62，
則球O的體積為4π3R3= 6π．
故答案為： 2； 6π．
將四面體ABCD放置在正方體中，取CD中點(diǎn)M，連接AM，BM，則△ABM為過點(diǎn)A，B，O的平面截此四面體所得截面，計(jì)算求得它的面積，利用正方體的體對(duì)角線是外接球的直徑，計(jì)算球的體積即可．
本題考查了截面圖形的面積和球的體積計(jì)算，屬于中檔題．

17.【答案】解：(1)∵β∈(0,π2)，∴2β∈(0,π)，
又tan2β=43>0，所以2β∈(0,π2)，
因?yàn)閠an2β=sin2βcos2β=43>0，且sin22β+cos22β=1，
解得cos2β=35，
所以cos4β?sin4β=(cos2β+sin2β)(cos2β?sin2β)=cos2β?sin2β=cos2β=35；
(2)因?yàn)閏osα=?1213，α∈(0,π)，
所以sinα=513，
又因?yàn)閏os2β=35，2β∈(0,π)，
所以sin2β=45，
所以sin(α?2β)=sinαcos2β?cosαsin2β=513×35+1213×45=6365．?
【解析】(1)根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系以及余弦二倍角公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可；
(2)根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可．
本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：(1)證明：平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，AB=AA1=2，且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，
設(shè)AA1=a，AB=b，AD=c，則|a|=|b|=|c|=2，a?b=a?c=b?c=2，
AC1=AB+BC+CC1=a+b+c，
BD=AD?AB=c?b，A1B=AB?AA1=b?a，
∵AC1?BD=(a+b+c)?(c?b)=|c|2?|b|2+a?c?a?b=0，
∴AC1⊥BD，∴AC1⊥BD，
∵AC1?A1B=(a+b+c)?(b?a)=|b|2?|a|2+b?c?a?c=0，∴AC1⊥A1B，∴AC1⊥A1B
∵A1B∩BD=B，∴AC1⊥平面A1BD．
(2)設(shè)AD與平面A1BD所成角為θ，
∵AC1⊥平面A1BD，
∴sinθ=|cos|=|AD?AC1||AD|?|AC1|，
∵AD?AC1=c?(a+b+c)=8，|AD|=2，|AC1|2=(a+b+c)2=24，|AC1|=2 6，
∴AD與平面A1BD所成角的正弦值為sinθ= 63．?
【解析】(1)設(shè)AA1=a，AB=b，AD=c，則|a|=|b|=|c|=2，a?b=a?c=b?c=2，利用向量線性運(yùn)算法則、向量數(shù)量積公式推導(dǎo)出AC1⊥BD，AC1⊥A1B，由此能證明AC1⊥平面A1BD．
(2)設(shè)AD與平面A1BD所成角為θ，由AC1⊥平面A1BD，得sinθ=|cos|=|AD?AC1||AD|?|AC1|，由此能求出AD與平面A1BD所成角的正弦值．
本題考查向量線性運(yùn)算法則、向量數(shù)量積公式、線面垂直的判定與性質(zhì)、線面角的定義及正弦值的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

19.【答案】解：(1)已知a=(cosx,sin2x)，b=(cosx, 32)，f(x)=a?b，
因?yàn)閒(x)=a?b=cos2x+ 32sin2x=1+cos2x2+ 32sin2x
=sin(2x+π6)+12，
由2kπ?π2≤2x+π6≤2kπ+π2，得kπ?π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?π3,kπ+π6](k∈Z)；
(2)因?yàn)閒(B)=sin(2B+π6)+12=1，B∈(0,π)，
所以π63 32tanα．
本題考查線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)、二面角的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

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