高二數(shù)學(xué)試題
2023.07
本試卷共6頁(yè)，22題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題．每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1 設(shè)全集，集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函數(shù)定義域求法可求得集合；根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域求法可求得集合；根據(jù)交集定義可得結(jié)果.
【詳解】由得，則；
當(dāng)時(shí)，，所以；所以.
故選：.
2. 已知a，b為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（ ）
A. 既不充分也不必要條件B. 充分不必要條件C. 必要不充分條件D. 充要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分別驗(yàn)證必要性與充分性即可得到結(jié)果.
【詳解】若，則，可得，反之，若，則可能為負(fù)數(shù)，推不出，所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：C
3. 將五本不同的書全部分給甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，則不同的分法有（ ）
A. 90種B. 150種C. 180種D. 250種
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可知將書可以分成1，2，2和1，1，3兩種，然后分配給3人，再利用分類加法原理可求得結(jié)果.
【詳解】由題意可知將5本書可以分成1，2，2和1，1，3兩種，
①若將書分成1，2，2三組，再分配給3人，則有種分法，
②若將書分成1，1，3三組，再分配給3人，則有種分法，
所以由分類加法原理可知共有種分法，
故選：B
4. 已知函數(shù)，則（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，再求的值即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，
故選：D
5. 若的展開式中常數(shù)項(xiàng)是10，則m＝（ ）
A. －2B. －1C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由，利用的展開式的通項(xiàng)公式，分別求得和的常數(shù)項(xiàng)求解.
【詳解】解：，
的展開式的通項(xiàng)公式為，
令，解得，則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為；
令，解得，則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為，
因?yàn)榈恼归_式中常數(shù)項(xiàng)是10，
所以，解得，
故選：D
6. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 是奇函數(shù)，且在是增函數(shù)B. 是偶函數(shù)，且在是增函數(shù)
C. 是奇函數(shù)，且在是減函數(shù)D. 是偶函數(shù)，且在是減函數(shù)
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性定義可知為奇函數(shù)；利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可確定在是增函數(shù).
【詳解】由得：或，的定義域?yàn)椋?br>，是奇函數(shù)；
，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上是增函數(shù).
故選：A.
7. 已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A. B. 16C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】正實(shí)數(shù)滿足，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即，解得，
所以的最小值為.
故選：B.
8. 定義在R上的函數(shù)滿足，且時(shí)，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>令，則，
所以在上遞增，
所以，所以，
所以，故C錯(cuò)誤；
，
因?yàn)槎x在R上的函數(shù)滿足，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，故A正確；
，即，B錯(cuò)誤；
，，D錯(cuò)誤，
故選：A
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題．每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A，令即可判斷B，由不等式的性質(zhì)即可判斷CD.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，由函?shù)在上單調(diào)遞減可知，，故正確；
對(duì)于B，令，滿足，則，所以不成立，故錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，則，所以，故正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，所以，即?br>所以，故錯(cuò)誤；
故選：AC
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的單調(diào)遞增區(qū)間是
B. 在處取得極大值
C. 在點(diǎn)處的切線方程為
D. 若，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
【答案】BC
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，可判斷選項(xiàng)A、B的正誤；
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求在點(diǎn)處的切線方程，可判斷選項(xiàng)C;
由方程的交點(diǎn)，可判斷選項(xiàng)D的正誤.
【詳解】由題意，，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，取得極大值；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；
在點(diǎn)處的切線斜率，
所以切線方程為：，即，故選項(xiàng)C正確；
當(dāng)時(shí)，,
當(dāng)時(shí)，取得最大值；
當(dāng)時(shí)，,
所以當(dāng)，方程有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：BC
11. 已知連續(xù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A. 為偶函數(shù)B.
C. 為極大值點(diǎn)D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)是以項(xiàng)為周期的周期函數(shù)，且關(guān)于中心對(duì)稱和對(duì)稱，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由為奇函數(shù)，可得函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，即，
又由為偶函數(shù)，可得關(guān)于對(duì)稱，即，所以A不正確；
因?yàn)榍?，令，可得，所以B正確；
由時(shí)，，可得函數(shù)單調(diào)遞增，
因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，可得函數(shù)在單調(diào)遞減，所以為的極大值點(diǎn)，所以C正確；
由函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，可得，所以，
因?yàn)榍?，可得?br>所以，所以函數(shù)是以項(xiàng)為周期的周期函數(shù)，
可得，所以，
所以，所以D正確.
故選：BCD.
12. 設(shè)A，B為同一隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)隨機(jī)事件，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)條件概率和全概率公式求解.
【詳解】對(duì)A，,A正確；
對(duì)B，根據(jù)全概率公式可得，,B錯(cuò)誤；
對(duì)C，,C正確；
對(duì)D，,
,D正確；
故選:ACD.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則______．
【答案】0.68
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可.
【詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，
，
.
故答案為：0.68
14. 有3臺(tái)機(jī)床加工統(tǒng)一型號(hào)的零件，加工的次品率分別為0.1，0.2，0.15，加工出來的零件混放在一起，3臺(tái)機(jī)床加工的零件分別占總數(shù)的45%，25%，30%，則任取一個(gè)零件為次品的概率為______.
【答案】0.14
【解析】
【分析】利用全概率公式求解即可.
【詳解】記零件為三個(gè)機(jī)床加工的事件分別為，零件為次品的事件為，
則，，
所以
故答案為：0.14.
15. 已知集合，，若，則m的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】因式分解求二次不等式可得，再根據(jù)二次函數(shù)的值域可得，進(jìn)而根據(jù)求解即可.
【詳解】，，又，則，即.
故答案為：
16. 過點(diǎn)可以作函數(shù)兩條互相垂直的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】先把函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，由切線相互垂直轉(zhuǎn)化為斜率之積為，得到兩切點(diǎn)的范圍，，且，根據(jù)在兩切線上可用表示出，結(jié)合的范圍可求的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，
，，
當(dāng)時(shí)，
，，且，
設(shè)兩切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，且，
因切線相互垂直，故，故，
故兩切點(diǎn)分別為，，
切線方程分別為：，，
即，，
由題意為兩切線的交點(diǎn)，
故，，
所以，
得
由得，即，
故
因，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，再寫出切線方程，再解出切線方程的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)切線斜率乘積為得，化簡(jiǎn)得，再利用基本不等式即可得到的范圍.
四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 近年來，各種類型的網(wǎng)約車服務(wù)在我國(guó)各城市迅速發(fā)展，為人們出行提供了便利，但也給城市交通管理帶來了一些困難．為掌握網(wǎng)約車在某地的發(fā)展情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從該地抽取了6個(gè)城市，分別收集和分析了網(wǎng)約車的A，B兩項(xiàng)指標(biāo)數(shù)x，y，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析，它們滿足最小二乘法，且y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．
（1）預(yù)測(cè)當(dāng)A指標(biāo)數(shù)為52時(shí)，B指標(biāo)數(shù)估計(jì)值．
（2）試求y與x之間的相關(guān)系數(shù)r，并利用r說明y與x是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系（若，則線性相關(guān)程度較強(qiáng)）．
附：參考數(shù)據(jù)：．
相關(guān)系數(shù)．
【答案】（1）B指標(biāo)數(shù)的估計(jì)值為103
（2）0.88，y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系
【解析】
【分析】（1）把代入求解即可；
（2）由求得，再根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式即可求解，從而可以判斷y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)A指標(biāo)數(shù)為52時(shí)，B指標(biāo)數(shù)的估計(jì)值為103.
【小問2詳解】
因?yàn)?，所以?br>所以相關(guān)系數(shù)，
因?yàn)閞＞0.75，所以y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.
18. 已知函數(shù)在處有極值．
（1）求的極值；
（2）若在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
【答案】（1）極大值為，極小值為
（2）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性和極值；
（2）利用函數(shù)的極值和函數(shù)的圖象性質(zhì)求解.
【小問1詳解】
由條件知，得
所以隨x變化情況如下表：
所以函數(shù)的極大值為，極小值為.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，只需,
所以.
19. 某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良，為了檢驗(yàn)甲、乙兩種療法的效果差異，采用有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取了100名患者，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
（1）請(qǐng)將上表補(bǔ)充完整，并依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析療法與療效是否有關(guān)聯(lián)？
附：，其中n＝a＋b＋c＋d.
臨界值表：
（2）從100名患者中按照治愈、未治愈分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10名，從這10人中選取3人參加免費(fèi)體檢，設(shè)免費(fèi)體檢者中治愈的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）表格見解析，療法與療效有關(guān)聯(lián)
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題干數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算與臨界值比較得出結(jié)論；
（2）分層抽樣可知治愈的人數(shù)為，未治愈的人數(shù)為，確定隨機(jī)變量的X的所以取值，再求出對(duì)應(yīng)的概率，即可寫出分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式求解即可.
【小問1詳解】
列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下：
零假設(shè)為：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法沒有差異；
根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到：
，
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為療法與療效有關(guān)聯(lián)，
此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01；
【小問2詳解】
按照治愈、未治愈分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10名，
其中治愈的人數(shù)為，未治愈的人數(shù)為，
X的可能取值為0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列為：
.
20. 已知函數(shù)．
（1）若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)列出不等式，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，分,,與討論，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
由題得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，因?yàn)椋?
【小問2詳解】
因，則，注意到：，，
若，則，所以在上單調(diào)遞增，
所以，在上不存在零點(diǎn)，
若，則，所以在上單調(diào)遞減，
所以，在上不存在零點(diǎn)，
若，顯然，在上不存在零點(diǎn)，
若，顯然存在，使得，且在上單調(diào)遞增，
注意到：，，
所以在上小于零，在上大于零，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
注意到：，，且，所以存在唯一使得，
綜上，所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題，難度較難，解答本題的關(guān)鍵在于，，然后分的范圍進(jìn)行討論，即可得到結(jié)果.
21. 某種電子玩具啟動(dòng)后，屏幕上的顯示屏?xí)S機(jī)亮起紅燈或綠燈，在玩具啟動(dòng)前，用戶可對(duì)P（0＜P＜1）賦值，且在第一次亮燈時(shí)，亮起綠燈的概率為P，亮起紅燈的概率為1－P，隨后若第n次亮起的是綠燈，則第n＋1次亮起紅燈的概率為，亮起綠燈的概率為，若第n次亮起的是紅燈，則第n＋1次亮起紅燈的概率為，亮起綠燈的概率為．
（1）若輸入，該玩具啟動(dòng)后，記前3次亮燈中亮綠燈的次數(shù)為X，求X的分布列與期望；
（2）在玩具啟動(dòng)后，若某次亮燈為綠燈，且亮綠燈的概率在區(qū)間內(nèi)，則玩具會(huì)自動(dòng)播放歌曲，否則不播放，現(xiàn)輸入，則在前20次亮燈中，該玩具最多唱幾次歌？
【答案】（1）分布列見解析，期望為
（2）5次
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意直接列出隨機(jī)變量X的分布列，進(jìn)而求出期望；
（2）設(shè)第n次亮燈時(shí)，亮綠燈的概率為，則，然后根據(jù)數(shù)列知識(shí)構(gòu)造等比數(shù)列求出，然后利用列出不等式并解出不等式，從而得解.
【小問1詳解】
由題意知X的可能取值為0，1，2，3，
；
；
；
；
所以X的分布列為：
所以，.
【小問2詳解】
設(shè)第n次亮燈時(shí)，亮綠燈的概率為，則，
所以，
所以是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，
所以，即，
由得n為奇數(shù)且n＞9，
又因?yàn)閚≤20，所以n＝11，13，15，17，19，
所以在前20次亮燈中，最多唱5次歌.
22. 已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分，，和四種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）要證，只需證，而，所以換元后構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最大值小于等于即可.
【小問1詳解】
由，得
①時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)，
所以增區(qū)間為，減區(qū)間為，
②時(shí)，得，
若，即時(shí)，恒成立，所以為R上的增函數(shù)
若，即時(shí)，由，得或，由，得，
所以增區(qū)間為，，減區(qū)間為
若，即時(shí)，由得或，由得，
所以增區(qū)間為，，減區(qū)間為
綜上得：時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為；
時(shí)，增區(qū)間為；
時(shí)，增區(qū)間為，，減區(qū)間為；
時(shí)，增區(qū)間為，，減區(qū)間為.
【小問2詳解】
時(shí)，要證，
即證，即證
因?yàn)?br>令，（），
由，得，由，得，
所以在遞增，遞減，
所以最大值為，
所以，得證
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，第（2）問解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化成證，令，只要證，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值小于等于即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.
0
1
＋
0
－
0
＋
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
療法
療效
合計(jì)
未治愈
治愈
甲
48
60
乙
18
合計(jì)
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
療法
療效
合計(jì)
未治愈
治愈
甲
48
12
60
乙
22
18
40
合計(jì)
70
30
100
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P

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山東省青島市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（2份打包，原卷版+含解析）：

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山東省青島市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（2份打包，原卷版+含解析）：

這是一份山東省青島市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（2份打包，原卷版+含解析），共31頁(yè)。試卷主要包含了 下述正確的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

山東省青島市平度市2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試題（Word版附解析）：

這是一份山東省青島市平度市2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試題（Word版附解析），共19頁(yè)。試卷主要包含了07， 已知函數(shù)，則， 已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為， 已知實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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