四川省成都市石室陽(yáng)安中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試題及答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

成都石室陽(yáng)安高三數(shù)學(xué)（理科）入學(xué)考試一、單選題1. 設(shè)集合，，則A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解出集合T,然后集合T與集合S取交集即可.【詳解】,集合，則故選D【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)得的值，再利用復(fù)數(shù)的除法可得結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以.故選：C.3. 走路是最簡(jiǎn)單優(yōu)良的鍛煉方式，它可以增強(qiáng)心肺功能，血管彈性，肌肉力量等，甲、乙兩人利用手機(jī)記錄了去年下半年每個(gè)月的走路里程（單位：公里），現(xiàn)將兩人的數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的折線圖，則下列結(jié)論中正確的是（）A. 甲走路里程的極差等于B. 乙走路里程的中位數(shù)是C. 甲下半年每月走路里程的平均數(shù)小于乙下半年每月走路里程的平均數(shù)D. 甲下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差【答案】C【解析】【分析】根據(jù)折線圖，得到甲、乙下半年的走路歷程數(shù)據(jù)，根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)以及標(biāo)準(zhǔn)差與數(shù)據(jù)穩(wěn)定性之間的關(guān)系求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，月甲走路的里程為：、、、、、，甲走路里程的極差為公里，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，月乙走路的里程為：、、、、、，由小到大排列分別為：、、、、、，所以，乙走路里程的中位數(shù)是，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，甲下半年每月走路里程的平均數(shù)，乙下半年每月走路里程的平均數(shù)為，所以，甲下半年每月走路里程的平均數(shù)小于乙下半年每月走路里程的平均數(shù)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由圖可知，甲下半年走路里程數(shù)據(jù)波動(dòng)性大于乙下半年走路里程數(shù)據(jù)，所以甲下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙下半年每月走路里程的標(biāo)準(zhǔn)差，D錯(cuò).故選：C.4. 若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A. － B. 2 C. 5 D. 8【答案】C【解析】【分析】作出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，平移目標(biāo)函數(shù)即可求解.【詳解】畫出可行域如圖所示，由解得，設(shè)A(1,2)，則目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)時(shí)在y軸上的截距最大，所以在點(diǎn)A(1,2)處取得最大值最大值為.故選：C.5. 下列命題正確的是（）A. 命題“”為假命題，則命題與命題都是假命題B. 命題“若，則” 的逆否命題為真命題C. 若使得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則為函數(shù)的極值點(diǎn)；D. 命題“，使得”的否定是：“，均有”【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合命題的真假判斷A，根據(jù)四種命題的關(guān)系判斷B，根據(jù)極值的定義判斷C，根據(jù)命題的否定判斷D．【詳解】對(duì)于A：命題“”為假命題，則命題與命題至少有一個(gè)假命題，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：命題“若，則”顯然為真命題，又原命題與逆否命題同真同假，故B正確；對(duì)于C：若使得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，如果兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)相反，則為函數(shù)的極值點(diǎn)；否則，不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：命題“存在，使得”的否定是：“對(duì)任意，均有”．故D錯(cuò)誤.故選：B．6. 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)離心率求出，再根據(jù)雙曲線的漸近線方程即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)?/span>，所以，則，所以漸近線方程為.故選：C.7. 把一個(gè)鐵制的底面半徑為，側(cè)面積為的實(shí)心圓柱熔化后鑄成一個(gè)球，則這個(gè)鐵球的表面積為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出圓柱的高，由圓柱和球的體積相等即可得出球的半徑，再利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)實(shí)心圓柱的高為，因?yàn)閷?shí)心圓柱的底面半徑為，側(cè)面積為，解得，則圓柱的體積為，設(shè)球的半徑為，則，解得，因此，該鐵球的表面積為.故選：A.8. 從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用樹圖列舉基本事件總數(shù)，再找出第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)，代入古典概型的公式求解.【詳解】從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖：基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，故所求概率.故選：A.9. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】結(jié)合已知條件，可以得到函數(shù)的周期性，再結(jié)合奇偶性可以將縮小到的區(qū)間內(nèi)，從而求出函數(shù)值【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以是周期為4的函數(shù)，所以，因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，所以，所以故選：C10. 已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，由雙曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?/span>,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.11. 設(shè)，，，則（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用指對(duì)互算、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】，，而，則，故選：A.12. 過(guò)點(diǎn)可作三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，得到切線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)得到，設(shè)，計(jì)算函數(shù)的極值，得到答案.【詳解】，，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，切線過(guò)點(diǎn)，，整理得到，方程有三個(gè)不等根.令，則，令，則或，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，極大值，極小值，函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，則，的取值范圍為.故選：D二、填空題13. 若直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為．【答案】【解析】【詳解】由題意，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.14. 已知直線過(guò)定點(diǎn)A，直線過(guò)定點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則________．【答案】13【解析】【分析】根據(jù)題意求點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合垂直關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于直線，即，令，則，則，可得直線過(guò)定點(diǎn)，對(duì)于直線，即，令，則，則，可得直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?/span>，則，即，所以.故答案為：13. 15. 某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高時(shí)，發(fā)現(xiàn)株高（單位：）服從正態(tài)分布，若測(cè)量10000株水稻，株高在的約有_______．（若，）【答案】1359株【解析】【分析】由正態(tài)分布及其對(duì)稱性求得，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意，，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可得故株高在的約有株.故答案為：1359株.16. 現(xiàn)有如下命題：①若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，且n的最小值為10；②；③若有一個(gè)不透明的袋子內(nèi)裝有大小、質(zhì)量相同的6個(gè)小球，其中紅球有2個(gè)，白球有4個(gè)，每次取一個(gè)，取后放回，連續(xù)取三次，設(shè)隨機(jī)變量表示取出白球的次數(shù)，則；④若定義在R上的函數(shù)滿足，則的最小正周期為8．則正確論斷有__________．（填寫序號(hào)）【答案】②③【解析】【分析】①根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式得到通項(xiàng)為，根據(jù)展開式中含有常數(shù)項(xiàng)得到，即可得到的最小值；②根據(jù)積分的幾何意義計(jì)算即可；③根據(jù)二項(xiàng)分布求期望的公式計(jì)算即可；④根據(jù)得到即可得到4是的一個(gè)周期，即8不是最小正周期.【詳解】①二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，因?yàn)檎归_式中含有常數(shù)項(xiàng)，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，最小，最小為5，故①錯(cuò)；②函數(shù)的圖象如下所示：根據(jù)的幾何意義可得，故②正確；③由題意得，所以，故③正確；④由可得，所以4是的一個(gè)周期，則的最小正周期不是8，故④錯(cuò).故答案為：②③.三、解答題17. 為慶祝神舟十四號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，某學(xué)校開展了航天知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，已知所有學(xué)生的成績(jī)均位于區(qū)間，從中隨機(jī)抽取1000名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)作為樣本，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）若此次活動(dòng)中獲獎(jiǎng)的學(xué)生占參賽總?cè)藬?shù)，試估計(jì)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線；（2）采用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法，從成績(jī)不低于80的學(xué)生中隨機(jī)抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取2人，記成績(jī)?cè)?/span>的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）82 （2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖先判斷出獲獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線所在的區(qū)間，設(shè)為，則成績(jī)?cè)?/span>的概率為0.3，列出方程即可得解；（2）先寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，從而可得分布列，再根據(jù)期望的計(jì)算公式計(jì)算期望即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)直方圖可知，成績(jī)?cè)?/span>的頻率為，大于0.3，成績(jī)的頻率為0.1，小于0.2，因此獲獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線應(yīng)該介于之間，設(shè)分?jǐn)?shù)線為，使得成績(jī)?cè)?/span>的概率為0.3，即，可得，所以獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線劃定為82；【小問(wèn)2詳解】成績(jī)?cè)?/span>的人數(shù)有人，成績(jī)?cè)?/span>的人數(shù)為人，則的可能取值為0，1，2，，，，的分布列為012∴數(shù)學(xué)期望．18. 如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，E為AB的中點(diǎn)，（1）證明：平面PCD.（2）求DA與平面PCE所成角正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)證明，即可證明線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法求解線面角的正弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>E為AB的中點(diǎn)，，所以，所以，從而.又，，所以底面ABCD，所以.因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是正方形，所以.又，所以平面PCD.（2）解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，所以，，.設(shè)平面PCE的法向量為，則，即，令，得.，故DA與平面PCE所成角的正弦值為. 【點(diǎn)睛】此題考查證明線面垂直，求直線與平面所成角的正弦值，關(guān)鍵在于熟練掌握線面垂直的判定定理，熟記向量法求線面角的方法.19. 已知函數(shù)在處取得極值1.（1）求，值；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1），；（2）最大值為1，最小值為【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)，，可得，，再檢驗(yàn)所求值即可；（2）根據(jù)當(dāng)在上變化時(shí)，，的變化情況表可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以.依題意得，，即.解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，，符合題意.所以，（2）由（1）可知，所以.令，得，.當(dāng)在上變化時(shí)，，的變化情況如下表：1 ＋0－單調(diào)遞增極大值1單調(diào)遞減又，所以在上的最大值為1，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)，要注意檢驗(yàn)所求參數(shù)是否符合題意，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大、最小值，屬于基礎(chǔ)題.20. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，．（1）求的方程；（2）在軸上是否存在一定點(diǎn)，使得_________？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．從①點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)與，三點(diǎn)共線；②軸平分這兩個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充在題目中“__________”處并作答．注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線的定義，，則C的方程可求；（2）若選①，設(shè)直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求得直線的斜率，得直線的方程即可判斷；若選②，設(shè)直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)，由題意，結(jié)合韋達(dá)定理得對(duì)任意的恒成立，則，得出答案．【小問(wèn)1詳解】當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為根據(jù)拋物線的定義，，則拋物線方程為：．【小問(wèn)2詳解】若選①，若直線軸，則該直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，，設(shè)直線方程為：，設(shè)，，聯(lián)立，得，恒成立得，直線的斜率直線的方程為由，化簡(jiǎn)得直線過(guò)定點(diǎn)，存在若選②，若直線軸，則該直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，，設(shè)直線的方程為：設(shè)，，設(shè)聯(lián)立，得，恒成立得，軸平分，即對(duì)任意的恒成立，則．存在．21 已知函數(shù) .（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. （2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得結(jié)果；（2）將所證不等式等價(jià)變形后，利用（1）中的單調(diào)性可證成立；作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證成立.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以函數(shù) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】①因?yàn)?/span>，不等式等價(jià)于，令，則，由，得，所以不等式（）等價(jià)于：，即：（），由（1）得：函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即：．②因?yàn)?/span>，不等式等價(jià)于，令，則，所以，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，即．由①②得：時(shí)，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第（2）問(wèn)將所證不等式進(jìn)行等價(jià)變形，再作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明是本題解題關(guān)鍵.22. 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程，曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，射線與曲線、分別交于A、B兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）消去參數(shù)得直角坐標(biāo)方程，由公式法求解（2）聯(lián)立方程得的極坐標(biāo)，由極坐標(biāo)的概念與幾何關(guān)系求解小問(wèn)1詳解】，將代入得：的極坐標(biāo)方程為曲線：由得∴∴曲線的直角坐標(biāo)方程為【小問(wèn)2詳解】將代入曲線、曲線的極坐標(biāo)方程可得∵∴由題意得∵為曲線的直徑∴，又，∴∴∴，即∵∴∴23. 設(shè)．（1）解不等式；（2）已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足，且的最大值是1，求a的值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）分類討論，脫掉絕對(duì)值符號(hào)，解不等式可得答案；（2）利用柯西不等式即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，不等式即，解得；當(dāng)時(shí)，不等式即恒成立，則；當(dāng)時(shí)，不等式即，解得；綜合上述，不等式的解集為.【小問(wèn)2詳解】由柯西不等式可得：，因?yàn)?/span>，故，而的最大值是1，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.

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