A．B．C．D．
【解答】解：全集，集合，1，，，，
，能表示集合，，關系的圖是．
故選：．
2.已知向量，，則在方向上投影為
A．B．C．D．
解：由，，
則在方向上的投影向量為：
．故選：．
3．技術在我國已經(jīng)進入高速發(fā)展的階段，手機的銷量也逐漸上升，某手機商城統(tǒng)計了最近5個月手機的實際銷量，如表所示：
若與線性相關，且線性回歸方程為，則下列說法不正確的是
A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量與正相關，且相關系數(shù)
B．線性回歸方程中
C．殘差的最大值與最小值之和為0
D．可以預測時該商場手機銷量約為1.72（千只）
【解答】解：從數(shù)據(jù)看隨的增加而增加，故變量與正相關，由于各增量并不相等，故相關系數(shù)，故正確；
由已知數(shù)據(jù)易得，代入中得到，故錯誤；
，，，
，，，
，，，，，
殘差的最大值與最小值之和為0，故正確；
時該商場手機銷量約為，故正確．
故選：．
4．方程表示雙曲線的必要不充分條件可以是
A． B．，，C．D．
【解答】解：若方程表示雙曲線，
則，解得：，
則：方程表示雙曲線的必要不充分條件所對應的集合必須真包含，
選項故選：．
5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若依次輸入，，，則輸出的結果為
A． B． C．D．以上都不對
【解答】解：根據(jù)題意，該流程圖的作用是求出、、中的最小數(shù)，
：．
，
．故選：．
6．在中，角、、的對邊分別為、、，且的面積，，則
A．B．C． D．
【解答】解：的面積，可得：，

又故選：．
7. 設等差數(shù)列的前項和為，已知，，，則的值為
A．15B．16C．17D．18
【解答】解：因為等差數(shù)列中，，，，
則，
兩式相加得，，即，
因為，所以．故選：．
8．如圖是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的高為
A．1B．2C．D．
【解答】解：由題意幾何體是四棱錐，過作于，
在正方體中有平面，所以，
又因為，所以平面，
所以四棱錐的高為，
在中，，，，
故，
，
故，解得．
所以該四棱錐的高為：．
故選：．
9．拋物線的焦點為，準線為，，是拋物線上的兩個動點，且滿足，為線段的中點，設在上的射影為，則的最大值是
A．B．C．D．
【解答】解：設，，，在上的射影分別為，，則，，
故．
又，所以，
因為，
所以，
當且僅當時等號成立，
故．
故選：．
10． 如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，，且，點，分別為，的中點，在側(cè)面上運動，且滿足平面，以下命題錯誤的是
A．
B．多面體的體積為定值
C．側(cè)面上存在點，使得
D．直線與直線所成的角可能為
解：對于，正方體中，，，、是線段上有兩個動點，，故正確；
對于，，到的距離為定值，是定值，
點到平面的距離為定值，多面體的體積為定值，故正確；
對于，，當為中點時，，故正確；
對于，取中點，中點，當與或重合時，
直線與直線所成的角最大，
，故錯誤．
故選：．
11．已知直線與圓心為且半徑為3的圓相交于，兩點，直線與圓交于，兩點，則四邊形的面積的值最大是
A．B．C．D．
【解答】解：根據(jù)題意，圓的圓心為且半徑為3，則圓的方程為，即，
直線與圓相交于，兩點，
則有，解可得：或，即、的坐標為，，
則，且的中點為，，
直線，變形可得，直線恒過定點，，
設，，
當與垂直時，四邊形的面積最大，
此時的方程為，變形可得，經(jīng)過點，
則此時，
故的最大值，
故，故選：．
12．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個極值點，給出下列四個結論：
①在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點；②的最小正周期可能是；
③的取值范圍是；④在區(qū)間上單調(diào)遞增.
其中正確結論的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．C【分析】令，，則,，結合條件可得有4個整數(shù)符合題意，可求出的取值范圍，再利用三角函數(shù)圖象性質(zhì)逐項分析即可得出結論.
【詳解】由函數(shù)，
令，可得，，
因為在區(qū)間上有且僅有4個極值點，即可得有且僅有4個整數(shù)符合題意，
解得，即，可得，
即，解得，即③正確；
對于①，當時，，即可得，
顯然當時，在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點；
當時，在區(qū)間上有且僅有4個不同的零點；即①錯誤；
對于②，的最小正周期為，易知，
所以的最小正周期可能是，即②正確；
對于④，當時，；
由可知，
由三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，即④正確；
即可得②③④正確.故選：C
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）
13．若，則的共軛復數(shù)為_________
【詳解】依題意，
所以的共軛復數(shù)為.
14．在的展開式中，含的項的系數(shù)是__________ .（用數(shù)字作答）
【詳解】展開式的通項為，其中常數(shù)項為，含的項為，
又因為，所以原展開式中含的項的系數(shù)為：，
故答案為：.
15.已知為等腰三角形，其中，點D為邊AC上一點，.以點B、D為焦點的橢圓E經(jīng)過點A與C，則橢圓E的離心率的值為 .
詳解】
連接點與中點，即有，由，故，
由，則，即，
由橢圓定義可得、，
故，
即，則、，
由故，
則，即，
解得（負值舍去）.故答案為：.
16.若函數(shù)與的圖像在實數(shù)集上有且只有3個交點，則實數(shù)的取值范圍為 __________ .
【詳解】即僅有3個解，
顯然不是該方程的解，則，即僅有3個解，
設，定義域關于原點對稱，且滿足。
即為奇函數(shù)，
考慮時的情況，，，
當時，，即在上單調(diào)遞增，
當時，，即在上單調(diào)遞減，
則函數(shù)極大值為，且當時，；當時，；
結合函數(shù)為奇函數(shù)，即可作出函數(shù)的圖象如圖示：
由于僅有3個解，故與函數(shù)的圖象僅有3個交點，
結合圖象可得或，
即或，
故答案為：或
三、解答題（本題共6道小題，共70分）
17.已知數(shù)列的首項為，且滿足，數(shù)列滿足．
（Ⅰ）求的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列的前項和為，求．
【解答】解：（1）證明：，
，，
，
當時，上式成立，
，；………………………………………5分
（2）由（1）得，
①，
②，
①②得，，
．……………………………………….12分
18.某企業(yè)有甲、乙、丙三個部門，其員工人數(shù)分別為6，9，12，員工隸屬于甲部門．現(xiàn)在醫(yī)務室通過血檢進行一種流行疾病的檢查，已知該種疾病隨機抽取一人血檢呈陽性的概率為，且每個人血檢是否呈陽性相互獨立．
（Ⅰ）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取9人進行前期調(diào)查，求從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人，并求員工被抽到的概率；
（Ⅱ）將甲部門的6名員工隨機平均分成2組，先將每組的血樣混在一起化驗，若結果呈陰性，則可斷定本組血樣全部為陰性，不必再化驗；若結果呈陽性，則本組中至少有一人呈陽性，再逐個化驗．記為甲部門此次檢查中血樣化驗的總次數(shù)，求的分布列和期望．
【解答】解：（1）由題意知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為，
所以分層抽樣抽取的9人中，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為2人，3人，4人，
記事件為“員工被抽到”，則（A）．………………………………….4分
（2）甲部門的6名員工隨機平均分成2組，每組3人，
記“每組血樣化驗結果呈陰性”為事件，則（B），
所以的所有可能取值為2，5，8，
（B），
（B），
，……………………………………….8分
所以的分布列如下，
所以數(shù)學期望．……………………………………….12分
19．如圖，已知梯形與所在平面垂直，，，，，，．，連接，．
（Ⅰ）若為邊上一點，，求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【解答】證明：（Ⅰ）梯形與所在平面垂直，，，，
以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
，，．，連接，．為邊上一點，，
，4，，，0，，，0，，，0，，，4，，
，0，，，4，，，，，
設平面的法向量，，，
則，取，得，3，，
，平面，
平面．……………………………………….5分
解：（Ⅱ），，，，0，，
設平面的法向量，，，
則，取，，，，
平面的法向量，3，，
設二面角的平面角為，
則．……………………………………….10分
由圖知二面角的平面角為鈍角，
二面角的余弦值為．……………………………………….12分
20．已知橢圓的離心率為，焦距為，過的左焦點的直線與相交于、兩點，與直線相交于點．
（Ⅰ）若，求證：；
（Ⅱ）過點作直線的垂線與相交于、兩點，與直線相交于點．求的最大值．
【詳解】（1）證明：設、，因為橢圓的焦距為，所以，解得．
又因為橢圓的離心率，所以，所以，
所以橢圓的方程為.
因為直線經(jīng)過、，，
所以，直線的方程為，
設點、，聯(lián)立可得，
由，得，. ……………………………………………………………………….2分
所以，
，
因此，.……………………………………………………………………….5分
（2）證明：若直線、中兩條直線分別與兩條坐標軸垂直，則其中有一條必與直線平行，不合乎題意，
所以，直線的斜率存在且不為零，設直線方程為，
則直線方程為，其中．
聯(lián)立可得，
設、，則，
由韋達定理可得，，………………………………………………………….6分
易知且，將代入直線的方程可得，即點，
所以
，……………………………………………………….8分
同理可得，…………………………………………………….9分
所以
，……………………………………………….11分
當且僅當時，等號成立，
因此，的最大值為.……………………………………………….12分
21．已知函數(shù).
（Ⅰ）若在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)和有公切線，求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由題意，當時，設，
則，
，……………………………….1分
令，得（舍負）
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
.……………………………….2分
根據(jù)題意的取值范圍為.……………………………….4分
（2）設函數(shù)在點處與函數(shù)在點處有相同的切線，
則，
，代入
得.
問題轉(zhuǎn)化為：關于的方程有解，……………………………….6分
設，則函數(shù)有零點，
，當時，
.
問題轉(zhuǎn)化為：的最小值小于或等于0.………………………………7分
，
設，則
當時，，當時，.
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
的最小值為.……………………………9分
由知，
故.
設，
則，
故在上單調(diào)遞增，
當時，，
的最小值等價于.……………………………11分
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，
.…………………………12分
22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程.
（Ⅰ）求和的直角坐標方程；
（Ⅱ），直線與C交于MN兩點，求兩點的極坐標
【詳解】（1）方法一：曲線:由題意得，即，
然后代入，即可得到曲線C的普通方程， ………………3分
備注：若沒有扣點，則扣1分
而直線，將代入其極坐標方程即可得其直角坐標方程.
………………2分
方法二：因為，
所以C的普通方程為，直線l的直角坐標方程為：；
方法三：由萬能公式：，
令，則有，
由橢圓的常用參數(shù)方程可得：，
直線的方程為：.
（2）設，聯(lián)立得.
解得，點的坐標為，點的坐標為………………6分
所以點的極坐標為，………………8分
點的極徑為………………10分
23.已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）設，求證：．
【詳解】（1）由題設，………………2分
而在、、上均能取到最小值，………………3分
對于在上遞減，上為常數(shù)，上遞增，且連續(xù)，
所以的最小值在上取得，即時，最小值為.………………5分
（2）由，僅當取等號，.………………7分
要證，即證，則，
需證，而，即，
所以恒成立，故得證..………………10分
備注：此題可用其它方法證明時間
1
2
3
4
5
銷售量（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
2
5
8

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