2023-2024學(xué)年湖南省長沙市天心區(qū)湘郡培粹實驗中學(xué)八年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下面四個圖形中，與是對頂角的圖形的個數(shù)是(    )

 A.  B.  C.  D. 2.  下列命題是真命題的是(    )A. 相等的角是對頂角 B. 互相垂直的直線一定相交
C. 內(nèi)錯角相等 D. 鄰補(bǔ)角相等3.  下列各數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)有(    )
．A. 個 B. 個 C. 個 D. 個4.  點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，，則點(diǎn)在(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限5.  用含鹽與含鹽的鹽水配含鹽的鹽水千克，設(shè)需含鹽的鹽水千克，含鹽鹽水千克，則所列方程組為(    )A.  B.
C.  D. 6.  如圖，把沿翻折，疊合后的圖形如圖，若，，則的度數(shù)是(    )A.
B.
C.
D. 7.  如圖，平分，，于點(diǎn)，，，則的長度為(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  如圖，在中，，平分，于，則下列結(jié)論：；平分；；，其中正確的是(    )
 A. 個 B. 個 C. 個 D. 個9.  如圖，已知，，如果只添加一個條件不加輔助線使≌，則添加的條件不能為(    )A.
B.
C.
D. 10.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，在平面內(nèi)有一點(diǎn)不與點(diǎn)重合，使得與全等，這樣的點(diǎn)有(    )
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個二、填空題（本大題共8小題，共24.0分）11.  對于方程，用含的代數(shù)式表示為______ ．12.  已知樣本：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在列頻數(shù)分布表時，如果取組距為，那么應(yīng)分成______ 組，這一組的頻率是______ ．13.  已知不等式組的解集為，則的值是        ．14.  某中學(xué)七年級學(xué)生外出進(jìn)行社會實踐活動，如果每輛車坐人，那么有個學(xué)生沒車坐；如果每輛車坐人，那么可以空出一輛車．則共有______輛車，______個學(xué)生．15.  若關(guān)于的不等式組的解集是，則的取值范圍是______．16.  已知關(guān)于的方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是______ ．17.  一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的倍，則這個多邊形的邊數(shù)是______．18.  如圖，點(diǎn)，，，，根據(jù)這個規(guī)律，探究可得點(diǎn)的坐標(biāo)是______ ．
三、計算題（本大題共1小題，共8.0分）19.  如圖，直線、相交于，平分，于點(diǎn)，，求、的度數(shù)．
四、解答題（本大題共6小題，共58.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）20.  本小題分
計算：．21.  本小題分
解方程組：；
解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．

 22.  本小題分
已知：，，
在坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，畫出．
求的面積；
設(shè)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且與的面積相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
23.  本小題分
如圖，四邊形中，，，，，與相交于點(diǎn)．
求證：≌；
判斷線段與的位置關(guān)系，并說明理由．
24.  本小題分
定義：關(guān)于，的二元一次方程其中中的常數(shù)項與未知數(shù)系數(shù)，之一互換，得到的方程叫“交換系數(shù)方程”，例如：的交換系數(shù)方程為或．
方程與它的“交換系數(shù)方程”組成的方程組的解為______ ；
已知關(guān)于，的二元一次方程的系數(shù)滿足，且與它的“交換系數(shù)方程”組成的方程組的解恰好是關(guān)于，的二元一次方程的一個解，求代數(shù)式的值；
已知整數(shù)，，滿足條件，并且是關(guān)于，的二元一次方程的“交換系數(shù)方程”，求的值．25.  本小題分
【問題初探】
和是兩個都含有角的大小不同的直角三角板．

當(dāng)兩個三角板如圖所示的位置擺放時，、，在同一直線上，連接、，請證明：．
【類比探究】
當(dāng)三角板保持不動時，將三角板繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．
【拓展延伸】
如圖，在四邊形中，，，，連接，，，到直線的距離為，請求出的面積．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根據(jù)對頂角的定義可知：只有圖中的是對頂角，其它都不是．
故選：．
根據(jù)對頂角的定義作出判斷即可．
本題考查對頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角，掌握對頂角的定義是解題的關(guān)鍵．2.【答案】 【解析】解：、相等的角不一定是對頂角，是假命題；
B、互相垂直的直線一定相交，是真命題；
C、內(nèi)錯角不一定相等，是假命題；
D、鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，是假命題；
故選B．
分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．
此題考查了命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．3.【答案】 【解析】解：，
故無理數(shù)有，，，共個．
故選：．
根據(jù)無理數(shù)的定義判斷即可．
本題考查了無理數(shù)的識別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有：類，如；開方開不盡的數(shù)，如；具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)，如兩個之間依次增加個，兩個之間依次增加個．4.【答案】 【解析】解：，，
，，
點(diǎn)在第三象限．
故選：．
由已知先判斷出，，即可判斷出點(diǎn)在第三象限．
本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中各個象限的點(diǎn)的坐標(biāo)的符號特點(diǎn)，四個象限的符號特點(diǎn)分別是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．5.【答案】 【解析】解：設(shè)需含鹽的鹽水千克，含鹽鹽水千克，由題意得：
，
故選：．
根據(jù)題意可得等量關(guān)系：含鹽的鹽水含鹽鹽水千克；含鹽的鹽水千克的含鹽量含鹽鹽水千克的含鹽量鹽的鹽水千克的含鹽量，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可．
此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系列出方程．6.【答案】 【解析】解：沿翻折，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
故選：．
根據(jù)折疊的性質(zhì)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義運(yùn)用合理的推理，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．
本題考查了折疊的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于根據(jù)軸對稱變化關(guān)系找到對應(yīng)邊，對應(yīng)角．7.【答案】 【解析】解：過作，交的延長線于，
，，平分，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
解得：，
故選：．
過作，交的延長線于，根據(jù)全等三角形的判定推出≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)全等三角形的判定得出≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，求出，再代入求出答案即可．
本題考查了角平分線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，能熟記角平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．8.【答案】 【解析】解：，平分，，
；
所以此選項結(jié)論正確；
平分，，，
易證≌，
，
平分，
所以此選項結(jié)論正確；
，
，
，
，
所以此選項結(jié)論正確；
≌，
，
，
，
所以此選項結(jié)論正確；
本題正確的結(jié)論有個，故選D．
根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出結(jié)論：；
證明≌，得平分；
由四邊形的內(nèi)角和為得，再由平角的定義可得結(jié)論是正確的；
由≌得，再由，得出結(jié)論是正確的．
本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，同時運(yùn)用角平分線的性質(zhì)得出兩條垂線段相等；本題難度不大，關(guān)鍵是根據(jù)證明兩直角三角形全等，根據(jù)等量代換得出線段的和，并結(jié)合四邊形的內(nèi)角和與平角的定義得出角的關(guān)系．9.【答案】 【解析】解：，
，即．
又，
可以添加，此時滿足；
添加條件，此時滿足；
添加條件，此時滿足；
添加條件，不能證明≌．
故選：．
根據(jù)圖形可知證明≌已經(jīng)具備了一個角和一對相等邊，因此可以利用、、證明兩三角形全等．
本題考查了全等三角形的判定，是一道開放題，解題的關(guān)鍵是牢記全等三角形的判定方法．10.【答案】 【解析】解：，，
，且，
當(dāng)與全等時，則有≌或≌，
當(dāng)≌時，則有，
點(diǎn)坐標(biāo)為或或舍去；
當(dāng)≌時，則有，
點(diǎn)坐標(biāo)為；
綜上可知點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
故選：．
由題意可知為兩三角形的公共邊，由條件可知≌或≌，再由全等三角形的性質(zhì)可求得或，可求得點(diǎn)坐標(biāo)．
本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵，注意分類討論．11.【答案】 【解析】解：方程，
解得：．
故答案為：
將看做已知數(shù)求出即可．
此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將看做已知數(shù)求出．12.【答案】   【解析】解：對于樣本的數(shù)據(jù)，最大值為，最小值為，即極差是，則組距，即應(yīng)分成組，
觀察樣本，知共有個樣本在這一組中，故其頻率為．
根據(jù)組距、分組數(shù)的確定方法：組距最大值最小值組數(shù)，進(jìn)行計算，根據(jù)頻率頻數(shù)總數(shù)，進(jìn)行計算．
本題考查組距，分組數(shù)的確定方法：組距最大值最小值組數(shù)，頻率的計算方法：頻率頻數(shù)總數(shù)．13.【答案】 【解析】解：由得，
，
，，
解得：，，
，
故答案為：．
解出不等式組的解集，根據(jù)不等式組的解集為，可以求出、的值，從而求得的值．
本題考查了解一元一次不等式組，掌握求不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．14.【答案】   【解析】解：設(shè)車有輛，則
，
解得，
把代入．
答：共有輛汽車，個學(xué)生．
故答案為：，．
設(shè)有輛車，根據(jù)如果每輛車坐人，那么有個學(xué)生沒車坐；如果每輛車坐人，那么可以空出一輛車，可列出方程，進(jìn)而求出即可．
此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，考查學(xué)生理解題意的能力，設(shè)出汽車數(shù)，以人數(shù)作為等量關(guān)系列方程求解是解決問題的關(guān)鍵．15.【答案】 【解析】解：因為不等式組的解集是，根據(jù)同大取較大原則可知：，
當(dāng)時，不等式組的解集也是，
所以．
故答案為：．
根據(jù)不等式組的解集，可判斷與的大?。?/span>
主要考查了不等式的運(yùn)用．根據(jù)題意分別求出對應(yīng)的值，利用不等關(guān)系求解．16.【答案】 【解析】解：，
解得：，
由方程的解是非負(fù)數(shù)，得到，
解得：，
故答案為：．
解方程求得方程的解，由方程的解是非負(fù)數(shù)，確定出的范圍即可．
此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．17.【答案】 【解析】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，則該多邊形的內(nèi)角和為，
依題意得：，
解得：，
這個多邊形的邊數(shù)是．
故答案為：．
設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)內(nèi)角和公式以及多邊形的外角和為即可列出關(guān)于的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．
本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式得出方程．18.【答案】 【解析】解：觀察圖形可知，點(diǎn)，，，的橫坐標(biāo)依次是、、、、、，
縱坐標(biāo)依次是、、、、、、、，
四個一循環(huán)，，
故點(diǎn)坐標(biāo)是．
故答案為：．
由圖形得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次是、、、、、，縱坐標(biāo)依次是、、、、、、、，四個一循環(huán)，繼而求得答案．
本題考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，學(xué)生的觀察圖形的能力和理解能力，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出規(guī)律．19.【答案】解：于點(diǎn)，，
，
與是對頂角，
．
平分，
，

． 【解析】此題利用余角和對頂角的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)，利用角平分線及補(bǔ)角的性質(zhì)又可求出的度數(shù)．
此題主要考查了余角，補(bǔ)角及角平分線的定義．20.【答案】解：

． 【解析】直接利用立方根以及絕對值、二次根式的性質(zhì)分別化簡得出答案．
此題主要考查了實數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．21.【答案】解：，得：，
解得，
將代入，得：，
解得，
方程組的解為；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
則不等式組的解集為，
將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：
 【解析】利用加減消元法求解即可；
分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
本題考查的是解二元一次方程組和一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．22.【答案】解：如圖所示：

過點(diǎn)向、軸作垂線，垂足為、．
四邊形的面積，的面積，的面積，的面積．
的面積四邊形的面積的面積的面積的面積．
當(dāng)點(diǎn)在軸上時，的面積，即：，解得：，
所點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
當(dāng)點(diǎn)在軸上時，的面積，即，解得：．
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或． 【解析】確定出點(diǎn)、、的位置，連接、、即可；
過點(diǎn)向、軸作垂線，垂足為、，的面積四邊形的面積的面積的面積的面積；
當(dāng)點(diǎn)在軸上時，由的面積，求得：，故此點(diǎn)的坐標(biāo)為或；當(dāng)點(diǎn)在軸上時，的面積，解得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
本題主要考查的是點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，明確的面積四邊形的面積的面積的面積的面積是解題的關(guān)鍵．23.【答案】證明：在和中，
，
≌，
解：理由如下：
≌，
，
，
，
，
，
． 【解析】根據(jù)即可證明≌．
根據(jù)≌得到，結(jié)合得到，即可得結(jié)論．
本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，常用的判定方法有：、、、、等，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．24.【答案】或 【解析】解：方程的“交換系數(shù)方程”為或，
方程與它的“交換系數(shù)方程”組成的方程組為或．
方程組的解為，方程組的解為．
故答案為：或．
方程與它的“交換系數(shù)方程”組成的方程組為或．
方程組的解為當(dāng)時，方程組的解為；
方程組的解為當(dāng)時，方程組的解為 ．
方程與它的“交換系數(shù)方程”組成的方程組解為．
將代入，得．
．
的“交換系數(shù)方程”為或．
是關(guān)于，的二元一次方程的“交換系數(shù)方程”，
各系數(shù)與各系數(shù)對應(yīng)相等，得，
各系數(shù)與各系數(shù)對應(yīng)相等，得
解方程組得．
，
，解得為整數(shù)．
，
若為整數(shù)，必須有，此時．
．
當(dāng)時，．
．
解方程組得不是整數(shù)，
方程組的解不符合題意，需舍去．
綜上，．
根據(jù)“交換系數(shù)方程”的定義，得到個“交換系數(shù)方程”，原方程分別與個“交換系數(shù)方程”聯(lián)立得到個方程組，分別解這兩個方程組即可；
根據(jù)“交換系數(shù)方程”的定義，得到的個“交換系數(shù)方程”，分別與原方程聯(lián)立得到個方程組，分別解這兩個方程組，將解分別代入二元一次方程，求出、、之間的關(guān)系，進(jìn)而出求出的值；
首先寫出的個“交換系數(shù)方程”，其次令的各未知數(shù)的系數(shù)分別與個“交換系數(shù)方程”的對應(yīng)系數(shù)相等，得到個方程組，最后求出符合條件的值即可．
本題考查二元一次方程的解法，過程非常復(fù)雜，需要極強(qiáng)的計算能力和耐心．25.【答案】解：和是兩個都含有角的大小不同的直角三角板，如圖，

，，，
≌，
；
，，理由如下：
，
，
，，
≌，
，，
延長與交于點(diǎn)，如圖，

，
，
，
，
，
；
【拓展延伸】
過作交延長線于，過作交于，如圖，

，
，
，
，，
，
≌，
，，
，
到直線的距離為，
，
，
，
，，
，，
． 【解析】由等腰直角三角形的性質(zhì)判斷出≌即可得出結(jié)論；
先證明≌得到，，再延長與交于點(diǎn)，證明即可得到；
【拓展延伸】
過作交延長線于，可證得≌，可得，再由求出和的長即可．
此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直的判斷方法，解本題的關(guān)鍵是判斷出，是一道難度不大的中考?？碱}．

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