2023-2024學(xué)年湖南省長沙一中雙語學(xué)校九年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  的相反數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  舌尖上的浪費讓人觸目驚心，據(jù)統(tǒng)計中國每年浪費的食物總量折合糧食約億千克，數(shù)據(jù)億用科學(xué)記數(shù)法應(yīng)表示為(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列運算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  一元二次方程的根的情況是(    )A. 沒有實數(shù)根 B. 只有一個實數(shù)根
C. 有兩個不相等的實數(shù)根 D. 有兩個相等的實數(shù)根5.  下列說法中正確的是(    )A. 有一個角是直角的四邊形是矩形 B. 兩條對角線相等的四邊形是矩形
C. 兩條對角線互相垂直的四邊形是矩形 D. 有三個角是直角的四邊形是矩形6.  對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是(    )A. 開口向下 B. 對稱軸是 C. 頂點坐標(biāo)是 D. 最大值是7.  如圖，?的對角線，相交于點，，，則?的周長為(    )A.
B.
C.
D. 8.  如圖，已知矩形沿著直線折疊，使點落在處，交于，，，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 9.  直線：與直線：在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為(    )A.
B.
C.
D. 10.  如圖，在矩形中，點在上，且平分，，，則的長為(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  函數(shù)中自變量的取值范圍是______ ．12.  把因式分解的結(jié)果是______．13.  一元二次方程的一個根是，則另一個根是______．14.  用張全等的直角三角形紙片拼接成如圖所示的圖案，得到兩個大小不同的正方形．若正方形的面積為，，則正方形的面積為______．
 15.  三個邊長為的小正方形按如圖所示疊放在一起，點、、都在小正方形的頂點上，那么的度數(shù)等于______ ．
 16.  如圖，在中，，，，點是邊上一動點，點在邊上，且，則的最小值為______ ．
 三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計算題：．18.  本小題分
解方程：
．
．19.  本小題分
如圖，?的對角線，相交于點，是等邊三角形，．
求證：?是矩形；
求的長．
20.  本小題分
某實驗基地為了考察甲、乙兩種小麥的長勢，分別從中抽取株麥苗，測得苗高如下單位：：甲乙將數(shù)據(jù)整理，并通過計算后把如表填全：小麥中位數(shù)眾數(shù)平均數(shù)方差甲乙______，______，______；
若實驗基地有甲種小麥株，請你估計甲種小麥苗高不低于的株數(shù)；
請你選擇合適的數(shù)據(jù)代表，說明哪一種小麥長勢較好．21.  本小題分
如圖，直線經(jīng)過點，．
求直線的解析式；
已知直線：，求直線與直線及軸圍成的的面積．
22.  本小題分
為響應(yīng)國家“雙減”政策．提高同學(xué)們的創(chuàng)新思維，某中學(xué)開設(shè)了創(chuàng)新思維課程．為滿足學(xué)生的需求，準(zhǔn)備再購買一些型號和型號的電腦．如果分別用元購買、型號電腦，購買型號臺數(shù)數(shù)比型號少臺、已知型號電腦的單價為型號的．
求兩種型號電腦單價分別為多少元；
學(xué)校計劃新建兩個電腦室需購買臺電腦，學(xué)校計劃總費用不多于元，并且要求型電腦數(shù)量不能低于臺，那么應(yīng)如何安排購買方案才能使費用最少，最少費用應(yīng)為多少？23.  本小題分
如圖，在?中，、分別是、的中點，，連接交于點．
求證：≌；
求證：四邊形為菱形；
過點作于點，交于點，若，，求的長．
24.  本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，我們將形如，這樣，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)的點稱之為“互補點”．
直線______填寫直線解析式上的每一個點都是“互補點”；直線上的“互補點”的坐標(biāo)為______；
直線上是否有“互補點”，若有，請求出點的坐標(biāo)，若沒有請說明理由；
若函數(shù)的圖象上存在唯一的一個“互補點”，且當(dāng)時，的最小值為，求的值．25.  本小題分
拋物線交軸于，兩點在的左邊，交軸于，直線經(jīng)過，兩點．
求拋物線的解析式；
如圖，點在拋物線上，點在拋物線的對稱軸上，以點、、、為頂點，為邊的四邊形是平行四邊形，請求出所有符合條件的點的坐標(biāo)．
如圖，為直線上方的拋物線上一點，軸交于點，過點作于點．設(shè)，求的最大值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的相反數(shù)是，
故選：．
利用相反數(shù)的定義判斷即可．
本題考查了相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義．2.【答案】 【解析】解：億，
故選：．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負(fù)整數(shù)．
此題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．3.【答案】 【解析】解：、同類項相加，把系數(shù)相加字母部分不變，故A錯誤；
B、同底的指數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減，故B錯誤；
C、底數(shù)不變指數(shù)相乘，故C正確；
D、和的平方等于平方和加積的二倍，故D錯誤；
故選：．
根據(jù)合并同類項，可判斷；
根據(jù)同底數(shù)冪的除法，可判斷；
根據(jù)冪的乘方，可判斷；
根據(jù)完全平方公式，可判斷．
本題考查了同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減．4.【答案】 【解析】解：，其中，，，
，
一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
故選：．
先計算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．5.【答案】 【解析】解：、有一個直角的平行四邊形是矩形，故選項A不符合題意；
B、兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項B不符合題意；
C、兩條對角線互相垂直的四邊形不一定是矩形，故選項C不符合題意；
D、有三個角是直角的四邊形是矩形，故選項D符合題意，
故選：．
利用矩形的判定方法分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．
本題考查了矩形的判定，熟記矩形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．6.【答案】 【解析】解：由得，開口向上，故選項A錯誤，不符合題意；
對稱軸為直線，故選項B錯誤，不符合題意；
頂點坐標(biāo)為，故選項C正確，符合題意；
最小值為，故選項D錯誤，不符合題意．
故選：．
直接由頂點式得到對稱軸、開口方向、頂點坐標(biāo)和最值．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，由二次函數(shù)的頂點式得到函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.【答案】 【解析】解：?的對角線，相交于點，
，，，
，
，是的中位線，
，
?的周長．
故選：．
由平行四邊形的性質(zhì)得，，，再證是的中位線，得出的長，即可得出結(jié)論．
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形中位線定理等知識．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證得為的中位線是解題的關(guān)鍵．8.【答案】 【解析】解：由翻折而成，
，，
矩形，
，
在與中，

≌，
，
設(shè)，則，
在中，，
，
解得：，
的長為．
故選：．
先根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出，，再設(shè)，則，由全等三角形的判定定理得出≌，可得出，在中，利用勾股定理即可求出的值，進(jìn)而得出的長．
本題考查的是翻折變換的性質(zhì)及勾股定理，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等的知識是解答此題的關(guān)鍵．9.【答案】 【解析】解：由圖可得：與直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的交點是，且時，直線的圖象在直線的圖象下方，故不等式的解集為：．
故選：．
與直線：在同一平面直角坐標(biāo)系中的交點是，根據(jù)圖象得到時不等式成立．
本題考查了一次函數(shù)與不等式組的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．解決此類問題關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，注意幾個關(guān)鍵點交點、原點等，做到數(shù)形結(jié)合．10.【答案】 【解析】解：四邊形是矩形，
，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故選：．
由矩形的性質(zhì)可得，，由直角三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
本題考查了矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．11.【答案】 【解析】解：由題意得：，
解得：，
故答案為：．
根據(jù)二次根式可得，然后進(jìn)行計算即可解答．
本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，熟練掌握二次根式是解題的關(guān)鍵．12.【答案】 【解析】解：原式
，
故答案為：．
首先提取公因式，再利用平方差進(jìn)行二次分解即可．
本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．13.【答案】 【解析】解：設(shè)方程的另一根為，則，
解得，．
故答案是：．
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系來解題．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系．熟記公式是解題的關(guān)鍵，此題屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】 【解析】解：正方形的面積為，
，
，
≌，
，
，
正方形的面積，
故答案為：．
由正方形的面積公式可得，在中，由勾股定理可求，即可求解．
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，求出的長是解題的關(guān)鍵．15.【答案】 【解析】解：如圖：
，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
．
．
，
，
是，，

，
故答案為：．
根據(jù)勾股定理，可得、、的長，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得答案．
本題考查了等腰直角三角形，勾股定理、勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵．16.【答案】 【解析】解：如圖，作關(guān)于的對稱點，連接交于，
則的值最小，
過作交的延長線于，過作于，
則，，
，，，
，，
，
，，
，
，
，
，
的最小值為，
故答案為：．
作關(guān)于的對稱點，連接交于，則的值最小，過作交的延長線于，過作于，則，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
本題考查了軸對稱最短路線問題，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．17.【答案】解：原式

． 【解析】利用算術(shù)平方根的意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，零指數(shù)冪的意義和絕對值的意義化簡運算即可．
本題主要考查了實數(shù)的運算，算術(shù)平方根的意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，零指數(shù)冪的意義和絕對值的意義，正確利用上述法則與性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．18.【答案】解：，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，． 【解析】先變形為，然后利用直接開平方法解方程；
利用因式分解法解方程．
本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接開平方法解一元二次方程．19.【答案】證明：為等邊三角形，
，，
四邊形是平行四邊形
，，
，
?是矩形；
解：?是矩形，
，
，
，
． 【解析】由等邊三角形的性質(zhì)得，再由平行四邊形的性質(zhì)得，，則，即可得出結(jié)論；
由矩形的性質(zhì)得，則，再由含角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．
本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.【答案】     【解析】解：將數(shù)據(jù)整理如下， 甲         乙          所以 小麥中位數(shù) 眾數(shù) 平均數(shù) 方差  甲     乙    故答案為：、、；
株，
答：估計甲種小麥苗高不低于的有株；
因為甲種小麥苗高的方差遠(yuǎn)小于乙種小麥苗高的方差，故甲種小麥苗高整齊，而兩種小麥苗高的中位數(shù)和平均數(shù)相同，
故甲種小麥長勢較好．
中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大或從大到小重新排列后，最中間的那個數(shù)最中間兩個數(shù)的平均數(shù)；出現(xiàn)次數(shù)最多的這個數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；
總數(shù)量乘以樣本中小麥苗高不低于的株數(shù)所占比例；
方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，小麥長勢較好．
此題主要查了平均數(shù)，中位數(shù)，方差的意義．平均數(shù)平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均程度．中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大或從大到小重新排列后，最中間的那個數(shù)最中間兩個數(shù)的平均數(shù)；方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量．21.【答案】解：直線經(jīng)過點，，
，
解得，
直線的解析式為；
如圖，直線：與直線相交于點，
由，
 解得，
，
直線和直線分別交軸于點，，
易求得，，
直線與直線及軸圍成的的面積為：
． 【解析】根據(jù)待定系數(shù)法，將，代入一次函數(shù)解析式即可求解；
求出、、三點的坐標(biāo)，用面積面積公式即可表示．
本題考查了一次函數(shù)及其應(yīng)用，解函數(shù)類題目注意數(shù)形結(jié)合，通過聯(lián)立函數(shù)表達(dá)式求交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．22.【答案】解：設(shè)每臺型號電腦進(jìn)價為元，每臺型號電腦進(jìn)價為元，根據(jù)題意，得：
，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解并滿足題意，
，
答：設(shè)每臺型號電腦進(jìn)價為元，每臺型號電腦進(jìn)價為元；
設(shè)購買型號電腦臺，則購買型號電腦臺，設(shè)總費用為元，根據(jù)題意得：
，
解得，
由題意得，，
，
隨的增大而增大，
當(dāng)時費用最少，最少費用為，
臺，
答：購買臺型號電腦，臺型號電腦時費用最少，最少費用為元． 【解析】設(shè)每臺型號電腦進(jìn)價為元，每臺型號電腦進(jìn)價為元，由“分別用元購買、型號電腦，購買型號臺數(shù)數(shù)比型號少臺”列出方程即可求解；
設(shè)購買型號電腦臺，則購買型號電腦臺，設(shè)總費用為元，根據(jù)題意可求與關(guān)系，并列出不等式組求出的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．
本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，分析題意，找到合適的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．23.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，，
、分別是，的中點，
，
在和中，，
≌；
證明：是的中點，，
，
，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
又，
四邊形是菱形．
解：是的中點，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
． 【解析】由四邊形是平行四邊形，可得，，，利用證得≌；
利用直角三角形形的性質(zhì)結(jié)合菱形的判定方法證明即可．
易求得，然后由含的直角三角形的性質(zhì)求解即可求得答案．
此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形等知識等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24.【答案】   【解析】解：縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)的點稱之為“互補點”．
直線上的每一個點都是“互補點”；
設(shè)直線上的“互補點”的坐標(biāo)為，
，解得，
直線上的“互補點”的坐標(biāo)為，
故答案為：；；

假設(shè)直線上存在“互補點”，
則由題意得：，
解得：，
直線上有“互補點”，點的坐標(biāo)為；

設(shè)“互補點”的坐標(biāo)為，
由題意可知，方程有唯一解，
整理得：，且．
即，
整理得：．
當(dāng)時，隨的增大而減??；當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，取得最小函數(shù)值．
當(dāng)時，此時當(dāng)時，取得最小值，
由題意得，解得；
當(dāng)時，此時當(dāng)時，取得最小值，
由題意得，
整理得：，顯然無解；
當(dāng)時，此時當(dāng)時，取得最小值，
由題意得，
整理得：，
解得，．
，
．
綜上所述，的值為或．
根據(jù)“互補點”的定義即可求解；
假設(shè)直線上存在“互補點”，由題意可列出關(guān)于的方程，解這個方程即可；
根據(jù)題意列出關(guān)于的一元二次方程有唯一解，利用根的判別式可得關(guān)于的二次函數(shù)，將此函數(shù)化為頂點式再由二次函數(shù)的增減性進(jìn)行分類討論即可求解．
此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了新定義、解方程、一元二次方程根的判別式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的增減性，對“互補點”的理解以及分類討論的運用是解決本題的關(guān)鍵．25.【答案】解：令，則，
，
令，則，
，
將，代入，
，
解得，
；
，
拋物線的對稱軸為直線，
設(shè)，，
令，則，
解得或，
，
當(dāng)為平行四邊形的對角線時，
，
解得，
；
當(dāng)為平行四邊形的對角線時，
，
解得，
；
綜上所述：點坐標(biāo)為或；
設(shè)，則，
，
連接，延長交軸于，
，，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)時，有最大值． 【解析】求出、點坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
設(shè)，，分兩種情況討論：當(dāng)為平行四邊形的對角線時，；當(dāng)為平行四邊形的對角線時，；
設(shè)，則，則，連接，延長交軸于，由等積法求出，則，當(dāng)時，有最大值．
本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．

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2022-2023學(xué)年湖南省長沙一中雙語實驗學(xué)校九年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年湖南省長沙一中雙語實驗學(xué)校九年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）
2022-2023學(xué)年湖南省長沙一中岳麓中學(xué)九年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年湖南省長沙一中岳麓中學(xué)九年級（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）
2020-2021學(xué)年湖南省長沙市湘一芙蓉、一中雙語學(xué)校九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2020-2021學(xué)年湖南省長沙市湘一芙蓉、一中雙語學(xué)校九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
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